1
PREDIKSI KURS RUPIAH TERHADAP EURO MENGGUNAKAN MODEL REGRESI SPLINE TERSEGMEN
Iswan Rahman1, Raupong2, M. Saleh AF.3
1Mahasiswa Departemen Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
2,3Staff Pengajar Departemen Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin E-mail: iswan.rahman@gmail.com
ABSTRAK
Kurs merupakan perbedaan nilai tukar uang karena adanya perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara yang bersangkutan dalam perekonomian terbuka atau perdagangan internasional.
Regresi spline merupakan salah satu pendekatan regresi nonparametrik, yaitu suatu metode analisis regresi bersifat piecewise polynomial yang berupa potongan-potongan polinom dengan sifat tersegmen pada selang yang terbentuk pada titik-titik knot. Titik knot optimal dipilih berdasarkan dari nilai Generalized Cross Validation (GCV) minimum. Penulisan ini bertujuan memprediksi kurs rupiah terhadap euro dari bulan Januari 2014 sampai bulan Desember 2016 berdasarkan fungsi regresi tersegmen dengan spline polinomial terbobot menggunakan metode Weighted Least Square (WLS) didalam interval sampel, yaitu pada periode 1 diperoleh Rp16640.99, periode ke 3 diperoleh Rp15780.31, periode ke 6 diperoleh Rp15991.63, periode ke 12 diperoleh Rp15063.19, periode ke 16 diperoleh Rp13979.99, periode ke 21 diperoleh Rp13979.99, periode ke 23 diperoleh Rp14887.17, dan pada periode ke 29 diperoleh Rp15014.97.
Kata Kunci: Kurs, Regresi Tersegmen, knot, Generalized Cross Validation, Weighted Least Square
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Kebutuhan manusia sangat tidak terbatas sedangkan alat pemenuh kebutuhan tersebut sangat terbatas. Salah satu aktivitas yang tak pernah lepas dari kegiatan pemenuhan kebutuhan tersebut adalah kegiatan perdagangan. Kegiatan perdagangan merupakan proses pertukaran yang memerlukan alat tukar yang bernama uang. Jika perdagangan dilakukan dalam satu negara maka perdagangan dapat dilakukan melalui mata uang negara yang bersangkutan. Akan tetapi dalam perekonomian terbuka atau perdagangan internasional akan dijumpai masalah baru yakni perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara yang bersangkutan. Akibat adanya perbedaan mata uang yang digunakan, baik di negara yang mengimpor maupun mengekspor, akan menimbulkan suatu perbedaan nilai tukar uang, yang biasa disebut kurs (Kurnia dan Didit, 2009). Kurs dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara. Pertumbuhan nilai mata uang yang stabil menunjukkan bahwa negara tersebut memiliki kondisi ekonomi yang relatif baik atau stabil (Salvator, 1997).
Perbedaan maupun pergerakan nilai tukar mata uang suatu negara (kurs) pada prinsipnya ditentukan oleh besarnya permintaan dan penawaran mata uang tersebut (Sukirno, 1994). Hal ini mengakibatkan perlunya dilakukan prediksi atau pendugaan kurs mata uang untuk mengetahui nilai tukar mata uang pada masa mendatang yang bersifat harian, mingguan, bulanan maupun tahunan.
Berdasarkan hasil prediksi yang diperoleh, pihak-pihak yang berkepentingan dalam perdagangan internasional baik impor maupun ekspor dapat mengambil langkah-langkah strategis yang sekiranya perlu dilakukan agar tidak mengalami kerugian yang cukup besar.
Metode statistika sangat berperan penting dalam memprediksi maupun menduga nilai kurs rupiah. Data kurs rupiah termasuk ke dalam data time series karena diukur berdasarkan waktu.
