BAB I.Teos 2012 REVV

(1)

BAB I

DISTRIBUSI MULTIVARIAT

1.2 Distribusi Dua Peubah Acak

Kita mulai membicarakan dua peubah acak dengan contoh berikut.sebuah koin dilantunkan tiga kali dan perhatian kita berada dalam pasangan bilangan terurut (banyak M pada dua lantunan pertama , banyak M pada tiga lantunan), di mana M dan B berturut-turut menyatakan muka dan belakang. Jadi ruang sampel adalah S=

{

c∨c=c_i, i=1,2,… ,8

}

, dengan

c₁=BBB , c₂=BBM , c₃=BMB , c₄=MBB , c₅=BMM , c₆=MBM , c₇=MMB , c₈=MMM Misalkan X1 danX2 adalah dua fungsi sehingga X1

(

c1

)

=X1

(

c2

)

=0, X1

(

c3

)

=X1

(

c4

)

=

X₁

(

c₅

)

=X₁

(

c₆

)

=1,X₁

(

c₇

)

=X₁

(

c₈

)

=2,dan X₂

(

c₁

)

=0; X₂

(

c₂

)

=X₂

(

c₃

)

=X₂

(

c₄

)

=1

X₂

(

c₅

)

=X₂

(

c₆

)

=X₂

(

c₇

)

=2,dan X₂

(

c₈

)

=3 .Jadi X₁ danX₂ merupakan fungsi bernilai real pada ruang sampel , A yang mengambil dari ruang sampel ke ruang pasangan bilangan terurut A=

{

(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)

}

Berarti X₁ danX₂ adalah dua peubah acak yang ditentukan pada ruang sampel A , dan dalam contoh ini , ruang dari peubah acak ini adalah himpunan dimensi dua A yang diberikan barusan.

Definisi 1

Diberikan percobaan acak dengan ruang sampel S . Perhatikan dua peubah acak X₁ danX₂ yang menyatakan terhadap setiap unsur c dari S satu dan hanya satu pasangan terurut dari bilangan X₁(c)=x₁, X₂(c)=x₂ . Ruang dari

X₁ danX₂adalahhimpunan pasangan terurut A=

{

(

x₁, x₂

)

∨x₁=X₁(c), x₂=X₂(c), c∈S

}

Misalkan A merupakan ruang yang dihubungkan dengan dua peubah acak X₁ danX₂

dan ambil A sebuah himpunan bagian dari . Seperti dalam kasus satu peubah acak , kita dapat membicarakan kejadian A, yang kita nyatakan dengan P

[

(

X₁, X₂

)

∈A

]

.Ambil

C=

{

c∨c∈S dan

[

X₁(c), X₂(c)

]

∈A

}

dengan S adalah ruang sampel

Kemudian kita menentukan P

{

(

X₁, X₂

)

∈A

}

=P(C) _{di mana P adalah fungsi peluang}

himpunan untuk himpunan bagian C dari S Di sini pula kita dapat menyatakan P

[

(

X₁, X₂

)

∈A

]

dengan fungsi peluang himpunan P_X₁_{, X}₂(A) _{, atau}

P(A)=P

[

(

X₁, X₂

)

∈A

]

Perhatikan A himpunan bagian , di mana A=

{

(1,1),(1,2)

}

. Untuk menghitung

(2)

peubah acak X₁ danX₂ mengambil nilai

(

x₁, x₂

)

yang merupakan unsur A. Sekarang X1

(

c3

)

=1,

X₂

(

c₃

)

=1.X₂

(

c₄

)

=1,dan X₂

(

c₄

)

=_{1 Juga} X₁

(

c₅

)

=1,X₂

(

c₅

)

=1,X₁

(

c₆

)

=1dan

X₂

(

c₆

)

=2 . Berarti P

[

(

X₁, X₂

)

∈A

]

=P(C) _{, di mana} C=

{

c₃, c₄, c₅,atauc₆

}

.

Andaikan bahwa fungsi peluang himpunan P(C) menetapkan peluang setiap unsur dari S sama dengan 1/8.Penetapan ini tampaknya masuk akal jika P(M)=P(B)=1

2 dan lantunan independen. Sebagai gambaran P

[

{

c1

}

]

=P{MMM}=

(

1 2

)(

1 2

)(

1 2

)

=

1

8 . Kemudian P(A) , yang dapat dituliskan sebagai P

(

X₁=1,X₂=1 atau2

)

sama dengan 4/8=1/2. Kita dapat mentabulasikan peluang yang ditentukan untuk setiap unsur dari A , dengan hasil sebagai berikut.

(

x₁, x₂

)

(0,0) (0,1)(1,1) (1,2)(2,2) (2,3)

P

[

(

X₁, X₂

)

=

(

x₁, x₂

)

]

1/8 1/8 3/8 2/8 2/8 1/8 Tabel ini menggambarkan distribusi peluang atas unsur A dalam ruang peubah acak

X1 danX2 . Juga dalam statistik , kita lebih tertarik dalam ruang A dari dua peubah acak sebut X dan Y , dari pada S. Selanjutnya notasi dari fungsi densitas peluang (fdp) peubah acak X dapat diperluas terhadap gagasan fdp duaatau lebih peubah acak. Di bawah

pembatasan tertentu pada peluang A dan fungsi f > 0 pada A , kita mengatakan bahwa dua peubah acak X dan Y jenis diskrit atau jenis kontinu dan mempunyai distribusi dari jenis itu, berpadanan dengan fungsi peluang himpunan P(A), A⊂A dapat dinyatakan sebagai

P(A)=P

[

(X ,Y)∈A

]

=

∑ ∑

f(x , y)

A

atau P(A)=P

[

(X ,Y)∈A

]

=

∫

A

❑

∫

f(x , y)dxdy

Dalam satu satu kasus f disebut fdp dua peuba acak X dan Y . Untuk keperluan P(A)=1 dalam setiap kasus. Kita dapat memperluas definisi fdp f(x , y) ini atas keseluruhan bidang xy dengan nol untuk lainnya.Kita akan melakukan ini secara konsisten terhadap ruang A kebosanan , pengulangan referensi terhadap ruang A dapat dihilangkan. Sekali ini dilakukan, kita menggantikan

∫

A

❑

∫

f(x , y)dxdydan

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

f(x , y)dxdy

Hal yang sama , setelah perluasan penentuan fdp jenis diskrit , kita menggantikan

∑

A

∑

f(x , y)dan

∑

x

∑

y

f(x , y)

(3)

Akhirnya jika fdp dalam satu atau lebih peubah secara eksplisit ditetapkan, kita dapat melihat melalui pemeriksaan apakah peubah acak dari jenis kontinu atau diskrit.Sebagai gambaran: Kelihatannya jelas bahwa fdp

f(x , y)=

{

9

4x+y ;x=1,2,3,… ; y=1,2,3,… 0;untuk lainnya

adalah fdp peubah acak jenis diskrit X dan Y, dan fdp f(x , y)=

{

4xy e−x

2

−y2

;0<x<∞ ;0<y<∞ 0;untuk lainnya adalah fdp dua peubah acak jenis kontinu X dan Y

Contoh 1

Misalkan f(x , y)=

{

6x y2;0<x<1;0<y<1

0;untuk lainnya

adalah fdp dua peubah acak X dan Y yang merupakan jenis kontinu. P

(

0<X<3

4, 1

3<Y<2

)

