PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 1

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X

MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1

Diberikan dua vektor sebagai berikut:

b



Gambarkan vektor a)2ab b) ab

Jawab:

a) Untuk menggambar vektor 2ab, gambar dahulu vektor 2 , lalu disambung dengan a

vektor b



. Vektor 2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a a dan arahnya sama

dengan arah vektor a. Gambar dulu yuk vektor 2 : a

Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b. Letakkan pangkal vektor b pada ujung vektor 2 : a

Lalu mana vektor 2ab ?

Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor 2 ) ke a

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b). Itulah vektor 2ab. Gambarnye:

a



a



2

a



2

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 2 b) Untuk menggambar vektor ab, gambar dahulu vektor a, lalu disambung dengan

vektor b. Pertama, gambar vektor a:

Selanjutnya, vektor b adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor

b, tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b.

Kalau vektor barahnya ke kanan atas:

Maka vektor b arahnya ke kiri bawah:

Geser vektor b ini ke vektor a, pangkal vektor b ditempelkan ke ujung vektor a.

a



2

b



2

a





b



a



b



b





a



b



SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 3 Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a) ke

ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b), jadi deh vektor ab.

Soal 2

Diketahui a 4, ab  61, sudut apit antara vektor a dan b adalah 60o. Maka b ....

Jawab:

Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

 

 

b a2 b 2 2a b cos

a

  

 



dengan  adalah sudut apit antara vektor

a



dan

b



.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

 

 

b a2 b 2 2a b cos

a     

 

   

 4 2 4 cos60

61 2 b2 b

2 1 4

2 16

61  b2    b 

kuadratkan

6116 b2 4b

0 b2 4b 1661 



0 b2 4b 45

a



b





b

a







Hafalin rumus

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 4

  

9 5

(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan

gergaji!!)

Soal 3

Diketahui persamaan a b c



Kita mulai dari persamaan:

c

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 5 Soal 4

Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p –1 = …

Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:



Maka nilai dari

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 6 Soal 5

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

Nah, jika vektor

  

 

  

  

q p s 2

12



sejajar dengan vektor

  

 

  

 

 

2 1 3 t



.maka nilai p2 q2 ....

Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.

Jika vektor ssejajar dengan vektor t, maka dapat ditulis

t m s 

(dengan m suatu bilangan riil)

Masukkan nilai vektor sdan tpada soal, didapatkan:

  

 

  

 

    

 

  

 

2 1 3 2

12 m

q p

Dari komponen pertama,

12 = m . 3  m = 4 Dari komponen kedua,

2pm1 2p41  p = 2 Dari komponen ketiga,

) 2 (  m q

) 2 ( 4   q

8   q

Maka nilai p2 q2 22(8)2 46468.

Soal 6

Jika p 2i j dan qi j k maka p3q ....

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 7 k

Diberikan

 (ii) vektor satuan searah vektor b (iii) panjang proyeksi vektor a pada b

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 8 (iv) Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah b

Kalau bilangan 19

4 

dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak

dimarahin kok!

(ii) Jika  adalah sudut yang dibentuk antara vektor 

PQ, kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 9 (ii) Gunakan rumus



Dari soal (i) sudah didapatkan



Soal Matematika ada 2 macam:

1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.

2. Soal yang mengasyikkan …

Soal 9

Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 10 Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:



sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar _{ruas garis AB.}

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan



Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 10

Vektor

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 11 (Bukti: Jika vektor ategak lurus b maka sudut apitnya 90 , sehingga 

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:

a = –2i + j + xk

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 12 8

14 2

6

10 _

 x

14 16 6

10 

 x

6x16 1410

6 10 14

16 

 x

3 5 14

8 



x (Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 12

Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah i,j,dan k. Tentukan: (a) i (ii) k (iii) kk (d) ij

Jawab:

(a) i 1

(Alasan: Karena

i



adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)

(b)

k



1



(Alasan:

k



juga vektor satuan)

(c)

k



k



k

k

cos

0





1

.

1

.

1



1









(INGAT! Sudut antara vektor

k



dengan

k



adalah 0o

.

INGAT juga nilai cos01)

(d)

i



j



i

j

cos

90





1

.

1

.

0



0









(INGAT! Sudut antara vektor

i



dan



j

adalah 90.

