PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU (PPG)
MOD PENDIDIKAN JARAK JAUH
MODUL MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH
WAJ3105
LITERASI NOMBOR
INSTITUT PENDIDIKAN GURU
KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA ARAS 1, ENTERPRISE BUILDING 3, BLOK 2200, PERSIARAN APEC, CYBER 6, 63000 CYBERJAYA
Berkuat kuasa Jun 2012 Edisi September 2014
IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN DENGAN KEPUJIAN
KEPUJIANKEPUJIAN
ii Edisi September 2014
Institut Pendidikan Guru
Kementerian Pendidikan Malaysia
MODUL INI DIEDARKAN UNTUK KEGUNAAN PELAJAR-PELAJAR YANG BERDAFTAR DENGAN INSTITUT PENDIDIKAN GURU, KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA BAGI MENGIKUTI PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU (PPG) IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN.
MODUL INI HANYA DIGUNAKAN SEBAGAI BAHAN PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN BAGI PROGRAM-PROGRAM TERSEBUT.
i
Falsafah Pendidikan Kebangsaan
Pendidikan di Malaysia adalah suatu usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu secara menyeluruh dan bersepadu untuk mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi, dan jasmani berdasarkan kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan. Usaha ini adalah bagi melahirkan rakyat Malaysia yang berilmu pengetahuan, berketrampilan, berakhlak mulia, bertanggungjawab, dan berkeupayaan mencapai kesejahteraan diri serta memberi sumbangan terhadap keharmonian dan kemakmuran keluarga, masyarakat, dan negara.
Falsafah Pendidikan Guru
Guru yang berpekerti mulia, berpandangan progresif dan saintifik, bersedia menjunjung aspirasi negara serta menyanjung warisan kebudayaan negara, menjamin perkembangan individu, dan memelihara suatu masyarakat yang bersatu padu, demokratik, progresif dan berdisiplin.
Edisi September 2014 Kementerian Pendidikan Malaysia
Hak cipta terpelihara. Kecuali untuk tujuan pendidikan yang tidak ada kepentingan komersial, tidak dibenarkan sesiapa mengeluarkan atau mengulang mana-mana bahagian artikel, ilustrasi dan kandungan buku ini dalam apa-apa juga bentuk dan dengan apa-apa cara pun, sama ada secara elektronik, fotokopi, mekanik, rakaman atau cara lain sebelum mendapat izin bertulis daripada Rektor Institut Pendidikan Guru, Kementerian Pendidikan Malaysia.
Falsafah Pendidikan Kebangsaan
Falsafah Pendidikan Guru i
Panduan Pelajar ii
Pengenalan
iii
Tajuk 1 Penyelesaian Masalah
1.1 Apakah Penyelesaian Masalah? 2
1.2 Model Penyelesaian Masalah 3
1.3 Apa itu Pendekatan Heuristik? 5
1.4 Apakah Masalah Yang Baik? 5
1.5 Strategi Penyelesaian Masalah 7
1.6 Penilaian Dan Kewajaran Jawapan 20
1.7 Masalah Kehidupan Sebenar 26
Tajuk 2 Operasi Dan Pengiraan
2.1 Kaedah Pensil – Kertas 30
2.2 Mengajar Operasi Tambah dan Tolak 30
2.3 Mengajar Operasi Darab dan Bahagi 35
2.4 Kalkulator dan Komputer 37
2.5 Pengiraan Mental dan Penganggaran 43
2.6 Penggunaan Bahan Manipulatif 46
Tajuk 3 Pengukuran
3.1 Idea Intuitif Konsep Matematik
Tentang Ukuran 50
ii Cecair
3.3 Aktiviti Berkaitan Ukuran 55
Tajuk 4 Ruang
4.1 Pepejal Tiga Matra dan Bentuk Dua
Matra 62
4.1 Membina Bentuk Dua Matra dan
Pepejal Tiga Matra 68
4.2 Konsep Ruang dan Hubungannya
Dengan Aktiviti 70
Tajuk 5 Analisis dan Interpretasi Data
5.1 Membaca dan Menginterpretasi Maklumat Data Kuantitatif Yang Telah Diwakilkan Dalam Bentuk Jadual, Carta Atau Graf
77
5.2 Mengumpul, Menganalisis Dan
Mentafsir Data Bernombor 85
5.3 Meneroka Peristiwa Berkaitan Peluang 95 Panel Penulis Modul
Ikon Modul
vi PENGENALAN
Modul pembelajaran ini disediakan untuk membantu anda menguruskan pembelajaran anda agar anda boleh belajar dengan lebih berkesan. Anda mungkin kembali semula untuk belajar secara formal selepas beberapa tahun meninggalkannya. Anda juga mungkin tidak biasa dengan mod pembelajaran arah kendiri ini. Modul pembelajaran ini memberi peluang kepada anda untuk menguruskan corak pembelajaran, sumber-sumber pembelajaran, dan masa anda.
PEMBELAJARAN ARAH KENDIRI
Pembelajaran arah kendiri memerlukan anda membuat keputusan tentang pembelajaran anda. Anda perlu memahami corak dan gaya pembelajaran anda.
Adalah lebih berkesan jika anda menentukan sasaran pembelajaran kendiri dan aras pencapaian anda. Dengan cara begini anda akan dapat melalui kursus ini dengan mudah. Memohon bantuan apabila diperlukan hendaklah dipertimbangkan sebagai peluang baru untuk pembelajaran dan ia bukannya tanda kelemahan diri.
SASARAN KURSUS
Pelajar Sarjana Muda Perguruan dengan Kepujian yang mendaftar dengan Institut Pendidikan Guru, Kementerian Pelajaran Malaysia (IPG KPM) di bawah Program Pensiswazahan Guru (PPG).
JAM PEMBELAJARAN PELAJAR (JPP)
Berdasarkan standard IPG KPM yang memerlukan pelajar mengumpulkan 40 jam pembelajaran bagi setiap jam kredit. Anggaran peruntukan jam pembelajaran adalah seperti dalam Jadual 1:
vii
* Latihan amali akan dijalankan pada hari Ahad atau melalui kursus intensif.
SUSUNAN TAJUK MODUL
Modul ini ditulis dalam susunan tajuk. Jangka masa untuk melalui sesuatu tajuk bergantung kepada gaya pembelajaran dan sasaran pembelajaran kendiri anda.
Latihan-latihan disediakan dalam setiap tajuk untuk membantu anda mengingat semula apa yang anda telah dipelajari atau membuatkan anda memikirkan tentang apa yang anda telah baca. Ada di antara latihan ini mempunyai cadangan jawapan.
Bagi latihan-latihan yang tiada mempunyai cadangan jawapan adalah lebih membantu jika anda berbincang dengan orang lain seperti rakan anda atau menyediakan sesuatu nota untuk dibincangkan semasa sesi tutorial. Anda boleh berbincang dengan pensyarah, tutor atau rakan anda melalui email jika terdapat masalah berhubung dengan modul ini.
IKON
Anda akan mendapati bahawa ikon digunakan untuk menarik perhatian anda agar pada sekali imbas anda akan tahu apa yang harus dibuat.
3 Kredit 2 Kredit 1 Kredit Tanpa
Amali (3+0)
Ada Amali (2+1) (1+2) (0+3)
Tanpa Amali (2+0)
Ada Amali (1+1) (0+2)
Tanpa Amali
(1+0)
Ada Amali (0+1)
Membaca modul pembelajaran dan menyiapkan latihan / tugasan terarah / amali
70 60 70 62 70 65
Menghadiri kelas interaksi
bersemuka (5 kali) 10 10 5 5 5 5
Latihan Amali* - 10 - 8 - 5
Perbincangan Atas Talian 7½ 7½ 5½ 5½ 5½ 5½
Kerja Kursus 20 20 20 20 15 15
Ulangkaji 10 10 10 10 5 5
Amali/Peperiksaan 2½ 2½ 2½ 2½ 2½ 2½
Jumlah Jam Pembelajaran 120 80 40
viii
Tarikh dan masa peperiksaan akan diberitahu apabila anda mendaftar. Peperiksaan bertulis ini akan dilaksanakan di tempat yang akan dikenal pasti.
Soalan peperiksaan akan meliputi semua tajuk dalam modul pembelajaran dan juga perbincangan
Tip untuk membantu anda melalui kursus ini.
1. Cari sudut pembelajaran yang sunyi agar anda boleh meletakkan buku dan diri anda untuk belajar. Buat perkara yang sama apabila anda pergi ke perpustakaan.
