TRANSPORTATION PROBLEM. D0104 Riset Operasi I Kuliah XXIII - XXV

TRANSPORTATION PROBLEM

D0104 Riset Operasi I

Kuliah XXIII - XXV

Pendahuluan



Transportation Problem merupakan aplikasi dari programa linier untuk menentukan bagaimana

mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang

minimum.



Metoda penyelesaian transportation problem dapat digunakan dua cara, yaitu :



Menggunakan metoda simpleks.



Menggunakan metoda yang khusus untuk

transportation problem

Contoh Transportation Problem

TUJUAN ASAL

Transportation Model

Ada m sumber dan n tujuan, a_i jumlah unit yang tersedia pada tiap sumber dan akan dikirim tujuan. b_j merupakan permintaan dari tiap tujuan. c_ij merupakan biaya transportasi per unit yang dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb :



 



^m

i

n

j

ij ij

x c x

1 1

0

0 ,...., 2

, 1

;

,...., 2

, 1

;

1 1



















ij m

i

ij n

j

i ij

x

n j

bj x

m i

a x

Obyektif

Pembatas

Kesetimbangan Model Transportasi

 Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama dengan jumlah permintaan pada tujuan.

 Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan

permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak setimbang.

 Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan sumber atau tujuan yang bersifat dummy

 Jika suplai  demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah

ai - bj. Jika demand  suplai, tambahkan sumber dummy untuk mensuplai sejumlah bj - ai.



 

 



     

 



 



 



 



  ^m

i

i m

i

n

j

ij n

j

m

i

ij n

j

j x x a

b

1

1 1

1 1

1

Teknik Transportasi

(Lanjutan) Biaya

dari i ke j Cara Penyelesaian :

Dengan Tabulasi

S U M B E R

T U J U A N

1

2

3

1 2 3 4

b₁

b₂

b₃ Jumlah

dari i ke j

a1 a2 a3 a4

K a p a s i t a s

Teknik Transportasi

(Metoda Penyelesaian)



Mendapatkan Solusi Awal



Northwest Corner (NWCR)



Least Cost



Vogel Approximation (VAM)



Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir)



Stepping Stone



Multiplier (UV Method)

Mendapatkan Solusi Awal



Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang

tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis (dalam metoda simplex membentuk matrix

satuan).



Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya

feasibel dan optimal.



Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah

feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal

tersebut harus diuji terlebih dulu.

Mendapatkan Solusi Awal

Menggunakan Northwest Corner



Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan

metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.



Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.



Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan bawah.



Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang

jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi

sumber, n = jumlah lokasi tujuan).

Contoh: Pengisian Dengan NWCR

Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya angkut per-unit produk ada pada tabel.2

Pabrik Kapasitas Pasar Permintaan

A 100 P1 50

B 150 P2 125

C 75 P3 100

P4 50

Ke Dari

P a s a r

P1 P2 P3 P4 P

a b r

i k

A 10 15 5 20

B 15 5 10 5

C 25 10 5 15

Untuk penyelesaiannya dibuat tabel transportasi sbb :

Contoh: Pengisian Dengan NWCR

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50 50

75

75 75 75

25

25 50 50

Total Biaya Distribusi = 50 * 10 + 50 * 15 + 75 * 5 + 75 * 10 + 25 * 5 + 50 * 15

= 3250

Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





125 25

100

25

25

25 50

50

Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 125 * 5 + 25 * 5 + 50 * 25 + 25 * 15

= 2875

Contoh: Pengisian Dengan VAM

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





Penalti :

Penalti :

5 5 0 10

5 0 10 100

10 5 10

50

5 0

10 5

10 15 75

50 50

Contoh: Pengisian Dengan VAM

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





100

50 75

50 50

Total Biaya Distribusi = 100 * 5 + 50 * 15 + 50 * 5 + 50 * 5 + 75 * 10

= 2500

Mendapatkan Solusi Akhir

1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis.

2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk

melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n – 1 3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n –1, harus

ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai 0 pada variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil.

4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda (Stepping Stone atau Multiplier).

Lihat Contoh

Solusi Akhir

100

Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya kurang dari m + n - 1

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 75

50 50

Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari m + n – 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan meletakan nilai 0 di kotak yang mempunyai ‘cost’ paling kecil

0

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

 Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan lingkaran warana hijau).

 Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :

1. Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan

menggunakan suatu loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.

Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :

(A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)

 (A,P3)

2. Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum jam.

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

3. Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai ‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari tiap kotak.

4. Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya

sampai kembali ke kotak awal.

5. Contoh :

(A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)  (A,P3) tandanya

+  -  +  -  +

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50

75 75

25 50

Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : 5 – 10 + 5 – 15 = -15.

Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1 sampai 5

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50

75 75

25 50

-15

(A,P4) = (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4)

= 20 – 15 + 5 – 10 + 5 – 15 = -10

Dan seterusnya untuk variabel non basis lain….

Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk pengalokasian baru

-10

-5 -5

30 10

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50

75 75

25 50

-15 -10

-5 -5

30 10

Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotak- kotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak bertanda -)

(A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-)

Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50

125 25

25 50

Total Biaya

= 2500

Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak

variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya, sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif.

(Berarti kondisi feasibel dan optimal)

Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone)

Hasil optimalnya adalah

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 100 50

50 50

Total Biaya 2000

25

5 5

10 10

15 0

Kondisi Feasibel dan Optimal

Solusi Akhir Dengan

Metoda Multiplier (UV)

1. Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal dari permasalahan transportasi.

2. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah

ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau VAM).

3. Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.

i = 1 … m dan j = 1… n

4. Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0

Solusi Akhir Dengan

Metoda Multiplier (UV)

5. Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus berikut :

Ui + Vj = Cij

Cij = merupakan nilai ‘cost’

dari kotak variabel basis

6. Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian

menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan rumus :

Cij – Ui – Vj

Cij = merupakan nilai ‘cost’ pada dari kotak variabel non basis

7. Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai

variabel non basis yang paling negatif.

Solusi Akhir Dengan

Metoda Multiplier (UV)

8. Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.

9. Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis dengan tanda +.

10. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan

adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang mempunyai tanda negatif.

11. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap.

12. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai variabel non basis yang masih negatif

Solusi Akhir Dengan Metoda Multipler (UV)

V1= V2= V3= V4=

U1=

U2=

U3=

0

10 15

-10

20

-15

15

10 15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





50 50

75 75

25 50

-15 5

0 10

25 10

Loop : (A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)  (A,P3) +  -  +  -

Iterasi I

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50 125 25

25 50

0 50

10 5

5

Iterasi II

0

0

15

15 5

-5 -15

10 10

Total Biaya 2500

Loop : (B,P4)  (C,P4)  (C,P3)  (B,P3)  (B,P4) +  -  +  -

0

Kondisi Feasibel, belum Optimal

Iterasi III

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50 125 25

25 50

0 50

10 5

-10

15

0

15

Total Biaya 2250

0 5

15 15

15 -5

Loop : (C,P2)  (B,P2)  (B,P4)  (C,P4)  (C,P2) +  -  +  -

Kondisi Feasibel, belum Optimal

Iterasi IV

10

15

15 5 20

5 10 5

25 10 5 15

A B C

P1 P2 P3 P4

75 150 100

50 125 100 50 325





V1= V2= V3= V4=

U1=

U3=

U2=

50 100 50

50

0 50

10 5

-5

10

0

15

Total Biaya 2000

25

5 5

10 10

15 0

Kondisi Feasibel dan Optimal