2 Analisis data kurs rupiah telah banyak dilakukan oleh peneliti melalui pendekatan model time series, seperti Helmy (2011), aplikasi peramalan kurs valuta asing rupiah per dollar Amerika Serikat dengan menggunakan metode Box-Jenkins (ARIMA) dan Anwary (2011), memprediksi kurs rupiah terhadap dollar Amerika menggunakan metode fuzzy time series. Pendekatan lain yang mulai digunakan peneliti dalam menganalisis data kurs rupiah adalah model regresi nonparametrik. Hal ini didasarkan pada pola data kurs rupiah pada setiap bulan pengukuran yang berfluktuasi sehingga tidak mengikuti pola parametrik.
Regresi spline merupakan salah satu pendekatan regresi nonparametrik, yaitu suatu metode analisis regresi bersifat piecewise polynomial yang berupa potongan-potongan polinom dengan sifat tersegmen pada selang yang terbentuk pada titik-titik knot (Wang & Yang, 1988). Titik knot merupakan titik perpaduan bersama yang terjadi karena terdapat perubahan perilaku pola pada interval yang berlainan. Titik knot optimal dipilih berdasarkan dari nilai Generalized Cross Validation (GCV) minimum (Budiantara, 1999). Spline mempunyai keunggulan dalam mengatasi pola data yang menunjukkan naik atau turun yang tajam dengan bantuan titik-titik knot, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus (Hardle,1990). Estimator spline cenderung mencari sendiri estimasinya kemana pun data tersebut bergerak sehingga memperoleh model yang sesuai dengan bentuk data. Penggunaan regresi spline dalam menganalisis data kurs rupiah telah dilakukan oleh Saputri, dkk (2015) melalui penalized spline. Namun, penelitian tersebut hanya memodelkan data kurs rupiah, tidak menganalisis segmentasi yang terbentuk akibat fluktuasi data kurs. Sementara Katijaya, dkk (2013) memodelkan data kurs rupiah terhadap euro dengan pendekatan regresi spline menggunakan metode least square.
Akan tetapi penelitian-penelitian tersebut tidak menggunakan pembobot untuk menghindari terjadinya pelangaran asumsi autokorelasi, sebab data yang digunakan merupakan data time series. Autokorelasi dikenal sebagai korelasi serial, maksudnya adalah korelasi antara serial data atau antara data sebelum dengan data sesudahnya dalam data yang disusun berdasarkan urutan waktu (time series) (Huang,2017).
Berdasarkan uraian tersebut, penelitian ini akan memprediksi data kurs rupiah dengan regresi tersegmen melalui spline polinomial. Selain itu, terjadinya autokorelasi pada data kurs rupiah menyebabkan perlunya penggunaan pembobot dalam estimator model.
1.3 Tujuan Penelitian
1. Memperoleh estimator fungsi regresi tersegmen dengan spline polinomial terbobot berdasarkan metode weighted least square pada data kurs bulanan untuk nilai tukar mata uang rupiah terhadap euro dari bulan Januari 2014 sampai bulan Desember 2016.
2. Mendapatkan prediksi kurs rupiah terhadap euro berdasarkan fungsi regresi tersegmen dengan spline polinomial terbobot menggunakan metode weighted least square.
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Data Time Series
Wei (2006) mengatakan bahwa Time series adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Analisis deret waktu adalah salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probalibilistik keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan (Aswi dan Sukarna,2006). Data time series dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan model Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Mixed Autoregressive Moving Average (ARMA), Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan lain-lain.
2.2 Regresi Parametrik
Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan dengan satu variabel atau lebih yang menerangkan. Analisis regresi merupakan sebuah alat statistika yang digunakan untuk melihat
3 hubungan antara variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas. Misalkan terdapat data berpasangan ( untuk n pengamatan, maka hubungan antara variabel dan variabel dapat dinyatakan sebagai berikut:
( (2.1)
dengan adalah variabel tak bebas ke-i, ( adalah fungsi regresi atau kurva regresi, serta adalah sisaan yang diasumsikan bebas dengan nilai tengah nol dan variansi .
