BAB IV KURVA ELIPTIK DAN ID BASED CRYPTOSYSTEM

21

BAB IV

KURVA ELIPTIK DAN ID BASED CRYPTOSYSTEM

4.1. Kurva Eliptik

Misalkan 𝑝 adalah bilangan prima yang lebih besar dari 3. Sebuah kurva eliptik atas lapangan hingga dengan ukuran p dinotasikan dengan 𝐺𝐹(𝑝) dan diberikan oleh sebuah persamaan dalam bentuk 𝑦2 _{= 𝑥}3_{+ 𝑎𝑥 + 𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺𝐹(𝑝). (Persamaan} atas lapangan hingga dengan ukuran 2𝑛 _{dinotasikan sebagai 𝐺𝐹(2}𝑛_{) akan sedikit} berbeda, dan akan dibahas nanti.) Himpunan titik-titik pada kurva adalah kumpulan pasangan terurut (𝑥, 𝑦) yang merupakan koordinat pada lapangan sehingga x dan y memenuhi persamaan yang mendefinisikan kurva tersebut, ditambah dengan titik tambahan 𝒪 yang disebut sebagai titik tak hingga. Titik-titik ini membentuk sebuah grup abelian 𝐸 dengan operasi khusus atas 𝐺𝐹(𝑝).

𝐸 = {(𝑥, 𝑦)⋃𝒪 |(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑦2 _{= 𝑥}3_{+ 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺𝐹(𝑝)}.}

4.2.1. Operasi Grup Pada Kurva Eliptik

Misalkan 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐸, ℓ adalah garis yang mengandung P dan 𝑄 (garis singgung jika 𝑃 = 𝑄) dan 𝑅, titik ke tiga perpotongan ℓ dengan 𝐸. Misalkan ℓ′ adalah garis yang menghubungkan 𝑅 dengan 𝒪. Maka 𝑃” + ”𝑄 adalah titik sehingga garis ℓ′ memotong 𝐸 di R, 𝒪, P” + ”Q.

Catatan : untuk selanjutnya operasi penjumlahan pada grup ini akan dilambangkan dengan lambang „+‟

Asumsikan bahwa 𝑃 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) dan 𝑄 = (𝑥𝑄, 𝑦𝑄) berada dalam kurva, 𝜆 adalah gradien garis yang melalui 𝑃 dan 𝑄, maka koordinat dari 𝑃 + 𝑄 = (𝑥_𝑃+𝑄, 𝑦_𝑃+𝑄) adalah

𝑥_𝑃+𝑄 = 𝜆2_{− 𝑥} 𝑃− 𝑥𝑄 dan 𝑦𝑃+𝑄 = 𝜆 𝑥𝑃− 𝑥𝑃+𝑄 − 𝑦𝑃, di mana 𝜆 = 𝑦𝑄− 𝑦𝑃 𝑥_𝑄− 𝑥_𝑃 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 ≠ 𝑄 3𝑥_𝑃2+ 𝑎 2𝑦_𝑃 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝑄

22 Titik tak hingga memainkan peranan sebagai elemen identitas, yaitu , 𝑃 + 𝒪 = 𝒪 + 𝑃 = 𝑃 untuk sebarang titik 𝑃 ∈ 𝐸. Setiap titik memiliki elemen invers tunggal – 𝑃 sehingga 𝑃 + (−𝑃) = 𝒪. Untuk 𝑃 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) pada kurva eliptik 𝐸 atas 𝐺𝐹(𝑝), invers penjumlahan tersebut didefinisikan dengan −𝑃 = (𝑥_𝑃, −𝑦_𝑃).

Kategori lain dari kurva eliptik didefinisikan atas lapangan hingga dengan ukuran 2𝑛 _{dinotasikan dengan 𝐺𝐹(2}𝑛_{). Persamaan yang mendefinisikan eliptic curve} atas 𝐺𝐹(2𝑛_{) adalah dalam bentuk 𝑦}2_{+ 𝑥𝑦 = 𝑥}3_{+ 𝑎𝑥}2_{+ 𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺𝐹(2}𝑛_). Operasi penjumlahan terhadap titik P dan Q adalah sebagai berikut :

𝑥_𝑃+𝑄 = 𝜆2_{+ 𝜆 + 𝑥} 𝑃+ 𝑥𝑄+ 𝑎 dan 𝑦𝑃+𝑄 = 𝜆 𝑥𝑃+ 𝑥𝑃+𝑄 + 𝑥𝑃+𝑄 + 𝑦𝑃, di mana 𝜆 = 𝑦_𝑄+ 𝑦_𝑃 𝑥_𝑄+ 𝑥_𝑃 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 ≠ 𝑄 𝑥_𝑃+𝑦𝑃 𝑥_𝑃 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝑄

Invers dari titik 𝑃 = (𝑥_𝑃, 𝑦_𝑃) ∈ 𝐸 atas lapangan biner 𝐺𝐹(2𝑛_{) didefinisikan oleh} – 𝑃 = (𝑥_𝑃, 𝑥_𝑃+ 𝑦_𝑃) .

