ANALISA SINYAL DAN SISTEM
ANALISA SINYAL DAN SISTEM
TE 4230
TE 4230
2
TUJUAN:
• Sinyal dan Sifat-sifat Sinyal • Sistem dan sifat-sifat Sisterm • Analisa sinyal dalam domain Waktu
• Analisa sinyal dalam domain frekuensi menggunakan Tools: • Transformasi Fourier • Transformasi Laplace •Transformasi Z SISTEM EVALUASI 1. TUGAS 20% 2. QUIZ 20%
3. UJIAN TENGAH SEMESTER 30% 4. UJIAN AKHIR SEMESTER 30%
Referensi:
• Signal and System, Oppenheim
• Dan text book lain yang berkaitan dengan Analisa Sinyal dan Sistem
3
BAB I SINYAL
Sinyal : kuantitas fisik yang berubah terhadap waktu, ruang atau
terhadap
variabel-variabel
independen
lainnya. Secara
matematis, sinyal dijelaskan sebagai suatu fungsi dari satu atau
lebih variabel bebas.
Klasifikasi Sinyal
1. Sinyal Multikanal dan Sinyal multidimensi • Sinyal Multikanal
Sk(t) dimana k=1,2,3, merupakan sinyal dari sensor/sumber ke-k yang merupakan fungsi waktu, maka: Î merupakan vektor multikanal
• Sinyal Multidimensi
Apabila sinyal tergantung dari lebih dari 1 variabel bebas, maka sinyal tsb disebut dengan sinyal multidimensi
4
2. Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit
Sinyal Waktu kontinyu merupakan argument
real fungsi real
x(t) dimana t dapat bernilai real sembarang
x(t) mungkin bernilai 0 untuk range nilai t tertentu yang
diberikan
Sinyal Waktu Diskrit merupakan fungsi dari
argument yang hanya bernilai pada bagian
diskrit dari waktu
x[n] dimana n
∈ {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
3. Sinyal Periodik dan tidak Periodik
Sinyal x(t) periodik dengan perioda t (t>0) jika dan hanya jika
x(t+T) = x(t) untuk setiap t
Jika tidak ada nilai T yang memenuhi persamaan di atas sinyal dikatakan
tidak periodik.
Contoh: x(n) = Asin 2πf
0n
Sinyal di atas akan periodik apabila f
0bernilai rasional, ini berarti:
Nk f0 =
dimana k dan N adalah integer
Energi sinyal periodik x(n) dalam satu perioda, 0 < n < T-1, finite apabila x(n) bernilai finite dalam perioda tersebut. Daya rata-rata dari sinyal periodik adalah finite dan nilainya sama dengan daya rata-rata pada satu perioda.
Jadi power dari sinyal periodik dengan perioda T dan mempunyai nilai finite adalah:
5
∑
− = = 1 0 2 | ) ( | 1 N n n x N P6
TKE-5205-BAB I
4.
Sinyal Bernilai Kontinyu dan Sinyal Bernilai Diskrit
Sinyal bernilai kontinyu: sinyal yang mempunyai
seluruh harga yang mungkin pada range yang finite
maupun infinite.
Sinyal bernilai diskrit: Sinyal yang hanya mempunyai
harga pada range finite.
5. Sinyal simetris (genap) dan tidak simetris (ganjil)
Suatu sinyal berharga real x(t) disebut simetris (genap) jika:
x(-t) = x(t)
sedangkan suatu sinyal disebut tidak simetris (ganjil) apabila:
x(-t) = -x(t)
Jika x(t) adalah ganjil, maka x(0)=0
[
( ) ( )]
2 1 ) (t x t x t xe = + −[
( ) ( )]
2 1 ) (t x t x t xo = − − ) ( ) ( ) (t x t x t x = e + o7
15
8
6. Sinyal Deterministik dan
Sinyal Acak
Sinyal Deterministik
- Sinyal dapat dimodelkan secara matematis
- Dapat diprediksi nilainya
Sinyal Acak
- Sinyal yang tidak dapat dimodelkan secara matematis
- Nilainya tidak dapat diprediksi
A Sinyal Sinusoida Waktu Kontinyu
, -∞<t<∞ (1.1)
dimana:
- A= Amplituda, frekuensi (rad/s), phasa (rad) - F (cycles/s) Î Hertz ) cos( ) (t = A Ωt+
θ
xa -∞<t<∞ (1.3)F
π
2
=
Ω
)
2
cos(
)
(
t
=
A
π
Ft
+
θ
x
a (1.2) Beberapa bentuk Sinyal9
t A
Tp=1/F Sifat-sifat sinyal sinusoida analog:
1. Untuk setiap nilai tertentu frekuensi F, xa(t) periodik. Dapat dilihat dari: xa(t-Tp) = xa(t) dimana Tp =1/F adalah perioda sinyal sinus.
2. Sinyal waktu kontinyu yang mempunyai frekuensi berbeda adalah berbeda satu sama lain.
3. Peningkatan frekuensi F akan meningkatkan rate osilasi sinyal.
Hubungan yang dapat dijelaskan pada sinyal sinusoida menggunakan sinyal exponensial compleks adalah:
(1.4) Euler identity (1.5) ) (
)
(
=
j Ωt+θ at
Ae
x
φ φ φ cos jsin e±j = ± Frekuensi :- kuantitas secara fisik bernilai positif.
- Jumlah cycle per unit waktu pada sinyal periodik Frekuensi berharga negatif hanya untuk penyelesaian matematis.