=

∫

₁_/₃ 2

∫

0 3/4

f(x , y)dxdy

=

∫

1/3 1

∫

0 3/4

f(x , y)dxdy+

∫

1 2

∫

0 3/4

0dxdy = 3/8 + 0 = 3/8

Perhatikan bahwa peluang ini adalah volume di bawah permukaan f (x , y)=6x y2 dan di atas himpunan segi empat

{

(x , y)∨0<X<3

4, 1

3<Y<1

}

dalam bidang xy fungsi peluang himpunan P(A) , di mana A himpunan dua dimensi . Jika A himpunan tidak terbatas

{

(u , v)∨u ≤ x , v ≤ y

}

di mana x dan y bilangan real ,kita punyai P(A)=P

[

(X ,Y)∈A

]

=P

[

X ≤ x ,Y ≤ y

]

Fungsi dari titik (x , y) disebut fungsi distribusi dari X dan Y yang dinyatakan oleh F(x , y)=P

[

X ≤ x , Y ≤ y

]

Jika X dan Y peubah acak jenis kontinu yang mempunyai fdp (x , y) , maka F(x , y)=

∫

−∞ x

∫

−∞ y

f(u , v)dudv

Sesuai titik kontinuitas dari (x , y) , kita mempunyai

∂2_F₍_{x , y}₎

∂ x ∂ y =f(x , y)

Dalam setiap kasus , dapa ditunjukkan bahwa

P(a<X ≤ b , c<Y ≤ d)=F(b , d)−F(b , c)−F(a , d)+F(a , c)

untuk semua konstanta real a<b , c<d

Berikut perhatikan satu percobaan dalam hal seseorang memilih secara acak satu titik

(4)

disetujui, kita akan melihat bagaimana mencari fdp dari Z. Lebih khusus ambil sifat dasar percobaan acak sehingga percobaan itu masuk akal untuk mengandaikan bahwa distribusi atas bujur sangkar satuan adalah seragam. Maka fdp dari X dan Y dapat ditulis

f(x , y)=

{

1;0<x<1,0<y<1

0;untuk lainnya

dan ini menggambarkan model peluang. Sekarang ambil fungsi distribusi Z dinyatakan dengan (z)=P(X+Y ≤ z) .

Maka G(z)=

{

0; z<0

∫

0

z

∫

0

z−x

dydx=z

2

2 ;0≤ z<1 1−

∫

z−1 1

∫

z−x

1

dydx=1−(2−z)

2

2 ;1≤ z<2 1;2≤ z

Karena G(z) ada untuk semua nilai z, fdp dari z dapat ditulis sebagai g(z)=

{

₂₋z ;_{z ;}0<₁z_{≤ z}<1_<₂

0;untuk lainnya

Ambil f

(

x₁, x₂

)

merupakan fdp dari dua peubah acak X₁danX₂ . Dari sifat ini untuk penekanan dan kejelasan kita akan sebut fungsi distribusi satu fdp bersama atau fungsi diatribusi apabila lebih dari satu peubah acak dikandung.

Perhatikan kejadian a<X₁<b , a<b . Kejadian ini dapat muncul bila dan hanya bila

a<X₁<b ,−∞<X₂<∞ muncul, yaitu dua kejadian adalah ekuivalen, sehingga mereka mempunyai peluang yang sama.

Tetapi peluang kejadian terakhir telah ditetapkan dan diberikan oleh P

[

a<X₁<b ,−∞<X₂<∞

]

=

∫

a b

∫

−∞ ∞

f

(

x₁, x₂

)

d x₂d x₁ untuk kasus kontinu, dan oleh

P

[

a<X₁<b ,−∞<X₂<∞

]

=

∑

a<x1<b

∑

x2

f

(

x₁, x₂

)

un tuk kasus diskrit. Sekarang setiap dari

∫

−∞ ∞

f

(

x₁, x₂

)

d x₂dan

∑

x2

f

(

x₁, x₂

)

adalah fungsi dari x₁ sebut f₁

(

x₁

)

dicari melelui penjumlahan (intergrasi) fdp bersama f

(

x₁, x₂

)

atas semua x₂ untuk x₁ tertentu., kita dapat berpikir rekaman dari jumlah ini dalam “margin” dari bidang x₁x₂ . Sesuaindengan itu f₁

(

x₁

)

disebut fdp marginal dari X₁

Dalam cara yang sama f₂

(

x₂

)

=

∫

−∞ ∞

(5)

=

∑

x2

f

(

x₁, x₂

)

_{(kasus diskrit)}

disebut fdp marginal dari X₂

Contoh 2

Perhatikan satu percobaan acak yang terdiri atas penarikan secara acak satu keeping dari satu mangkuk yang mengandung 10 keping dengan ukuran dan bentuk yang sama .Masing-masing kepng mempunyai pasangan terurut dua bilangan pada keeping: satu dengan (1,1), satu dengan (2,1) , dua dengan (3,1), satu dengan (1,2), dua dengan (2,2), dan tiga dengan (3,2). Ambil peubah acak X₁danX₂ ditetapkan berturut-turut sebagai nilai pertama dan kedua dari pasangan terurut. Jadi fdp bersama f

(

x₁, x₂

)

dari X₁danX₂ dapat diberikan melalui tabel berikut dengan f

(

x₁, x₂

)

=0 untuk lainnya.

x₂

x₁ 1 2 f₁

(

x₁

)

1 1/10 1/10 2/10 2 1/10 2/10 3/10 3 2/10 3/10 5/10 f₂

(

x₂

)

4/10 6/10

Peluang bersama telah dijumlahkan dalam setiap baris dan kolom dan jumlah ini dicatat di pinggir untuk memberikan berturut-turut fungsi densitas peluang marginal dari X₁danX₂ . Perhatikan bahwa tidak perlu mempunyai rumus dari f

(

x₁, x₂

)

untuk melakukan ini. Contoh 3

Misalkan X₁danX₂ mempunyai fungsi densitas peluang f

(

x₁, x₂

)

=x₁+x₂;0<x₁<1, 0<x₂<1 = 0 ; untuk lainnya

Fdp marginal dari X₁ adalah f₁

(

x₁

)

=

∫

0 1

(

x₁+x₂

)

d x₂=x₁+1

2;0<x1<1 dan fdp marginal dari X₁ adalah

f₂

(

x₂

)

=

∫

0 1

(

x₁+x₂

)

d x₁=x₂+1

2;0<x2<1 Satu peluang seperti P

(

X₁≤1

(6)

∫

0 1/2

∫

0 1

f

(

x₁, x₂

)

d x₂d x₁=

∫

0 1/2

f₁

(

x₁

)

d x₁=3

8

Bagaimanapun untuk mencari P

(

X₁+X₂≤1

)

kita harus menggunakan fdp f

(

x₁, x₂

)

sebagai berikut.