2. Peruntukkan satu masa setiap hari untuk memulakan dan mengakhiri pembelajaran anda. Patuhi waktu yang diperuntukkan itu. Setelah membaca modul ini teruskan membaca buku-buku dan bahan-bahan rujukan lain yang dicadangkan.
3. Luangkan sebanyak masa yang mungkin untuk tugasan tanpa mengira sasaran pembelajaran anda.
4. Semak dan ulangkaji pembacaan anda. Ambil masa untuk memahami pembacaan anda.
5. Rujuk sumber-sumber lain daripada apa yang telah diberikan kepada anda.
Teliti maklumat yang diterima.
6. Mulakan dengan sistem fail agar anda tahu di mana anda menyimpan bahan- bahan yang bermakna.
7. Cari kawan yang boleh membantu pembelajaran anda.
ix
Modul ini disediakan untuk membantu anda mengikuti kursus WAJ3105 Literasi Nombor. Ia mengandungi lima tajuk seperti yang terdapat dalam pro forma kursus, iaitu 1.Penyelesaian Masalah, 2.Operasi dan Pengiraan, 3.Pengukuran, 4.Ruang, serta 5.Analisis dan Interpretasi Data.
Setiap tajuk mengandungi bahagian berikut: Sinopsis, Hasil pembelajaran, Kandungan, Aktiviti, dan Rujukan. Tugasan juga disediakan di akhir setiap tajuk.
Berusahalah untuk melakukan semua aktiviti yang dicadangkan supaya dapat mengukuhkan lagi pemahaman anda. Di mana ada peluang dan ruang berbincanglah dengan rakan sepengajian. Jika terdapat keraguan dan persoalan, rujuklah pensyarah anda. Mereka sentiasa bersedia untuk membantu.
Semua tugasan yang telah disiapkan hendaklah disimpan di dalam portfolio anda.
Ianya perlu diserahkan kepada pensyarah semasa interaksi bersemuka atau seperti mengikut jadual yang telah ditentukan.
Berikut adalah beberapa panduan penting untuk anda.
1. Optimumkan penggunaan bahan sumber yang telah disediakan.
2. Peruntukkan masa yang tetap pada setiap hari untuk mempelajari kursus ini. Baca kandungan modul dan buat semua aktiviti dan tugasan yang dicadangkan.
3. Beri masa untuk memahami apa yang dibaca dan buatlah refleksi ke atas pembacaan anda. Di mana perlu ulang dan kaji semula.
4. Berbincanglah dengan rakan-rakan dan rujuk kepada pensyarah di mana perlu.
5. Jangan lupa untuk selalu mengemaskini portfolio anda dan simpan bahan pembelajaran secara sistematik.
Kod & Nama Kursus: WAJ3105 Literasi Nombor
Kandungan modul ini dibahagi kepada __5__ tajuk/topik. Jadual di bawah menjelaskan agihan tajuk-tajuk untuk interaksi bersemuka atau pembelajaran melalui modul.
AGIHAN TAJUK
INTERAKSI TAJUK/TOPIK
JUMLAH JAM MENGIKUT PRO FORMA
KURSUS
1 Penyelesaian Masalah 6
2 Operasi dan Pengiraan 6
3 Pengukuran 6
4 Ruang 6
5 Analisis dan Interpretasi Data 6
JUMLAH 30
1
TAJUK 1 PENYELESAIAN MASALAH
SINOPSIS
Tajuk ini merangkumi pendekatan heuristik (bukan mekanikal), memahami masalah, membincangkan alat atau strategi penyelesaian yang sesuai, menilai kewajaran penyelesaian untuk analisis lanjutan dan contoh-contoh dalam kehidupan seharian.
Penyelesaian masalah merupakan salah satu fokus utama dalam kurikulum matematik kini. Menguasai kemahiran dalam penyelesaian masalah adalah penting bagi seorang individu kerana ia merupakan proses dimana individu tersebut menggunakan pengetahuan, kemahiran dan pemahaman sedia ada untuk menyelesaikan masalah baru.
HASIL PEMBELAJARAN
Mendefinisikan pengertian Penyelesaian Masalah
Mendefinisikan pengertian heuristik
Menyenaraikan empat langkah model penyelesaian masalah Polya
Membimbing pelajar untuk mengenalpasti masalah.
Menggunakan cara bukan rutin untuk menyelesaikan masalah.
Mengembangkan pendekatan heuristik dalam pernyataan dan penyelesaian masalah.
Membincangkan pelbagai strategi dan cara untuk menyelesaikan masalah.
Mengembangkan pemahaman tentang penilaian dan kewajaran jawapan.
Mengaplikasikan penyelesaian masalah dalam situasi sebenar.
2
KERANGKA TAJUK
1.1 APAKAH PENYELESAIAN MASALAH
Penyelesaian masalah mempunyai peranan penting di dalam bilik darjah.Ia boleh membantu pelajar mengembangkan kefahaman konsep matematik dan membolehkan pelajar untuk mengalami proses pengetahuan matematik yang telah dibina sebelum ini.
“ Solving problems is a practical art, like swimming, or skiing or playing the piano: you can learn it only by imitation and practice…if you wish to learn swimming you have to go into the water, and if you wish to become a problem solver you have to solve the problems. (Polya, 1962, p.v)
Perkataan "masalah" mempunyai makna tertentu dalam matematik. Masalah merujuk kepada kenyataan atau situasi kehidupan seharian yang memerlukan penyelesaian yang mana jalan penyelesaiannya tidak nyata atau tidak ketara. Anda mungkin perlu menggunakan pengetahuan sedia ada untuk mendapatkan jawapan. Dengan kata lain, penyelesaian masalah adalah (a) mencari penyelesaian masalah yang tiada penyelesaian semerta , atau (b) mencari penyelesaian masalah yang sukar diselesaikan atau (c) mengatasi halangan dalam menyelesaikan masalah, atau (d ) mencapai matlamat yang diinginkan dengan menggunakan kaedah yang sesuai . Di sini, penyelesaian masalah merujuk kepada proses penyelesaian masalah.
Penyelesaian Masalah
Apakah Heuristik?
Memahami Masalah
Strategi Penyelesaian Masalah
Penilaian dan Kewajaran Jawapan
Masalah Kehidupan Seharian
3 Adalah penting untuk membezakan antara mengajar penyelesaian masalah dengan menggunakan penyelesaian masalah sebagai strategi pengajaran. Pengajaran penyelesaian masalah mengajar pelajar bagaimana menyelesaikan masalah. Ini adalah sesuatu yang sering dilakukan guru matematik dan sains. Sebaliknya, penyelesaian masalah sebagai strategi pengajaran adalah teknik pengajaran yang mana masalah digunakan sebagai cara untuk membantu pelajar memahami atau memperoleh kecelikan dalam meneroka matematik.
1.2 MODEL PENYELESAIAN MASALAH POLYA
Menurut Polya (1957), penyelesaian masalah terdiri daripada empat langkah.
Langkah pertama ialah memahami masalah. Tanpa memahami masalah, pelajar tidak akan dapat mencari penyelesaian yang tepat. Setelah pelajar memahami masalah, mereka merancang strategi penyelesaian. Langkah ketiga adalah melaksanakan strategi. Seorang penyelesai masalah yang baik akan menyemak semula penyelesaian kepada masalah tersebut.
Langkah 1: Memahami masalah
Berikut adalah soalan yang boleh digunakan untuk membantu murid memahami masalah:
Adakah anda faham ayat tersebut?
Bolehkah anda menyatakan semula masalah tersebut dengan ayat anda sendiri?
Apakah yang anda cuba cari atau lakukan?
Apakah maklumat yang anda dapat daripada masalah tersebut?
Apakah yang tidak diketahui?
Apakah maklumat yang tiada atau tidak diperlukan?
Langkah 2: Merancang strategi
Soalan-soalan berikut boleh dijadikan panduan ketika merancang strategi penyelesaian masalah:
Apakah perhubungan antara data dengan perkara yang tidak diketahui?
4
Adakah masalah ini sama dengan masalah yang pernah anda selesaikan sebelum ini?
Apakah strategi yang boleh anda gunakan?
Langkah 3: Melaksanakan strategi.
Berikut adalah panduan yang boleh digunakan dalam melaksanakan strategi penyelesaian masalah:
Laksanakan strategi yang telah dipilih dan selesaikan masalah tersebut.
Semak setiap langkah yang telah dilaksanakan.
Pastikan langkah-langkah yang dipilih adalah tepat.
Langkah 4: Menyemak Semula
Langkah ini sering diabaikan dalam penyelesaian masalah. Sebagai guru matematik , anda perlu sentiasa mengingatkan pelajar menyemak jawapan mereka. Gunakan panduan berikut ketika melaksanakan langkah ini:
Baca semula soalan.
