Pengintegralan Fungsi Rasional
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember
25 Maret 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
1 Pengintegralan Fungsi Rasional
2 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
1 Pengintegralan Fungsi Rasional
2 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
Pengintegralan Fungsi Rasional
Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).
1
Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati).
f(x ) = 2 (x + 1) 3 g(x ) = 2x + 2
x 2 − 4x + 8
2
Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati).
h(x) = x 5 + 2x 3 − x + 1 x 3 + 5x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).
1
Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati).
f(x ) = 2 (x + 1) 3 g(x ) = 2x + 2
x 2 − 4x + 8
2
Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati).
h(x) = x 5 + 2x 3 − x + 1
x 3 + 5x
Pengintegralan Fungsi Rasional
Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).
1
Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati).
f(x ) = 2 (x + 1) 3 g(x ) = 2x + 2
x 2 − 4x + 8
2
Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati).
h(x) = x 5 + 2x 3 − x + 1 x 3 + 5x
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
FR Tidak Sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan FR sejati.
h(x ) = x 5 + 2x 3 − x + 1
x 3 + 5x = x 2 − 3 + 14x + 1
x 3 + 5x
Pengintegralan Fungsi Rasional
Tentukan
Z 2
(x + 1) 3 dx
= 2 Z
(x + 1) −3 d(x + 1) = 2 (x + 1) −2
−2 + C = −1
(x + 1) 2 + C
Tentukan
Z 2x + 2 x 2 − 4x + 8 dx
Misal u = x 2 − 4x + 8; du = 2x − 4
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
Tentukan
Z 2
(x + 1) 3 dx
= 2 Z
(x + 1) −3 d(x + 1) = 2 (x + 1) −2
−2 + C = −1
(x + 1) 2 + C
Tentukan
Z 2x + 2
x 2 − 4x + 8 dx
Misal u = x 2 − 4x + 8; du = 2x − 4
Pengintegralan Fungsi Rasional
Tentukan
Z 2
(x + 1) 3 dx
= 2 Z
(x + 1) −3 d(x + 1) = 2 (x + 1) −2
−2 + C = −1
(x + 1) 2 + C
Tentukan
Z 2x + 2 x 2 − 4x + 8 dx Misal u = x 2 − 4x + 8; du = 2x − 4
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
=
Z 2x − 4
x 2 − 4x + 8 dx +
Z 6
x 2 − 4x + 8 dx
= ln |x 2 − 4x + 8| + C + 6
Z 1
x 2 − 4x + 4 + 4 dx
Z 1
x 2 − 4x + 4 + 4 dx =
Z 1
(x − 2) 2 + 4 d (x − 2) Z 2x + 2
x 2 − 4x + 8 dx = ln |x 2 − 4x + 8| + 3 tan −1
x − 2 2
+ K catatan:
Z du
a 2 + u 2 = 1
a tan −1 u a
+ C = 1 2 tan −1
x − 2 2
+ C
Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
2
x − 1 + 3
x + 1 = 2(x + 1) + 3(x − 1) (x − 1)(x + 1)
= 5x − 1
(x − 1)(x + 1) = 5x − 1 x 2 − 1
Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya
Contoh
Jabarkan x
23x−1 −x−6 , kemudian tentukan integralnya ! 3x − 1
(x + 2)(x − 3) = A
x + 2 + B x − 3
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
2
x − 1 + 3
x + 1 = 2(x + 1) + 3(x − 1) (x − 1)(x + 1)
= 5x − 1
(x − 1)(x + 1) = 5x − 1 x 2 − 1
Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya
Contoh
Jabarkan x
23x−1 −x−6 , kemudian tentukan integralnya ! 3x − 1
(x + 2)(x − 3) = A
x + 2 + B
x − 3
Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial
Penjabarannya
3x − 1 = A(x − 3) + B(x + 2) 3x − 1 = Ax − 3A + Bx + 2B 3x − 1 = (A + B)x + (−3A + 2B)
A + B = 3 ←→ A = −B + 3
−3A + 2B = −1