2.3 Regresi Tersegmen pada Regresi Parametrik
Analisis regresi linear tersegmen adalah suatu metode dalam analisis regresi yang membagi peubah bebas menjadi beberapa segmen berdasarkan nilai tertentu yang disebut dengan breakpoint, dan pada setiap segmen data terdapat model regresi linear. Model regresi yang tepat digunakan adalah regresi linear tersegmen yang dapat dinyatakan sebagai berikut. (Ryan dan Porth, 2007).
(2.2)
(2.3)
Pada saat titik X= C,
(2.4)
dengan titik X = C disebut sebagai breakpoint.
Persamaan 2.3 juga dapat dituliskan dalam bentuk:
( (2.5)
Jika disubstitusikan ke model regresi , maka akan diperoleh bentuk lain dari model analisis regresi linear tersegmen yaitu:
(2.6) ( (2.7)
Dalam analisis regresi linear tersegmen, breakpoint bisa saja sudah diketahui sebelum analisis, atau berdasarkan pola data.
2.4 Regresi Nonparametrik Spline
Model regresi spline polinomial dengan orde dan titik knot sebagai berikut:
( ∑ ∑ ( ( (2.8)
dengan k menyatakan titik knot dan ( menyatakan fungsi potongan yang dapat djabarkan sebagai berikut:
( {(
(2.9)
dengan adalah orde polinomial, adalah titik knot ke-l dengan l = 1, 2,.., r dan merupakan sisaan random bebas yang diasumsikan normal dengan mean nol dan varians (Ruppert, et al., 2003).
Model regresi dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai berikut:
(2.10)
Estimasi model spline menggunakan Weighted Least Square (WLS) menghasilkan estimasi sebagai berikut:
̂ ( (2.11)
dengan W merupakan matriks diagonal dari perhitungan estimasi bobot.
2.5 Pemilihan Titik Knot
Bentuk estimator spline dipengaruhi oleh titik-titik knot ;(l= 1,2,…, r), sehingga sesuai atau tidaknya pendekatan spline sangat tergantung pada titik-titik knot yang optimal. Untuk menentukan nilai dengan model spline optimal maka kriteria yang dapat digunakan adalah nilai Generalized Cross-Validation (GCV) yang diberikan pada persamaan berikut:
( (
( (
4 dengan
Mean Square Error ( (( ( ( ( ( (
X = matriks variabel bebas yang digunakan di dalam model k = titik knot yang terpilih
n = banyaknya data p = jumlah orde (Budiantara, 2006).
2.6 Ketepatan Kinerja Model dalam Prediksi
Kinerja model yang digunakan dalam prediksi dapat dilihat berdasarkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Metode MAPE melakukan perhitungan perbedaan antara data asli dan data hasil prediksi. Perbedaan tersebut diabsolutkan, kemudian dihitung ke dalam bentuk persentase terhadap data asli. Menurut Chen, et al., (2007), jika nilai MAPE dibawah 10% maka peramalan mempunyai tingkat ketepatan yang tinggi sehingga mempunyai peramalan yang sangat bagus, jika nilai MAPE berada di antara 10% dan 20% maka peramalan yang dilakukan mempunyai peramalan yang bagus, jika nilai MAPE sebesar 20%-50% maka peramalan yang dilakukan masih dalam kewajaran sedangkan jika nilai MAPE lebih dari 50% maka peramalan yang dilakukan tidak tepat sehingga mempunyai peramalan yang sangat buruk. MAPE dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑ | ̂ | (2.13)
dengan
n = banyaknya data
̂= data hasil prediksi periode ke-i
= data aktual periode ke-i 2.7 Kurs
Menurut Krugman dan Maurice (1994), kurs (exchange rate) adalah harga sebuah mata uang dari satu negara yang diukur atau dinyatakan dalam mata uang lainnya. Kurs mempunyai peran sentral dalam hubungan perdagangan internasional karena kurs memungkinkan untuk membandingkan harga- harga semua barang dan jasa yang dihasilkan oleh berbagai negara. Berdasarkan pengaruh waktu nilai uang akan berubah di waktu yang akan datang kalau jumlahnya sama, hal ini disebabkan karena perkembangan perekonomian di mana masyarakat semakin tahu arti perkembangan perekonomian dan bagaimana dampaknya terhadap harga-harga secara umum.