Adakah anda menjawab soalan yang dikemukakan?
Adakah jawapan anda betul?
Adalah jawapan anda munasabah?
Sebagai seorang guru matematik, anda perlu mengajar pelajar anda cara untuk menyelesaikan masalah matematik. Penggunaan model penyelesaian Polya merupakan langkah pertama menyelesaikan masalah masalah dengan baik. Pada Langkah 2 model ini, anda harus mengetahui pelbagai strategi penyelesaikan masalah. Pada bahagian seterusnya anda akan mengenalpasti beberapa strategi yang boleh digunakan.
5 1.3 APA ITU PENDEKATAN HEURISTIK?
Heuristik merangkumi semua bidang penyelesaian masalah baik masalah teknikal (rutin) dan bukan teknikal (bukan rutin). Ia merupakan satu set cadangan dan soalan yang harus difikirkan oleh pelajar untuk membantunya dalam penyelesaian masalah.
Ianya bukan algoritma penyelesaian masalah tetapi satu cara berfikir untuk melihat dan menyelesaikan sesuatu masalah dari pelbagai aspek. Penyelesai masalah mengunakan heuristik untuk meneroka konsep matematik untuk menyelesaikan masalah. Heuristik juga boleh dikatakan sebagai proses memikirkan cara penyelesaian masalah yang kadang kala tidak disedari atau dikenali sebagai heuristik oleh penyelesai masalah tersebut.
Berikut adalah beberapa heuristik yang biasa digunakan dalam Matematik:
Membentuk masalah yang setara
Mengubahusuai masalah
Memilih notasi berkesan
Meneroka simetri
Membahagikan kepada kes tertentu
Menggunakan situasi yang bercanggah
Menyemak persamaan
Mempertimbangkan kes ekstrim
Membuat Generalisasi
1.4 APAKAH MASALAH YANG BAIK?
Masalah yang baik mampu mencabar dan memupuk minat pelajar. Guru boleh memberikan masalah yang tidak terlalu sukar tetapi memerlukan cara penyelesaian yang pelbagai. Masalah yang baik bukan saja relevan dengan topik matematik yang diajar tetapi juga berkait rapat dengan pengalaman hidup pelajar itu sendiri. Pelajar akan lebih seronok dan bermotivasi sekiranya masalah itu bermakna dalam kehidupan seharian mereka.
6 1.4.1 Peryataan Masalah: Permulaan kepada Penyelesaian Masalah.
Kadangkala sesuatu pernyataan masalah itu sendiri merupakan penyebab utama pelajar mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah. Ini disebabkan pelajar keliru dengan perkataan „jika’, ‘sekiranya’, ‘katakan’, ‘anggapkan’. Ini disebabkan oleh kekangan dalam memori pelajar yang tidak dapat menerima terlalu banyak maklumat pada suatu masa. Untuk membantu mengurangkan masalah ini soalan berbentuk „sekiranya’ boleh diabaikan/dikurangkan dan lebih berfokus kepada apa yang diminta dalam masalah tersebut.
Penyataan masalah hanyalah sumber maklumat. Pelajar tidak perlu menghurai, menyusun, menyenarai, menyatakan semula, menafsirkan atau menganalisis pernyataan masalah tersebut. Peringkat awal penyelesaian masalah hanya melibatkan proses mengenalpasti apa yang diminta oleh soalan. Inilah yang dimaksudkan sebagai memahami masalah.
1.4.2 Kaedah untuk Membantu Pelajar yang Lemah
Guru boleh mengurangkan kerisauan pelajar dalam penyelesaian masalah dengan menggalakkan komunikasi dan kerjasama di kalangan pelajar. Seterusnya, masalah yang diutarakan boleh dipermudahkan. Guru harus tahu bila ia perlu membantu murid dalam tugasannya tetapi perlu diingatkan bahawa matlamat akhirnya ialah murid boleh meneroka sendiri pelbagai strategi yang diperlukan untuk membantu dirinya menyelesaikan masalah tersebut
Seorang guru harus mengelak daripada memberikan jawapan kepada pelajar. Guru boleh meminta pelajar menerangkan jalan penyelesaian yang telah difikirkannya dan menanyakan soalan yang boleh membimbing kepada pelajar menemui apa yang tidak dilihat sebelumnya atau menyarankan idea-idea baru untuk diteroka.
Sebagai seorang guru, anda boleh menggunakan soalan-soalan seperti berikut:
• "Apa yang akan terjadi sekiranya ....?"
7
• Jika anda memikirkan sedemikian ...?"
"Bagaimana anda mencari.?"
1.4.3 Masalah Rutin dan Bukan Rutin
Secara umum, masalah boleh diklasifikasikan sebagai masalah rutin dan masalah bukan rutin. Masalah rutin hanya memerlukan beberapa prosedur seperti operasi aritmetik untuk mendapatkan penyelesaian. Contoh masalah rutin adalah seperti berikut:
"Berapa luaskah tempat letak kereta yang berukuran 100 m kali 100 m?"
Sebaliknya, jika situasi masalah itu tidak boleh diselesaikan mengikut kaedah pengiraan biasa maka ia dikenali sebagai masalah bukan rutin. Dalam situasi seperti itu, pelajar meneroka cara penyelesaian yang lebih mendalam untuk menyelesaikan masalah tersebut. Contoh masalah bukan rutin adalah seperti berikut:
"Anggarkan bilangan rambut yang ada di kepala anda?"
1.5 STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH
Strategi umum merujuk kepada prosedur yang akan membantu anda untuk memilih pengetahuan dan kemahiran yang digunakan di semua langkah penyelesaian masalah. Strategi yang dipilih harus fleksibel agar dapat digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah. Berikut adalah beberapa strategi yang boleh digunakan.
Strategi 1 : Teka dan Uji
Strategi teka dan uji merupakan strategi penyelesaian masalah yang paling asas.
Strategi ini menggalakkan kita membuat tekaan dan menguji samada jawapan kita betul atau salah. Proses ini diulang sehingga jawapan yang betul ditemui. Langkah- langkah dalam strategi ini adalah seperti berikut:
8
Teka jawapan
Semak jawapan yang diteka. Adakah ia penyelesaian kepada masalah tersebut?
Gunakan maklumat yang disemak untuk meneka jawapan lain.
Ulang langkah di atas sehingga anda mendapat jawapan yang betul.
Contoh 1:
s u n + f u n s w i m
sun dan fun mewakili dua nombor tiga digit dan swim adalah hasiltambah empat digit bagi kedua nombor tersebut. Dengan menggunakan digit 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 sebagai mewakili satu abjad di atas, cari nilai bagi setiap abjad.
Penyelesaian:
Langkah 1 : Memahami masalah
Setiap abjad dalam sun, fun dan swim hendaklah digantikan dengan digit 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 untuk mendapatkan jumlah yang tepat. Dua digit terakhir sun dan fun adalah sama.
Langkah 2: Merancang penyelesaian
Gunakan strategi teka dan uji. Apabila abjad n digantikan dengan salah salah daripada digit maka, n + n mesti m atau 10 + m.
Memandangkan 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6 dan 6 + 6 = 12, terdapat 3 nilai yang mungkin bagi n iaitu 1, 3 atau 6.
9 Langkah 3: Melaksanakan penyelesaian
Jika n = 1, maka n + n = 1 + 1 = 2. Oleh itu, m = 2
Jika n = 3, maka n + n = 3 + 3 = 6. Oleh itu, m = 6
Jika n = 6, maka n + n = 6 + 6 = 12. Oleh itu, 10 + m = 12, maka m = 2.
Perhatikan bahawa sun dan fun adalah nombor 3 digit manakala swim ialah nombor empat digit. Oleh itu, apabila s dan f ditambah nilainya sudah menjadi ribu. Maka, nilai untuk s dalam swim adalah 1. Ini memberikan hanya dua pilihan untuk n iaitu 3 atau 6. Memandangkan s + f adalah nombor dua digit dan s = 1, maka f = 9. Terdapat dua kemungkinan:
(a) 1 u 3 (b) 1 u 6
+ 9 u 3 + 9 u 6
1 w i 6 1 w i 2
Dalam (a), jika u = 0, 2 atau 7, tiada nilai yang mungkin bagi i dalam digit yang tinggal.
Dalam (b), jika u = 3, maka u + u ditambah dengan digit puluh dari 6 + 6 memberikan i = 7. Ini bermakna w = 0. Oleh itu, jawapannya ialah s = 1, n = 6, f = 9, I = 7 dan w = 0.
