Teori Dasar Gelombang Gravitasi

Bab 2

Teori Dasar Gelombang Gravitasi

2.1 Gravitasi terlinearisasi

Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g_ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η_ab [13]:

gab = ηab+ hab, kh_abk  1, (2.1) di mana, η_ab= metrik diagonal (−1, 1, 1, 1) kh_abk = besaran dari komponen tidak nol dari h_ab . Kondisi kh_abk  1 membatasi medan gravitasi sebagai medan yang lemah, sehingga membatasi sistem koordinat menjadi sistem koordinat kartesian. h_ab menggambarkan gelombang gravitasi, tetapi memiliki derajat kebebasan non-radiatif sehingga yang digunakan hanya suku linear pada h_ab saja. Sebagai akibatnya, indeks dinaikkan dan diturunkan dengan menggu- nakan η_ab. Metrik h_ab bertransformasi sebagai tensor di bawah transformasi Lorentz, tapi tidak di bawah transformasi koordinat secara umum.

Untuk menjelaskan gravitasi terlinearisasi, semua kuantitas yang diper- lukan dihitung terlebih dahulu. Komponen Simbol Christoffel diberikan seba- gai berikut:

Γ^a_bc = 1

2η^ad(∂_ch_db+ ∂_bh_dc− ∂_dh_bc)

= 1

2(∂_ch^a_b+ ∂_bh^a_c− ∂^ah_bc). (2.2) Indeks bagian ruang dapat ditulis sebagai ’dinaikkan’ atau ’diturunkan’ tan- pa mengubah kuantitasnya, sedangkan operasi menaikkan dan menurunkan indeks pada bagian waktu akan mengubah tanda.

7

2.1. GRAVITASI TERLINEARISASI 8

Tensor Riemann dapat dibangun sebagai berikut:

R^a_bcd = ∂cΓ^a_bd− ∂_dΓ^a_bc

= 1

2(∂c∂_bh^a_d+ ∂_d∂^ah_bc− ∂_c∂^ah_bd− ∂_d∂_bh^ac). (2.3) Persamaan (2.3) dapat digunakan untuk membangun Tensor Ricci:

R_ab= R^c_acb= 1

2(∂c∂_bh^ca+ ∂^c∂ah_bc− hab− ∂_a∂_bh), (2.4) di mana, h^a_a= h adalah trace dari metrik gangguan h_abdan ∂_c∂^c= ∇²− ∂_t²=  adalah operator gelombang

Dari persamaan (2.4) dibangun skalar kurvatur:

R = R^aa= (∂c∂^ah^ca− h). (2.5) Kemudian persamaan (2.5) digunakan untuk membangun tensor Einstein:

Gab = Rab−1 2ηabR

= 1

2(∂_c∂_bh^c_a+ ∂^c∂_ah_bc− hab− ∂_a∂_bh

−η_ab∂c∂^dh^c_d+ η_abhab). (2.6) Persamaan (2.6) dapat disederhanakan dengan menggunakan gangguan trace reversed:

¯hab = hab−1

2ηabh. (2.7)

Dengan memasukkan persamaan (2.7) ke persamaan (2.6) diperoleh:

Gab= 1

2(∂c∂bh¯^ca+ ∂^c∂a¯hbc− ¯hab− η_ab∂c∂^d¯h^cd). (2.8) Persamaan (2.8) dapat disederhanakan kembali dengan melakukan transfor- masi koordinat yang dikenal sebagai transformasi gauge. Transformasi koordi- nat infinitesimal dapat ditulis sebagai x^0a= x^a+ ξ^a, di mana ξ^a(x^b) merupakan medan vektor infinitesimal yang berubah-ubah. Transformasi ini mengubah metrik melalui,

h⁰_ab= h_ab− 2∂_aξ_b, (2.9) sehingga metrik trace reversed menjadi

h¯⁰_ab = h⁰_ab−1 2η_abh⁰

= h¯⁰_ab− 2∂_<bξ_a> +η_ab∂^cξ_c. (2.10)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 9

Untuk memenuhi radiasi, maka digunakan kondisi Lorentz gauge

∂^ah¯⁰_ab = 0. (2.11)

Jika metrik gangguan tidak berada di bawah Lorentz gauge, maka perlu dicari metrik h⁰_ab yang baru di mana ∂^a¯h⁰_ab:

∂^ah¯⁰_ab = ∂^a¯h_ab− ∂^a∂_bξa− ξb+ ∂_b∂^cξc (2.12)

= ∂^a¯h_ab− ξb. (2.13)

Metrik gangguan h_abdapat dimasukkan ke dalam Lorentz gauge dengan meng- gunakan transformasi koordinat infinitesimal yang memenuhi

∂^ah¯⁰_ab = ξb. (2.14) Dengan menemukan solusi dari persamaan gelombang (2.14), gauge Lorentz dapat dicari.

