Objektif Am
Mempelajari dan memahami konsep kaedah sendi untuk mendapatkan daya-daya dalam ahli struktur kerangka boleh tentu statik (2-D).
Objektif Khusus
Diakhir unit ini, para pelajar sepatutnya dapat :
Mengira daya tindakbalas pada penyokong.
Mengenalpasti anggota tanpa daya dalaman; zero bar.
Mengira nilai dan jenis-jenis daya dalam anggota dengan menggunakan kaedah sendi.
UNIT
2
Pengenalan
Untuk menentukan daya dalam anggota melalui kaedah sendi, kita akan menganalisa setiap sendi sebagai satu jasad bebas. Jasad ini
dihasilkan dengan andaian bahawa anggota kekuda di potong pada kedudukan berhampiran sendi. Sebagai contoh, untuk menentukan daya dalam anggota AB dan BC [Rajah 2.1(a)], kita menjadikan jasad B sebagai jasad bebas [Rajah 2.1(b)].
Dengan menggunakan persamaan statik (Fx = 0 dan Fy = 0), daya-daya dalam anggota BA (FBA) dan BC (FBC) dapat ditentukan.
Apakah kepentingan unit ini di dalam Modul Teori Struktur 2? Unit ini merupakan asas utama untuk kita mengikuti dan
mempelajari unit-unit berikut. Oleh itu, anda dikehendaki mengikuti
unit ini dengan sabar, tekun dan berhati-hati. INPUT 2.1
DAYA TINDAKBALAS PADA KERANGKA
30 kN
(a) Kekuda (garis putus menunjukkan kedudukan kekuda di potong untuk mengasingkan sendi B).
(b) Jasad bebas
Daya Tindak Balas Pada Penyokong
Terdapat tiga (3) jenis penyokong yang biasa digunakan seperti dalam Rajah 2.2 (a-c) di bawah:
a). Suatu struktur yang disokong dengan rola akan memerlukan satu daya tindak balas.
b). Suatu struktur yang disokong dengan pin akan memerlukan dua (2) daya tindak balas.
c). Suatu struktur yang disokong terikat tegar (fixed end) memerlukan tiga (3) daya tindak balas.
Kekuda Rasuk
Kekuda Rasuk
Rajah 2.2
Menentukan daya tindak balas
Dengan menggunakan persamaan statik terhadap keseluruhan kekuda, penentuan daya tindak balas terhadap penyokong dapat dibuat. Lihat contoh di bawah sebagai panduan.
Contoh 2.1
Tentukan daya tindak balas untuk kekuda di Rajah 2.3(a-b) bawah:-
i) Ambil momen di sendi D (arah ikut jam sebagai positif): + MD = 0 0 = VA (11) + 22(12)
VA = -24kN VA = 24 kN ( )
(Negatif menunjukkan arah sebenar VA ke bawah)
ii). Jumlahkan daya dalam arah y; tentukan VD :
Fy = 0 0 = VA + VD
VD = 24 kN ( )
iii). Jumlahkan daya dalam arah x; tentukan HA :
Fx = 0 0 = HA + 22
HA = 22 kN ()
Penentuan arah sebenar daya tindak balas adalah penting untuk menentukan daya dalam anggota struktur kekuda.
Cuba lihat kekuda seterusnya untuk meningkatkan kefahaman anda. 22kN
pada peringkat ini seperti dalam Rajah .
HA
i) Ambil momen di sendi F (arah ikut jam sebagai positif):
+
MF = 0 0 = VA (24) - 20(8) + 60(8)VA = -20kN VA = 20 kN ( ) (Negatif menunjukkan arah sebenar VA ke bawah)
ii). Jumlahkan daya dalam arah y; tentukan VD :
Fy = 0 0 = -VA + VF–20 -60 VF = 100 kN ( )
iii). Oleh kerana tiada daya kenaan dalam arah x; maka HA = 0 .
Bagaimana? Mudah bukan. Mari kita uji kefahaman masing-masing dengan membuat aktiviti di muka sebelah. Jika masih keliru, rujuk contoh yang diberikan dan minta bantuan daripada pensyarah anda.