−3(−B + 3) + 2B = −1 B = 8
5 ; A = − 8
5 + 3 = 7 5 3x − 1
(x + 2)(x − 3) = 7/5
x + 2 + 8/5 x − 3
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berlainan
Integralnya
Z 3x − 1 x 2 − x − 6 dx
=
Z 3x − 1 (x + 2)(x − 3) dx
=
Z 7/5 x + 2 dx +
Z 8/5 x − 3 dx
= 7
5 ln |x + 2| + 8
5 ln |x − 3| + C
Faktor Linear Berbeda
Tentukan
Z 5x + 3
(x 3 − 2x 2 − 3x) dx Jawab
5x + 3
(x 3 − 2x 2 − 3x ) = 5x + 3
x (x + 1)(x − 3) = A x + B
x + 1 + C x − 3 5x + 3 = A(x + 1)(x − 3) + Bx (x − 3) + Cx(x + 1) substitusikan x = 0; x = −1; x = 3
3 = A(−3) ←→ A = −1
−2 = B(4) ←→ B = − 1 2 18 = C(12) ←→ C = 3 2
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berbeda
Tentukan
Z 5x + 3
(x 3 − 2x 2 − 3x) dx Jawab
5x + 3
(x 3 − 2x 2 − 3x ) = 5x + 3
x (x + 1)(x − 3) = A x + B
x + 1 + C x − 3 5x + 3 = A(x + 1)(x − 3) + Bx (x − 3) + Cx(x + 1) substitusikan x = 0; x = −1; x = 3
3 = A(−3) ←→ A = −1
−2 = B(4) ←→ B = − 1 2
18 = C(12) ←→ C = 3
Faktor Linear Berbeda
Z 5x + 3 x 3 − 2x 2 − 3x dx
= − Z 1
x dx − 1 2
Z 1
x + 1 dx + 3 2
Z 1
x − 3
= − ln | x | − 1
2 ln | x + 1 | + 3
2 ln | x − 3 | +C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berulang
Tentukan
Z x
(x − 3) 2 dx Jawab
Penjabarannya x
(x − 3) 2 = A
x − 3 + B (x − 3) 2 x = A(x − 3) + B substitusi : x = 3; x = 0
3 = B
0 = A(−3) + B ←→ A = 1
Faktor Linear Berulang
Tentukan
Z x
(x − 3) 2 dx Jawab
Penjabarannya x
(x − 3) 2 = A
x − 3 + B (x − 3) 2 x = A(x − 3) + B substitusi : x = 3; x = 0
3 = B
0 = A(−3) + B ←→ A = 1
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berulang
Integralnya
Z x
(x − 3) 2 dx =
Z 1
x − 3 dx + 3
Z 1
(x − 3) 2 dx
= ln | x − 3 | − 3
x − 3 + C
Faktor Linear Berbeda dan Berulang
Tentukan
Z 3x 2 − 8x + 13 (x + 3)(x − 1) 2 dx Jawab
Penjabarannya
3x 2 − 8x + 13
(x + 3)(x − 1) 2 = A
x + 3 + B
(x − 1) + C (x − 1) 2 3x 2 − 8x + 13 = A(x − 1) 2 + B(x − 1)(x + 3) + C(x + 3)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berbeda dan Berulang
Tentukan
Z 3x 2 − 8x + 13 (x + 3)(x − 1) 2 dx Jawab
Penjabarannya
3x 2 − 8x + 13
(x + 3)(x − 1) 2 = A
x + 3 + B
(x − 1) + C
(x − 1) 2
3x 2 − 8x + 13 = A(x − 1) 2 + B(x − 1)(x + 3) + C(x + 3)
Faktor Linear Berbeda dan Berulang
Substitusikan : x = 1; x = −3; x = 0 8 = C(4) ←→ C = 2
64 = A(16) ←→ A = 4 13 = A + B(−3) + C(3)
13 = 4 + B(−3) + 6 ←→ B = −1
Z 3x 2 − 8x + 13
(x + 3)(x − 1) 2 dx = 4
Z dx x + 3 −
Z dx x − 1 + 2
Z dx (x − 1) 2
= 4 ln | x + 3 | − ln | x − 1 | − 2 x − 1 + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Linear Berbeda dan Berulang
Substitusikan : x = 1; x = −3; x = 0 8 = C(4) ←→ C = 2
64 = A(16) ←→ A = 4 13 = A + B(−3) + C(3)
13 = 4 + B(−3) + 6 ←→ B = −1
Z 3x 2 − 8x + 13
(x + 3)(x − 1) 2 dx = 4
Z dx x + 3 −
Z dx x − 1 + 2
Z dx (x − 1) 2
= 4 ln | x + 3 | − ln | x − 1 | − 2
x − 1 + C
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Tentukan
Z 6x 2 − 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx Jawab
Penjabarannya
6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) = A
4x + 1 + Bx + C (x 2 + 1) 6x 2 − 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Tentukan
Z 6x 2 − 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx Jawab
Penjabarannya
6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) = A