∫

0 1

∫

0 1−x1

(

x₁+x₂

)

dx₂dx₁=

∫

0 1

[

x₁

(

1−x₁

)

+

(

1−x1

)

2 2

]

d x1 =

∫

0 1

(

1 2−

1 2x1

2

)

d x₁=1

3

Peluang terakhir ini adalah volume di bawah permukaan f

(

x₁, x₂

)

=x₁+x₂ di atas himpunan

{

(

x₁, x₂

)

∨0<x₁,0<x₂, x₁+x₂≤1

}

Soal-soal latihan 1.1

1. Misalkan f

(

x₁, x₂

)

=4x₁x₂,0<x₁<1,0<x₂<1 ,nol untuk lainnya,adalah fdp dari

X₁danX₂ . Carilah P

(

0<X₁<1

2, 1

4<X2<1

)

, P

(

X1=X2

)

. P

(

X1<X2

)

, dan P

(

X₁≤ X₂

)

.

2. Misalkan

A₁=

{

(x , y)∨x ≤2,y ≤4

}

, A₂=

{

(x , y)∨x ≤2,y ≤1

}

, A₃=

{

(x , y)∨x ≤0,y ≤4

}

,danA₄=

{

(x , y)∨x ≤0,y ≤1

}

adalah himpunan bagian ruang A dari dua peubah acak X dan Y , yang merupakan

keseluruhan bidang dimensi dua. Jika P

(

A₁

)

=7

8P

(

A2

)

= 4

8, P

(

A3

)

= 3

8,dan P= 2

8, carilah P

(

A5

)

dengan A₅=

{

(x , y)∨0<x ≤2,1≤4

}

3. Misalkan F(x , y) merupakan fungsi distribusi dari X dan Y .Tunjukkan bahwa P(a<X ≤ d ,c<Y ≤ d)=F(b , d)−F(b , c)−F(a , d)+F(a , c) , untuk semua konstanta real a < b, c < d

4. Diberikan fungsi tidak negatif g(x) mempunyai sifat bahwa

∫

−∞ ∞

g(x)dx=1 ’ Tunjukkan bahwa f

(

x₁, x₂

)

=

[

2g

(

√

x₁2+x₂2

)

]

/π

√

x₁2+x₂2 , 0<x₁<∞ ,0<x₂<∞ nol untuk lainna . memenuhi syarat menjadi fungsi densitas dai dua peubah acak kontinu

X₁danX₂ . Petunjuk: Gunakan koordinat polar 5. Misalkan f(x , y)=e−x−y_,0

<x<∞,0<y<∞ , nol untuk lainnya, merupakan fungsi densitas dari X dan Y. Jika Z = X + Y , maka hitunglah

a. P(Z ≤0)

b. P (Z ≤6)

c. P (Z ≤ z)untuk0<z<∞

d. Apakah ada fungsi densitas dari Z?

(7)

7. Misalkan 13 kartu diambil seara acak dari satu pak kartu. Jika X adalah banyak spades dalam 13 kartu ini , carilah fdp dari X.Selanjutnya jika Y adalah banyaknya hearts dalam 13 kartu ini, carilah P(X=2,Y=5). Apakah ada fdp bersama dari X dan Y ?

8. Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama seperti dalam table berikut.

(x , y) (0,0) (0,1)(0,2)(1,0) (1,1)(1,2)

f(x , y) 2/12 3/12 2/12 2/12 2/12 1/12 dan f(x , y)=0 untuk lainnya.

a. Tulislah peluang-peluang ini dalam susunan tabel baris - kolom ,catatkan fungsi peluang marginal.

b. Berapakah P(X+y=1) ?

9. Misalkan X dan Y mempunyai densitas bersama f(x , y)=15x2 _y_.0

<x<y<1 dan samadengan nol untuk lainnya.

a. Carilah fungsi densitas marginal masing-masing b. Hitunglah P(X+Y ≤1)

1.2 Distribusi Bersyarat dan Ekspektasi

Kita akan membicarakan maksud dari fdp bersyarat . Ambil X₁danX₂ menyatakan peubah acak jenis diskrit yang mempunyai fdp f

(

x₁, x₂

)

yang positif pada A dan nol untuk lainnya. Ambil berturut-turut f₁

(

x₁

)

danf₂

(

x₂

)

menyatakan fungsi densitas peluang marginal dari X₁danX₂ .

Ambil A₁ merupakan himpunan A₁=

{

(

x₁, x₂

)

∨x₁=x₁'_,

−∞<x₂<∞

}

x1' ada sehingga

P

(

A1

)

=P(X1=x1')=f1

(

x1'

)

>0 ,dan ambil A2 merupakan himpunan A2=

{

(

x1, x2

)

∨x2=x2

'

,−∞<x1<∞

}

.

Maka melalui definisi peluang bersyarat kejadian A₁ diberikan kejadian A₂ adalah P

(

A2∨A1

)

=

P

(

A₁∩ A₂

)

P

(

A₁

)

=

P

(

x1=x1' , x2=x2'

)

P

(

x₁=x₁'

)

=

f

(

x1', x2'

)

f₁

(

x_''

)

Yaitu ,jika

(

x₁, x₂

)

adalah suatu titik sehingga f1

(

x1'

)

>0 , peluang bersyarat bahwa X₂=x₂

diberikan bahwa X₁=x₁ adalah f

(

x₁, x₂

)

/f₁

(

x₁

)

tidak negatif dan

∑

x2

f

(

x₁, x₂

)

f₁

(

x₁

)

=

1 f₁

(

x₁

)

∑

x2

f

(

x₁, x₂

)

=f1

(

x1

)

f₁

(

x₁

)

=1

Sekarang kita menetapkan simbol f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

melalui hubungan f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

=f

(

x1, x2

)

f₁

(

x₁

)

; f1

(

x1

)

>0

(8)

Dengan cara yang sama kita menetapkan simbol f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

melalui hubungan f1∨2

(

x1∨x2

)

=

f

(

x₁, x₂

)

f₂

(

x₂

)

; f2

(

x2

)

>0

dan kita sebut f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

fdp bersyarat dari jenis diskrit dari peubah acak X₁

diberikan bahwa bahwa jenis peubah acak diskrit X₂=x₂ .

Sekarang ambil X1danX2 menyatakan peubah acak jenis kontinu yang mempunyai fdp

f

(

x₁, x₂

)

dan fungsi densitas marginal berturut-turut f₁

(

x₁

)

danf₂

(

x₂

)

. Kita akan mengguna kan hasil dari pasal terdahulu untuk memotivasi penentuan fdp bersyarat dari jenis peubah acak kontinu. Apabila f₁

(

x₁

)

>0 , kita menentukan simbol f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

melalui hubungan

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

=f

(

x1, x2

)

f₁

(

x₁

)

Dalam hubungan ini x₁ terlebih dahulu mempunyai nilai tertentusehingga f₁

(

x₁

)

>0 .Hal itu jelas bahwa f2∨1

(

x2∨x1

)

tidak negatif dan bahwa

∫

−∞ ∞

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

d x₂=

∫

−∞

∞ _f

(

_x

1, x2

)

f₁

(

x₁

)

dx2=

1 f₁

(

x₁

)

−∞

∫

∞

f

(

x₁, x₂

)

d x₂=f1

(

x1

)

f₁

(

x₁

)