Untuk kurva eliptik, operasi pada grup ditulis sebagai penjumlahan bukan perkalian. Jadi pemangkatan pada grup multiplikatif secara umum dapat disebutkan sebagai perkalian dengan skalar dalam grup kurva eliptik. Yang mana kita nyatakan sebagai 𝑟𝑃 yaitu 𝑃 + 𝑃 + ⋯ + 𝑃 sebanyak 𝑟 kali, untuk sebuah integer 𝑟.

4.2.2. Zero dan Pole Dari Fungsi Rasional

Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑦 adalah sebuah fungsi rasional pada kurva eliprik 𝐸 𝑥, 𝑦 = 0, dimana 0 ∈ 𝐺𝐹(𝑝), atau secara umum pada lapangan tempat kurva eliptik berada. Untuk titik 𝑃 ∈ 𝑓 ∩ 𝐸, 𝑃 disebut zero jika 𝑓 𝑃 = 0 dan pole jika 𝑓 𝑥, 𝑦 = ∞, kita dapat tuliskan ∞ = 0−1_.

Dalam lapangan hingga, sebuah zero 𝑓 𝑃 = 0 dapat difaktorisasi menjadi 𝑓 𝑃 = 0𝑖∙ 𝑔(𝑃) sedemikian sehingga 𝑖 adalah sebuah bilangan bulat positif dan 𝑔 adalah fungsi rasional yang memenuhi 𝑔(𝑃) ≠ 0 dan 𝑔(𝑃) ≠ ∞. Jelas, bahwa dalam faktorisasi ini, jika 𝑔 𝑃 = 0 maka kita dapat menaikkan nilai 𝑖 sampai 𝑔(𝑃) ≠ 0; jika

23 𝑔 𝑃 = ∞ maka kita dapat mengurangi 𝑖 sampai 𝑔(𝑃) ≠ ∞. Hal ini memungkinkan karena pada lapangan hingga tidak memiliki pembagi nol.

Jika kita menuliskan ∞ sebagai 0−1, kita dapat memfaktorisasi 𝑓 𝑃 = ∞ menjadi 0−𝑖_{∙ 𝑔(𝑃) untuk sebuah bilangan bulat 𝑖 dan sebuah fungsi rasional 𝑔 yang} memenuhi 𝑔 𝑃 ≠ 0 dan 𝑔(𝑃) ≠ ∞.

Misalkan 𝑜𝑟𝑑_𝑃 menunjukkan bilangan bulat 𝑖 atau – 𝑖, saat 𝑓(𝑃) difaktorisasi dengan metode di atas. Nilai dari 𝑜𝑟𝑑𝑃 menunjukkan seberapa „kuat‟ sebuah zero atau pole tersebut. Kita dapat menyatakan seperti ini :

𝑜𝑟𝑑_𝑃 > 0 jika 𝑃 adalah sebuah zero 𝑜𝑟𝑑_𝑃 < 0 jika 𝑃 adalah sebuah pole

𝑜𝑟𝑑_𝑝 = 0 jika 𝑃 bukan zero atau pole (di mana 𝐸 dan 𝑓 tidak berpotongan).

4.2.3. Orde Zero pada Fungsi Linear

Misalkan 𝐿: 𝑦 − 𝑢𝑥 + 𝑣 = 0 adalah sebuah garis (𝑢 ≠ 0). Sebuah zero 𝑃 = (𝑥₀, 𝑦₀) dari 𝐿 = 0 adalah solusi terbatas yang diselesaikan dari bentuk

𝐿 ∩ 𝐸: (𝑢𝑥 + 𝑣)2 _{= 𝑦}2 _{= 𝑥}3_{+ 𝑎𝑥 + 𝑏}

Kita bisa melihat bahwa 𝑥₀ adalah akar dari persamaan

(𝑢𝑥 + 𝑦)2_{− 𝑥}3_{+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.}

Jelas, bahwa 0 dapat difaktorisasi menjadi

(𝑥 − 𝑥₀)𝑑 ∙ 𝑔 dengan 𝑔(𝑥₀) ≠ 0 dan 𝑑 = 2 1 , 2 jika 𝑃 titik singgung dan 1 untuk 𝑃 yang lain. Karena itu

𝑜𝑟𝑑_𝑃 𝐿 = 1 jika 𝐿 memotong 𝐸 di 𝑃 2 jika 𝐿 menyinggung 𝐸 di 𝑃 .