INGAT juga cos900)

Soal 13

Diketahui a 8 dan b 2 3. Sudut apit antara vektor a dan b adalah 30o. Nilai dari ....

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 13 Jawab:

Gunakan definisi perkalian skalar ab  a b cos

   

. Maka:

. 24 3 8 3 2 1 3 16 30 cos 3 2 8

cos      

 b a b a   

Soal 14

Pada jajargenjang PQRS, vektor QPu



dan QR v



.

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor: (a)



QX

(b)



XY dalam udan v!

Jawab:

(a) Perhatikan gambar!

.

(b) Perhatikan gambar!

(Lihat vektor 

SY dan v berlawanan arah) 8

u v RX QR

QX  

2 1

  

  



v u SY XS

XY  

2 1 2

1 _

 

  

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 14 Soal 15

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

(a) 0

) 9 (

) 1 )( 6 (

3 2

 

 

x x x

(b) x29  x2 3x2

Jawab:

(a) Pertidaksamaan 0

) 9 (

) 1 )( 6 (

3 2

 

 

x x x

Pertama, tentukan titik-titik batas, yaitu nilai-nilai x sehingga:

0 6 

x (x1)2 0 (x9)3 0

x6 x10 x90 1



x x9

Lalu letakkan nilai-nilai batas ini pada garis bilangan:

Perhatikan bahwa pada angka –6 titiknya satu buah, angka 1 titiknya dua buah, sedangkan pada angka 9 titiknya tiga buah, sesuai dengan pangkat pada soal

0 )

9 (

) 1 )( 6 (

3 2

 

 

x x x

.

Ingat aturan pengisian tanda:

Jika titiknya ganjil, maka daerah kanan dan kirinya berbeda tanda

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 15 Cek tanda untuk daerah paling kanan. Ambil sembarang bilangan yang > 9, misalkan 10.

Masukkan x = 10 ke bentuk

3 2

) 9 (

) 1 )( 6 (

  

x x x

.

0 1

9 16 )

9 10 (

) 1 10 )( 6 10 ( )

9 (

) 1 )( 6 (

3 2

3 2

3 2

   

 

 

 

x x x

hasilnya positif.

Jadi kita isi deh daerah paling kanan positif:

Karena angka 9 titiknya ada tiga (ganjil), maka daerah tepat di sebelah kiri 9 tandanya berbeda, yaitu negatif:

Dan karena angka 1 titiknya ada dua (genap), maka daerah tepat di kiri 1 tandanya sama, yaitu negatif:

Kemudian, karena angka –6 titiknya ada satu (ganjil), maka daerah tepat di kiri –6 tanda berbeda dengan di kanannya, yaitu bertanda positif:

Lengkaplah sudah pengisian tanda!

Pada soal , 0

) 9 (

) 1 )( 6 (

3 2

 

 

x x x

berarti yang diminta adalah daerah yang bertanda

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 16 Sehingga himpunan penyelesaian (HP)nya dapat ditulis sebagai:

}

, 9 1

atau 1 6

{x x x x bilanganriil

HP     

atau bisa juga ditulis:

}

, 1 , 9 6

{x x x x bilanganriil HP    

(b) Cara menyelesaikan pertidaksamaan x2 9  x2 3x2 adalah dengan mengkuadratkannya menjadi:

x2 9x2 3x2 ……….. (I) dengan syarat bentuk di bawah tanda akar harus 0:

x2 90 ………..(II)

dan x2 3x20 ……… (III)

Pertama, kita selesaikan dulu pertidaksamaan (I):

2 3

9 2

2 _{  x  x} x

3x29 3x11

3 11 

x ………(*)

Bagannya:

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT Hal. 17 Berikutnya, kita kerjakan pertidaksamaan (II):

0 9 2 _{ } x

0 ) 3 )( 3

(x x 

3 atau

3 



 x

x ………... (**)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Juga kita kerjakan pertidaksamaan (III):

0 2 3

2_{  } x x

0 ) 2 )( 1

(x x 

x1 atau x2 ………... (***)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Nah, penyelesaian akhirnya adalah irisian dari ketiga daerah tersebut (daerah (*), (**), dan (***)). Irisan adalah bagian yang berada di bawah tiga garis. Yuuk kita iris:

Maka , bilangan riil} 3

11

{x x x