( b )
Nota :
Arah HA, VA
dan VF adalah
andaian pada peringkat ini seperti dalam Rajah .
B C D
E
60kN
VA
HA
VF
A
G
3@8m=24m
6m
Uji kefahaman anda sebelum meneruskan input selanjutnya. Sila
semak jawapan anda pada maklumbalas di halaman berikutnya.
Arahan: Tentukan daya tindak balas pada kerangka di bawah
( a )
( b )
AKTIVITI 2.1
B
60 kN
A
C
5m
5m 5m
C D
A E
600kN F 3m
( c ).
( d ).
( e ).
E
F G H
A E
40kN 40kN 40kN 4@3m=12m 30kN
4m
A B C
4kN D
3kN
2kN
4m
2m
3m 6m
B C D
A
35kN 25kN
4 @ 4m = 16m
10kN 50kN
3m
H G
PERHATIAN
Anda hanya boleh berpindah ke input seterusnya jika anda dapat menjawab kesemua soalan dalam aktiviti 2.1 dengan tepat. (a). VA = 60kN ()
HA = 0
VC = 120kN ()
(b). VA = 400kN () HA = 0
VE = 200kN ()
(c). VC = 7kN () HC = 9.17kN () HD = 7.17kN ()
(d). VA = 50kN () HA = 30kN () VE = 70kN ()
(e). VA = 19.17kN () HA = 60kN () VF = 40.83kN ()
Pengenalan
Pernahkah anda mendengar perkataan zero bar?
Zero Bar ialah anggota kekuda yang tidak mempunyai daya dalaman. Walaupun pada dasarnya tidak menanggung beban, namun ia diperlukan untuk menghasilkan kekuda yang stabil dan memenuhi keseimbangan statik. Sebagai penganalisa, proses penentuan daya dalam anggota kekuda dapat dipercepatkan dengan mengenalpasti anggota tanpa daya dalaman.
Tetapi, bagaimana ????
Di bawah topik ini, kita akan membincangkan dua kes di mana daya dalaman anggota adalah sifar.
KES 1 Jika tiada daya luaran yang dikenakan pada sendi yang mempunyai dua anggota, maka daya dalam kedua-dua anggota mestilah sifar.
Sila rujuk Rajah 2.4(a) di bawah untuk mengesahkan kenyataan di atas. Berdasarkan kepada sistem koordinat, F1 bertindak pada arah x, manakala F2 dipecahkan kepada daya komponen; arah x (F2x) dan y (F2y).
Jika kita jumlahkan semua daya dalam arah y, terbukti bahawa F2y=0 kerana tiada daya luaran yang bertindak dalam arah y. Maka F2 juga sifar dan untuk memenuhi keseimbangan, F1 juga sifar.
INPUT 2.2
KONSEP ZERO BAR
Rajah 2.4
KES 2 Jika tiada daya luaran yang dikenakan pada sendi yang mengandungi tiga anggota-di mana dua anggota berterusan (collinear), maka daya di dalam anggota yang tidak berterusan (non-collinear) adalah
sifar.
Mari kita lihat Rajah di bawah (Rajah 2.4b) untuk mengesahkan kenyataan di atas. Sekali lagi, dengan menggunakan sistem koordinat, F1 dan F2 mewakili dua anggota yang collinear, manakala F3 mewakili anggota non-collinear.
Jika dijumlahkan semua daya dalam arah y, maka F3y adalah sifar kerana tiada daya luaran yang bertindak. Oleh kerana F3y adalah sifar, maka F3 juga sifar.
Sekarang, mari kita lihat contoh-contoh di halaman berikutnya untuk meningkatkan tahap kefahaman berkaitan topik ini.
B
Keadaan di mana daya dalam anggota sifar:
(b). Dua anggota
collinear (F1 dan
F2),dan tiada daya
luaran, maka daya dalam anggota non-collinear (F3) adalah
Contoh 2.2
Untuk kekuda di bawah, senaraikan anggota tanpa daya dalaman (zero bar).