24 4.2.4. Orde Pole pada Fungsi Linear

Sebuah garis 𝐿 = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 = 0 memotong 𝐸 tidak hanya di titik ketika 𝐿 pada 𝐸 menghasilkan zero, tetapi juga di titik infinity 𝒪 di mana 𝐿 pada 𝐸 menghasilkan pole. Kita dapat menuliskan E menjadi

1 𝑦2 = 1 𝑥3_{(1 + 𝑎/𝑥}2_{+ 𝑏/𝑥}3₎ Karena itu 𝑥 = 𝑥 𝑦 2 ∙ 1 (1 + 𝑎/𝑥2_{+ 𝑏/𝑥}3₎

Kita tahu bahwa 𝑥

𝑦 = 0 pada titik 𝒪; dan 1

(1+⋯ )= 1 pada titik 𝒪; karena itukita mendapatkan

𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑥 = −2. Lebih jauh karena

𝑦 = 𝑥 𝑦 −1 ∙ 𝑥 = 𝑥 𝑦 −3 ∙ 1 (1 + 𝑎/𝑥2_{+ 𝑏/𝑥}3₎ Kita mendapatkan 𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑦 = −3.

Dengan mudah dapat dicek bahwa 𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑢𝑥 = −2 dan 𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑣𝑦 = −3 dan berlaku untuk sebarang 𝑢 ≠ 0 dan 𝑣 ≠ 0. Selain itu 𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 = −3 asalkan 𝑣 ≠ 0.

𝑜𝑟𝑑_𝒪 𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 =

−3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣 ≠ 𝑜

−2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣 = 0, 𝑢 ≠ 0 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘𝑒𝑎𝑑𝑎𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑖𝑛

25 4.2.4. Divisor

Divisor adalah sebuah bentuk formal :

𝐷 = 𝑛_𝑃 𝑃∈𝐸

[𝑃]

di mana 𝑛𝑃 adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan orde dari titik 𝑃 dan [𝑃] adalah simbol formal. Tanda kurung siku pada 𝑃 hanyalah cara agar tidak terjadi kebingungan membedakan [𝑃] dengan titik 𝑃. Sebagai contoh, 𝑖 𝑃 + 𝑗[𝑄] adalah sebuah divisor (bentuk formal) sedangkan 𝑖𝑃 + 𝑗𝑄 adalah sebuah titik di 𝐸.

Dengan pertidaksamaan 𝑛_𝑃 > 0 menyatakan bahwa titik 𝑃 adalah sebuah zero dan 𝑛𝑃 < 0 menyatakan bahwa titik 𝑃 adalah sebuah pole. Sebagai contoh, untuk 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝐸, 𝐷1 = 2 𝑃 + 3 𝑄 − 3[𝑅] menyatakan bahwa divisor 𝐷1 memiliki zero di 𝑃 dan 𝑄 dengan orde 2 dan 3, selanjutnya sebuah pole di 𝑅 dengan orde 3. Dan 𝐷₂ = 2 𝑃 + −2𝑃 − 3[𝒪] menyatakan bahwa 𝑃 dan −2𝑃 adalah zero dengan orde 2 dan 1, dan 𝒪 adalah pole dengan orde 3 untuk divisor 𝐷₂. Kita dapat melihat bahwa tanda kurung siku berguna untuk memisahkan orde dengan titik yang dimaksud.

Grup divisor pada 𝐸, dinyatakan sebagai 𝐷𝑖𝑣(𝐸), membentuk sebuah grup abelian dengan operasi penjumlahan berikut. Untuk 𝐷₁, 𝐷₂ ∈ 𝐷𝑖𝑣(𝐸), jika 𝐷₁ =

𝑛_𝑃[𝑃]

𝑃∈𝐸 , 𝐷2 = 𝑃∈𝐸𝑚𝑃[𝑃], lalu 𝐷1+ 𝐷2 = 𝑃∈𝐸𝑛𝑃[𝑃]+ 𝑃∈𝐸𝑚𝑃[𝑃]= (𝑛_𝑃 + 𝑚_𝑃)[𝑃]