Dengan memasukkan persamaan (2.11) ke persamaan (2.8), diperoleh:

G_ab= −1

2¯hab. (2.15)

Dengan demikian, dalam gauge Lorentz, tensor Einstein tereduksi menjadi op- erator gelombang yang bekerja pada metrik gangguan trace reversed (sampai dengan faktor −¹₂). Persamaan Einstein yang terlinearisasi dengan demikian adalah

¯hab = −16πT_ab. (2.16)

2.2 Perambatan Gelombang Gravitasi

Dalam ruang vakum (T_ab = 0),persamaan Einstein yang terlinearisasi (2.16) tereduksi menjadi [18]:

¯hab = 0. (2.17)

Solusi persamaan di atas diberikan sebagai berikut:

¯hab= Aabexp(ik^axa) (2.18)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 10

yang jika diturunkan akan memberikan hasil sebagai berikut:

∂^chab= k^c¯hab. (2.19) Persamaan (2.17) akan mengambil bentuk yang sederhana jika diajukan kon- disi gauge

∂^a¯h_ab = 0, (2.20)

dari persamaan (2.19) dan (2.20) diperoleh

A_abk^a= 0. (2.21)

Hal ini berarti bahwa A_abharus tegak lurus terhadap ~k. Dengan menggunakan kebebasan gauge lainnya, maka amplitudo gelombang gravitasi dapat dibatasi lebih jauh dengan mengganti gauge tanpa mengubah kelas Lorentz dengan menggunakan vector yang dapat menyelesaikan

∂c∂^cξa= 0, (2.22)

yang solusinya adalah

ξ_a= B_aexp(ik_cx^c), (2.23) dimana B_a adalah konstanta dan k^c adalah null vector. ξ ini memberikan pe- rubahan pada h_ab menjadi

h⁰_ab = h_ab− 2∂_<aξ_b> (2.24)

dan

h⁰_ab= ¯hab− 2∂_<aξb>+ ηab∂^cξc. (2.25) Dengan mensubtitusi persamaan (2.23) ke persamaan (2.25) lalu menghilangkan semua faktor eksponensial yang sama diperoleh

A⁰_ab= A_ab− iB_ak_b− iB_bka+ iη_abB^ckc, (2.26) dan B_adapat dipilih sedemikian untuk membatasi A⁰_ab :

A^aa= 0, (2.27)

dan

A_abU^b = 0, (2.28)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 11

di mana ~U merupakan kecepatan-4 tertentu, vektor unit timelike konstan yang hendak kita pilih. Persamaan (2.21), (2.27), dan (2.28) disebut sebagai kondisi gauge transverse traceless.

Pada latar belakang transformasi Lorentz, di mana vektor ~U merupakan ba- sis vektor U^b = δ^b₀, maka persamaan (2.28) mengimplikasikan bahwa A_a0 = 0 untuk semua a . Dalam kerangka ini, dimisalkan gelombang merambat dalam arah z, ~k → (ω, 0, 0, ω). Maka persamaan (2.21), (2.28) mengimplikasikan bah- wa A_ax = 0 untuk semua a. Kedua implikasi ini menunjukkan bahwa hanya komponen A_xx, A_yy, dan A_xy = A_yx yang tidak nol. Dari persamaan (2.27), maka didapat bahwa dalam bentuk matriks, kerangka ini dapat dituliskan se- bagai berikut:

A_ab=

















0 0 0 0

0 A_xx A_xy 0 0 Axy −A_xx 0

0 0 0 0

















. (2.29)

Efek dari gelombang gravitasi adalah dapat mengubah jarak proper antara dua buah partikel.

Pada ruang waktu datar, cahaya akan mengikuti lintasan garis lurus. Namun, pada ruang-waktu lengkung, lintasan lurus yang dilalui oleh cahaya akan men- galami deviasi dari koordinat pada ruang-waktu datar.

Sebagai contoh, misalkan terdapat 2 buah massa yang berdekatan. Massa yang pertama terletak pada (0, 0, 0) dan massa yang kedua terletak pada (, 0, 0).

