Penerapan Diferensial dalam ekonomi

Penerapan Diferensial

dalam ekonomi

Permintaan Marjinal

• Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas

masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut

• Jika Qd_a = f(P_a, P_b) dan Qd_b = f(P_a, P_b) maka:    a a P Qd Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P_a    b a P Qd Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P_b    a b P Qd Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P_a    b b P Qd Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P_b

Elastisitas Permintaan Parsial

• Elastisitas permintaan (price elasticity of demand) Jika Qd_a = f(P_a, P_b) dan Qd_b = f(P_a, P_b), maka

elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:

1) Barang a 2) Barang b b b b b b b b Qd P P Qd P Qd d        % %



a a a a a a a Qd P P Qd P Qd d        % %



Elastisitas Permintaan Parsial

• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika Qd_a = f(P_a, P_b) dan Qd_b = f(P_a, P_b), maka

elastisitas silang yang mengukur kepekaan

perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya:

1) Elastisitas silang barang a dengan barang b

2) Elastisitas silang barang b dengan barang a

b a a b a b ba Qd P P Qd P Qd _       % %



a b b a b a ab Qd P P Qd P Qd _       % %



Elastisitas Permintaan Parsial

• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)

 Jika dan < 0 untuk P_a dan P_b tertentu,

maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya

 Jika dan > 0 untuk P_a dan P_b tertentu,

maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi);

karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya

ab





_ba

ab

Contoh (1)

Elastisitas 2 Barang

• Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb: Qd_a(P_a2_)(P

b3) – 1 = 0

Qd_b(P_a3_)(P

b) – 1 = 0

• Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?

1) Elastisitas permintaan:

manipulasi bentuk persamaan permintaan:

2 3 3 2 1 _{ }     _{a b} b a a P P P P Qd ₃1  3  1   _{a b} b a b P P P P Qd

1) Elastisitas permintaan: cari Qd_a’ dan Qd_b’:

bentuk persamaan elastisitas permintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

3 3 2       b a a a _{P P} P Qd _{  3 2}   b a b b _{P P} P Qd 2 2 3 3  _{2 3}           _{ } b a a b a a a a a a P P P P P Qd P P Qd d  1 1 3 2 3            _{ } b a b b a b b b b b P P P P P Qd P P Qd d 

2) Elastisitas silang:

cari turunan pertama atas a dan b:

bentuk persamaan elastisitas silangnya:

Hubungan kedua barang adalah komplementer

1 4 3       b a a b P P P Qd 4 2 3       b a b a P P P Qd 3 3 2 4  _{2 3}           _{ } b a b b a a b b a ab P P P P P Qd P P Qd  3 3 4 1  _{3 1}           _{ } b a a b a b a a b ba P P P P P Qd P P Qd 

Fungsi Biaya Gabungan

• Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh Q_A dan Q_B

sedangkan fungsi biaya C = f(Q_A, Q_B) maka:

Penerimaan dari barang A: R_A = Q_A x P_A = f(Q_A) Penerimaan dari barang B: R_B = Q_B x P_B = f(Q_B) Penerimaan total: R = R_A + R_B = f(Q_A) + f(Q_B)

• Fungsi keuntungannya:

Fungsi Biaya Gabungan

• Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

• Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

0     A Q   0   B Q 0 2 2     A Q 2 0 2     B Q

Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan

• Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:

C = Q_X2 _{+ 3Q}

Y2 +QXQY

Harga jual per unit masing-masing barang adalah P_X = 7 dan P_Y = 20

• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?

Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan

• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? R_X = P_XQ_X = 7Q_X R_Y = P_YQ_Y = 20Q_Y R = 7Q_X + 20Q_Y П = 7Q_X + 20Q_Y – Q_X2 _{– 3Q} Y2 – QXQY 7 – 2(20 – 6Q_Y) – Q_Y = 0 33 – 11Q_Y = 0 → Q_Y = 3 Q_Y = 3 → 20 – 6(3) – Q_X = 0 → Q_X = 2 0 2 7        Y X X Q Q Q   20 6   0   X Y Y Q Q Q

Contoh (2) Fungsi Biaya Gabungan

Jika П_XX dan П_YY < 0 maka titik maksimum:

• Besarnya keuntungan maksimum:

П = 7(2) + 20(3) – (2)2 _{– 3(3)}2 _{– (2)(3)}

П = 37

• Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC: MR_X = MC_X dan MR_Y = MC_Y 0 2 2 2       X Q 2 6 0 2       Y Q

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg dikonsumsinya q_i = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:

U = f(q₁, q₂, q₃, …, q_n )

• Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya: U = f(x, y)

Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan

kurva indiferensi (indifference curve)—kurva yg

menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y

merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:

• Budget Line (garis anggaran):

garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan

konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:

M = xP_x + yP_y    x U Utilitas marjinal berkenaan dengan barang X    y U Utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau

tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan

(tangent) dengan budget line konsumen

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: L = f(x, y) + λ(xP_x + yP_y – M)

 

,   0    x x x y P f x L _

 

0 ,      y y x y P f y L _

MU dan Keseimbangan Konsumsi

• Manipulasi L_x dan L_y:

• Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama

 

 

x x x x P y x f P y x f x L , 0 ,         _{ }

 

 

y y y y P y x f P y x f y L , 0 ,         _{ }

 

 

y y x x P y x f P y x f , _ , y Y x X P MU P MU 

Contoh (3)

Utilitas Optimum

• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:

U = x2_y3

Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan memberikan tingkat kepuasan optimum

Contoh (3)

Utilitas Optimum

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

3 2xy x U _   2 2 3x y y U _  

 

13 61516 ) 14 ( 2 3     x U

   

99372 13 14 3 2 2     y U

Contoh (3)

Utilitas Optimum

• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

50 99372 25 61516 _   y y x x P MU P MU 50 3 25 2xy3 x2y2 P MU P MU y y x x   

 

3 2 2 3 2 2

3

4

3

2

2

xy



x

y



xy



x

y

x y x x y y 4 3 4 3 2 2 3   

Contoh (3)

Utilitas Optimum

• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

• Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:

x = 16, maka Utilitas maksimum: 0 1000 50 25       y x L  16 0 1000 4 3 50 25           x x x

 

16 12 4 3 _{ }  y y

   

16

2

12

3

442368

3 2







x

y

u

MP dan Keseimbangan Produksi

• Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan x_j = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:

P = f(x₁, x₂, x₃, …, x_n )

• Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen hanya menggunakan 2 macam input, K dan L,

maka fungsi produksinya: P = f(k, l)

Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan

kurva isoquant—kurva yg menunjukkan

berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama

MP dan Keseimbangan Produksi

• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan fungsi produk marjinal parsialnya:

• Isocost:

garis yang mencerminkan kemampuan produsen

membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika M adalah jumlah dana yg dianggarkan, P_K dan P_L harga input K dan L maka:

M = K x P_K + L x P_L    k P Produksi marjinal berkenaan dengan input K    l

P Produksi marjinal _{berkenaan dengan}

MP dan Keseimbangan Produksi

• Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor

produksi secara optimum, yakni tingkat produksi maksimum dengan kombinasi biaya terendah

(least cost combination)—tercapai pada saat kurva isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost

• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: Z = f(K, L) + λ(KP_K + LP_L – M)



,



  0    K K K L P f K Z _





0 ,      L L K L P f L Z _

MP dan Keseimbangan Produksi

• Manipulasi L_x dan L_y:

• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:

Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing input terhadap harganya adalah sama









K K K K P L K f P L K f K Z , 0 ,         _{ }









L L L L P L K f P L K f L Z , 0 ,         _{ }









L L K K P L K f P L K f , _ , L L K K P MU P MP 

Fungsi Produksi Cobb-Douglas

• Dinyatakan dengan: dimana:

A : Total factor productivity K : Capital

L : Labor

α dan β : elastisitas output

• Jika:

α + β = 1 → constant return to scale α + β > 1 → increasing return to scale α + β < 1 → decreasing return to scale

 

L

AK

Soal (1)

Utilitas Optimum

• Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap input harus digunakan agar produksi optimum dan berapakah produksi optimum tersebut?

Soal 2

• Jika fungsi permintaan suatu barang

ditunjukkan oleh Q_d=150-3P, berapakah elastisitas permintaannya jika tingkat

Soal 3

• Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu

perusahaan adalah ;

• TC = 0,2Q2 + 500 Q + 8.000

• Carilah:

1. Fungsi biaya rata-rata

2. Jumlah produk agar biaya rata-rata minimum

3. Berapa nilai rata-rata minimum tersebut?

Aturan elearning

1. Jawablah soal nomer 1 s/d 3

2. Jawaban dikirim lewat email ke alamat : nda_eni@yahoo.com

3. Jawaban paling lambat diterima hari Selasa tanggal 29 Desember 2015

4. Keterlambatan pengiriman jawaban ada pengurangan nilai.