Makalah Himpunan dan Logika Matematika Poset dan Lattice

(1)

Makalah Himpunan dan Logika Matematika

“Poset dan Lattice”

Dosen : Dra. Linda Rosmery Tambunan, M.Si

Disusun oleh :

Zoelia Gurning (160384202050)

Yoga (160384202054)

Muhammad Wiriantara (160384202063) Eci Agustina Limbong (160384202064) Maria Magdalena Nainggolan (160384202066)

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI

(2)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kita ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah tentang “POSET dan LATTICE” ini dalam rangka memenuhi nilai tugas untuk mata kuliah Himpunan dan Logika Matematika. Penulis juga berterima kasih kepada ibu Dra. Linda Rosmery Tambunan,M.Si selaku dosen pembimbing. Penulis juga tidak lupa berterima kasih kepada rekan-rekan yang berpartisipasi dalam pembuatan makalah ini.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Meskipun penulis telah berusaha melakukan yang terbaik dalam penulisan makalah ini. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun, demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga dengan adanya makalah ini, akan menambah informasi dan wawasan bagi para pembaca tentang poset dan lattice.

Tanjung Pinang, 20 April 2017

(3)

Daftar isi JUDUL KATA PENGANTAR... BAB I PENDAHULUAN... 1.1 Latar Belakang... 1.2 Rumusan Masalah... 1.3 Tujuan Penulisan... BAB II PEMBAHASAN... 2.1 Pengertian Poset (Himpunan Pengurutan Parsial)... 2.2 Diagram poset... 2.3 Supremum dan Infimum... 2.4 Lattice... BAB III PENUTUP... 3.1 Kesimpulan...

3.2 Saran... DAFTAR PUSTAKA...

(4)

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian poset ? 2. Bagaimana diagram poset ? 3. Apa itu supremum dan infimum ? 4. Apa pengertian lattice ?

1.3 Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui pengertian poset

2. Untuk mengetahui bagaimana diagram poset

3. Untuk mengetahui pengertian supremum dan infimum 4. Untuk mengetahui pengertian latice

BAB II PEMBAHASAN

(5)

2.1 Pengertian Poset (Himpunan Pengurutan Parsial)

Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat refleksif, anti simetris, dan transitif.

1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 2. Anti simetris, yaitu a R b dan b R a maka a = b 3. Transitif, yaitu jika a R b dan b R c maka a R c.

Himpunan S berikut dengan urut parsial pada S dikatakan himpunan urut parsial atau POSET (Partially Ordered Set)

Secara intuitif, didalam suatu relasi pengurutan parsial, dua benda saling berhubungan. Jika salah satunya lebih kecil ( lebih besar ) daripada atau lebih pendek ( lebih tinggi ) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.

Memang istilah pengurutan (ordering) berarti bahwa benda-benda di dalam himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tak dapat membandingkan keduanya dan tidak mengidentifikasi mana yang lebih kecil atau lebih rendah. Itulah alasannya digunakan istilah “ pengurutan parsial ( partial ordering ) ”.

Contoh :

1. Misal δ adalah sebarang kelas dari himpunan. Relasi antara himpunan “mengandung “ atau “C” merupakan suatu urutan parsial pada S karena :

a. ACA, untuk setiap A Є S b. Jika ACB dan BCA maka A = B c. Jika ACB dan BCC maka ACC

2. Misal N himpunan bilangan-bilangan positif. Sebut “a membagi b” ditulis a|b, jika terdapat sebuah bilangan bulat c sedemikian sehingga ac = b.

Contoh : 2|4, 3|12, 7|21, dsb.

Relasi dapat dibagi tersebut adalah suatu urut parsial pada N

2.2 Diagram Poset

Misal S adalah suatu himpunan urut parsial. Sebut a dalam S adalah suatu yang mendahului dari b atau b sesudah a ditulis a ≤ b jika a < b tetapi tidak ada elemen dari S yang terletak diantara a dan b, jadi tidk ada X dalam S sedemikian sehingga a < X < b.

(6)

Misal S adalah suatu POSET yang hingga. Maka urut pada S adalah diketahui secara lengkap jika kita mengetahui semua pasangan a, b, S sedemikiansehingga a≤b jadi relasi ≤ pada S. Sehingga x<y jika dan hanya jika terdapat elemen x = a0, a1, …am = y sedemikian sehingga ai-1≤ ai untuk I = 1, …, m.

Menurut diagram dari suatu POSET S yang hingga kita artikan suatu graph berarah dimana vertex adalah merupakan elemen dari S dan kan terdapat busur yang menghubungkan a dan b jika a≤b dalam S (dalam menggambarkan suatu arah panah dari a ke b, kita kadang-kadang menempatkan b lebih tinggi daripada a dalam diagram dan garis dari a ke b mengarah ke atas). Pada diagram S, terdapat suatu path berarah dari suatu vertex x ke vertex y dan hanya jika x<y. Juga terdapat sebarang cycle dalam diagram S karena urut relasinya adalah anti simetris.