Dengan menggunakan persamaan deviasi geodesik, d²

dτ²ξ^a= R^acdbU^cU^dξ^b (2.30) dimana vektor ξ^b menghubungkan kedua partikel dan ~U = ^d~_dτ^x adalah vektor kecepatan-4 dari kedua partikel, di mana ~U → (1, 0, 0, 0) dan pada awalnya, ξ → (0, , 0, 0). Maka persamaan (2.30) tereduksi menjadi orde pertama ¯~ hab:

d²

dτ²ξ^a= ∂_t²ξ^a= R^a00x= −R^a0x0. (2.31)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 12

Dengan menggunakan persamaan (2.3) untuk menunjukkan, dalam gauge T T : R^x_0x0 = R_x0x0 = −¹₂∂₀²h^xx_tt ,

R^y0x0 = Ry0x0 = −¹₂∂₀²h^xy_tt,

R^y_0y0 = R_y0y0 = −¹₂∂₀²h^yy_tt, = −R^x_0x0











(2.32)

dengan komponen independen lainnya menghilang. Hal ini berarti kedua par- tikel memiliki vektor pemisahan dalam arah x:

∂_t²ξ^x= 1

2ε∂_t²h^{T T}_xx, ∂_t²ξ^y = 1

2ε∂_t²h^{T T}_xy , (2.33) dan dalam arah y:

∂_t²ξ^y = ¹₂ε∂²_th^{T T}_yy = −1

2ε∂_t²h^{T T}_xx,

∂_t²ξ^x = ¹₂ε∂²_th^{T T}_xy . (2.34) Persamaan (2.34a) dan (2.34b) akan membantu dalam menjelaskan polarisasi gelombang gravitasi.

Gambar 2.1(a) Lingkaran partikel sebelum gelombang merambat melewati lingkaran terse- but dalam arah sumbu z. (b) distorsi yang dihasilkan oleh gelombang dengan polarisasi ’+’. (c) Seperti (b) tapi dengan polarisasi ’x’

Karakteristik dari gelombang gravitasi akan lebih jelas terlihat dengan tidak hanya mempertimbangkan dua buah partikel saja, melainkan sejumlah par- tikel yang tersusun dalam bentuk lingkaran pada bidang x − y pada z = 0

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 13

dengan sebuah massa lainnya pada bagian pusat. Misalkan lingkaran partikel tersebut pada awalnya diam (lihat Gambar 2.1a).

Lalu gelombang gravitasi dengan h^{T T}_xx 6= 0, h^{T T}_xy = 0 melewati lingkaran partikel ini, maka lingkaran partikel akan terdistorsi (jarak proper relatif terhadap massa pada pusat) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1b, awalnya ma- suk, lalu keluar, dimana gelombang berosilasi dan h_xx berubah tanda. Jika partikel memiliki h^{T T}_xx 6= 0 tetapi h^{T T}_xx = h^{T T}_yy = 0, maka lingkaran partikel tersebut akan berdistorsi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1c. Kare- na h^{T T}_xx dan h^{T T}_xy tidak saling bergantung, maka Gambar 2.1b dan 2.1c meru- pakan gambaran dari dua buah polarisasi yang berbeda. Polarisasi gelombang memiliki pola seperti yang digambarkan pada Gambar 2.1 karena gravitasi direpresentasikan oleh tensor simetrik rank-2 h_cd.

2.3 Pembangkitan Gelombang Gravitasi

Persamaan medan lemah Einstein adalah

¯hab = −16πTab. (2.35)

Beberapa asumsi yang diambil untuk memecahkan masalah ini adalah:

1. Komponen riil yang bergantung waktu berosilasi secara sinusoidal den- gan frekuensi Ω sebagai berikut:

T_ab = S_ab(xⁱ) exp(−iωt). (2.36) Daerah dimana S_ab 6= 0 lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelom- bang dari gelombang gravitasi dengan frekuensi 2π/Ω.

2. Sumber bergerak lambat. Kecepatan khas di dalam daerah sumber harus lebih kecil dari 1. Hal ini dipenuhi oleh semua sumber gravitasi kecuali sumber yang sangat kuat.

Solusi untuk ¯h_ab dari bentuk

¯h_ab= B_ab(xⁱ) exp(−iΩt) (2.37)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 14

didapatkan dengan mensubtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35):

(∇²+ Ω²)B_ab= −16πT_ab. (2.38) Untuk daerah di luar sumber diperlukan solusi dari persamaan (2.38) yang menunjukkan radiasi gelombang ke luar dan yang mendominasi di daerah ger- ak lambat. Didefinisikan r sebagai komponen radial koordinat polar dengan titik asalnya terletak di dalam sumber. Solusi dari persamaan (2.38) adalah:

Bab = Aab

r exp(iΩr) + Zab

r exp(−iΩr) (2.39)

Suku Z_ab menyatakan gelombang yang merambat ke arah titik asal r = 0, sementara suku A_abmenyatakan gelombang yang merambat ke luar dari sum- ber. Karena solusi yang dicari adalah gelombang yang diemisikan ke luar oleh sumber, maka Z_ab = 0.

