Representasi Pengetahuan :
LOGIKA
Outline
– Logika dan Set Jaringan – Logika Proposisi
– Logika Predikat Order Pertama – Quantifier Universal
– Quantifier Existensial
– Quantifier dan Set / Jaringan
Refferensi
– Giarrantano, J and G.Riley, Expert System : Principle and Programming,4
thed, PWS
Kent, 2004
– Sri Kusumadewi, Artificial Intelligence :
Teknik dan Aplikasinya, Graha Ilmu,
Yogyakarta, 2003
Logika dan Set Himpunan
(1/3)
• Representasi pengetahuan dengan symbol logika merupakan bagian dari penalaran eksak.
• Bagian yang paling penting dalam
penalaran adalah mengambil kesimpulan dari premis.
• Logika dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles (abad ke 4 SM) didasarkan
pada silogisme, dengan dua premis dan satu konklusi.
• Contoh :
– Premis : Semua laki-laki adalah makhluk hidup
– Premis : Socrates adalah laki-laki
– Konklusi : Socrates adalah makhluk hidup
Logika dan Set Himpunan
(2/3)
• Cara lain merepresentasikan pengetahuan adalah dengan Diagram Venn.
• Diagram Venn merepresentasikan sebuah himpunan yang merupakan kumpulan objek.
• Objek dalam himpunan disebut elemen.
– A ={1,3,5,7}
– B = {….,-4,-2,0,2,4,…..}
– C = {pesawat, balon}
• Symbol epsilon ε menunjukkan bahwa suatu elemen
merupakan anggota dari suatu himpunan, contoh : 1 ε A . Jika suatu elemen bukan anggota dari suatu himpunan maka symbol yang digunakan ∉, contoh : 2 ∉ A.
• Jika suatu himpunan sembarang, misal X dan Y
didefinisikan bahwa setiap elemen X merupakan elemen Y, maka X adalah subset dari Y, dituliskan : X ⊂ Y atau Y
⊃ X.
Socrates
Laki-laki Makhluk Hidup
Logika dan Set Himpunan
(3/3)
• Operasi-operasi Dasar dalam Diagram Venn:
– Interseksi (Irisan)
C = A ∩ B
C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
Dimana : ∩ menyatakan irisan himpunan
| dibaca “sedemikian hingga”
∧ operator logika AND – Union (Gabungan)
C = A ∪ B
C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Dimana : ∪ menyatakan gabungan himpunan
∨ operator logika OR – Komplemen
A’ = {x ∈ U | ~(x ∈ A) }
Dimana : ’ menyatakan komplemen himpunan
~ operator logika NOT
A C B U
A C B U
A
U
A’
Logika Proposisi (1/)
• Disebut juga kalkulus proposisi yang merupakan logika simbolik untuk memanipulasi proposisi.
• Proposisi merupakan pernytaan yang dapat bernilai benar atau salah.
• Operator logika yang digunakan :
Operator Fungsi
∧ Konjungsi (AND/DAN)
∨ Disjungsi (OR/ATAU)
~ Negasi (NOT/TIDAK)
Æ Implikasi/Kondisional (IF..THEN../JIKA.. MAKA….)
↔ Equivalensi/Bikondisional
(IF AND ONLY IF / JIKA DAN HANYA JIKA) p ↔ q ≡ (pÆq) ∧ (qÆp)
Logika Proposisi 2/)
• Kondisional merupakan operator yang analog dengan production rule.
• Contoh 1 :
“ Jika hujan turun sekarang maka saya tidak pergi ke pasar”
Kalimat di atas dapat ditulis : p Æ q Dimana : p = hujan turun
q = saya tidak pergi ke pasar
• Contoh 2 :
p = “Anda berusia 21 atau sudah tua”
q = “Anda mempunyai hak pilih”
• Kondisional p Æ q dapat ditulis/berarti :
Kondisional Berarti
p implies q Anda berusia 21 tahun atau sudah tua implies Anda mempunyai hak pilih.