4x + 1 + Bx + C
(x 2 + 1)
6x 2 − 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Substitusikan : x = − 1 4 ; x = 0; x = 1
6
16 + 3 4 + 1 = A( 17 6 ) ⇒ A = 2 1 = 2 + C ⇒ C = −1
4 = 4 + (B − 1)(5) ⇒ B = 1
Z 6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) dx =
Z 2
4x + 1 dx +
Z x − 1 x 2 + 1 dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Substitusikan : x = − 1 4 ; x = 0; x = 1
6
16 + 3 4 + 1 = A( 17 6 ) ⇒ A = 2 1 = 2 + C ⇒ C = −1
4 = 4 + (B − 1)(5) ⇒ B = 1
Z 6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) dx =
Z 2
4x + 1 dx +
Z x − 1
x 2 + 1 dx
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Z 6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) dx = 1 2
Z 4dx 4x + 1 + 1
2
Z 2xdx x 2 + 1 −
Z dx x 2 + 1
= 1
2 ln | 4x + 1 | + 1
2 ln | x 2 + 1 | − tan −1 x + C Z du
a 2 + u 2 = 1
a tan −1 ( u a ) + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat yang Berbeda
Z 6x 2 − 3x + 1
(4x + 1)(x 2 + 1) dx = 1 2
Z 4dx 4x + 1 + 1
2
Z 2xdx x 2 + 1 −
Z dx x 2 + 1
= 1
2 ln | 4x + 1 | + 1
2 ln | x 2 + 1 | − tan −1 x + C Z du
a 2 + u 2 = 1
a tan −1 ( u
a ) + C
Faktor Kuadrat Berulang
Tentukan
Z 6x 2 − 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 dx Jawab
Penjabarannya
6x 2 − 15x + 22
(x + 3)(x 2 + 2) 2 = A
x + 3 + Bx + C
x 2 + 2 + Dx + E (x 2 + 2) 2 6x 2 − 15x + 22 = A(x 2 + 2) 2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+
(Dx + E)(x + 3)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
Tentukan
Z 6x 2 − 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 dx Jawab
Penjabarannya
6x 2 − 15x + 22
(x + 3)(x 2 + 2) 2 = A
x + 3 + Bx + C
x 2 + 2 + Dx + E (x 2 + 2) 2 6x 2 − 15x + 22 = A(x 2 + 2) 2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+
(Dx + E)(x + 3)
Faktor Kuadrat Berulang
substitusikan : x = −3; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 x = −3 −→ 121 = A(121) ←→ A = 1
x = 0 −→ 22 = A(4) + C(6) + E(3)
−→ 18 = C(6) + E (3) ←→ E = 6 − C(2)
x = 1 −→ 13 = A(9) + B(12) + C(12) + D(4) + E(4)
−→ 4 = B(12) + C(12) + D(4) + E(4)...(1) x = 2 −→ 16 = A(36) + B(60) + C(30) + D(10) + E (5)
−→ −20 = B(60) + C(30) + D(10) + E(5)...(2) x = 3 −→ 31 = A(121) + B(198) + C(66) + D(18) + E (6)
−→ −90 = B(198) + C(66) + D(18) + E(6)...(3)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
E = 6 + C(2)...(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E −→ −5 = B(3) + C + D...(5)
−4 = B(12) + C(6) + D(2) + E −→ −10 = B(12) + C(4) + D(2)
←→ −5 = B(6) + C(2) + D...(6)
−15 = B(33) + C11) +D(3) + E −→ −21 = B(33) + C(9) +D(3)
←→ −7 = B(11) + C(3) + D...(7) (5) dan (7)
−5 = B(3) + C + D
−7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)...(8)
Faktor Kuadrat Berulang
E = 6 + C(2)...(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E −→ −5 = B(3) + C + D...(5)
−4 = B(12) + C(6) + D(2) + E −→ −10 = B(12) + C(4) + D(2)
←→ −5 = B(6) + C(2) + D...(6)
−15 = B(33) + C11) +D(3) + E −→ −21 = B(33) + C(9) +D(3)
←→ −7 = B(11) + C(3) + D...(7) (5) dan (7)
−5 = B(3) + C + D
−7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)...(8)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
(6) dan (7)
−5 = B(6) + C(2) + D