Contoh :

1. Misal A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} dalam urut dengan relasi “x membagi y”. Penyelesaian : Diagram diberikan 24 8 12 18 4 6 9 2 3 1

2. Misal B = {a, b, c, d, e}. Gambar diagramnya yang didefinisikan suatu urut parsial pada B dengan cara alfabetis. Jadi d ≤ b, d ≤ a, e ≤ a, dst.

Penyelesaian : a

b c

d e

3. Diagram suatu himpunan urut linier yang hingga yaitu suatu chain hingga yang terdiri dari sebuah path yang sederhana. Seperti contoh pada gambar berikut yang

(7)

Y U Z Y X

2.3 Supremum dan Infimum

Misal A adalah sub himpunan dari Poset S, sebuah elemen M pada S dikatakan batas atas dari A jika M didahului setiap elemen dari A jadi jika setiap x Є A, diperoleh

x ≤ M

Jika suatu batas atas dari A mendahului setiap batas atas yang lain dari A maka dikatakan SUPREMIUM dari A dinotasikan dengan

Sup (A) atau sup (a1, …, an)

Dengan cara yang sama, sebuah elemen m dalam Poset S dikatakan batas bawah dari suatu sub himpunan A dari S jika m mendahului setiap elemen dari A jadi jika y dalam A, maka m ≤ y jika batas bawah dari A didahului setiap batas bawah dari A maka dikatakan INFIMUM dari A dan dinotasikan dengan

Inf (A) atau inf (a1, …, an) Misal a,b Є Poset (A, ≤)

1) c Є A, c = batas atas dari a & b bila dan hanya bila a ≤ c & b ≤ c. c Є A, c = batas atas terkecil/b.a.t (Least Upper Bound (LUB))

dari a & b bila dan hanya bila : a) c batas atas dari a & b,

b) Jika d batas atas dari a & b yang lain, maka c ≤ d. 2) c Є A, c = batas bawah dari a & b bila dan hanya bila c ≤ a & c ≤ b.

c Є A, c = batas bawah terbesar (Greatest Lower Bound (GLB)) dari a & b bila dan hanya bila :

a). c batas bawah dari a & b,

b). Jika d batas bawah dari a & b yang lain, maka d ≤ c

Dalam suatu Poset, LUB tidak selalu ada. Tetapi jika LUB ada, maka LUB tersebut tunggal. Hal yang sama, juga berlaku pada GLB.

(8)

Contoh Soal:

Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial Order didefinisikan pada himpunan A atau (A, ≤) dalam diagram Hasse di bawah ini. Carilah elemen

maksimal, minimal, terbesar dan terkecil !

2.4 Lattice

Sebuah lattice adalah sebuah poset (L,) yang setiap himpunan bagiannya {a,b}

memiliki dua elemen yaitu a least upper bound dan a greatest lower bound. Kita notasikan least upper bound (LUB) ({a,b}) dengan ab dan kita sebut join antara a dan b, sedangkan greatest lower bound (GLB) ({a,b}) dengan ab dan disebut meet antara a dan b. struktur lattice sering terlihat dalam perhitungan dan aplikasi matematika.

Teorema 1

Jika (L1,) dan (L2,) adalah lattice, kemudian (L,) adalah lattice, dimana L= L1L2 dan partial order  pada L adalah product partial order.

Bukti:

Kita notasikan join dan meet dalam L1 dengan 1 dan 1, secara berurutan, join dan meet pada L2 dengan 2 dan 2 secara berurutan, sehingga :

(9)

(a1,b1)  (a2,b2) = (a11 a2, b1b2) dengan demikian L adalah lattices.

Contoh 1

Pada himpunan S yang beranggotakan a dan b ab = a  b

ab = a  b

Pengertian dari a b dan a b

a  a_{b; b} a b, maka (a b adalah sebuah batas atas ( an upper band ) untuk a dan b). kita dapat mengatakan demikian karena dari pertidaksamaan di atas terlihat bahwa a b selalu lebih besar atau sama dengan a atau b. sehingga dapat diambil kesimpulan a b adalah yang paling besar (upper bound).

Jika a _{c dan b}_{c, kemudian a} b _{c maka a} b adalah sebuah batas atas terendah (a least upper bound) untuk a dan b.

a  b  a dan a  b b maka a  b adalah sebuah batas bawah untuk a dan b ( a lower bound) untuk a dan b.

Jika c  a dan c  b, kemudian c a  b, maka a  b adalah batas bawah terbesar (a greatest lower bound) untuk a dan b.