=1

Yaitu f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

mempunyai sifat fdp jenis kontinu dari peubah acak X₂ , diberikan bahwa jenis peubah acak X₁ mempunyai nilai x₁ .Bila f₂

(

x₂

)

>0 , fdp bersyaratdari jenis peubah acak kontinu X₁, diberikan peubah acak kontinu X₂ mempunyai nilai

x₂ ditetapkan oleh

f1∨2

(

x1∨x2

)

=

f

(

x₁, x₂

)

f₂

(

x₂

)

; f2

(

x2

)

>0

Karena masing-masing f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

dan f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

adalah fdp peubah acak (apakah jenis diskrit atau kontinu ), masing-masing mempunyai semua sifat sebagaiman fdp. Berarti kita dapat mnghitung peluang dan ekspektasi matematis .Jika peubah acak jenis kontinu peluang

P

(

a<X₂<b∨X₁=x₁

)

=

∫

a b

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

d x₂

disebut “peluang bersyarat bahwa a<X₂<b diberikan X₁=x₁ . Ini juga dapat ditulis dalam bentuk P

(

a<X₂<b∨x₁

)

.

Hal yang sama peluang bersyarat bahwa c<X₁<d diberikan X₂=x₂ adalah P

(

c<X₁<d∨X₂=x₂

)

=

∫

c d

f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

d x₁ Jika u

(

X₂

)

adalah fungsi dari X₂ , ekspektasi

E

[

u

(

X2

)

∨x1

]

=

∫

−∞ ∞

(9)

Khusunya , jika mereka ada, maka E

(

X₂∨x₁

)

disebut rataan dan

E

{

[

X2−E

(

X2∨x1

)

]

2∨x1

}

adalah variansi distribusi bersyarat dari X₂ diberikan

X₁=x₁ yang ditulis lebih sedehana var

(

X₂∨x₁

)

.Hal itu sesuai untuk mengarahkan ini sebagai “rataan bersyarat” dan “variansi bersyarat” dari X2 diberikan X1=x1 . Tentu kita mempunyai

var

(

X₂∨x₁

)

=E

(

X₂2∨x₁

)

−

[

E

(

X₂∨x₁

)

]

2

dari hasil terdahulu. Dengan vara yang sama ekspektasi bersyarat dari` u

(

X₁

)

diberikan

X₂=x₂ diberikan oleh

E

[

u

(

X1

)

∨x2

]

=

∫

−∞ ∞

u

(

x1

)

f1∨2

(

x1∨x2

)

d x1

Untuk peubah acak jenis diskrit peluang bersyarat menggunakan jumlahan pengganti integral. Contoh 1

Misalkan X₁danX₂ mempunyai fdp

f

(

x₁, x₂

)

=2;0<x₁<x₁<1

maka berturut-turut fungsi densitas peluang marginal adalah f₁

(

x₁

)

=

∫

0 1

2d x₂=2

(

1−x₁

)

;0<x₁<1

dan f₂

(

x₂

)

=

∫

0

x2

2d x₂=2x₂;0<x₂<1

Fdp bersyarat dari X₁ diberikan X₂=x₂,0<x₂<1 adalah f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

= 2

2x₂= 1

x₂;0<x1<x2<1

Disini rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari X₁ diberikan X₂=x₂ adalah E

(

X₁∨x₂

)

=

∫

−∞ ∞

x₁f₁_∨₂

(

x₁∨x₂

)

d x₁

=

∫

0

x2

x₁

(

1

x₂

)

d x1= x₂

2 ;0<x2<1 dan var

(

X1∨x2

)

=

∫

0

x2

(

x1− x₂

2

)

2

(

1

x₂

)

d x1= x₂2

2 ; 0<x2<1 Akhirnya , kita akan membandingkan nilai dari

P

(

0<X₁<1

2∨X2= 3

4

)

dan P

(

0<X1< 1 2

)

Kita mempunyai

P

(

0<X₁<1

2∨X2= 3 4

)

=

∫

₀

1/2

f₁_∨₃_/₄

(

x₁∨3

4

)

d x1 =

∫

0 1/2

4 3d x1=

2 3 Tetapi

P

(

0<X₁<1

2

)

=

∫

₀ 1/2

f₁

(

x₁

)

d x₁=

∫

0 1/2

2

(

1−x₁

)

d x₁=3

(10)

Karena E

(

X₂∨x₁

)

adalah fungsi dari x₁ , maka E

(

X₂∨x₁

)

ada dengan distribusi ,rataan , variansinya tersendiri.

Contoh 2

Misalkan X₁danX₂ mempunyai fdp bersama

f

(

x₁, x₂

)

=6x₂;0<x₂<x₁<1 Maka fdp marginal dari X₁ adalah

f₁

(

x₁

)

=

∫

0

x1

6x₂d x₁=3x₁2_,₀

<x₁<1

Fdp bersyarat dari dari X₂ diberikan X₁=x₁ adalah

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

=6x2

3x1 2=

2x2

x1

2 ;0<x2<x1<1

Rataan bersyarat dari dari fdp marginal diberikan X₁=x₁ adalah E

(

X₂∨x₁

)

=

∫

0

x1

x₂

(

2x2 x12

)

d x₂=2

3 x1;0<x1<1 Sekarang E

(

X₂∨x₁

)

=2

3x1 adalah peubah acak sebut Y Fungsi distribusi dari Y adalah

G(y)=P(Y ≤ y)=P

(

X₁≤3y

2

)

;0≤ y< 2 3 Dari fdp f₁

(

x₁

)

kita peroleh

G(y)=

∫

0 3y/2

3x₁2d x_x=27y

y

8 ;0≤ y< 2 3

Tentu G(y)=0jika y<0, dan G(y)=1 ,jika y > 2 Fdp,rataan, dan variansi dari Y=2X1

3 adalah g(y)=81

8 y 2

;0≤ y<2

3 = 0 ; untuk lainnya

E(Y)=

∫

0 2/3

y

(

81 8 y

2

)

dy=1

2

dan var (Y)=

∫

0 2/3

y2

(

81

8 y 2

)

dy−1

4= 1 60 Karena fdp marginal dari X₂ adalah

f₂

(

x₂

)

=

∫

x2

1

6x₂d x₁=6x₂

(

1−x₂

)

;0<x₂<1 Maka dapat diperoleh bahwa E

(

X₂

)

=1

(11)

E(Y)=E

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

=E

(

X₂

)

dan var(Y)=var

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

≤var [X₂¿ Secara umum

E

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

=E

(

X₂

)

_dan var

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

≤varX₂

Bukti:

E

(

X₂

)

=

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

x₂f

(

x₁, x₂d x₁d x₂

)

=

∫

−∞ ∞

[

∫

−∞ ∞

x₂ f

(

x1, x2

)

f₁

(

x₁

)

d x2

]

f1

(

x1

)

d x1 =

∫

−∞ ∞

E

(

X₂∨X₁

)

f₁

(

x₁

)

d x₁=E[E

(

X₂∨X₁

)

]

yang merupakan hasil pertama. Berikutnya, dengan μ₂=E

(

X₂

)

var

(

X₂

)

=E

[

(

X₂−μ₂

)

2

]