Langkah 4: Menyemak Semula
Semak semula jawapan dengan menggantikan nilai yang diperolehi tadi untuk memastikan bahawa jawapan itu betul.
s u n 1 3 6
+ f u n + 9 3 6
s w i m 1 0 7 2
10 Dalam rajah di bawah, nombor di dalam segiempat adalah
hasiltambah nombor di dalam bulatan di sebelah kiri dan kanannya.
Cari nombor di dalam setiap bulatan dengan menggunakan strategi teka dan uji.
41 49
36
Strategi 2: Mengurus Maklumat dalam Carta, Jadual atau Graf.
Strategi ini membantu mempamerkan maklumat dalam bentuk carta, jadual dan graf supaya ia boleh dibaca dan ditafsirkan dengan cepat dan mudah.
Graf boleh digunakan untuk menunjukkan perhubungan antara dua atau lebih set kumpulan fakta atau maklumat. Maklumat ini boleh dipamerkan sebagai piktograf, carta bar atau graf garis.
Anda perlu mahir membaca carta, jadual ataupun graf untuk mendapatkan maklumat dan kemudian belajar bagaimana membina carta tersebut untuk melaporkan maklumat. Membaca dan membina graf adalah kemahiran yang perlu dikuasai sebelum mentafsir, menganalisis dan menggunakan maklumat. Strategi ini membolehkan anda melihat hubungan dan pola maklumat.
Contoh 2:
Keluasan suatu segiempat tepat ialah 120 cm2. Panjang dan lebarnya adalah nombor bulat. Apakah dua nilai yang mungkin bagi panjang dan lebar nya? Apakah nilai yang
11 akan memberikan perimeter yang terkecil?
Penyelesaian:
Langkah 1: Memahami masalah
Maklumat yang diberikan, Luas = 120 cm2. Luas = panjang x lebar.
Langkah 2: Merancang penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah, cuba cari semua nilai panjang dan lebar yang mana hasildarabnya ialah 120.
Langkah 3: Melaksanakan penyelesaian
Bina satu jadual panjang dan lebar seperti berikut:
Lebar 2 3 4 5 6 8 10
Panjang 60 40 30 24 20 15 12
Perimeter 124 86 68 58 52 46 44
Dari jadual di atas, perimeter yang terkecil ialah 44 cm.
Langkah 4: Menyemak semula
Semak jawapan anda untuk memastikan bahawa jawapan anda betul
Panjang = 12, Lebar = 10.
Luas = panjang x lebar = 12 x 10 Perimeter = 2 (12 + 10) = 4
12
Strategi 3: Mencari Pola
Apabila anda menggunakan strategi ini, anda dikehendaki mencari pola dalam data atau maklumat yang diberikan. Seterusnya, buat ramalan dan generalisasi berdasarkan analisis anda. Suatu pola ialah pengulangan sistematik yang tetap. Ia mungkin dalam bentuk angka, visual atau perlakuan. Dengan mengenalpasti pola, anda boleh meramalkan apa akan berlaku seterusnya. Mencari pola ialah satu strategi yang penting dalam penyelesaian masalah , dan boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah. Kadang-kadang anda boleh menyelesaikan masalah hanya dengan mengecam pola, tetapi selalunya anda perlu melanjutkan pola untuk mencari penyelesaian. Selalunya membina jadual dari maklumat akan mendedahkan suatu pola, dan strategi membina jadual kerap digunakan bersama dengan strategi ini.
Contoh 3:
Cari dua nombor seterusnya dalam siri berikut:
7 10 14 19 25
Berapakah cara untuk mendapatkan jawapan 21 daripada nombor 1, 4, 8 dan 16.
13 Penyelesaian:
Perhatikan nombor dalam siri berikut. Apakah hubungan di antara dua nombor berturutan. Cari pola untuk mencari nombor-nombor yang seterusnya.
+3 +4
Oleh itu, dua nombor yang seterusnya ialah 32 dan 40.
+5 +6 +7 +8
7 10 14 19 25 32 40
Lina diberikan sepuluh wang syiling 50-sen oleh datuknya pada harijadinya yang ke-5. Jika bilangan wang syiling dalam tabungnya berjumlah 50 keping seminggu selepas harijadinya dan bilangannya selepas seminggu ialah 90 keping, dalam berapa harikah dia akan mengumpulkan RM 135? Bincangkan strategi “mencari pola” untuk mencari jawapannya.
14 Strategi 4: Memudahkan Masalah
Strategi memudahkan masalah selalunya digunakan dengan strategi lain.
Memudahkan masalah ialah satu cara memudahkan proses penyelesaian masalah.
Menulis semula masalah, menggunakan nombor-nombor yang lebih kecil atau menukarkan masalah kepada bentuk yang lebih bermakna akan membantu menentukan penyelesaian sesuatu masalah. Kebanyakan masalah boleh dipecahkan kepada masalah yang lebih kecil dan apabila digabungkan kemudian akan memberikan penyelesaian. Ada masalah yang boleh diselesaikan dengan bekerja secara songsang. Bagi masalah yang tidak boleh diselesaikan dalam satu langkah, ianya boleh dipecahkan kepada beberapa kes dan diselesaikan secara berasingan.
Contoh 4:
Berapakah segiempat tempat yang terdapat dalam grid 7 kali 7.
Penyelesaian:
Anda boleh menyelesaikan masalah ini dengan mengira bilangan segiempat. Walau bagaimana pun proses pengiraan ini mengambil masa yang lama. Segiempat tersebut boleh dipecahkan kepada beberapa segiempat dan dengan mencari pola akan membantu menyelesaikan masalah dengan pantas.
15
1 x 1 1 segiempat
2 x 2
3 x 3
4 x 4
1 + 4
1 + 4 + 9
1 + 4 + 9 + 16
5 segiempat
14 segiempat
30 segiempat
Sekiranya saiz grid itu adalah n x n maka jumlah segiempat sama diperolehi dengan menambah nombor yang dikuasa dua dari 12 hingga n2.
Oleh itu, grid 7 x 7 terdiri daripada 1+4+9+16+25+36+49 = 140 segiempat sama.
Menara Hanoi
Satu daripada tiga menara di atas mempunyai 10 cakera mengikut peningkatan saiz Berapakah kiraan yang paling minima untuk memindahkan kesemua 10 cakera dari satu menara ke menara yang lain yang mana hanya satu cakera boleh dipindahkan pada satu masa dan cakera yang besar tidak boleh diletakkan di atas cakera yang kecil.
16 Strategi 5: Simulasi/ melakonkan
Kadangkala sesuatu masalah itu sukar digambarkan atau dikenalpasti prosedur yang sesuai untuk menyelesaikannya. Melakonkan situasi masalah itu mungkin boleh membantu menyelesaikan masalah tersebut. Anda boleh menggunakan orang atau objek sebenar seperti yang diceritakan dalam masalah tersebut atau mewakilinya dengan objek lain. Melakonkan semula masalah akan membantu menyelesaikan masalah tersebut atau pun membantunya menjumpai strategi lain yang boleh menentukan penyelesaian masalah tersebut. Strategi ini sangat efektif untuk kanak- kanak.
Contoh 5:
Ada 5 orang dalam sebuah bilik dan setiap orang akan berjabat tangan dengan setiap orang sekali. Berapakah bilangan „jabat tangan‟ yang dibuat dalam bilik tersebut.?
Dengan bantuan empat orang sahabat, lakonkan situasi masalah ini. Dua orang akan berjabat tangan, ini akan dikira sebagai jabat tangan pertama. Kemudian tiga orang akan berjabat tangan sesama mereka. Perhatikan berapa bilangan jabat tangan yang dibuat apabila 3 orang melakukannya. Seterusnya, ulang proses yang sama untuk empat orang. Catatkan bilangan jabat tangan yang berlaku.
Setelah melakonkan semula situasi masalah tersebut didapati berlaku 1 jabat tangan untuk 2 orang, 3 jabat tangan untuk 3 orang dan 6 jabat tangan untuk 4 orang.
Sekiranya anda orang yang kelima, anda akan berjabat tangan dengan setiap daripada 4 orang tadi. Maka, jumlah jabat tangan ialah 6 + 4 = 10.
17 Sebuah keluarga ingin menyeberang sebuah sungai dengan sampan. Keluarga tersebut terdiri dari ayah, ibu, anak lelaki dan anak perempuan. Sampan itu hanya boleh membawa seorang dewasa dan satu atau dua kanak-kanak pada satu masa. Dengan menggunakan strategi simulasi, cari bilangan minimum keluarga itu boleh menyeberang.