Penyelesaian
i). Pilih sendi yang tidak ada daya luaran; sendi B ii). Tentukan sama ada sendi memenuhi syarat zero bar.
Sendi B menghubungkan tiga (3) anggota iaitu BA, BC dan BD. Oleh kerana anggota BD non-collinear, maka ia adalah zero bar (kes 2).
FBD=FDB=0
Penyelesaian
i). Pilih sendi yang tidak ada daya luaran; sendi B dan D. ii). Tentukan sama ada sendi memenuhi syarat zero bar.
Sendi B menghubungkan tiga (3) anggota iaitu BA, BC dan BE tetapi tidak memenuhi syarat zero bar kes 2.
Sendi D menghubungkan dua anggota iaitu DC dan DF dan memenuhi syarat zero barkes 1. FDC = FDF = 0
Mudah bukan!! Sekarang bolehlah kita beralih ke aktiviti 2.2 ….. selamat mencuba…….
(a)
Uji kefahaman anda sebelum meneruskan input selanjutnya. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas di halaman berikutnya.
Arahan : Senaraikan semua anggota yang tiada daya dalaman ( zero bar ) untuk kekuda di bawah.
( a ).
( b ).
E AKTIVITI 2.2
60kN 45kN
A
B D
E C
F
25kN
B C D
35kN 25kN 50kN
10kN
H G
( c ).
E 60kN
A F
J G
I H B
D
L K
C
M
A B C D E
F H
55kN 75kN
( d )
G
A B C
100kN
E
PERHATIAN
Anda hanya boleh berpindah ke input seterusnya jika anda dapat menjawab kesemua soalan dalam aktiviti 2.2 dengan tepat.
(a). Sendi F : Anggota FD (Kes 2) (b). Sendi E : Anggota ED (Kes 2) Sendi C : Anggota CG (Kes 2)
(c). Sendi A : Anggota AB dan AM (Kes 1) Sendi M : Anggota ML dan MB (Kes 1) Sendi C : Anggota CL (Kes 2)
Sendi E : Anggota ED dan EF (Kes 1) Sendi I : Anggota IH (Kes 2)
Sendi H : Anggota HJ (Kes 2) Sendi G : Anggota GJ (Kes 2) Sendi J : Anggota JF (Kes 2)
(d). Sendi E : Anggota ED dan EH (Kes 1) Sendi D : Anggota DC dan DH (Kes 1) Sendi B : Anggota BF (Kes 2)
(e). Sendi B : Anggota BD (Kes 2) Sendi E : Anggota ED (Kes 2)
Pengenalan
Untuk menentukan magnitud dan jenis daya dalam anggota, langkah-langkah berikut boleh dijadikan panduan:-
Langkah 1
- Tentukan daya-daya tindakbalas pada penyokong. Langkah 2
- Pilih anggota tanpa daya dalaman (zero bar) Langkah 3
- Analisis bermula di sendi yang: (i). mempunyai daya luaran
(ii). Menghubungkan bilangan anggota yang tersedikit.
Ulang langkah 3 untuk sendi berikutnya.
Cuba fahamkan contoh di bawah.
Contoh 2.3
Tentukan magnitud dan jenis daya dalam anggota kekuda di Rajah 2.5(a) dengan menggunakan kaedah sendi.
INPUT 2.3
Magnitud dan Jenis Daya Dalam Anggota
C
B
A 3m
4m
30kN
( a )
Rajah 2.5
Penyelesaian
Langkah-langkah yang dicadangkan:-
1. Tentukan daya tindakbalas pada penyokong
VA = 30kN () ; HA = 40kN () ; HC = 40kN () 2. Pilih anggota tanpa daya dalaman (zero bar)
Oleh kerana tiada sendi tanpa daya luaran, maka tiada kes zero bar. 3. Penentuan daya dalam anggota melalui kaedah sendi
Pilih sendi yang mempunyai daya luaran; sendi A, B dan C
Pilih sendi yang mempunyai anggota yang tersedikit; sendi A, B dan C sesuai kerana masing-masing dengan 2 anggota. Namun kita mulakan sendi B kerana tiada anggota pepenjuru.
i). Analisis sendi C (Rajah 2.5b) dengan daya tindakbalas (HC) sebagai daya luaran. Oleh kerana kita tidak tahu arah sebenar daya dalaman (FCB dan FCA), maka kita andaikan arahnya keluar dari sendi (tegangan).