𝑃∈𝐸 . Untuk sebuah divisor 𝐷 = 𝑃∈𝐸𝑛𝑃[𝑃] kita definisikan 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝐷 = 𝑃 ∈ 𝐸 𝑛_𝑃 ≠ 0 sebagai pendukung dari divisor 𝐷, dan deg 𝐷 = _𝑃∈𝐸𝑛_𝑃 menyatakan derajat dari divisor 𝐷. Sebagai contoh, jika 𝐷₁ = 2 𝑃 + 3 𝑄 − 3[𝑅], 𝐷2 = 2 𝑃 + −2𝑃 − 3[𝒪], maka 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝐷1 = 𝑃, 𝑄, 𝑅 , 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝐷1 = 𝑃, −2𝑃, 𝒪 dan deg 𝐷₁ = 2 + 3 − 3 = 2, deg 𝐷₁ = 2 + 1 − 3 = 0.

Mulai sekarang kita membahas hanya himpunan divisor yang berderajat nol, dilambangkan sebagai 𝐷𝑖𝑣0_{(𝐸). Misalkan 𝑓 adalah fungsi rasional dari 𝐾 × 𝐾 ke 𝐾, di} mana 𝐾 adalah lapangan hingga. Sebagai contoh, 𝑓 𝑥, 𝑦 =3𝑦−2𝑥−5

5𝑦 +3𝑦 −2. Evaluasi fungsi rasional 𝑓 pada titik 𝑃 = (𝑥_𝑃, 𝑦_𝑃) di definisikan oleh 𝑓 𝑃 = 𝑓(𝑥_𝑃, 𝑦_𝑃) dan evaluasi 𝑓

26 pada sebuah divisor 𝐷 = _𝑃∈𝐸𝑛_𝑃[𝑃] di definisikan sebagai 𝑓 𝐷 =

𝑓(𝑃)𝑛𝑃

𝑃∈𝑠𝑢𝑝𝑝 (𝐷) .

Divisor dari Fungsi Rasional

Sebuah divisor menyediakan representasi untuk mengindikasikan apakah sebuah titik adalah zero atau pole beserta ordenya masing-masing terhadap sebuah fungsi rasional atas kurva eliptik. Misalkan 𝑓 adalah sebuah fungsi rasional di 𝐸. Divisor dari 𝑓 adalah

𝑑𝑖𝑣 𝑓 = _𝑃∈𝐸𝑛_𝑃,𝑓 𝑃 ,

dengan 𝑛𝑃,𝑓 adalah orde dari zero atau pole dari titik 𝑃 di 𝑓. Derajat divisor dari sebuah fungsi rasional adalah nol; oleh karena itu 𝑑𝑖𝑣(𝑓) ∈ 𝐷𝑖𝑣0_{(𝐸) untuk sebarang fungsi} rasional 𝑓.

Contoh:

Misalkan 𝑃 = (𝑥_𝑃, 𝑦_𝑃) ∈ 𝐸, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑥_𝑃, maka 𝑑𝑖𝑣 𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 𝑥 − 𝑥_𝑃 = 𝑃 + −𝑃 − 2[𝑂]. 𝑃 dan – 𝑃 adalah zero dari 𝑓 karena hanya 2 titik tersebut yang berada di garis vertikal 𝑥 − 𝑥_𝑃 = 0 dan di kurva eliptik 𝐸. Titik tak hingga 𝒪 adalah pole dengan orde 2 karena 𝑑𝑖𝑣(𝑓) ∈ 𝐷𝑖𝑣0_(𝐸).

Untuk 2 fungsi rasional, fungsi 𝑓₁ dan 𝑓₂, berlaku sifat : 1. 𝑑𝑖𝑣 𝑓₁ + 𝑑𝑖𝑣 𝑓₂ = 𝑑𝑖𝑣 𝑓₁𝑓₂ dan

2. 𝑑𝑖𝑣 𝑓₁ − 𝑑𝑖𝑣 𝑓₂ = 𝑑𝑖𝑣(𝑓₁/𝑓₂).

Contoh :

Misalkan 𝐸 adalah kurva eliptik dengan persamaan 𝑦2 _{= 𝑥}3_{+ 7𝑥 atas 𝐺𝐹(13). Kita} punya 𝑃 = 4,1 , 𝑄 = (5,2) ∈ 𝐸 dan 𝑃 + 𝑄 = (5,11). Ambil 𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑦−𝑥+3