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan dalam studi kasus ini berupa data historis sekunder yang diambil dari website resmi Bank Indonesia (www.bi.go.id). Data tersebut merupakan data kurs bulanan yang berupa time series untuk nilai tukar mata uang rupiah terhadap mata uang euro terhitung sejak bulan Januari 2014 sampai bulan Desember 2016, diakses tanggal 22 Juni 2017.
3.2 Identifikasi Variabel
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah waktu (bulan) sebagai variabel bebas (X) dan kurs bulanan rupiah terhadap euro sebagai variabel tak bebas (Y).
3.3 Metode analisis
Langkah-langkah analisis dalam memprediksi nilai kurs rupiah menggunakan regresi spline tersegmen dengan pembobot (pembobot yang digunakan, yaitu ) adalah:
1. Memplotkan data awal terhadap waktu.
2. Pemilihan titik knot yang dimulai dari titik knot 1 pada orde spline linear dan kuadratik.
5 3. Menentukan titik knot optimal dengan cara memilih nilai GCV(k) yang minimum di setiap
titik knot nilai pada orde spline linear dan kuadratik.
4. Memilih estimasi model spline pada titik knot optimal yang dilihat dari nilai GCV(k) yang minimum.
5. Membuat estimasi fungsi tersegmen berdasarkan hasil estimasi model spline optimal.
6. Melakukan prediksi dan menguji ketepatan hasil prediksi dari estimasi model spline optimal dengan data actual.
IV. PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Parameter spline dengan Metode Weighted Least Squares
Diberikan model regresi berdasarkan Persamaan (2.1) yang disimbolkan dalam bentuk matriks, yaitu:
(4.1)
Untuk memperoleh bentuk pendugaan pada Persamaan (4.1), Menurut Montgomery dan Peck (1992), Metode Kuadrat Terkecil (MKT) digunakan untuk mengestimasi koefisien dapat dilakukan dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat sisaan:
( ( (4.2)
Persamaan (4.2) dapat diuraikan dalam bentuk vektor dan matriks yaitu:
( ( ( ( ) ( ( ) (
(4.3)
Misalkan M= , maka pers (4.3) diturunkan terhadap parameter yaitu:
|
̂
( )
(
(4.4)
dan kemudian, menyamakannya dengan nol dari hasil turunan yang diperoleh, sehingga:
̂ ( , (4.5)
dengan ̂ ( ̂ ̂ ̂
Akibatnya estimasi kurva spline dengan WLS diperoleh:
̂ ̂
̂ ( (4.6)
Dimisalkan ( ( , dimana ( merupakan matrik topi (hat matrix) yang tergantung oleh titik knot, sehingga diperoleh:
̂ ( (4.7)
4.2 Menentukan Pola Perubahan dan Prediksi Kurs Rupiah Berdasarkan Fungsi Regresi Tersegmen dengan Spline Polinomial Terbobot
Data yang digunakan adalah data kurs bulanan untuk nilai tukar mata uang rupiah terhadap mata uang euro yang disusun terurut dari bulan Januari 2014 sampai dengan bulan Desember 2016.
Berikut adalah nilai statistik deskriptif data kurs yang digunakan untuk menyusun model:
Tabel 4.1. Statistik deskriptif data kurs periode bulan Januari 2014 – Desember 2016
6 Variable N Mean StDev Minimum Median Maximum
Nilai Kurs Rupiah(Rp) 36 15122 651.4309 13972.12 15036 16598.16 Tabel 4.2. Nilai GCV minimum pada 1 sampai 15 titik knot untuk spline linear dan kuadaratik.