Jumlahkan semua daya dalam arah x; tentukan FCB
+Fx = 0 0 = FCB - 40kN
FCB = 40kN
Nota: Nilai positif menunjukkan arah FCB adalah sama seperti arah andaian. Maka FCB adalah anggota tegangan.
Jumlahkan semua daya dalam arah y; tentukan FCA
+
Fy = 0 0 = FCA
Nota: Oleh kerana tiada daya luaran dalam arah pugak, maka FCA adalah sifar. telah dipelajari di input sebelumnya. Sila rujuk kembali jika hadapi
(2) anggota yang
collinear, manakala FCA adalah anggota
ii). Ulang langkah 3 untuk sendi berikutnya.
Oleh kerana kedua-dua sendi A dan B mempunyai bilangan anggota yang sama, maka kita boleh memilih mana-mana sendi. Katakan kita pilih sendi A dengan daya tindakbalas (HA dan VA) sebagai daya luaran dan FAC adalah sifar seperti dalam Rajah 2.5(c).
Dengan menggunakan persamaan statik dalam arah x dan y:-
Jumlahkan semua daya dalam arah x; tentukan FABx
+Fx = 0 0 = FABx + 40kN FABx = -40kN
Nota: Nilai negatif menunjukkan arah FABx berlawanan dengan arah andaian iaitu ke kiri.
Jumlahkan semua daya dalam arah y; tentukan FABy
+
Fy = 0 0 = FABy + 30kN FABy = -30kN FABx = 30kN ()
Nota: Nilai negatif menunjukkan arah FABy berlawanan dengan arah andaian iaitu ke bawah.
Dengan menggunakan teorem phytogeras, tentukan FAB FAB = (FABx)2 + (FABy)2
Analisis sendi C akan berakhir apabila magnitud dan arah sebenar FCB dan FCA
Nota:
Oleh kerana arah komponen daya dalam anggota AB (FABx dan FABy)
berbeza dengan arah andaian, maka arah FAB adalah menuju ke sendi dan
anggota AB adalah mampatan.
Sebagai semakan, mari kita analisis sendi B (Rajah 2.5d) dengan daya kenaan 30kN, FBA = 50kN (mampatan) dan FBC = 40kN (tegangan) sebagai daya luaran.
Dengan menggunakan persamaan statik dalam arah x dan y:-
Jumlahkan semua daya dalam arah x;
+Fx = 0 40kN – 40kN = 0 (bukti)
Jumlahkan semua daya dalam arah y;
+
Fy = 0 30kN – 30kN = 0 (bukti)
Hasil pengiraan menujukkan keseimbangan persamaan statik telah dicapai dan keputusana analisa ditunjukkan dalam Rajah 2.5(e) di mana daya tegangan dinyatakan dengan tandaan positif, manakala tandaan negatif untuk daya mampatan.
30kN
Contoh 2.4
Dengan menggunakan kaedah sendi, tentukan madnitud dan jenis daya dalam anggota bagi kekuda yang di tunjukkan dalam Rajah 2.6(a) di bawah.
Penyelesaian
Langkah-langkah yang dicadangkan:-
1. Tentukan daya tindakbalas pada penyokong
VA = 30kN () ; HA = 22kN () ; VD = 40kN ()
2. Pilih anggota tanpa daya dalaman (zero bar). Konsep zero bar hanya berlaku pada sendi tanpa daya luaran; sendi B.
Sendi B menghubungkan tiga (3) anggota iaitu BA, BC dan BD. Oleh kerana anggota BD non-collinear, maka ia adalah zero bar (kes 2).
FBD=FDB=0
3. Penentuan daya dalam anggota melalui kaedah sendi
Pilih sendi yang mempunyai daya luaran; sendi A, D dan C boleh diterima.