Sumber : Fisher, R. & Vince, A. (1998). Investigating maths Book 1.Oxford : Blackwell Education.
Strategi 6: Melukis Gambarajah
Melakar dan melukis gambarajah adalah satu strategi yang boleh membantu dalam penyelesaian masalah. Pelajar dapat menterjemahkan masalah dalam bentuk matematik dengan melukis rajah atau gambar yang sesuai kerana gambarajah menjadi perantara antara konkrit dan abstrak. Gambarajah yang dilukis haruslah kemas, tepat dan mengikut skala.
Contoh 6:
Yuran keahlian kelab bagi lelaki dan wanita adalah dalam nisbah 4:3. Sekumpulan 2 lelaki dan 5 wanita membayar sejumlah RM4600 sebagai yuran keahlian. Berapakah yuran keahlian untuk seorang lelaki?
18 Penyelesaian
Masalah ini boleh diselesaikan dengan menggunakan algebra. Walau bagaimana pun ianya juga mudah diselesaikan dengan menggunakan gambarajah.
2 lelaki 5 wanita
Lelaki = 8 bahagian Perempuan = 15 bahagian Jumlah kesemua bahagian = 8 + 15 = 23
Jumlah yuran keahlian = RM 4600
Oleh, itu, setiap bahagian = RM 4600 = RM 200 23
Oleh itu, yuran keahlian seorang lelaki = RM 200 X 4 = RM 800
Sekiranya sebuah kek berukuran lapan sentimeter persegi boleh dibahagikan kepada empat orang, berapa banyakkah kek berukuran 12 sentimeter persegi yang diperlukan untuk dibahagikan kepada 18 orang? Selesaikan dengan menggunakan strategi melukis gambarajah.
19 Strategi 7: Bekerja Secara Songsang
Bagi sesetengah masalah, adalah lebih mudah bekerja secara songsang, iaitu dengan menggunakan penyelesaian akhir untuk melihat bagaimanakah proses di awal penyelesaian tersebut untuk mendapatkan jawapannya. Contoh di bawah menunjukkan strategi iini.
Contoh 7:
Amira mengambil sekumpulan jubin berwarna dari sebuah kotak. Grace mengambil 13 jubin dari kumpulan jubin Amira. Ken mengambil separuh daripada jubin yang tinggal. Ada 11 jubin yang tinggal untuk Amira. Berapakah jumlah asal bilangan jubin yang diambil oleh Amira pada awalnya?
Penyelesaian:
Masalah ini boleh diselesaikan dengan bermula daripada bilangan jubin yang tinggal dan bekerja secara songsang unuk mendapatkan jawapannya. Oleh itu, semua jubin yang telah diambil daripada Amira perlulah di‟ambil‟ balik untuk mendapatkan bilangan Jubin yang asal.
Bilangan jubin yang tinggal = 11 Tambah jubin yang diambil
oleh Ken
= 11 + 11 = 22
Tambah jubin yang diambil oleh Grace
= 22 + 13 = 35
Oleh itu, pada awalnya Amira ada 35 jubin
20 1.6 PENILAIAN DAN KEWAJARAN JAWAPAN
Perkara yang penting dalam penyelesaian masalah ialah menilai soalan yang dikemukakan dan mencari jalan bagaimana menyelesaian masalah tersebut. Guru digalakkan mencungkil jawapan daripada pelajar dengan menjalankan sesi sumbangsaran dan perbincangan dalam pembelajaran koperatif. Sesi soal jawab boleh membantu dalam mendapatkan jawapan yang diperlukan. Inkuiri, penyelidikan, penerokaan dan menjalankan eksperimen adalah teknik-teknik yang melibatkan pelajar dan ini memberikan mereka peluang untuk memberikan idea, pandangan dan cara penyelesaian masalah yang diteroka sendiri. Secara tidak langsung pelajar juga membina kemahiran menyusun, mengkategori, membanding beza dan menganalisis masalah yang diberikan kepadanya. Rujuk kepada situasi di bawah:
“Benarkah ada 204 segiempat di atas papan catur?”
Pak Tam bertanding dalam satu rancangan permainan (game show) tetapi malangnya asyik tidak berjaya. Pada mulanya ia meletakkan sejumlah wang untuk soalan yang pertama tetapi tidak berjaya.
Seterusnya ia masih tidak berjaya dalam soalan kedua dan kehilangan separuh daripada wangnya. Untuk soalan ketiga ia kehilangan RM 300 tetapi kehilangan separuh daripada wangnya untuk soalan selepas itu.
Akhirnya dia dapat menjawab dengan betul dan memenangi RM 200. Di akhir pertandingan dia memiliki masih RM 1200. Berapakah wang yang dimilikinya sebelum soalan pertama ditanya?
21 Baca masalah dengan teliti, fikirkan strategi yang sesuai untuk menyelesaikan masalah tersebut dan selesaikan masalah. Seterusnya, semak jawapan anda dan pastikan jawapan anda tepat. Gunakan terma dan unit yang sama dalam jawapan anda.
Soalan ini memerlukan anda berfikir. Fikirkan berapa banyakkah segiempat yang ada di atas papan catur. Adakah anda mengira 8 baris untuk 8 segiempat tersebut? Ini adalah 8 x 8 atau 64 segiempat. Bagaimana dengan segiempat yang mewalikili papan catur tersebut? Kini ada 65 segiempat.
22 Seperti ini,
Dan seperti ini,
Sekiranya anda hendak mencari semua segiempat yang ada, banyak masa yang diperlukan untuk mencarinya.
4 x 4
7 x 7
23 Sebelum melukis atau menulis anda perlu memikirkan mengenai apa yang anda mahu lukiskan atau ceritakan terlebih dahulu. Begitu juga dengan penyelesaian masalah.
Anda perlu berfikir dengan mendalam ketika menyelesaikan sesuatu masalah.
Membacanya dan benar-benar memahaminya
Dalam masalah papan catur, ada 204 segiempat sama. Anda perlu membaca masalah tersebut dengan teliti supaya benar-benar memahami maksudnya.
Mulakan dengan menulis atau melukis sesuatu
Walaupun anda tidak pasti jalan penyelesaian seterusnya, tuliskan apa yang anda tahu mengenai masalah tersebut dan apa yang anda perlu lakukan.
Lakukan perkara ini sekarang!
Mungkin anda telah menulis seperti ini:
Menyelesaikan masalah adalah seperti melukis potret atau menulis cerita.
24 APA YANG SAYA TAHU
64 segiempat kecil
Satu segiempat di luar
2 x 2
Saiz (2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 dsb)
APA YANG SAYA PERLU LAKUKAN
Mengira semua segiempat
Mengira segiempat pelbagai saiz.
Melengkapkan jadual berikut:
Saiz
squares 1 by 1 2 by 2 3 by 3 4 by 4 5 by 5 6 by 6 7 by 7 8 by 8
Bil segi- empat sama
64 ? ? ? ? ? ? 1
Langkah seterusnya adalah lebih jelas. Anda perlu mencari berapakah bilangan segiempat bersaiz 2 x 2.
25 Selesaikan masalah berikut dalam 30 minit.
1.6.1 Pelbagai Aspek Penyelesaian Masalah
Penyelesaian masalah boleh dilihat daripada tiga aspek yang berbeza bergantung kepada apa yang ditekankan:
Mengajar untuk penyelesaian masalah
Mengajar mengenai penyelesaian masalah
Mengajar melalui penyelesian masalah
Aspek pertama memberikan pengalaman kepada pelajar menyelesaikan masalah bukan rutin. Pelajar kurang diberikan peluang untuk menyelesaikan masalah sebenar yang tiada cara yang jelas untuk menyelesaikannya. Pengalaman sebegini kurang didedahkan oleh guru dalam pengajaran konvensional.
Aspek kedua merujuk kepada strategi dan kemahiran penyelesaian masalah secara eksplisit. Ianya juga dikenali sebagai proses dalam penyelesaian masalah matematik.
Pak Mat menternak itik dan lembu. Jumlah kepala bagi ternakannya ialah 9 dan jumlah kaki bagi ternakannya ialah 26. Berapakah bilangan itik dan lembu yang diternak oleh Pak Mat?
Bagaimana pula jika sekiranya terdapat,
9 kepala dan 20 kaki
10 kepala dan 24 kaki
9 kepala dan 50 kaki
6 kepala dan 17 kaki
10 kepala dan 18 kaki
Bagaimana sekiranya Pak Mat melihat sebilangan daripada ternakannya dan melihat 24 kaki (tidak termasuk kakinya), berapa banyakkah itik dan lembu yang dilihatnya? Tunjukkan kemungkinan semua jawapan.