𝑥−5 . Karena 𝑃, 𝑄, − 𝑃 + 𝑄 = 5,2 = 𝑄 terdapat di garis 𝑦 − 𝑥 + 3 = 0, maka 𝑑𝑖𝑣 𝑦 − 𝑥 + 3 = 𝑃 + 𝑄 + − 𝑃 + 𝑄 − 3 𝒪 = 𝑃 + 2 𝑄 − 3[𝒪]. Dan juga 𝑑𝑖𝑣 𝑥 − 5 = 𝑄 + −𝑄 + 2 𝒪 = 𝑄 + 𝑃 + 𝑄 − 2[𝒪] karena 𝑄, −𝑄 = 5,11 = 𝑃 + 𝑄 berada di garis

27 𝑥 − 5 = 0. Karena itu, kita mendapatkan 𝑑𝑖𝑣 𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 𝑦 − 𝑥 + 3 − 𝑑𝑖𝑣 𝑥 − 5 = 𝑃 + 𝑄 − 𝑃 + 𝑄 − [𝒪].

Sebuah divisor 𝐷 ∈ 𝐷𝑖𝑣0 _{𝐸 dikatakan principal jika 𝐷 = 𝑑𝑖𝑣(𝑓) untuk sebuah} fungsi rasional 𝑓. Divisor principal 𝐷 = 𝑃∈𝐸𝑛𝑃(𝑃) mempunyai ciri-ciri 𝑃∈𝐸𝑛𝑃𝑃 = 0.

Contoh :

misalkan 𝐷₃ = 𝑃 + −𝑃 − 2[𝒪] , maka 𝐷₃ memenuhi deg 𝐷₃ = 0 dan 𝑃 + −𝑃 − 2𝒪 = 𝑃 − 𝑃 = 𝒪. Oleh karena itu 𝐷3 adalah principal. Faktanya 𝐷3 = 𝑑𝑖𝑣(𝑥 − 𝑥𝑃) untuk fungsi 𝑥 − 𝑥_𝑃.

Dua buah divisor 𝐷₁, 𝐷₂ ∈ 𝐷𝑖𝑣0(𝐸) dikatakan ekivalen (dinotasikan 𝐷₁~𝐷₂) jika 𝐷₁− 𝐷₂ adalah principal. Untuk sebarang divisor 𝐷 = 𝑛_𝑅(𝑅) ∈ 𝐷𝑖𝑣0_(𝐸)

𝑅∈𝐸 ,

terdapat sebuah titik unik 𝑃 = _𝑅∈𝐸𝑛_𝑅𝑅 ∈ 𝐸 sedemikian sehingga 𝐷~ 𝑃 − [𝒪]. Dengan kata lain 𝐷 dapat selalu dituliskan dalam bentuk kanonik 𝐷 = 𝑃 − 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣(𝑓), di mana 𝑓 adalah sebuah fungsi rasional.

Sekarang kita akan memperkenalkan sebuah rumus untuk menambahkan dua buah divisor dalam bentuk kanonik. Rumus ini menyediakan sebuah metode untuk menemukan fungsi rasional dengan 𝑑𝑖𝑣 𝑓 = 𝐷 untuk sebuah divisor 𝐷, dan sangat berguna untuk menghitung Pasangan Weil.

Misalkan 𝐷₁, 𝐷₂ ∈ 𝐷𝑖𝑣0_{(𝐸) dengan 𝐷}

1 = 𝑃1 − 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣(𝑓1) dan 𝐷2 = 𝑃₂ − 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣(𝑓₂). Kita asumsikan bahwa 𝑃₁+ 𝑃₂ = 𝑃₃. Misalkan 𝑕_𝑃1,𝑃2 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah persamaan garis lurus yang melalui 𝑃₁ dan 𝑃₂, dan 𝑕_𝑃3(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑑 sebuah persamaan garis vertikal yang melalui 𝑃3. (Dengan catatan bahwa jika 𝑃1 = 𝑃2, 𝑕𝑃1,𝑃2 𝑥, 𝑦 adalah garis singgung di 𝑃1. Dan jika 𝑃3 = 𝒪, maka 𝑕𝑃3 𝑥, 𝑦 = 1.) Lalu kita dapatkan 𝑑𝑖𝑣 𝑕_𝑃1,𝑃2 = 𝑃₁ + 𝑃₂ + −𝑃₃ − 3[𝒪] di mana 𝑃₁, 𝑃₂, dan −𝑃₃ adalah zero karena ketiga titik itu berada pada garis 𝑕_𝑃1,𝑃2, dan 𝑑𝑖𝑣(𝑕_𝑃3 = 𝑃₃ + −𝑃₃ − 2[𝒪]) di mana 𝑃₃, −𝑃₃ adalah zero karena keduanya berada pada garis 𝑕_𝑃3. Dari persamaan-persamaan di atas, jumlah dari divisor 𝐷₁+ 𝐷₂ dapat dituliskan :

28 𝐷₁+ 𝐷₂ = 𝑃₁ + 𝑃₂ − 2 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣 𝑓₁𝑓₂

= 𝑃₃ − 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣 𝑓₁𝑓₂ + 𝑑𝑖𝑣 𝑕_𝑃1,𝑃2 − 𝑑𝑖𝑣(𝑕_𝑃3) = 𝑃₃ − 𝒪 + 𝑑𝑖𝑣(𝑓₁𝑓₂𝑕_𝑃1,𝑃2/𝑕_𝑃3)

Persamaan akhir ini akan digunakan untuk menghitung pasangan weil.