Jika p maka q Jika Anda berusia 21 tahun atau sudah tua, maka Anda mempunyai hak pilih.
p hanya jika q Anda berusia 21 tahun atau sudah tua, hanya jika Anda mempunyai hak pilih.
p adalah (syarat
cukup untuk q) Anda berusia 21 tahun atau sudah tua adalah syarat cukup Anda mempunyai hak pilih.
q jika p Anda mempunyai hak pilih, jika Anda berusia 21 tahun atau sudah tua.
q adalah (syarat
perlu untuk p) Anda mempunyai hak pilih adalah syarat perlu Anda berusia 21 tahun atau sudah tua.
Logika Proposisi (3/)
• Tautologi : pernyataan gabungan yang selalu bernilai benar.
• Kontradiksi : pernyataan gabungan yang selalu bernilai salah.
• Contingent : pernyataan yang bukan tautology ataupun kontradiksi.
• Tabel Kebenaran untuk logika konektif :
• Tabel kebenaran untuk negasi konektif :
p q p ∧ q p ∨ q p Æ q p ↔ q
T T T T T T
T F F T F F
F T F T T F
F F F F T T
p ~p
T F
F T
Logika Predikat Order Pertama
(1/)
• Disebut juga kalkulus predikat, merupakan logika yang digunakan untuk merepresentasikan
masalah yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan proposisi.
• Logika predikat dapat memberikan representasi fakat-fakta sebagai suatu pernyataan yang mapan (well form).
• Syarat-syarat symbol dalam logika predikat : – himpunan huruf, baik huruf kecil maupun huruf
besar dalam abjad.
– Himpunan digit (angka) 0,1,2,…9 – Garis bawah “_”
– Symbol-simbol dalam logika predikat dimulai
dengan sebuah huruf dan diikuti oleh sembarang rangkaian karakter-karakter yang diijinkan.
– Symbol-simbol logika predikat dapat
merepresentasikan variable, konstanta, fungsi atau
predikat
(2/)
• Konstanta : objek atau sifat dari semesta pembicaraan.
Penulisannya diawali dengan huruf kecil, seperti : pohon, tinggi. Konstanta true (benar) dan false (salah) adalah symbol kebenaran (truth symbol).
• Variable : digunakan untuk merancang kelas objek atau sifat-sifat secara umum dalam semesta pembicaraan.
Penulisannya diawali dengan huruf besar, seperti : Bill, Kate.
• Fungsi : pemetaan (mapping) dari satu atau lebih elemen dalam suatu himpunan yang disebut domain fungsi ke dalam sebuah elemen unik pada himpunan lain yang disebut range fungsi. Penulisannya dimulai dengan huruf kecil. Suatu ekspresi fungsi merupakan symbol fungsi yang diikuti argument.
• Argument adalah elemen-elemen dari fungsi, ditulis diapit tanda kurung dan dipisahkan dengan tanda koma.
• Predikat : menamai hubungan antara nol atau lebih objek dalam semesta pembicaraan. Penulisannya dimulai
dengan huruf kecil, seperti : equals, sama dengan, likes, near.
• Contoh kalimat dasar :
teman(george,allen)
teman(ayah_dari(david),ayah_dari(andrew)) dimana :
argument : ayah_dari(david) adalah george argument : ayah_dari(andrew) adalah allen predikat : teman
Universal Quantifier dan Existensial Quantifier
– Operator logika konektif : ∧,∨, ~, Æ, ≡.
– Logika kalkulus orde pertama mencakup symbol universal quantifier ∀ dan
existensial quantifier ∃.
• Menunjukkan semua kalimat adalah benar untuk semua nilai variabelnya.
• Direpresentasikan dengan symbol ∀ diikuti satu atau lebih argument untuk suatu domain variable.
• Symbol ∀ diinterpretasikan “untuk setiap” atau “untuk semua”.
• Contoh 1 :
(∀x) (x + x = 2x)
“untuk setiap x (dimana x adalah suatu bilangan), kalimat x + x = 2x adalah benar.”