No. Orde Spline
Jumlah Titik
Knot Titik Knot GCV
(1) (2) (3) (4) (5)
1 Linear
1 12 299.2893
2 16,21 129.9004
3 16,21,23 112.3776
4 12,16,21,23 92.3054
5 12,16,21,23,29 80.5743
6 3,12,16,21,23,29 80.1251
7 3,6,12,16,21,23,29 68.8348
8 3,6,9,12,16,21,23,29 70.7471
2 Kuadratik
1 21 254.5899
2 12,16 198.8464
3 6,12,16 191.1364
4 6,12,16,21 182.8621
5 12,16,21,23,27 184.3114
6 3,12,16,21,23,27 168.8564
7 6,12,16,21,23,27,29 175.8409
8 3,6,12,16,21,23,27,29 176.3179
Table 4.2 menunjukkan bahwa titik knot optimum pada orde spline linear dan kuadratik berada di 7 titik knot orde spline linear, yaitu titik 3, 6, 12, 16, 21, 23, dan 29 dengan GCV terkecil 68.8348. Hasil ini menunjukkan bahwa pada data, model spline optimum yang digunakan dalam mengestimasi adalah dengan 7 titik knot pada orde spline linear.
Adapun taksiran model spline linear dengan 7 titik knot (k1=3,k2=6, k3=12, k4=16, k5=21,
k6=23, k7=29), yaitu:
̂ ( ( ( ( ( ( (
Maka akan diperoleh bentuk lain dari model analisis regresi linear tersegmen, yaitu:
7 ̂(
{
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( (
( ( ( ( ( (
( ( ( ( (
Berdasarkan model regresi tersegmen, maka diperoleh hasil prediksi dalam interval sampel dan di luar sampel nilai kurs rupiah yang dapat dilihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3. Nilai prediksi kurs rupiah didalam interval sampel No. Nilai Kurs
Prediksi No. Nilai Kurs
Prediksi No. Nilai Kurs
Prediksi No. Nilai Kurs Prediksi 1. 16640.99 10. 15372.67 19. 15158.33 28. 14993.67 2. 16210.65 11. 15217.93 20. 15551.11 29. 15014.97 3. 15780.31 12. 15063.19 21. 15943.89 30. 14899.36 4. 15850.75 13. 14792.39 22. 15415.53 31. 14783.75 5. 15921.19 14. 14521.59 23. 14887.17 32. 14668.14 6. 15991.63 15. 14250.79 24. 14908.47 33. 14552.53 7. 15836.89 16. 13979.99 25. 14929.77 34. 14436.92 8. 15682.15 17. 14372.77 26. 14951.07 35. 14321.31 9. 15527.41 18 14765.55 27. 14972.37 36. 14205.7
Setelah memperoleh nilai prediksi dari data kurs rupiah terhadap mata uang euro dan dapat digambarkan pada kurva estimasi seperti Gambar 4.1. Estimasi yang dihasilkan benar-benar mendekati setiap titik data kurs sebenarnya.
8 Gambar 4.1. Kurva estimasi Nilai Kurs Rupiah (Rp) dan Waktu (bulan)
Pada Gambar 4.1 menunjukkan pola data actual dan data prediksi yang terbentuk tidak menunjukkan adanya perbedaan yang sangat signifikan. Sehingga dapat simpulkan bahwa hasil prediksi ini menunjukkan adanya suatu kesamaan pola tehadap data kurs yang sebenarnya.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat kesimpulan sebagai berikut:
1. Estimator fungsi regresi tersegmen dengan spline polinomial terbobot berdasarkan model terbaik yang diperoleh dari hasil pemilihan kombinasi titik knot yang paling optimal dengan metode weighted least square pada data kurs bulanan untuk nilai tukar mata uang rupiah terhadap euro dari bulan Januari 2014 sampai bulan Desember 2016, yaitu:
̂(
{
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
2. Prediksi kurs rupiah terhadap euro berdasarkan fungsi regresi tersegmen dengan spline polinomial terbobot menggunakan metode weighted least square didalam interval sampel dapat dilakukan dengan 8 segmen, yaitu pada periode 1 diperoleh Rp16640.99, periode ke 3 diperoleh Rp15780.31, periode ke 6 diperoleh Rp15991.63, periode ke 12 diperoleh Rp15063.19, periode ke 16 diperoleh Rp13979.99, periode ke 21 diperoleh Rp13979.99, periode ke 23 diperoleh Rp14887.17, dan pada periode ke 29 diperoleh Rp15014.97.