=E

[

(

X₂−E

(

X₂∨X₁

)

+E

(

X₂∨X₁

)

−μ₂

)

2

]

= E

{

[

X2−E

(

X2∨X1

)

]

2

}

+E

{

[

E

(

X2∨X1

)

−μ2

]

2

}

+ 2E

{

[

X₂−E

(

X₂∨X₁

)

][

E

(

X₂∨X₁

)

−μ₂

]

}

Kita akan tunjukkan suku terakhir pada ruas kanan sama nol,yaitu

2E

{

[

X₂−E

(

X₂∨X₁

)

][

E

(

X₂∨X₁

)

−μ₂

]

}

=2

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

[

X₂−E

(

X₂∨X₁

)

][

E

(

X₂∨X₁

)

−μ₂

]

d x₂d x₁

= 2

∫

−∞ ∞

[

E

(

X2∨X1

)

−μ2

]

{

∫

−∞ ∞

[

X2−E

(

X2∨X1

)

]

f

(

x₁, x₂

)

f₁

(

x₁

)

d x2

}

f1

(

x1

)

d x1 =2

∫

−∞ ∞

[

E

(

X₂∨X₁

)

−μ₂

]

f₁

(

x₁

)

d x₁

{

∫

−∞ ∞

x₂f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

dE

(

X₂∨X₁

)

∫

−∞ ∞

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

d x₂

}

= 2

∫

−∞ ∞

[

E

(

X2∨X1

)

−μ2

]

f1

(

x1

)

d x1

{

E

(

X2∨X1

)

−E

(

X2∨X1

)

}

=0 Sehingga

var

(

X2

)

=E

{

[

X2−E

(

X2∨X1

)

]

2

}

+E

{

[

E

(

X2∨X1

)

−μ2

]

2

}

Suku pertama pada ruas kanan persamaan ini E tidak negatif karena suku pertama ini adalah nilai harapan dari fungsi yang tidak negatif, sebut

[

X₂−E

(

X₂∨X₁

)

]

2 .

Karena E[ E

(

X₂∨X₁

)

=μ₂ suku kedua akan menjadi var

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

. Karenanya kita mempunyaif

var[X₂¿≥ var

[

E

(

X₂∨X₁

)

]

Perhatikan bahwa nilai harapan dari X₂ dapat dicari dalam dua cara X₂ mempunyai fdp

¿

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

x₂f

(

x₁, x₂d x₁d x₂

)

=

∫

−∞ ∞

x₂f₂

(

x₂

)

d x₂

Contoh 3

(12)

f

(

x₁, x₂

)

=8x₁x₂;0<x₁<x₂<1 Maka E

(

X1X2

2

)

=

∫

0 1

∫

−∞ ∞

x1x2 2

f

(

x1, x2

)

d x1d x2=

∫

0 1

∫

−∞ ∞

8x1 2

x2 3

d x1d x2

=

∫

0 1

8 3x2

6 d x2=

8 21 Karena X₂ mempunyai fdp

f2

(

x2

)

=4x2 3

;0<x2<1 Maka E

(

X₂

)

=

∫

0 1

x₂4x₂3_{d x} 2=

4 5

Akibatnya E

[

X1X22+5X2

]

=7E

[

X1X22

]

+5 E

(

X2

)

= 20

3 . Soal-soal Latihan 1.2

1. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama f(x , y)=x+y ;

0<x<1,0<y<1 , sama dengan nol untuk launnya. Carilah rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari Y , diberikan X = x

2. Misalkan f₁_∨₂(x∨y)=c1x

y2 ;0<x<y ,0<y<1,f2(y)=c2y 4

,0<y<1 berturut-turut menyatakan fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y = y dan fungsi densitas marginal dari Y

Tentukan

a. Konstanta c₁danc₂

b. Fungsi densitas bersama dari X dan Y c. P

(

1

4<X< 1 2∨Y=

5 8

)

d. P

(

1

4<X< 1 2

)

3. Misalkan f

(

x1, x2

)

=21x12x23;0<x1<x2<1 , dan nol untuk lainnya, merupakan fungsi densitas bersama dari X1 dan X2

a. Carilah rataan barsyarat dan variansi bersyarat dari X₁ diberikan X₂=x₂

b. Carilah distribusi dari Y=E

[

X₁∨x₂

]

c. Tentukan E

[

Y

]

dan var

[

Y

]

dan bandingkan ini terhadap E

[

X₁

]

dan var

[

X₁

]

4. Jika X dan Y peubah acak diskrit yang mempunyai fungsi peluang f(x , y)=x+2y

18 ;(x , y)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)

a. Tentukan rataan bersyarat dan variansi bersyarat dari Y diberikan X = x untuk x = 1 atau 2.

b. Hitung E

[

3X−2Y

]

5. Lima kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari satu pak

(13)

a. Tentukan fdp bersama dari X₁, X₂,danX₃

b. Carilah fungsi denaitas peluang marginal dari X₁, X₂,danX₂

c. Apakah ada fdp bersyarat bersama dari X₂dan X₃,diberikan X₁=3 ? 6. Ambil X dan Y mempunyai fungsi peluang f(x , y) yang dberikan sebagai

berikut

(x , y) (0,0) (0,1)(1,0)(1,1) (2,0)(2,1)

f(x , y) 1/18 3/18 4/18 3/18 6/18 1/18 a. Carilah f₁(x)dan f₂(y)

b. Carilah E

[

X∨y

]

dan E

[

Y∨x

]

Petunjuk: tuliskan peluang dalam susunan segi empat.

7. Mari kita memilih secara acak satu titik dari interval (0,1) dan ambil peubah acak X sama dengan angka yang berpadanan terhadap titik itu.Kemudian pilih satu titik secara acak dari interval (0,x], di mana x adalah nilai percobaan dari X dan peubah acak Y sama dengan angka yang berpadanan dengan titik ini.

a. Buatlah pengandaian tentang fungsi densitas f₁(x) dan fungsi densitas

f(y∨x)

b. Hitunglah P(X+Y ≥1)

c. Carilah rataan bersyarat E

[

Y∨x

]

8. Misalkan f(x)danF(x) berturut-turut menyatakan fungsi densitas dan fungsi distribusi dari X. Fungsi densitas bersyarat dari X diberikan X>x₀, x₀ sattu bilangan tertentu yang didefinisikan oleh

(

x∨X>x₀

)

= f(x)

1−F(x); x>x0 , dan nol

untuk lainnya. Jenis fungsi densitas ini digunakan dalam masalah waktu hingga mati , diberikan waktu hidup hingga x₀ .

a. Tunjukkan bahwa f(x∨X>0) adalah fungsi densitas.

b. Ambil f(x)=e−x;0<x<∞ dan nol lainnya. Hitunglah P(X>2∨X>1)

9. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas f(x , y)=6(1−x−y);0<x

0<y , X+y<1 dan nol untuk lainnya. Hitunglah P(2X+3Y<1) dan

E

[

XY+2X2

]

1.3 Koefisien korelasi

Misalkan X dan Y mempunyai fdp bersama f(x , y) Jika u(x,y) adalah fungsi dari x dan y, maka E

[

u(x , y)

]