• Contoh 2 :
(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing Æ x adalah binatang) Kebalikan kalimat “bukan kucing adalah binantang” ditulis :
(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing Æ ~x adalah binatang) dan dibaca : - “setiap kucing adalah bukan binantang”
-“semua kucing adalah bukan binantang”
Universal Quantifier (2/2)
• Contoh 3:
(∀x) (Jika x adalah segitiga Æ x adalah polygon)
Dibaca : “untuk semua x, jika x adalah segitiga, maka x adalah polygon”
dapat pula ditulis : (∀x) (segitiga(x) Æ polygon(x)) (∀x) (T(x) Æ P(x))
• Contoh 4 :
(∀x) (H(x) Æ M(x))
Dibaca : “untuk semua x, jika x adalah manusia (human) , maka x melahirkan (mortal)”.
Ditulis dalam aturan : IF x adalah manusia THEN x melahirkan
• Digambar dalam jaringan semantic :
Human Mortal
Existensial Quantifier
• Menunjukkan semua kalimat adalah benar untuk suatu nilai tertentu dalam sebuah domain.
• Direpresentasikan dengan symbol ∃ diikuti satu atau lebih argument.
• Symbol ∃ diinterpretasikan “terdapat” atau “ada”, “paling sedikit satu”, “terdapat satu”, “beberapa”.
• Contoh 1 :
(∃x) (x . x = 1)
Dibaca : “terdapat x yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.”
• Contoh 2 :
(∃x) (gajah(x) ∧ nama(Clyde))
Dibaca : “beberapa gajah bernama Clyde”.
• Contoh 3 :
(∀x) (gajah(x) Æ berkaki empat(x)) Dibaca : “semua gajah berkaki empat”.
Universal quantifier dapat diekspresikan sebagai konjungsi.
(∃x) (gajah(x) ∧ berkaki tiga(x))
Dibaca : “ada gajah yang berkaki tiga”
• Existensial quantifier dapat diekspresikan sebagai disjungsi dari urutan ai. P(a1) ∨ P(a2) ∨ P(a3) …∨ P(aN)
Quantifier dan Sets (1/2)
Set Expression Logical Equivalent A = B
A ⊆ B A ∩ B A ∪ B µ (universe) φ (empty set)
∀ x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
∀ x (x ∈ A Æ x ∈ B)
∀ x (x ∈ A ∧ x ∈ B)
∀ x (x ∈ A ∨ x ∈ B) T (True)
F (False)
- Relasi A proper subset dari B ditulis A ⊂ B, dibaca
“semua elemen A ada pada B”, dan “paling sedikit satu elemen B bukan bagian dari A”.
- Hukum de Morgan berlaku untuk analogi himpunan dan bentuk logika :
Himpunan Logika
(A∩B)≡A’∪B’ ~(p∧q) ≡p∨ ~q (A∪B)≡A’∩B’ ~(p∨q) ≡p ∧~q
Quantifier dan Sets (2/2)
• Contoh :
Diketahui : E = elephant R = reptile G = gray
F = four legged D = dogs
M = mammals Set expression Berarti
E ⊂ M “elephant termasuk mammals”, tetapi tidak semua mammals adalah elephant
(E ∩ G ∩ F) ⊂ M “elephant yang berwarna gray dan memiliki four legged termasuk mammals”
E ∩ R = φ “tidak ada elephant yang termasuk reptile”
E ∩ G ≠ φ “beberapa elephant berwarna gray”
E ∩ G = φ “tidak ada elephant yang berwarna gray”
E ∩ G’ ≠ φ “beberapa elephants tidak berwarana gray”
E ⊂ (G ∩ F) “semua elephants berwarna gray dan memiliki four legged”
(E ∪ D) ⊂ M “semua elephants dan dogs termasuk mammals”
(E ∩ F ∩ G) ≠ φ “beberapa elephants memiliki four legged dan berwarna gray”