−7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)...(9) (8) dan (9)
1 = B(−4) + C(−1)
2 = B(−5) + C(−1) −→ B = −1
substitusi ke: (5), (6) dan (7)
−2 = C + D...(10)
1 = C(2) + D...(11)
4 = C(3) + D...(12)
Faktor Kuadrat Berulang
(6) dan (7)
−5 = B(6) + C(2) + D
−7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)...(9) (8) dan (9)
1 = B(−4) + C(−1)
2 = B(−5) + C(−1) −→ B = −1 substitusi ke: (5), (6) dan (7)
−2 = C + D...(10) 1 = C(2) + D...(11) 4 = C(3) + D...(12)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
(6) dan (7)
−5 = B(6) + C(2) + D
−7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)...(9) (8) dan (9)
1 = B(−4) + C(−1)
2 = B(−5) + C(−1) −→ B = −1 substitusi ke: (5), (6) dan (7)
−2 = C + D...(10)
1 = C(2) + D...(11)
4 = C(3) + D...(12)
Faktor Kuadrat Berulang
(10) dan (11)
−2 = C + D
1 = C(2) + D −→ −3 = C(−1) ←→ C = 3 substitusi ke pers (10)
−2 = C + D −→ D = −5
substitusi ke pers (4) E = 6 + C(−2) −→ E = 0 sehingga diperoleh :
A = 1; B = −1; C = 3; D = −5; E = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
(10) dan (11)
−2 = C + D
1 = C(2) + D −→ −3 = C(−1) ←→ C = 3 substitusi ke pers (10)
−2 = C + D −→ D = −5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C(−2) −→ E = 0 sehingga diperoleh :
A = 1; B = −1; C = 3; D = −5; E = 0
Faktor Kuadrat Berulang
(10) dan (11)
−2 = C + D
1 = C(2) + D −→ −3 = C(−1) ←→ C = 3 substitusi ke pers (10)
−2 = C + D −→ D = −5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C(−2) −→ E = 0 sehingga diperoleh :
A = 1; B = −1; C = 3; D = −5; E = 0
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
(10) dan (11)
−2 = C + D
1 = C(2) + D −→ −3 = C(−1) ←→ C = 3 substitusi ke pers (10)
−2 = C + D −→ D = −5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C(−2) −→ E = 0 sehingga diperoleh :
A = 1; B = −1; C = 3; D = −5; E = 0
Faktor Kuadrat Berulang
6x 2 − 15x + 22
(x + 3)(x 2 + 2) 2 = A
x + 3 + Bx + C
x 2 + 2 + Dx + E (x 2 + 2) 2 Z 6x 2 − 15x + 22
(x + 3)(x 2 + 2) 2 dx
=
Z 1
x + 3 dx +
Z −x + 3 x 2 + 2 dx +
Z −5x
(x 2 + 2) 2 dx
=
Z dx x + 3 − 1
2
Z 2x
x 2 + 2 dx + 3
Z 1
x 2 + 2 dx − 5 2
Z 2x
(x 2 + 2) 2 dx
= ln | x + 3 | − 1
2 ln(x 2 + 2) + 3
√
2 tan −1 ( x
√
2 ) + 5
2(x 2 + 2) + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Faktor Kuadrat Berulang
catatan:
R du
a
2+u
2= 1 a tan −1 ( u a ) + C
Untuk faktor berbentuk (ax + b) k , penjabarannya:
A 1
(ax + b) + A 2
(ax + b) 2 + A 3
(ax + b) 3 + ... + A k (ax + b) k Untuk faktor berbentuk (ax 2 + bx + c) m , penjabarannya:
B 1 x + C 1
(ax 2 + bx + c) + B 2 x + C 2
(ax 2 + bx + c) 2 + B 3 x + C 3
(ax 2 + bx + c) 3 + ...
+ B m x + C m
(ax 2 + bx + c) m
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
R x
3−4x
(x
2+1)
2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
R x
3−4x
(x
2+1)
2dx
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
R x
3−4x
(x
2+1)
2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
R x
3−4x
(x
2+1)
2dx
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
R x
3−4x
(x
2+1)
2dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Fungsi Rasional
Latihan Soal
1
R 5x+3
x
2−9 dx
2
R 2x
2+x−4
x
3−x
2−2x dx
3
R 2x
2+x−8
x
3+4x dx
4
R x
3−8x
2−1
(x+3)(x−2)(x
2+1) dx
5