, ditetapkan sasaran yerhadap keberadaannya.Keberadaan semua ekspektasi matematik akan diandaikan dalam pembicaraan ini.Rataan dari X dan Y sebut

μ₁danμ₂ dan variansi dari X dan Y sebut σ1 2

danσ2 2

. Perhatikan ekspektasi matematik

E

[

(

X−μ₁

) (

Y−μ₂

)

]

=E

[

XY−μ₁X−μ₂Y+μ₁μ₂

]

= XY

¿

μ₁μ₂ E¿

(14)

= E

[

XY

]

−μ₁μ₂

Bilangan ini disebut kovariansi dari X dan Y dan sering dinotasikan sebagai kov (X , Y) . Jika masing-masing σ₁danσ₂ positif , bilangan

ρ=E

[

(

X−μ1

) (

Y−μ2

)

]

σ₁σ₂ =

kov(X , Y)

σ₁σ₂

disebut koefisien korelasi dari X dan Y.Jika simpangan baku positif , koefisien korelasi dari setiap dua peubah acak ditetapkan menjadi kovariansi dua peubah acak dibagi oleh perkalian simpangan baku dua peubah acak itu.Akan dinyatakan bahwa nilai harapan perkalian dua peubah acak sama dengan perkalian ekspektasi mereka ditambah kovariansi mereka, yaitu

E

[

XY

]

=μ₁μ₂+ρ σ₁σ₂=μ₁μ₂+kov(X , Y)

Contoh 1

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fdp bersama f(x , y)=x+y ;0<x<1,0<y<1

Kita akan menghitung koefisien korelasi dari X dan Y . Apabila dua peubah ada di bawah pertimbangan , kita akan menyatakan koefisien korelasi ρ .

Sekarang μ₁=E

[

X

]

=

∫

0 1

∫

0 1

x(x+y)dxdy= 7

12 Dan σ₁2=E

[

X2

]

−μ₁2=

∫

0 1

∫

0 1

x2(x+y)dxdy−

(

7

12

)

2

= 11

144 Hal yang sama

μ₂=E

[

Y

]

=

∫

0 1

∫

0 1

y(x+y)dxdy= 7

12 dan σ₂2

=E

[

y2

]

−μ₂2

=

∫

0 1

∫

0 1 y2

(x+y)dxdy−

(

7

12

)

2

= 11

144 Kovariansi dari X dan Y adalah

E

[

XY

]

−μ₁μ₂=

∫

0 1

∫

0 1

xy(x+y)dxdy−

(

7

12

)

2

=−1

144 Sesuai dengan itu koefisien korelasi dari X dan Y adalah

ρ = −1 144

√

11 144 11 144

=−1

11 Tinjauan

Untuk jenis distribusi dua peubah acak tertentu , sebut X dan Y koefisien korelasi ρ

terbukti menjadi karakteristik distribusi yang amat berguna.Sayang definisi formal ρ tidak mengung kapkan kenyataan ini . Pada saat ini kita membuat observasi tentang ρ ,

(15)

dan Y Dalam kasus ekstrim ini , kita mempunyai ρ(y=a+bx)=1 .Jika ρ=−1 ,kita mempunyai keadaan urusan yang sama kecuali b < 0.Ini menganjurkan pertanyaan menarik berikut. Apabila ρ tidak mempunyai nilai satu dari nilai ekstrimnya ada disana garis dalam bidang xy sehingga peluang untuk X dan Y cenderung dipusatkan dalam sebuah berkas di sekitar garis ini. Di bawah pembatasan syarat tertentu ini merupakan kasus kenyataan, dan dibawah persyaratan itu kita dapat melihat ρ sebagai ukuran intensitas pemusatan peluang untuk X dan Y disekitar garis itu

Berikut ambil f(x , y) menyatakan fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y dan ambil f₁(x) menyatakan fdp marginal dari X.

Fdp bersyarat dari Y diberikan X=x adalah f₂_∨₁(y∨x)=f (x , y)

f₁(x)

pada titik dengan f₁(x)>0 .

Maka rataan bersyarat dari Y diberikan X=x adalah

E

[

Y∨X

]

=

∫

−∞ ∞

y f2∨1(y∨x)dy=

∫

−∞ ∞

y f(x , y)

f₁(x) dy

bila menghadapi peubah acak jenis kontinu.Rataan bersyarat dari Y diberikan X=x , tentu fungsi dari x sendiri sebut u(x) .

Dalam hal yang sama y rataan bersyarat dari X diberikan Y=y menyatakan fungsi dari y sendiri sebut v(y) . Dalam kasus u(x) fungsi linear dari x sebut u(x)=a+bx , kita katakan rataan bersyarat dari Y adalah linear dalam x. atau Y mempunyai rataan bersyarat linear. Apabila u(x)=a+bx , konstanta a dan b mempunyai nilai sederhana yang sekarang akan ditentukan

Akan diandaikan bahwa salah satu σ12danσ22 , variansi X dan Y adalah nol . Dari

E

[

Y∨X

]

=¿

∫

−∞ ∞

y f(x , y)

f₁(x) dy=a+bx

kita peroleh

∫

−∞ ∞

yf(x , y)dy=(a+bx)f₁(x) (1) Jika kedua ruas Persamaan (1) diintegrasikan atas x, akan terlihat bahwa

E

[

Y

]

=

[

a+bE(X)

]

atau μ₂=a+b μ₁ (2) dengan μ₁=E(X)dan μ₂=¿ E

[

Y

]

Jika kedua ruas Persamaan (1) pertama dikalikan dengan x dan kemudian diintegrasikan atas x, kita peroleh

E(XY)=aE(X)+E

(

X2

)

atau ρ σ1σ2+μ1μ2=a μ1+b

(

σ12+μ12

)

(3) dengan ρ σ₁σ₂ adalah kovariansi dari X dan Y

(16)

a=μ₂−ρσ2

σ1μ1danb=ρ σ₂

σ1

Sehingga u(x)=E(Y∨x)=μ₂+ρσ2

σ1

(

x−μ1

)

adalah rataan bersyarat dari Y diberikan X=x , apabila rataan bersyarat dari Y adalah linear dalam x. Jika rataan bersyarat dari X diberikan Y=y adalah linear dalam y rataan bersyarat diberikan oleh

u(y)=E(X∨y)=μ₁+ρσ1

σ2

(

y−μ₂

)

Berikutnya kita akan menyelidiki variansi distribusi bersyarat di bawah pengandaian bahwa rataan bersyarat linear .