4.2.5. Pasangan bilinear

Misalkan 𝐺₁ adalah sebuah grup siklis yang dibangun oleh 𝑂, dengan orde prima 𝑞, dan 𝐺₂ adalah grup multiplikatif siklis dengan orde sama 𝑞. 𝑒: 𝐺₁× 𝐺₁ → 𝐺₂ adalah pasangan bilinear jika memenuhi sifat-sifat berikut :

1. Bilinear

𝑒 𝑃, 𝑄 + 𝑅 = 𝑒 𝑃, 𝑄 𝑒 𝑃, 𝑅 dan 𝑒 𝑃 + 𝑅, 𝑄 = 𝑒 𝑃, 𝑄 𝑒 𝑅, 𝑄 untuk setiap 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝐺₁.

2. Computability

Terdapat algoritma yang efisien untuk menghitung 𝑒(𝑃, 𝑄) untuk semua 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐺₁.

3. Non-degenerate

Terdapat 𝑃 ∈ 𝐺₁ dan 𝑄 ∈ 𝐺₁ sedemikian sehingga 𝑒(𝑃, 𝑄) ≠ 1.

4.3. Pasangan Weil

Diberikan sebuah kurva eliptik 𝐸 atas lapangan hingga 𝐾, misalkan 𝑚 adalah sebuah bilangan bulat prima adalah 𝑐𝑕𝑎𝑟(𝐾), karakteristik dari 𝐾. Sebagai contoh, 𝑐𝑕𝑎𝑟 𝐺𝐹 𝑝 = 𝑝 dan 𝑐𝑕𝑎𝑟 𝐺𝐹 2𝑚 = 2. Pasangan weil adalah fungsi

𝑒 = 𝐸[𝑚] × 𝐸[𝑚] → 𝑈𝑚

di mana 𝐸 𝑚 = {𝑃|𝑚𝑃 = 𝑂, 𝑃 ∈ 𝐸}, 𝑈_𝑚 adalah grup yang anggotanya akar dari 𝑥𝑚 = 1 di 𝐾.

Pasangan weil 𝑒(𝑃, 𝑄) didefinisikan sebagai berikut. Diberikan 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐸[𝑚], terdapat divisor 𝐷_𝑃, 𝐷_𝑄∈ 𝐷𝑖𝑣0 _{𝐸 sedemikian sehingga 𝐷}

𝑃~ 𝑃 − [𝒪] dan 𝐷𝑃~ 𝑄 − [𝒪]. Kemudian kita memilih titik 𝑇, 𝑈 ∈ 𝐸[𝑚] secara acak dan menetapkan 𝐷_𝑃 =

29 𝑃 + 𝑇 − [𝑇] dan 𝐷_𝑄 = 𝑄 + 𝑈 − [𝑈]. Dengan mudah kita bisa mengetahui bahwa 𝐷_𝑃~ 𝑃 − [𝒪] dan 𝐷_𝑄= 𝑄 − [𝑈]. Karena 𝑚𝑃 = 𝑚𝑄 = 𝒪, maka divisor 𝑚𝐷_𝑃 dan 𝑚𝐷_𝑄 adalah principal dan terdapat fungsi rasional 𝑓_𝑃, 𝑓_𝑄 sedemikian sehingga 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑃 = 𝑚𝐷_𝑃 dan 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑄 = 𝑚𝐷_𝑄. Misalkan 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝐷_𝑃 ∩ 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝐷_𝑄 = ∅, maka pasangan weil dari titik 𝑃 dan 𝑄 didefinisikan :

𝑒 𝑃, 𝑄 =𝑓𝑃(𝐷𝑄) 𝑓𝑄(𝐷𝑃).

Pasangan weil memiliki sifat bilinear : untuk 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝐸[𝑚], berlaku 𝑒 𝑃 + 𝑄, 𝑅 = 𝑒 𝑃, 𝑄 𝑒(𝑄, 𝑅) dan 𝑒 𝑃, 𝑄 + 𝑅 = 𝑒 𝑃, 𝑄 𝑒(𝑃, 𝑅). Algoritma pertama untuk menghitung 𝑒(𝑃, 𝑄) adalah sebagai berikut.