Pilih sendi yang mempunyai anggota yang tersedikit; sendi A, B dan C sesuai kerana masing-masing dengan 2 anggota. Namun untuk
memudahkan pengiraan, kita mulakan sendi A kerana hanya mempunyai satu anggota pepenjuru sahaja.
C
B
A D
11m 5m
6m
22kN
6m
( a )
Rajah 2.6
i). Analisis sendi A(Rajah 2.6b) dengan daya tindakbalas (VA dan HA) sebagai daya luaran. Oleh kerana kita tidak tahu arah sebenar daya
dalaman anggota AB dan AD (FAB dan FAD), maka kita andaikan arahnya keluar dari sendi (tegangan).
Dengan menggunakan persamaan statik dalam arah x dan y:-
Jumlahkan semua daya dalam arah x;
+Fx = 0 FAD + FABx = 22 ... per. 1
Jumlahkan semua daya dalam arah y;
+
Fy = 0 FABy - 22 = 0 FABy = 22kN
Nota: Nilai positif menunjukkan arah andaian FABy adalah betul iaitu ke atas.
Untuk menentukan FAB dan FABx, kaedah sempadan sisi pula digunakan iaitu: ialah anggota mampatan.
FABx
dahulu kerana satu persamaan, satu anu.
Rajah 2.6
iii). Seterusnya, kita analisis sama ada sendi B atau C; katakan kita pilih sendi B dengan daya dalam anggota BA (FAB = FBA = 40kN sebagai daya luaran) seperti dalam Rajah 2.6(c).
Oleh kerana anggota BA dan BC adalah anggota collinear, maka FDC = FBA = 40kN. Arah FBC juga keluar dari sendi dan anggota BC adalah tegangan.
Sebagai semakan, cuba analisis sendi B dan sekiranya memenuhi keseimbangan persamaan statik, ini bermakna kita telah berjaya !!!!
Keputusan analisa di tunjukkan dalam Rajah 2.6(d) di mana daya tegangan dinyatakan dalam tandaan positif dan negatif untuk daya mampatan.
Bagaimana setakat ini? Adakah anda telah memahami konsep kaedah sendi? Jika ya, tahniah diucapkan. Tetapi jika masih keliru, mari kita cuba contoh berikut.
Contoh 2.5
Dengan menggunakan kaedah sendi, tentukan magnitud dan jenis daya dalam anggota untuk kekuda seperti dalam Rajah 2.7a di bawah.
Penyelesaian
1. Daya tindakbalas pada penyokong
HA = 0; VA = 20kN () dan VF = 100kN () 2. Anggota CG adalah zero bar; kes 2
3. Menentukan daya dalam anggota
i). Analisis sendi A dengan VA sebagai daya luar: FAB = 20kN (tegangan); FAG = 0
ii). Analisis sendi B dengan FBA= 20kN sebagai daya luaran: FBG = 33.33kN (mampatan); FBC = 22.67kN (tegangan)
iii). Analisis sendi C dengan FCB = 22.67kN sebagai daya luaran: FCD = 22.67kN (tegangan)
iv). Analisis sendi G dengan daya kenaan 20kN dan FGC = 33.33kN sebagai daya luaran:
FGD = 33.33kN (tegangan); FGF = 80kN (mampatan)
v). Analisis sendi F dengan VF dan FFG = 80kN sebagai daya luaran: FFE = 80kN (mampatan); FFD = 100kN (mampatan)
B C D
A E
G F
20kN 60kN
6m
3@8m=24m
( a )
Rajah 2.7
vi). Analisis sendi E dengan daya kenaan 60kN dan FEF = 80kN sebagai daya luaran:
FED = 100kN (mampatan)
Akhir sekali, analisis sendi D sebagai semakan untuk memenuhi
keseimbangan persamaan statik. Rajah 2.7b menunjukkan hasil analisa dengan daya tegangan dinyatakan sebagai positif dan negatif untuk daya mampatan.