Variansi bersyarat dari Y diberikan oleh var (Y∨x)=

∫

−∞ ∞

[

y−μ2−ρ σ₂ σ1

(

x−μ1

)

]

2

f2∨1(y∨x)dy

= 1 f1(x)−∞

∫

∞

[

y−μ2−ρ σ₂ σ1

(

x−μ1

)

]

2

f(x , y)dy (4) apabila pebah acak jenis kontinu. Variansi ini tidak negatif dan kebanyakan fungsi dari x sendiri . kemudian jika variansi ini dikalikan dengan f₁(x) dan dintegrasikan pada x hasil akan dinyatakan menjadi tidak negatif. Hasil ini adalah

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

[

y−μ2−ρ σ₂

σ1

(

x−μ1

)

]

2

f(x , y)dy

=

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

(

y−μ₂

)

2

−2ρσ2

σ₁

(

x−μ1

) (

y−μ2

)

+ρ 2σ22

σ₁2

(

x−μ1

)

2_f

(x , y)dydx

= E

[

(

y−μ₂

)

2

]

−2ρσ2

σ₁ E

[

(

x−μ1

) (

y−μ2

)

]

+ρ 2σ2

2

σ₁2E

[

(

x−μ1

)

2

]

= σ₂2

−2ρσ2

σ₁ρ σ1σ2+ρ 2σ2

2 σ₁2σ1

2

=σ₂2

−2ρ2_σ 2 2

+ρ2_σ 2 2 = σ22

(

1−ρ2

)

≥0

Jika variansi ini ada,Persamaan (4) dinyatakan dengan k(X) maka E

[

k(X)

]

=σ22

(

1−ρ2

)

≥0 .

Sesuai dengan itu ρ2≤1atau−1≤ ρ ≤1

var (Y∨x) ditinggalkan sebagai latihan untuk membuktikan bahwa −1≤ ρ≤1 rataan bersyarat linear atau tidak linear.

Andaikan bahwa variansi Persamaan (4) adalah positif tetapi bukan fungsi dari x ,yaitu variansi konstanta k > 0 . Sekarang jika k dikalikan dengan f₁(x) dan dintegrasikan pada x hasilnya adalah k, sehingga k = σ2

2

(

1−ρ2

)

.Berarti dalam kasus ini variansi setiap distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah σ2

2

(

1−ρ2

)

. Jika ρ=0 variansi setiap distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah σ2

2

(17)

.Di pihak lain ,jika ρ2 dekat ke satu variansi setiap distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x relatif kecil dan ada konsentrasi tinggi dari peluang karena distribusi bersyarat ini dekat

rataan E(Y∨x)=μ₂+ρσ2 σ1

(

x−μ₁

)

Contoh 2

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai rataan bersyarat linear E(Y∨x)=4x+3 dan E(X∨y)= 1

16 y−3 . Sesuai dengan rumus umum rataan besyarat linear, kita melihat bahwa E(Y∨x)=μ₂ jikax=μ₁danE(X∨y)=μ₁jika y=μ₂ . Dalam kasus khusus ini, kita mempunyai μ₂=4μ₁+_{3 dan} μ₁=1

4 μ2−3 sehinggaμ1=

−15

4 danμ2=−12 . Rumus umum untuk rataan bersyarat linear juga menunjukkan bahwa berturut-turut perkalian koefisien dari X dan Y sama dengan ρ2

=4

(

1 16

)

=

1

4 dengan ρ= 1

2 (bukan -1/2), dan σ2

2

σ₁2=64 . Jadi dari dua rataan bersyarat linear , kita dapat mencari μ1, μ2, ρ ,dan σ₂ σ1

tapi bukan nilai σ₁dan σ₂

Contoh 3

Untuk menggambarkan bagaimana koefisien konsentrasi mengukur intensitas konsentrasi peluang untuk X dan Y di sekitar satu garis. Ambil peubah acak ini mempunyai distribusi seragam atas daerah yang digambarkan dalam Gambar 1.1 yaitu fdp bersama dari X dan Y adalah f(x , y)= 1

4ah;−a+bx<y<a+bx ;−h<x<h = 0 ; untuk lainnya

a

E(Y∨x)=bx

-h h -a

Gambar 1.1

Di sini kita mengandaikan bahwa b ≥0 tetap alasan dapat dimodifikasi untuk ≤0 . Hal itu mudah untuk menunjukkan bahwa fdp dari X adalah seragam , namakan

f₁(x)=

∫

−a+bx a+bx

1 4ahdy=

1

2h;−h<x<h

(18)

f₂_∨₁(y∨x)=1/4ah

1/2h = 1

2a;−a+bx<y<a+bx Rataan dan variansi bersyarat adalah

E(Y∨x)=bxdan var(Y∨x)=a

2 3

Dari pernyataan umum untuk karakteristik tersebut kita mengetahui bahwa b=ρσ2

σ1 dana2

3=σ2 2

(

₁

−ρ2

)

Sebagai tambahan , kita mengetahui bahwa σ12=h2/3 . Jadi kita memecahkan tiga persamaan ini kita peroleh untuk koefisien korelasi , namakan

ρ=¿ bh

√

a2+b2h2

Mengacu ke Gambar 1.1 kita catat

1. Jika a mengambil kecil (besar), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ mendekati 1 (nol)

2. Jika h mengambil besar (kecil), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ

mendekati 1 (nol)

3. Jika b mengambil besar (kecil), pengaruh garis lurus lebih (kurang) kuat dan ρ mendekati 1 (nol)

Misalkan f(x , y) menyatakan fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y .Jika E

(

et1X+t2Y

)

ada untuk – h

1<t1<h1,−h2<t2<h2 , dengan h1dan h2 positif , itu

dinyatakan oleh M

(

t1,t2

)

dan disebut fungsi pembangkit momen (fpm) distribusi bersama dari X dan Y . Seperti dalam kasus satu peubah acak , fpm M

(

t₁,t₂

)

secara lengkap

menetapkan distribusi bersama dari X dan Y dan karenanya distribusi marginal dari X dan Y. Dalam kenyataan fpm M1

(

t1

)

dari X adalah

M₁

(

t₁

)

=E

(

et1X

)

=M

(

t₁,0

)

dan fpm M2

(

t2

)

dari Y adalah

M₂

(

t₂

)

=E

(

et2Y

)

=M

(

0,t₂

)

Sebagai tambahan , dalam kasus peubah acak jenis kontinu

∂k+mM

(

t1, t2

)

∂t1

k

∂ t2

m =

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

xkymet1X+t2Yf₍x , y₎dxdy

Sehingga

t1=0,t2=0=¿

¿

∂k+mM

(

t₁, t₂

)

∂t₁k_{∂ t}

2

m ¿

= E

(

XkYm

)

(19)

μ₁=E(X)=∂ M(0.0)

∂ t₁ , μ2=E(Y)=

∂ M(0.0)

∂ t₂ σ1

2

=E

(

X2

)

−μ1 2

=∂

2

M(0,0)

∂t1

2 −μ1 2

σ22=E

(

Y2

)

−μ22=

∂2M(0,0)

∂ t₂2 −μ2 2

(5)

E

[

(

X−μ1

) (

Y−μ2

)

]

=

∂2M(0,0)

∂t1∂t2

−μ1μ2

dan dari sini kita dapat menghitung koefisien korelasi ρ , Itu jelas agak baik, bahwa hasil Persamaan (5) memenuhi. Jika X dan Y adalah peubah acak jenis diskrit. Berarti koefisien korelasi dapat dinitung dengan menggunakan fdp dari distribusi bersama jika fungsi itu dengan mudah tersedia.