Isomorphic Lattices

Jika f: L1 L2 adalah isomorphisme dari poset (L1, 1) ke poset (L2, 2), kemudian pada teorema 4 (4.2) menerangkan bahwa L1 adalah lattice jika dan hanya jika L2 adalah lattice. Faktanya, jika a dan b adalah elemen-elemen pada L1, kemudian f(ab) = f(a) f(b) dan f(a b)= f(a)  f(b). jika kedua lattice adalah isomorphic sebagai poset, kita dapat katakan keduanya adalah isomorphic lattices.

Teorema 2

misal L adalah Lattices, kemudian untuk setiaap a dan b dalam L

a  b = b , jika dan hanya jika a b. bukti :

(10)

anggap bahwa a b = b karena a a b= b , kita dapatkan a b. sebaliknya jika a b kemudian karena b b, b adalah an upper bound untuk a dan b, oleh karena itu dengan definisi least upper bound kita peroleh a b b kareana a b adalah an upper bound, b  a b, sehingga a b= b.

a  b=a, jika dan hanya jika a  b bukti :

anggap bahwa a  b = a karena a = a  b a , kita dapatkan a a. b adalah an upper bound untuk a dan b, oleh karena itu dengan definisi greatest lower bound kita peroleh a b a kareana a  b adalah a lower bound, a  b a , a  b= a.

a  b=c jika dan hanya jika a b= b.

Teorema 3 Idempotan properties. a a = a a a = a Commutative properties. a b = b a a b = b a Associative properties a_(bc) = (a_b)c a (b c) = (a b) c Absorption Porperties a_(ab) = a a (a _{b) = a} Teorema 4

(11)

jika a b maka a_c b c a  c b  c

a  c dan b  c jika dan hanya jika a b c c  a dan c  b jika dan hanya jika c a  b. jika a  b dan c  d maka

a c b d a c b d

Teorema 5

a a’ = I dan a a’ = 0 berarti a’ adalah komplemen a, dimana I adalah elemen terbesar (greatest elemen) dan 0 adalah elemen terkecil(least elemen).

Dengan demikian : 0’ = I dan I = 0’

Teorema 6

a’ = a’’

misal a’ dan a’’ adalah komplemen untuk 0L, maka

a a’= I a a’’ = I a a’= 0 a a’’ = 0

dengan aturan distribusi didapat

a’ = a’ 0 = a’ (aa’’) = (a a’) (a’ a’’)

= I  (a’ a’’) = a’  a’’ juga

(12)

= (a a’’) (a’ a’’) = I  (a’ a’’)

_{= a’} a’’

sehingga dapat dikatakan bahwa a’ = a’’.

Contoh 2

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, dan Dn adalah himpunan dari semua bilangan bulat positif pembagi n, Dn adalah sebuah Lattice berdasar dengan hubungan keterbagian.

Dn = {1, 2, 3, 4, 5, 10, 20}

Diagram Hasse untuk Dn 20 4 10 2 5 1

(13)

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan

Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat reflexive, antisymmetric, dan transitive.

Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial ( partial ordering relation ) jika ia bersifat refleksif, anti simetris, dan transitif.

4. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s 5. Anti simetris, yaitu a R b dan b R a maka a = b 6. Transitif, yaitu jika a R b dan b R c maka a R c.

Himpunan S berikut dengan urut parsial pada S dikatakan himpunan urut parsial atau POSET (Partially Ordered Set)

Sebuah lattice adalah sebuah poset (L,) yang setiap himpunan bagiannya {a,b} memiliki dua elemen yaitu a least upper bound dan a greatest lower bound. Kita notasikan least upper bound (LUB) ({a,b}) dengan ab dan kita sebut join antara a dan b, sedangkan greatest lower bound (GLB) ({a,b}) dengan ab dan disebut meet antara a dan b. struktur lattice sering terlihat dalam perhitungan dan aplikasi matematika.

3.2 Saran

Setelah kita mempelajari apa pengertian poset dan apa pengertian lattice. Maka kita dapat mengetahui soal-soal tentang poset dan lattice.Para pendidik hendaknya terus berupaya untuk membuat sebuah materi yang yang baik agar peserta didik dapat mengerti serta memahami apa-apa sajayang menarik dalam pembahasan poset dan lattice. Demikian halnya dengan peserta didik harus meningkatkan cara belajarnya dan aktif ketika pembelajaran berlangsung demi meningkatkan proses pembelajaran yang lebih baik lagi

(14)

Daftar Pustaka

http://staffsite.stimata.ac.id/assets/uploads/files/download/9b6af-bab-5---posset-dan-lattice.pdf

http://docplayer.info/395446-Bab-5-poset-dan-lattice.html https://www.scribd.com/doc/61386149/Poset-Lattice