(Projek Matematik County Lane 1981, m.s 259)
26 Kedua-dua aspek yang dinyatakan di atas tidak boleh diajar secara berasingan.
Untuk mengajar murid menyelesaikan masalah secara efektif di dalam bilik darjah, pelajar harus melalui pengalaman menyelesaikan masalah dan diberikan strategi dan kemahiran penyelesaian itu sendiri. Pelajar belajar melalui pengalaman menyelesaikan masalah dengan menstrukturkan proses penyelesaiannya dengan cara yang bermakna.
Aspek ketiga merujuk kepada pengajaran sesuatu topik dalam Matematik dengan menggunakan pendekatan penyelesaian masalah.
1.7 MASALAH KEHIDUPAN SEBENAR
Masalah kehidupan sebenar merujuk kepada persoalan yang membolehkan pelajar memperoleh ilmu dan kefahaman mengenai apa yang berlaku dalam kehidupan seharian mereka. Seringkali ini disalahertikan sebagai soalan buku teks seperti “Jenny ada sembilan biji epal. Jika dia makan empat biji epal, berapakan yang tinggal?”
Contoh masalah kehidupan seharian adalah sepeti membuat soal selidik mengenai hobi atau rancangan televisyen yang digemari pelajar atau membandingkan hobi atau rancangan yang digemari antara pelajar lelaki dan perempuan.
Tugasan seperti ini boleh dijadikan masalah kehidupan seharian sekiranya pelajar diminta berfikir apakah yang boleh ditafsirkan daripada data yang diperolehi. Meneroka data dengan menggunakan pendekatan „penyiasatan‟
seperti ini dianggap sebagai penting dalam mengajar tajuk berkaitan pengumpulan data dan kebarangkalian di sekolah.
Tugasan merancang dan membuat bajet untuk sesuatu program di sekolah juga melatih pelajar menyelesaikan masalah berkaitan dengan kehidupan seharian.
27
1.Rujuk pada bahan bacaan dan baca Burwood State College, Beginning to Tackle Real Problem – 2ndPilot Version: pp. 1 – 60 and Deakin University, Problem Solving and Mathematical Modelling – Study Guide: pp. 1 – 44, 73 – 95
2. Cari bahan bacaan tambahan mengenai sub topik di atas dari pelbagai sumber.
Anda digalakkan melayari laman web yang berkaitan dengan tajuk Penyelesaian Masalah
3. Buat nota ringkas
Rujuk pada bahan bacaan dan baca Excellence and Enjoyment: Teaching and Learning in Primary Years – Primary National Strategy: pp. 8 – 21. Heinemann.
Words Problems: pp.5 – 48 dan Alfred S.Posamentier, Stephen Krulik (1998).
Problem Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions: A Resource for the Mathematics Teacher.
Peringatan: Simpan semua nota dan bahan bercetak termasuk jawapan di dalam portfolio anda.
David Coles and Tim Copeland (2002). Numeracy and Mathematics Across the Primary Curriculum. London. David Fulton Publishers Valsa Koshy and Jean Murray (2002). Unlocking numeracy.
London. David Fulton Publishers.
http://library.thinkquest.org/25459/learning/problem/
http://www.indiana.edu/~reading/ieo/bibs/probele.html Untuk Sub-topik 1.4 hingga 1.6
Untuk Sub-topik 1.7 hingga 1.10
29
TAJUK 2 OPERASI DAN PENGIRAAN
SINOPSIS
Dalam tajuk ini, pelajar akan membina teknik-teknik untuk membuat pengiraan mental dan penganggaran di samping meneroka kaedah kertas dan pensil dalam pengiraan nombor bulat melibatkan empat operasi asas. Pengiraan mental dan penganggaran memerlukan pemahaman yang mantap tentang nombor, penguasaan fakta asas, celik nombor dan keupayaan menaakul matematik.
Tajuk ini juga membincangkan tentang penggunaan kalkulator dan komputer sebagai alat pengiraan dalam matematik. Penggunaan kalkulator dan komputer dapat membantu pelajar menjalani pembelajaran yang lebih berkualiti dengan menyelesaikan masalah matematik yang lebih mencabar.
HASIL PEMBELAJARAN:
Mengira menggunakan kaedah : pensil dan kertas, kalkulator,komputer, pengiraan mental, dan bahan manipulatif.
Menyenaraikan dan menerangkan kesesuaian menggunakan kalkulator dan komputer dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah rendah.
30
KERANGKA TAJUK
2.1 KAEDAH PENSIL – KERTAS
Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Model digunakan untuk menggambarkan prosedur bagi setiap operasi. Kemudian, kita applikasikan prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma setiap operasi menggunakan pensil dan kertas. Akhirnya, gunakan penaakulan matematik untuk membuktikan algoritma tersebut.
2.2 MENGAJAR OPERASI TAMBAH DAN TOLAK
Pelajar sekolah rendah perlu menguasai kemahiran mengira nombor bulat selepas memahami konsep asas nombor. Empat operasi asas untuk mengira ialah tambah, tolak, darab dan bahagi. Dalam tajuk ini kita akan tumpukan kepada dua operasi asas, iaitu tambah dan tolak yang telah mula diperkenalkan semasa pra sekolah dan Tahun Satu. Walaubagaimanapun, operasi tambah dan tolak akan terus diajar setiap tahun dengan melibatkan nilai digit yang lebih besar.
2.2.1 Membina Algoritma untuk Operasi Penambahan Operasi dan Pengiraan
Kaedah Pensil – Kertas Mengajar Operasi Tambah,
Tolak, Darab & Bahagi
Kalkulator dan Komputer - kesesuaiannya
Pengiraan Mental dan Penganggaran
Penggunaan Bahan Manipulatif
31 Dalam bahagian ini, kita akan lihat algoritma untuk operasi tambah dan tolak melibatkan nombor bulat. Tumpuan kita menggunakan model dan logik untuk memahami prosedur pengiraan dalam mencari hasil tambah dan tolak. Terdapat lebih daripada satu algoritma untuk menambah dan menolak nombor bulat. Kebanyakan algoritma untuk menambah dan menolak nombor bulat mengambilkira nilai tempat, ciri- ciri dan mencari persamaan untuk mencerakinkan pengiraan kepada yang lebih mudah serta menggunakannya untuk mencari jumlah ataupun hasiltolak yang dikehendaki.
Bagaimana anda menyelesaikan pengiraan di bawah yang melibatkan operasi tolak dengan menggunakan kaedah kertas-dan-pensil?
2,004 - 1,278
Penggunaan model dalam pengiraan dapat menunjukkan sesuatu algoritma dengan jelas. Sebagai contoh, pergerakan dalam penggunaan blok asas sepuluh seperti Blok Dienes untuk mencari jumlah dua nombor dapat dihubungkaitkan dengan langkah- langkah dalam algoritma untuk penambahan. Dari sini kita akan membina algoritma menggunakan kaedah kertas dan pensil. Akhirnya kita akan menggunakan ciri- ciri operasi dalam Nombor Bulat untuk membuktikan langkah- langkah dalam algoritma tambah adalah logik.
Rajah 1 Blok Dienes dengan Nilai Tempat
Contoh 1 menunjukkan bagaimana Blok Dienes boleh digunakan untuk menerangkan algoritma operasi tambah. Nombor- nombor 369 dan 244 diwakilkan menggunakan
Ra Pu Sa
32 blok ini dan seterusnya dicantumkan untuk menunjukkan operasi tambah dilakukan dengan mengambilkira konsep nilai tempat.
Contoh 1
Menggunakan Model- Blok Dienes untuk operasi tambah.
Kedua- dua nombor diwakilkan menggunakan blok asas sepuluh: Menggunakan model ini, cari jumlahnya dan tuliskan persamaan untuk merekod proses penambahan itu.
Penyelesaian:
Ra Pu Sa
Hasil tambah ini dalam bentuk persamaan seperti berikut:
369 + 244 613
33
Sekarang mari kita lihat cara lain untuk penambahan menggunakan kaedah kertas dan pensil yang berkait terus dengan penggunaan dalam contoh 1. Kita akan menggunakan soalan yang sama, 369 + 244 ditambah menggunakan Expanded Algorithm di mana semua nombor yang mempunyai nilai tempat yang sama ditambah dan kemudian dikumpul semula mengikut mengikut nilai tempat.