10
Substitusi persamaan 1.4 dan 1.5 Î pers. 1.1
) ( ) ( 2 2 ) cos( ) ( = Ω +θ = j Ωt+θ + −j Ωt+θ a e A e A t A t x (1.6)
Dapat dilihat dari persamaan 6 bahwa sinyal sinus dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan dua buah sinyal eksponensial complex-conjugate dengan amplituda yang sama Î Phasor.
Im Re A/2 A/2 Ωt+θ Ωt+θ
B Sinyal Sinusoida Waktu Diskrit
, -∞<t<∞ (1.7) Dimana:
A = amplituda ω = frekuensi (rad/sample) n = jumlah sample θ = phasa (rad)
) cos( ) (n =A ω +n θ xa ω = 2πf , -∞<t<∞) (1.8) 2 cos( ) (n =A π +fn θ xa Sifat-sifat:
1. Sinyal Sinusoida waktu diskrit hanya periodik pada frekuensi f bernilai rasional. Perioda N (N>0), x(n+N) = x(n) untuk setiap n… (1.9).
Nilai terkecil dari N disebut dengan perioda dasar. Untuk sinusoid dengan frekuensi foakan periodik apabila:
2 Deret unit sample dinotasikan sebagai
δ(t)/
δ(n) dan didefinisikan sebagai:⎩ ⎨ ⎧ ≡ , 0 , 1 ) (n δ untuk n =0 untuk n ≠ 0 2.1.5
Dengan kata lain bahwa deret unit sample adalah sinyal dimana bernilai 0 untuk setiap n selain n=0 dimana nilainya adalah 1. Sinyal ini kadang disebut dengan sinyal impulse yang ada pada waktu kontinyu.
3 Sinyal Unit Step dinotasikan sebagai u(t) atau u(n) dan didefinisikan sebagai:
⎩ ⎨ ⎧ < ≥ ≡ 0 , 0 0 , 1 ) ( n untuk n untuk n u 2.1.6
11
4. Sinyal Unit Ramp ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ ≡ 0 , 0 0 , ) ( n untuk n untuk n n ur 5. Sinyal Exponential n setiap untuk a n x( )= n
12
apabila a bernilai kompleks maka
dimana r dan θ adalah parameter, selanjutnya x(n) menjadi
:
θ j
re
a
≡
)
sin
(cos
)
(
n
re
r
n
j
n
x
=
jθn=
nθ
+
θ
13
SISTEM
Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada pada sinyal waktu kontinyu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinyu/diskrit dengan bentuk lain (output atau respons) sistem tersebut.
Secara umum dinyatakan:
[ ]
(
)
)
(
t
T
x
t
y
≡
dimana T adalah simbol trasformasi. Deskripsi Sistem Input-Output
Menggunakan ekspresi matematis yang menjelaskan hubungan antara sinyal input dan output ( input-output relationship).
Detail struktur di dalam sistem diabaikan. Cara untuk mengetahui sistem itu hanya dengan memberikan input dan melihat outputnya.
16
[
(
)
]
)
(
n
T
x
n
y
≡
Klasifikasi Sistem
1. Sistem Statik VS Sistem Dinamik
Suatu sistem waktu diskrit dikatakan static (memoryless) jika output pada tiap n hanya tergantung pada sample input pada waktu yang sama.
Suatu sistem waktu diskrit dikatakan dinamik (mempunyai memory) apabila output sistem waktu n ditentukan oleh sample input pada interval dari n-N sampai dengan N. Contoh: Sistem Statik y(n) = ax(n) y(n) = nx(n) + bx3(n) Sistem Dinamik y(n) = x(n) + 3x(n-1)
17
∑ = − = n k k n x n y 0 ) ( ) (
[
x
n
n
]
T
n
y
(
)
=
(
),
Secara umum dua buah sistem ini didefinisikan sebagai:
2 Sistem tidak berubah terhadap waktu (time-invariant) VS
Sistem berubah terhadap waktu (time-variant)
Teorema:
Suatu sistem T adalah time invariant atau shift invariant jika dan hanya jika
berlaku
T
{
x
(
t
−
τ
)}
=
y
(
t
−
τ
)
18
Untuk setiap sinyal input x(n)/x(t) dan setiap pergeseran waktu τ
atau k.
)
(
)}
(
{
x
n
k
y
n
k
T
−
=
−
Untuk menentukan apakah suatu sistem time invariant diperlukan suatu test:
1. Beri masukan x(t)/x(n) tertentu ke sistem yang akan diuji sehingga menghasilkan output y(t)/y(n).
2. Selanjutnya beri masukan x(t)/x(n) tersebut tetapi dengan delay k, dan hitung kembali outputnya.
3. Apabila y(n,k) = y(n-k) untuk seluruh harga k yang mungkin, maka sistem tersebut adalah time invariant. Jika output , walaupun untuk satu nilai k, maka sistem tersebut adalah time variant.
3. Sistem Linier VS Nonlinier
Sistem linier yaitu sistem yang secara umum memenuhi prinsip superposisi. Teorema: Suatu sistem dikatakan linier jika dan hanya jika berlaku:
(2.2.6) untuk setiap nilai x1(n) dan x2(n) sembarang dan a1 dan a2 sembarang.
[
a1x1(n) a2x2(n)]
a1T[x1(n)] a2T[x2(n)]T + = +
20
Representasi grafis prinsip Superposisi. T linier jika dan hanya jika y(n) = y’(n) 4. Sistem Stabil dan tidak Stabil
Teorema: Sistem sembarang disebut BIBO stabil jika dan hanya jika setiap input yang terbatas menghasilkan output yang terbatas pula.
(2.2.7)