Bagaimana tahap kefahaman anda di peringkat ini? Jika anda telah memahami konsep kaedah sendi, tingatkan kefahaman dan kemahiran anda dengan membuat aktiviti-aktiviti di halaman berikut. Jika sebaliknya, cuba ulang semula contoh-contoh tadi dan minta bantuan daripada rakan dan pensyarah anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya...
B +26.67 C +26.67 D
-33.33 0 +66.67 +100
+20
-100
A E
0 G -80 F -80
20 20 100 60
( b )
Rajah 2.7
Uji kefahaman anda sebelum mengikuti aktivi kendiri. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas di halaman berikutnya.
Arahan : Dengan menggunakan kaedah sendi, tentukan magnitud dan jenis daya dalaman untuk kekuda di bawah:-
AKTIVITI 2.3
B
A C
5m 5m
5m 60kN
( a )
B D
A F
C E 6kN 3kN
3@8m=24m
6m
F G H
A E
40kN 40kN 40kN
4@3m=12m
4m 30kN
( c )
E
4m
D E
4m
A C
B
20kN 2 @ 5m = 10m
15kN
( d )
C D
3m
A E
B
3m 6m
600kN
PERHATIAN
Anda hanya boleh berpindah ke penilaian kendiri jika anda dapat menjawab kesemua soalan dalam aktiviti 2.3 dengan tepat.
( a ). FAB = +60√5 kN ( d ) FAB = -10 kN
FAC = -120 kN FAD = -12 kN
FBC = -120√2 Kn FAE = +2√41 kN
( b ). FAB = -8.33 kN FBC = -25 kN
FAC = +6.67 kN FBE = -16 kN
FBC = +5 kN FCE= +5√41 kN
FBD = -6.67 kN FDE = +15 kN
FCD = +1.67 kN FDF = -3√41 kN
FCE = +5.34 kN FEF = +12 kN
FDE = +3 kN FDF = -6.67 kN FEF = +5.34 kN
( c ). FAB = +67.5 kN ( e ). FAB = +400 kN
FAF = -62.5 kN FAC = -400√2 kN
FBC = +67.5 kN FBC = +400 kN
FBF = +40 kN FBD = +200√2 kN
FCD = +52.5 kN FBE = +200 kN
FCF = +12.5 kN FCD = -400 kN
FCG = 0 FDE = -200√2 kN
FCH = +37.5 kN FDE = +52.5 kN FDH = +40 kN FEH = -87.5 kN FFG = -75 kN FGH = -75 kN
Tahniah, anda telah sampai keakhir unit 2. Sekarang anda boleh menilai kefahaman anda dengan mencuba semua soalan dalam penilaian kendiri. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan.
Jika anda menghadapi sebarang masalah, sila dapatkan bimbingan dari pensyarah matapelajaran.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!
Arahan: Merujuk kepada kerangka di bawah, dengan menggunakan kaedah sendi, dapatkan daya dalaman bagi anggota-anggota kerangka. Nyatakan juga sama ada anggota-anggota kerangka tersebut bertindak sebagai anggota mampatan atau anggota tegangan.
( a ).
( b ).
PENILAIAN
KENDIRI
A B C
200kN
1m
E D
2m 2m
235kN
C A
1m
D B
( c ).
3 @ 1m = 3m
( d ).
( e ).
115kN
A B C D
75kN
1m
G E
F
4m D
C B
A
2 @ 3m = 6m 80kN 30kN
C B
A
E
D 60o
60o
PERHATIAN
Anda hanya boleh berpindah ke unit berikutnya jika anda dapat menjawab kesemua soalan dalam aktiviti kendiri dengan tepat.
Jawapan
( a ). FAB = +400 kN ( b ). FDC = -235 kN
FAD = -2005 kN Anggota lain sifar
FBD = 0
FBC = +400 kN FCD = -2005 kN FCE = +200 kN FED = 0
( c ). FAB = +75 kN ( d ). FAB = +15 kN
FAG = +275 kN FAD = -75 kN
FCG = -295 kN FBD = +80 kN
FFG = +20 kN FCD = -25 kN
( e ). FAB = +40.41 kN FBC = +40.42 kN FAE = -20.21 kN FCD = +40.41 kN FED = -20.21 kN