Algoritma Miller

INPUT : 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐸[𝑚] OUTPUT : 𝐸(𝑃, 𝑄)

Langkah 1. Pilih sebarang titik 𝑇, 𝑈 ∈ 𝐸 sedemikian sehingga 𝑃 + 𝑇, 𝑇, 𝑄 + 𝑈, 𝑈 berbeda. Lalu buat 𝐷_𝑃 = 𝑃 + 𝑇 − [𝑇] dan 𝐷_𝑄 = 𝑄 + 𝑈 − [𝑈].

Langkah 2. Gunakan algoritma untuk menghitung 𝑓_𝑃 𝑄 + 𝑈 , 𝑓_𝑃 𝑈 , 𝑓_𝑄 𝑃 + 𝑇 , 𝑓_𝑄(𝑇), di mana 𝑓_𝑃 dan 𝑓_𝑄 memenuhi 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑃 = 𝑚𝐷_𝑃 dan 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑄 = 𝑚𝐷𝑄.

Langkah 3. Hitung

𝑒 𝑃, 𝑄 =

𝑓𝑃(𝐷𝑄)

𝑓𝑄(𝐷𝑃)

=

𝑓_𝑃 𝑄+𝑈 𝑓𝑄(𝑇) 𝑓𝑄 𝑃+𝑇 𝑓𝑃(𝑈)

Bagian yang sangat penting dalam Algoritma Miller adalah algoritma menghitung fungsi evaluasi 𝑓_𝑃 dan 𝑓_𝑄di Langkah 2. Algoritma untuk menghitung 𝑓_𝑃(𝑆) menghasilkan 𝑓𝑃 sedemikian sehingga 𝑑𝑖𝑣 𝑓𝑃 = 𝑚𝐷𝑃, dan menghitung 𝑓𝑃(𝑥𝑆, 𝑦𝑆) untuk 𝑆 = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆). Kita lihat kembali 𝐷𝑃 = 𝑃 + 𝑇 − [𝑇]. Untuk setiap integer 𝑘, terdapat sebuah fungsi rasional 𝑓_𝑘 yang memenuhi

30 Jika 𝑘 = 𝑚, maka 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑚 = 𝑚 𝑃 + 𝑇 − 𝑚 𝑇 − 𝑚𝑃 + 𝒪 = 𝑚 𝑃 + 𝑇 − 𝑚[𝑇], dan 𝑓𝑃 = 𝑓𝑚. Untuk sebarang titik 𝑅, 𝑆, misalkan 𝑕𝑅,𝑆 dan 𝑕𝑅 adalah fungsi linear, di mana 𝑕_𝑅,𝑆 𝑥, 𝑦 = 0 adalah garis lurus yang melewati 𝑅, 𝑆, dan 𝑕_𝑅 𝑥, 𝑦 = 0 adalah garis vertikal yang melalui 𝑅. Selanjutnya kita memiliki

𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑘1+𝑘2 = 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑃 + 𝑇 − 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑇 − 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑃 + 𝒪 = 𝑘₁ 𝑃 + 𝑇 − 𝑘₁ 𝑇 − 𝑘₁𝑃 + 𝒪 +𝑘2 𝑃 + 𝑇 − 𝑘2 𝑇 − 𝑘2𝑃 + 𝒪 + 𝑘₁𝑃 + 𝑘₂𝑃 + − 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑃 − 3[𝒪] −{ (𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑃 + − 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑃 − 2[𝒪]} = 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑘1 + 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑘2 + 𝑑𝑖𝑣 𝑕_{𝑘1𝑃,𝑘2𝑃} − 𝑑𝑖𝑣(𝑕_{(𝑘1+𝑘2)𝑃}) dan karenanya 𝑓_𝑘1+𝑘2 = 𝑓𝑘1𝑓𝑘2𝑕𝑘1𝑃𝑘2𝑃 𝑕_{(𝑘1+𝑘2)𝑃} .

Persamaan di atas adalah persamaan rekursif dengan kondisi awal 𝑓₀ = 1 dan 𝑓₁ = 𝑕𝑃 +𝑇 𝑕𝑃 ,𝑇 karena 𝑑𝑖𝑣 𝑓1 = 𝑃 + 𝑇 − 𝑇 − 𝑃 + [𝒪] = 𝑃 + 𝑇 + − 𝑃 + 𝑇 − 2 𝒪 −{ 𝑃 + 𝑇 + − 𝑃 + 𝑇 − 3[𝒪]} = 𝑑𝑖𝑣 𝑕_𝑃+𝑇 − 𝑑𝑖𝑣 𝑕_𝑃,𝑇 .