Penambahan Berkembang (Expanded Addition) 369 + 244
300 + 60 + 9 3 6 9
200 + 40 + 4 + 2 4 4
500 + 100 + 13 = 613 5 0 0
1 0 0 1 3 6 1 3
2.2.2 Membina Algoritma untuk Operasi Penolakan
Model boleh digunakan bagi menjelaskan algoritma untuk operasi tolak sebagaimana yang telah digunakan dalam algoritma penambahan. Mula-mula, gunakan model untuk menggambarkan prosedur untuk operasi tolak. Kemudian, kita aplikasikan prosedur tersebut untuk mengembangkan algoritma tolak menggunakan pensil dan kertas.
Akhirnya, gunakan penaakulan matematik untuk membuktikan algoritma penolakan.
Contoh 2
Cari hasiltolak dengan menggunakan blok asas-sepuluh bagi 245 – 18 dan tulis persamaan untuk mencatat penolakan tersebut.
Guna blok asas sepuluh untuk menunjukkan proses penambahan 374 + 128.
Tuliskan satu persamaan yang berkaitan.
atau
34
Ra Pu Sa
Untuk mencukupkan sa bagi menolak 8, tukarkan 1 puluh untuk 10 sa. Kemudian ambil 8 sa daripada 15 sa dan tinggalkan 7 sa: Selanjutnya, tolak 1 puluh dari 3 puluh yang tinggal dan sekarang kita ada 2 puluh. Oleh kerana tiada nilai ratus yang perlu ditolak,maka hasiltolaknya ialah 227, dan ini direkodkan.
245 - 18 227 Rekodkan sebagai satu persamaan 245 – 18 = 227
35 Sekarang kita lihat expanded subtraction, mulakan penolakkan dengan sa dan teruskan menolak dengan mengumpul semula, iaitu daripada kanan ke kiri.
Penolakan Berkembang (Expanded Subtraction) 538 – 176
30 10
200 + 40 + 5 200 + 40 + 5
– 10 – 8 – 10 – 8
2 200 + 20 + 7 = 227
2.3 MENGAJAR OPERASI DARAB DAN BAHAGI
Dalam bahagian ini, kita akan melihat algoritma untuk pendaraban dan pembahagian nombor bulat. Kita mula dengan menggunakan model-model untuk membantu menjelaskan algoritma berkaitan dan kemudian menggunakan ciri- ciri nombor bulat untuk membuktikan algoritma itu.
2.3.1 Membina Algoritma untuk Pendaraban
Seperti algoritma penambahan dan penolakan, penggunaan model akan memberikan asas fizikal untuk menerangkan algoritma untuk pendaraban. Model yang digunakan ialah blok asas-sepuluh dan model gambar untuk mewakilkan pendaraban dalam mencari luas segiempat tepat. Menggunakan proses yang dicadangkan oleh model, kita akan bina algoritma kertas-dan-pensil untuk pendaraban. Akhirnya, kita gunakan penaakulan matematik bersama dengan ciri- ciri untuk membuktikan algoritma pendaraban.
seterusnya
36 Contoh 3
Cari hasildarab 215 x 74
Kaedah Pendaraban Grid (Grid Method of Multiplication)
X 200 10 5
70 14 000 700 350
4 800 40 20
14 800 + 740 + 370
= 15 910
Algoritma pertama berdasarkan model itu memerlukan kita mencerakinkan nombor mengikut nilai tempat dan darabkan setiap digit mengikut nilai tempat untuk mendapatkan hasildarab separa. Dalam algoritma ini, yang disebut expanded algorithm semua hasil darab separa ditambah untuk mencari jumlah hasil darab. Manakala algoritma yang kedua, yang dikenali sebagai standard algorithm, melibatkan hanya dua hasildarab separa.
Adakah anda dapat menyelesaikan semua latihan?
Bagus! Berehat sebentar sebelum meneruskan operasi seterusnya.
2 1 5 x 7 4 2 0 4 0 8 0 0 3 5 0 7 0 0 1 4 0 0 0 1 5 9 1 0 atau
Pilih sama ada expanded atau standard algorithm untuk mencari hasil darab 345 x 6
37 2.3.2 Membina Algorithma untuk Pembahagian
Contoh 4
Kaedah Penolakan ad hoc untuk Pembahagian 574 ÷ 7
574 ÷ 7 50 350
224 30 210 14
2 14
82 0
2.4 KALKULATOR DAN KOMPUTER 2.4.1 Kalkulator
Bahagian ini akan membincangkan mengapa dan bagaimana kalkulator asas dapat 2
30 82
7)574 350 224 210 14 14 0 atau
50
Gunakan algoritma tak piawai untuk melakukan pengiraan.
367 + 85
658 – 274
176 x 83
1872 ÷ 12
38 digunakan sebagai bahan bantu belajar (BBB) di sekolah rendah. Penggunaan kalkulator yang lebih canggih seperti kalkulator saintifik dan kalkulator grafik lebih sesuai digunakan di sekolah menengah.
Kalkulator asas adalah satu bahan bantu belajar berasaskan teknologi yang boleh menarik dan memotivasikan pelajar sekolah rendah. Ianya lebih murah berbanding BBB yang lain dan hanya memerlukan beberapa kemahiran asas untuk menggunakannya. Di samping itu, kemahiran pengunaan kalkulator akan menjadi semakin penting dan lebih ditekankan apabila pelajar naik ke peringkat persekolahan yang lebih tinggi. Ianya juga menghasilkan output yang maksimum dengan input yang minimum iaitu – pelajar dapat meningkatkan kemahiran matematik hanya dengan menekan beberapa butang kalkulator.
Kaklulator juga mempunyai pelbagai peranan. Ianya boleh digunakan untuk sebilangan besar topik matematik untuk setiap tahap. Dengan penggunaan kalkulator pelajar berpeluang membuat penerokaan dan aplikasi yang lebih mendalam tentang konsep dan kemahiran matematik topik - topik yang berkaitan.
Apakah Kalkulator?
Kalkulator ialah satu alat elektronik yang menggunakan teknologi moden untuk mendapatkan jawapan yang pantas dan tepat kepada empat operasi asas matematik termasuk operasi untuk pelbagai fungsi trigonometri, logaritma dan statistik.
Kalkulator yang pertama dicipta oleh seorang Perancis bernama Colmur pada tahun 1820. Pada tahun 1875, seorang Amerika bernama Boldwin pula telah mencipta kalkulator yang digunakan untuk menyelesaikan masalah menggunakan empat operasi asas matematik. Berikutan itu, kalkulator dan lebih canggih dan berteknologi tinggi telah dan masih dicipta dari masa ke semasa.
“Kalkulator asas patut digunakan dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah rendah
Adakah anda bersetuju dengan pernyataan ini
39 Ciri- Ciri Kalkulator Asas
Butang fungsi merujuk kepada butang operasi (iaitu, , , , , % ,√ ). Untuk kalkulator yang lebih canggih, butang yang sama mempunyai lebih dari satu fungsi contohnya, butang „ „ mungkin berkongsi fungsi dengan „ cos x „ atau fungsi yang lain. Fungsi pemalar membantu pelajar menambah, menolak, mendarab dan membahagi dengan cara “pantas”
Kalkulator Saintifik Kalkulator Grafik Fungsi asas
Fungsi asas Fungsi
saintifik Fungsi
saintifik Fungsi grafik
Cuba anda lakukan pengiraan ini.
Masukkan satu nombor 3-digit ke dalam kalkulator, contohnya 678.
Ulangi tiga digit tersebut untuk membentuk satu nombor 6-digit, contohnya 678 678.
Bahagikan nombor 6-digit itu dengan 7, dengan 11 dan dengan 13 secara berturut-turut.
Apakah hasil pengiraan yang anda dapat?
Jelaskan mengapa ia terjadi sedemikian rupa.
40 2.4.2 Komputer
Penggunaan komputer di dalam bilik darjah membawa satu reformasi dan perkembangan dalam pengajaran dan pembelajaran matematik dari segi teknik dan strategi. Bahagian ini membincangkan penggunaan komputer dalam kelas matematik di sekolah. Pengajaran Berbantukan Komputer di mana guru hanya menjadi fasilltator dengan menyediakan isi kandungan tajuk yang hendak diajar bentuk modul.