DAFTAR PUSTAKA
Budiantara, I.N. 1999. Estimator Spline Terbobot dalam Regresi Semiparametrik. Majalah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi. Vol 10. hal 103-109
Budiantara, I.N. 2006. Model Spline dengan Knots Optimal. Jurnal. Jurusan Statistika FMIPA.
Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya
Wang, J. and Yang, L. 2009. Polynomial Spline Confidence Bands for Regression Curves. Statistica Sinica. 19: 325-342.
Chen, R.J., Bloomfield, P., and Cubbage, F.W. 2007. Comparing Forecasting Models In Tourism.
Journal of Hospital and Tourism Research. Vol 20. No 10. hal 1 -19
Saputri, K.H, Suparti, dan Hoyyi, A. 2015. Pemodelan Kurs Rupiah Terhadap Dollar Amerika Serikat Menggunakan Regresi Penalized Spline Berbasis Radial. Jurnal Gaussian. Vol 4. No 3. Hal 533-541. Universitas Diponegoro
9 Katijaya, S.S., Suparti, dan Sudarno. 2013. Pemodelan Kurs Rupiah Terhadap Mata Uang Euro dengan Pendekatan Regresi Spline. Prosiding Seminar Nasional Statistika. Universitas Diponegoro
Gujarati, D. 2006. Dasar-Dasar Ekonometrika. Jakarta: Erlangga
Krugman, R. P. dan Maurice, O. 1994. Ekonomi Internasional,Teori dan Kebijakan. Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada
Kurnia, A.M. dan Didit. 2009. Fluktuasi Kurs Rupiah Terhadap Dollar Amerika Serikat pada Periode Tahun 1997.I – 2004.IV. Jurnal Ekonomi Pembangunan. Vol 10. No 2. hal 234-249
Ruppert, D., Wand, M.P., and Carroll, R.J. 2003. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics: Semiparametric Regression. New York: Cambridge University Press
Helmy. H. 2011. Aplikasi Peramalan Kurs Valuta Asing Rupiah per Dollar Amerika Serikat dengan menggunakan Metode Box-Jenkins (ARIMA). Vol 10. No.11
Wei, W. S. 2006. Time Analysis Univariate and Multivariate Methods. New York: Addison Wesley Publishing Company, Inc.
Sukarna, dan Aswi. 2006. Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi. Makassar: Andira Publisher Anwary. 2011. Prediksi Kurs Rupiah Terhadap Dollar Amerika Menggunakan Metode Fuzzy Time
Series. Semarang: Universitas Diponegoro
Huang, A.H. 2017. Pengertian Autokorelasi Positif dan Negative dengan SPSS.
http://www.en.globalstatistik.com/pengertian-autokorelasi-positif-dan-negatif-dengan-spss/.
Diakses 22 September 2017
Sukirno, S. 1994. Teori Makro Ekonomi. Jakarta: Raja Grafindo Persada
Ryan, S.E., dan Porth, L.S. 2007. A tutorial on The Piecewise Regression Approach Apllied to Bedload Transport Data. Amerika: Rocky Mountain Research Station. Amerika.
Montgomery, D.C. and Peck, E.A. (1992). Introduction to Linear Regression Analysis. Toronto: John Wiley & Sons