Contoh 4

Misalkan X dan Y peubah acak jenis kontinu mempunyai fdp bersama f(x , y)=e−x;0<x<y<∞

M

(

t₁,t₂

)

=

∫

0

∞

∫

0

∞

exp

(

t₁x+t₂y−y

)

dydx

=

(

₁₋_t 1

1−t2

) (

1−t2

)

asalkan t₁+t₂<1 dant₂<1 untuk distribusi ini. Persamaan (5) menjadi

μ₁=1, μ₂=₂

σ12=1;σ22=2 (6) E

[

(

X−μ₁

) (

Y−μ₂

)

]

=1

Periksahasil Persamaan (6) ditinggalkan sebagai latihan . Jika sebentar lagi kita menerima hasil ini , koefisien korelasi dari X dan Y adalah ρ= 1

√

2 . Selanjutnya berturut-turut fpm dari distribusi marginal dari X dan Y adalah

M

(

t1,0

)

= 1

1−t₁;t1<1 M

(

0,t2

)

=

1

(

1−t₂

)

2;t2<1

Tentu berturut-turut fpm ada , itu dari fungsi densitas peluang marginal f₁(x)=

∫

x ∞

e−y_dy

=e−x_;₀

<x<∞

f₂(y)=e−y

∫

0

y

dx=y e−y_;₀

<y<∞

(20)

1. Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai densitas bersama a. f(x , y)=1

3;(x , y)=(0,0),(1,1),(2,2);0 untuk lainnya b. f(x , y)=1

3;(x , y)=(0,2),(1,1),(2,0);0 untuk lainnya c. f(x , y)=1

3;(x , y)=(0,0),(1,1),(2,0);0 untuk lainnya Dalam setiap kasus hitung koefisien korelasi dari X dan Y

2. Misalkan X dan Y mempunyai densitas bersama dinyatakan sebagai berikut

(x , y) (1,1)(1,2) (1,3) (2,1)(2,2) (2,3)

f(x , y) 2/15 4/15 3/15 1/15 1/15 4/15 dan f(x , y) sma dengan nol untuk lainnya.

a. Carilah rataan μ₁danμ₂ , variansi σ12danσ22 , dan koefisien korelasi Hitung b. Hitung E

[

Y∨X=1

]

, E

[

Y∨X=2

]

dan garis μ₂+ρ

(

σ2

σ₁

)

(

x−μ1

)

. Adakah titik-titik

[

k , E(Y∨X=k)

]

;k=1,2 terletak pada garis itu?

3. Ambil f(x , y)=2;0<x<y ,0<y<1 , nol untuk lainnya, merupakan fungsi densitas bersama dari X dan Y. Tunjukkan bahwa

a. E

[

Y∨x

]

=1+x

2 ;0<x<1,dan E

[

X∨y

]

= y

2 ;0<y<1 b. ρ(x , y)=1

2

4. Tunjukkan bahwa variansi dari distribusi dari Y diberikan X = x dalam soal 3 adalah

(1−x)2

12 ;0<x<1,dan variansi dari distribusi dari X diberikan Y = y adalah y2

12 ; 0<y<1

5. Selidiki hasil Persamaan (6) dalam pasal ini.

6. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama f(x , y)=¿ 1 ;-x < y < x , 0 < x < 1, dan nol untuk lainnya.Tunjukkan bahwa grafik E

[

Y∨x

]

adalah garis lurus, tetapi grafik E

[

X∨y

]

bukan garis lurus

7. Jika koefisien korelasi ρ dari X dan Y ada , tunjukkan bhwa −1≤ ρ≤1 Petunjuk: Perhatikan diskriminan fungsi kuadrat tidak negatif

h(v)=E

{

[

(

X−μ1

)

+v

(

Y−μ2

)

]

2

}

di mana v adalah real dan bukan fungsi dari x maupun y

8. Misalkan ψ

(

t₁,t₂

)

=lnM

(

t₁, t₂

)

dimana M

(

t₁,t₂

)

adalah fpm dari X dan Y. Tunjukkan bahwa ∂ψ(0,0)

∂ ti

;∂

2_ψ₍_0,0₎

∂t_i2 i = 1,2 dan

∂2_ψ₍_0,0₎ ∂ t1∂ t2

(21)

1.4 Peubah Acak Independen

Misalkan X₁danX₂ menyatakan peubah acak dari salah satu jenis diskrit atau kontinuyang mempunyai fdp bersama f

(

x₁, x₂

)

dan fungsi densitas peluang marginsl berturut-turut f₁

(

x₁

)

dan f₂

(

x₂

)

, kita dapat menulis fdp bersama f

(

x₁, x₂

)

sebagai

f

(

x₁, x₂

)

=f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

f₁

(

x₁

)

Andaikan kita mempunyai satu contoh di mana f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

tidak bergantung pada x₁ . Maka fdp marginal dari X2 ada untuk peubah acak jenis kontinu.

f₂

(

x₂

)

=

∫

−∞ ∞

f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

f₁

(

x₁

)

d x₁

= f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

∫

−∞ ∞

f₁

(

x₁

)

d x₁ = f₂_∨₁

(

x₂∨x₁

)

Sesuai dengan itu

f2

(

x2

)

=f2∨1

(

x2∨x1

)

dan f1

(

x1

)

=f1∨2

(

x1∨x2

)

Definisi 2

Misalkan pubah acak X₁danX₂ mempunyai fdp bersama f

(

x₁, x₂

)

dan berturut-turut fungsi densitas peluang f₁

(

x₁

)

dan f₂

(

x₂

)

. Peubah acak X₁danX₂ dikatakan independen jika dan hanya jika f

(

x₁, x₂

)

=f₁

(

x₁

)

f₂

(

x₂

)

Peubah acak yang tidak independen disebut dependen. Tinjauan.

Dua komentar akan dibuat tentang definisi di atas.

Pertama, perkalian dua fungsi positif f₁

(

x₁

)

f₂

(

x₂

)

berarti fungsi positif pada ruang perkalian yaitu jika f1

(

x1

)

dan f2

(

x2

)

positif dan hanya positif, berturut-turut ruang

A₁danA₂ , maka perkalian f₁

(

x₁

)

dan f₂

(

x₂

)

positif, ruang perkaian A=

{

(

x₁, x₂

)

∨x₁∈A₁, x₂∈A₂

}

(22)

Kedua, mengenai identitas (ciri-ciri)

Identitas dalam Definisi 2 akan diinterprestasikan sebagai berikut. Mungkin ada titik tertentu

(

x₁, x₂

)

∈A sehingga f

(

x₁, x₂

)

≠ f₁

(

x₁

)

f₂

(

x₂

)

Bagaimanapun jika A himpunan titik

(

x₁, x₂

)

sehingga kesamaan tidak memenuhi, maka P(A) = 0

Contoh 1

Misalkan fdp bersama dari X₁danX₂adalah f

(

x₁, x₂

)

=x₁+x₂;0<x₁<1,0<x₂<1

Akan ditunjukkan bahwa X₁danX₂ dependen. Di sini fungsi densitas marginal adalah f1

(

x1

)

=

∫

0 1

f

(

x1, x2

)

d x2=

∫

0 1

(

x1+x2

)

d x2 = x1+ 1

2;0<x1<1 dan f₂

(

x₂

)

=

∫

0 1

f

(

x₁, x₂

)

d x₁=

∫

0 1

(

x₁+x₂

)