Pelajar belajar dengan merujuk kepada modul. Komputer menjadi media pengantara guru dan pengajar. Kebanyakan modul adalah dalam bentuk pakej pembelajaran formal, latihan murid, bahan pembelajaran individu, penyelesaian masalah serta pemainan berasaskan komputer. Pengurusan Pengajaran Berbantukan Komputer pula adalah apabila sebilangan besar guru di sekolah kini menggunakan teknologi dan komputer untuk mengumpul data dan seterusnya membuat analisis untuk menilai (a) k e b e r k e s a n a n p e n g a j a r a n , (b) penggunaan bahan pembelajaran, (c) proses pengajaran dan pembelajaran, dan (d) interaksi pelajar di dalam bilik darjah. Daripada penilaian ini nanti guru dan mengubahsuai dan memperbaiki rancangan pengajaran hariannya untuk pengajaran akan datang. Akhir sekali, Penilaian Berbantukan Komputer di mana guru juga boleh menilai kesan hasil pembelajaran dengan menggunakan teknologi dan komputer. Terdapat dua jenis penilaian seperti ini :
(i) Pelajar menjawab soalan yang diutarakan melalui komputer. Jawapan ini boleh disemak oleh guru atau murid sendiri.
(ii) Pelajar menjawab pelbagai bentuk soalan dalam bank item yang disimpan dalam komputer. Jawapan akan terus disemak melalui komputer dan pelajar akan mengetahui prestasinya serta merta.
Contoh Borang Penilaian Perisian (Courseware)
Seorang guru perlu menilai perisian yang digunakan sebagai bahan sumber pengajaran dan pembelajaran di bilik darjah. Secara amnya perisian tersebut boleh dinilai berdasarkan dua aspek: (a) ciri-ciri pengajaran, dan (b) ciri-ciri teknikal.
41 Ciri-ciri pengajaran merangkumi pengalaman dan kualiti pengajaran. Pengalaman pengajaran yang dimaksudkan termasuklah (a) motivasi, (b) o b j e k t i f p e n g a j a r a n y a n g jelas (c) contoh-contoh yang sesuai untuk membimbing pembelajaran (d) menggalakkan penguasaan kemahiran melalui latihan (e) memberikan maklumbalas berinformatif , dan (f) boleh menilai pelajar. Kualiti pengajaran pula merujuk kepada (a) k e t e p a t a n isi kandungan, (b) ke sesuaian dari segi tahap dan kebolehan pelajar membaca, (c) arahan yang jelas (d) menyediakan pelbagai aktiviti pembelajaran, (e) memberikan maklumbalas yang bersesuaian, dan (f) bahan sokongan pembelajaran yang lengkap.
Aspek teknikal yang perlu diambilkira termasuklah penggunaan dan pelaksanaan media pengajaran yang berkesan. Antara ciri-ciri yang diambil kira ialah : (a) warna, (b) suara, (c) grafik, (d) animasi, (e) kepantasan, (f) format mukasurat dan (g) interaktiviti. Aspek pelaksanaan dilihat dari segi (a) kebolehan pelajar mengakses kendiri perisian dan (d) pengendalaian perisian yang lancar.
.
2.5.3 Penggunaan Kalkulator dan Komputer Dalam Pendidikan Matematik
Penggunaan kalkulator dalam pengajaran dan pembelajaran matematik telah menimbulkan kontroversi di kalangan warga pendidikan. Antara isu yang ditimbulkan ialah, pelajar:
menjadi tidak cekap atau mahir mengira
tidak dapat mengamalkan pengiraan mental ataupun anggaran
tidak menghafal fakta asas matematik
Walaubagaimanapun pengunaan kalkulator bahan sokongan pembelajaran pada situasi yang sesuai boleh membantu pelajar untuk lebih memahami nombor dan operasi
Pilih tiga perisian yang digunakan dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah anda. Berdasarkan ciri-ciri perisian yang
dibincangkan di atas, bina satu borang penilaian perisian untuk menentukan kesesuaian perisian tersebut
42 pengiraan. Antara kelebihan penggunaan kalkulator yang telah dikenalpasti ialah:
meningkatkan minat pelajar dan pencapaian matematik.
menunjukkan kesan positif terhadap kemahiran mengira dan perkembangan konsep matematik.
meningkatkan kemahiran pengiraan mental pelajar
:
.
Terdapat pelbagai perisian matematik yang membantu pengajaran dan pembelajaran matematik. Beberapa kajian mendapati perisian seperti Geometric Sketch Pad (GSP), Cabri dan Geogebra membantu pelajar mengukuhkan konsep geometri dan menganalisis masalah dan situasi yang berkaitan dengan bentuk dan ruang. Perisian yang terdapat dalam komputer itu sendiri juga boleh membantu dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di dalam bilik darjah. Satu contoh yang baik ialah program microsoft excel. Program ini banyak membantu dalam tajuk pengumpulan dan persembahan data. Internet juga boleh digunakan untuk membuat kajian dan mengumpul data. Selain itu, kini terdapat manipulatif berbentuk virtual yang boleh digunakan secara interaktif oleh pelajar-pelajar. Pelbagai laman web boleh diakses untuk membantu guru dan pelajar mencari bahan dan maklumat berkaitan matematik.
Namun, guru harus berhati-hati dalam menilai maklumat yang sesuai dan wajar dalam pengajarannya.
Dengan menggunakan kalkulator, cari jawapan bagi yang berikut, 11 11, 111 111 dan 1,111 1,111
Seterusnya teka jawapan bagi 11,111 11,111
Terangkan pola yang anda lihat. Adakah pengunaan kalkulator membantu anda?
Dengan merujuk kepada kajian dalam dan luar negara, senaraikan kebaikan dan keburukan menggunakan kalkulator dalam kelas matematik bagi pelajar sekolah rendah. (rujuk kajian 5 tahun kebelakang)
43 2.5 PENGIRAAN MENTAL DAN PENGANGGARAN
Dalam banyak urusan kehidupan harian, pengiraan tepat adalah tidak diperlukan.
Sebagai contoh, dalam urusan jual beli, kita tidak boleh sentiasa menerima hasil pengiraan kalkulator secara membuta kerana kesilapan menekan kekunci kalkulator adalah tidak dapat dielakkan. Oleh yang demikian, kebolehan untuk menganggar
„reasonableness‟ sesuatu hasil pengiraan adalah sangat berguna untuk membuat keputusan yang bijak dalam situasi jual beli. Sehubungan itu, kebolehan untuk mengira secara mental adalah sangat berguna untuk membuat anggaran yang cepat.
Bayangkan anda sedang berada di depan kaunter juruwang di sebuah pasaraya.
Berikut adalah senarai barang dan harga yang telah anda beli:
Barang Harga Barang Harga
Serbuk Cuci Breeze RM23.90 Ikan Siakap RM18.45 Minyak Masak Natural RM26.90 Kerang RM 3.50
Telur Ayam RM12.50 Biskut Jacobs RM 9.90
Milo RM13.20 Bawang Putih RM 4.30
Secara berkumpulan, teroka kelebihan Excel dalam pengajaran dan pembelajaran matematik sekolah rendah. Seterusnya, dengan merujuk kepada internet, pilih 3 laman web yang menggunakan teknologi dalam pengajaran dan pembelajaran matematik. Bincangkan kesesuaian penggunaannya dalam konteks negara kita.
44 Setelah juruwang memasukkan harga semua barang dalam mesin wang, anda melihat skrin mesin itu memaparkan “RM143.45”.
2.5.1 Teknik Pengiraan Mental
Hukum tukar tertib (commutative), hukum sekutuan (associative) dan hukum taburan (distributive) membolehkan nombor disusun dan dicerakinkan supaya mudah dikira secara mental. Begitu juga, teknik membilang secara menaik dan membilang secara menurun adalah kaedah yang cekap untuk menambah jika nilai yang ditambah (addends) ialah 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300 dan selanjutnya. Contohnya dalam pengiraan 45 + 30, mulakan dengan 45 dan bilang secara menaik sebanyak 10 untuk mendapatkan hasiltambah: 45, 55, 65 75. Teknik membilang secara menurun merupakan kaedah yang cekap apabila ditolak 1, 2, atau; 10, 20 atau 30 dan selanjutnya. Misalnya 87 – 2, mulakan dengan nombor yang lebih besar, 871 dan lakukan proses membilang secara menurun: 871, 870, 869.
Kombinasi sesetengah nombor membuatkan penambahan mudah dilakukan contohnya 25 and 175, juga mudah untuk didarab, contohnya 28 x 10. Nombor
Gunakan anggaran secara mental untuk membuat keputusan samada anda akan terus membayar sejumlah wang itu atau tidak. Jelaskan justifikasi untuk keputusan anda..
Cari nilai yang tepat untuk setiap ungkapan berikut dengan membilang secara menaik atau menurun. Jelaskan proses yang digunakan dalam setiap kes.
a) 286 + 30 b) 18200 + 2300 c) 962 –