Berdasarkan persamaan rekursif di atas, cara konvensional dengan metode

double and add adalah metode yang diusulkan untuk mengevaluasi fungsi rasional 𝑓_𝑃 pada titik 𝑆 yang diberikan, di mana 𝑓_𝑃 memenuhi 𝑑𝑖𝑣 𝑓_𝑃 = 𝑚 𝑃 + 𝑇 − 𝑚 𝑇 . Algoritma yang dimaksud dengan algoritma double and add adalah sebagai berikut :

31 Algoritma Double and Add (Langkah 2, Algoritma Miller)

INPUT : titik 𝑃, 𝑇, 𝑆 dan ordenya 𝑚 = 𝑛 −1𝑖=0 𝑏𝑖2𝑖 dengan 𝑏𝑖 ∈ 0,1 , 𝑏𝑛 −1 = 1 OUTPUT : 𝑓_𝑚 𝑆 = 𝑓_𝑃(𝑆) 𝑓₁ ←𝑕𝑃+𝑇(𝑆) 𝑕_𝑃,𝑇(𝑆) ; 𝑓 ← 𝑓1; 𝑍 ← 𝑃; for 𝑗 ← 𝑛 − 2 , 𝑛 − 3 , … ,0 do 𝑓 ← 𝑓2𝑕𝑍,𝑍(𝑆) 𝑕_2𝑍(𝑆); 𝑍 ← 2𝑍; if 𝑏_𝑖 = 1 then 𝑓 ← 𝑓1𝑓 𝑕𝑍,𝑃(𝑆) 𝑕𝑍+𝑃(𝑆); 𝑍 ← 𝑍 + 𝑃; endif endfor return 𝑓 4.4. ID Based Cryptosystem

Skema ID based encryption (IBE) dengan menggunakan pemetaan bilinear yaitu pasangan weil atas kurva eliptik pertama kali dicetuskan oleh Boneh dan Franklin. Pemetaan bilinear mentransformasi sepasang anggota di grup 𝐺₁dan memetakannya ke sebuah anggota di 𝐺₂dalam sebuah cara yang memenuhi beberapa kriteria. Kriteria yang paling penting adalah kebilinearan itu sendiri, di mana ia haruslah bilinear untuk setiap pasangan anggota dari domain yang dimasukkan.

Untuk membuat sebuah ID based cryptosystem diperlukan sebuah Private Key

Generator yang berfungsi untuk menentukan s yaitu master key yang dijaga

kerahasiaannya, lalu mengumumkan informasi-informasi yang diperlukan termasuk persamaan kurva eliptik yang akan dipakai, titik basis 𝑃, kunci publik 𝑠𝑃, dan beberapa fungsi hash yang dipakai. Setiap pemakai memiliki kunci publik dinotasikan 𝐾_𝑈 = 𝑄_𝐼𝐷 yaitu sebuah titik pada kurva eliptik yang berkorespondensi dengan 𝐼𝐷 nya dan diketahui oleh semua pengguna. Kunci pribadi dinotasikan 𝐾_𝑅 = 𝑠𝑄_𝐼𝐷, dimana 𝑠 diperoleh dari PKG.

32 Misalkan Anita ingin mengirimkan pesan 𝑀 kepada Budi maka enkripsi dan dekripsinya adalah sebagai berikut : Anita ingin mengirim pesan 𝑀. Ia memilih integer 𝑟 random lalu mengirim :

(𝑈, 𝑉) = (𝑟𝑃, 𝑀 ⊕ 𝑕(𝑒(𝑄_𝐼𝐷, 𝑠𝑃)𝑟₎₎

Ketika Budi menerima (𝑈, 𝑉) kemudian dia menghitung :

𝑀 = 𝑉 ⊕ 𝑕(𝑒(𝑠𝑄_𝐼𝐷, 𝑈)).

Dengan 𝑕 merupakan fungsi hash yang diumumkan PKG dan 𝑒 adalah pasangan weil. Hal ini dapat terjadi karena sifat kebilinearan dari pasangan weil, yaitu 𝑒 𝑠𝑄_𝐼𝐷, 𝑈 = 𝑒 𝑠𝑄_𝐼𝐷, 𝑟𝑃 = 𝑒(𝑄_𝐼𝐷, 𝑃)𝑠𝑟 _{= 𝑒(𝑄}