Pendekatan yang dilakukan untuk menentukan di dalam sumber adalah bah- wa sumber bernilai tidak nol hanya di dalam bola dengan radius: ε  2π/Ω.

Integrasi komponen waktu dari ruas kiri persamaan (2.38) sepanjang bagian dalam bola adalah

Z

Ω²B_abd³x ≤ Ω²|B_ab|max4πε³/3. (2.40) Dengan menggunakan teorema Gauss, maka integrasi komponen ruang dari suku bagian kiri persamaan (2.38) adalah

Z

∇²Babd³x = I

~

n · ~∇B_abdS, (2.41) namun karena integral permukaan berada di luar sumber, dimana diberikan oleh persamaan (2.39), yang simetris secara sferis:

I

~

n · ~∇B_abdS = 4πε²( d

drB_ab)_r=ε ≈ −4πA_ab, (2.42) dimana integral dari ruas kanan persamaan (2.38) didefinisikan sebagai:

J_ab= Z

S_abd³x. (2.43)

Dengan membatasi hasil-hasil di atas dalam limit ε → 0, maka diperoleh

A_ab = 4J_ab (2.44)

¯h_ab = 4J_abexp(iω(r − t)/r) (2.45)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 15

Persamaaan (2.44) dan (2.45) merupakan pernyataan untuk gelombang grav- itasi yang dibangkitkan oleh sumber, dimana suku dengan orde r⁻² dan suku r⁻¹dengan orde yang lebih tinggi dari orde εΩ diabaikan.

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memanfaatkan kenyataan bahwa{h_ab} merupakan komponen dari tensor tunggal. Dari persamaan (2.43) didapatkan

J_abexp(−iΩt) = Z

T_abd³x, (2.46)

dengan konsekuensi:

−iΩJ_abexp(−iΩt) = Z

∂tTatd³x. (2.47) Dari hukum kekekalan untuk T^ab ,

∂_aT^ab= 0, (2.48)

disimpulkan bahwa

∂tT^at= −∂_kT^ak. (2.49) Sehingga

−iΩJ^atexp(−iΩt) = Z

∂kTakd³x = I

T^aknkdS, (2.50) dimana Teorema Gauss kembali digunakan. Hal ini berarti bahwa T^ab= 0 pada permukaan yang melingkupi volume ini, sehingga ruas kanan dari persamaan (2.50) menghilang.

Jika Ω 6= 0, maka

J^ab = 0, ¯h^ab = 0. (2.51)

Pernyataan J_ij juga dapat dituliskan sebagai berikut:

d² dt²

Z

T⁰⁰x^lx^md³x, (2.52) dimana integral pada ruas kanan dari persamaan (2.52) merupakan tensor mo- men quadrupol dari distribusi massa,

I^lm = Z

T⁰⁰x^lx^md³x (2.53)

= D^lmexp(−iΩt), (2.54)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 16

sehingga

¯h_jk = −2Ω²D^jkexp(iΩ(r − t)). (2.55) Persamaan (2.55) sering disebut sebagai pendekatan quadrupol untuk gelom- bang gravitasi. Persamaan (2.21) dapat dilengkapi dengan memilih kondisi dimana gelombang merambat dalam arah z, dan dalam gauge T T sehingga didapatkan bentuk paling sederhana dari gelombang:

¯h^{T T}_zi = 0 (2.56)

¯h^{T T}_xx = ¯h^{T T}_yy = −Ω²(łxx− ł_yy) exp(iΩr/r) (2.57)

¯h^{T T}_xx = −2Ω²ł^xyexp(iΩr/r)) (2.58)

dimana

ł_jk = I_jk−1

3δ_jkI^l_l (2.59)

disebut sebagai tensor trace-free atau tensor momen quadrupole tereduksi. So- lusi untuk radiasi gravitasi yang teremisi pada persamaan (2.35) untuk nilai yang berubah-ubah diberikan oleh integral retarded

¯h_ab(t, xⁱ) = 4

Z τ_ab(t − R, yⁱ)

R d³x, (2.60)

dimana integral dilakukan melewati kerucut cahaya masa lalu (t, xⁱ) dimana

¯h_abdihitung. Misalkan titik asal berada di dalam sumber dan dimisalkan bah- wa titik medan xⁱterletak jauh sekali:

|xⁱ| ≡ r  |yⁱ| ≡ y (2.61) sehingga turunan komponen waktu dari T_absangat kecil, maka, di dalam inte- gral dari persamaan (2.60), kontribusi yang dominan berasal dari pertukaran R oleh r:

¯h_ab(t, xⁱ) ≈ 4 r

Z

T_ab(t − r, yⁱ)d³x. (2.62) Persamaan (2.62) merupakan generalisasi dari dari persamaan (2.45). Dengan memanfaatkan hukum kekekalan

∂aT^ab= 0, (2.63)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 17

maka akan diperoleh

Z

T_tad³y = const. (2.64)

Bagian r⁻¹dari ¯h_tatidak ber-gantung waktu sehingga tidak akan berkontribusi pada bidang gelombang manapun. Hal ini akan menghasilkan persamaan (2.51). Lalu, dengan menggunakan persamaan (2.52), maka didapatkan per- samaan generalisasi dari persamaan (2.55):

¯hjk(t, xⁱ) = 2

r∂_t²Ijk(t − r). (2.65) Dengan menggunakan gauge T T , maka diperoleh

¯h^{T T}_xx = 1

r [∂^t2ł_xx(t − r) − ∂_t²ł_yy(t − r)]

¯h^{T T}_xy = 2

r ∂^t2ł_xy(t − r)

. (2.66)

2.4 Radiasi Gravitasi Sistem Bintang Ganda

Salah satu sumber gravitasi yang sangat umum adalah sistem 2 bintang yang mengorbit mengitari titik pusat massanya di bawah pengaruh gravitasi masing- masing bintang. Dari seluruh sistem bintang di alam semesta ini, kurang lebih 2/3 nya merupakan sistem bintang ganda [14]. Pendekatan untuk sumber yang bergerak lambat seperti yang dilakukan pada bagian §2.3 cukup memadai un- tuk diterapkan pada sistem bintang ganda.

Kasus yang akan ditinjau ditunjukkan pada Gambar 2.2. Dengan menga- sumsikan bahwa Hukum Newton cukup akurat, maka dengan memanfaatkan Hukum Newton (gaya gravitasi = gaya sentrifugal) dan mengambil G = 1:

M²

4R² = M ω²R : ω = V R

¹

2

, (2.67)

dimana ω merupakan kecepatan sudut orbit.

Dari Gambar 2.2 geometri untuk kasus yang ditinjau adalah:

x1(t) = R cos(ωt), y1(t) = R sin(ωt), z1(t) = 0 x₂(t) = −x₁(t), y₂(t) = −y₁(t), z₂(t) = 0.







(2.68)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 18

Gambar 2.2sistem bintang ganda yang mengitari titik pusat massa nya akibat pengaruh gravitasi masing-masing bintang. Kedua bintang memiliki massa yang sama M , dan bergerak dengan kecepatan sudut ω

Komponen tensor momen quadrupol untuk kedua bintang dapat dihitung dari persamaan (2.53):

I^xx = 2M R²cos²(ωt) = M R²(1 + cos(2ωt)), I^yy = 2M R²sin²(ωt) = M R²(1 − cos(2ωt)), I^xy = 2M R²sin(ωt) cos(ωt) = M R²sin(2ωt).











(2.69)

Tensor momen quadrupol tereduksinya adalah:

ł^xx = −ł^yy= M R²exp(−2iωt), ł^yy = M R²exp(−2iωt).







(2.70)

Dengan memasukkan persamaan (2.70) ke persamaan (2.56-2.58):

¯h_xx = −¯h_yy = − −8ω²M R²

r exp(−2iω(r − t)/r),

¯h_xy = −¯h_yy = − −8iω²M R²

r exp(−2iω(r − t)/r).











(2.71)

Dari persamaan (2.71) dapat dilihat bahwa frekuensi dari radiasi yang teremisi adalah dua kali frekuensi orbit (Ω = 2ω) yang mengimplikasikan bahwa polar- isasi gelombang yang diemisikan sistem bintang ganda ini merupakan polar- isasi melingkar dimana partikel-partikel dengan elips yang tegak lurus, seperti

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 19

yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1, berotasi dengan frekuensi sudut 2ω ter- hadap gelombang.

Sedangkan untuk radiasi gelombang gravitasi yang merambat dalam arah sumbu x ditunjukkan oleh persamaan (2.71), namun tidak dalam gauge trans- verse traceless-nya. Dengan menghilangkan komponen longitudinal xx dan xy dari ¯h^ij dan mengurangi trace, maka diperoleh:

¯hyy = −¯hxx = −−4ω²M R²

r exp(−2iω(r − t)/r). (2.72) Persamaan (2.72) merupakan polarisasi linear yang sejajar dengan bidang or- bit.