Agustina Eunike, ST., MT., MBA

(1)

STATISTIK INDUSTRI 1

DISKRIT DAN KONTINYU

Distribusi Peluang

Random Variable

• Random variable / peubah acak:

–Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan tiap elemen pada ruang sampel

–Random/Acakkarena tidak diketahui pasti nilai yang akan dihasilkan pada percobaan yang dilakukan

–Notasi random variable: “huruf besar” (X, Y, A, B, ...)

–Nilai random variable: “huruf kecil” (x, y, a, b, ...)

• Ruang sampel Diskrit

–Bilangan bulat, berupa titik, ada gap antar titik sampel

–Variabel acak diskrit

• Ruang sampel Kontinyu

–Dapat berupa pecahan, semua poin pada interval dalam ruang sampel

–Variabel acak kontinyu

Distribusi Peluang

•

Distribusi frekuensi relatif yang secara teori

seharusnya terjadi pada pengamatan suatu

populasi

•

Pemahaman dasar tentang terjadinya suatu

kejadian secara natural

•

Identifikasi peluang terjadinya suatu kejadian

•

Model yang menggambarkan peluang suatu

kejadian dan penggambaran kapan terjadinya

–Membantu pengambilan keputusan secara efektif –Persiapan untuk proses yang terkait dengan kejadian

tersebut

Distribusi Peluang Diskrit

–Distribusi Klasik •𝑓(𝑥) ≥ 0, • 𝑓 𝑥 = 1𝑥 , •𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥),

•0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≤ 1

•Mutually Exclusive

Distribusi Peluang Diskrit

(2)

•

Distribusi Peluang Diskrit Kumulatif

–𝐹 1 = 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 𝑓 0 + 𝑓 1 = 0.25 + 0.5 = 0.75

–𝐹(𝑥)

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

0.25, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑥 < 1 0.75, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 ≤ 𝑥 < 2 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 2

•

Mean / Expected Value

–𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓(𝑥)𝑥

•

Variansi

–𝜎2_{= 𝐸[ 𝑋 − 𝜇} 2_{] = (𝑥 − 𝜇)}2_𝑓(𝑥) 𝑥

Distribusi Peluang

•

Distribusi Peluang Kontinyu

–Probability density function

BINOMIAL

Distribusi Binomial

•

Percobaan berturut-turut dengan dua

kemungkinan hasil:

–Sukses vs Gagal –Yes vs No

•

Mengacu pada

Proses Bernoulli

:

–Percobaan dilakukan berulang

(3)

Distribusi Binomial

•

𝑝 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠

•

𝑞 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙

•

𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚

•

𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓

•

𝑃 𝑋 < 𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

Distribusi Binomial

• Dengan Tabel:

Distribusi Binomial

• Dengan Tabel:

Distribusi Binomial

(4)

Distribusi Binomial

CATATAN:

• Pada kondisi tertentu, distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi poisson atau distribusi normal

• Hasil perhitungan berdasarkan pendekatan distribusi harus diterima dengan bijaksana dan penuh kehati2an. Karena pada prinsipnya setiap pendekatan

menggunakan beberapa asumsi. Pada distribusi binomial, asumsi yang digunakan adalah asumsi independen pada proses percobaan bernoulli, dan bahwa 𝑝 adalah konsisten

MULTINOMIAL

Distribusi Multinominal

•

𝑝

𝑖

= 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔

•

𝑋

𝑖

= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚

Distribusi Multinominal

HYPERGEOMETRIC

(5)

Distribusi Hypergeometric

•

Percobaan berturut-turut dengan dua

kemungkinan hasil:

–Sukses vs Gagal –Yes vs No

•

Tidak menganut proses Bernoulli

⇛

percobaan

tidak independen

⇛

tanpa pengembalian

(without replacement)

•

Aplikasi: penerimaan sampel (

acceptance

sampling

), pengujian elektronik, jaminan mutu

•

Notasi dalam percobaan hypergeometric:

–variabel acak hypergeometric:

•jumlah sukses variabel X dalam percobaan hypergeometric

–Distribusi hypergeometric:distribusi peluang dari variabel hypergeometric

–x :jumlah sukses variabel X dalam percobaan n sampel

–n :ukuran sample acak (dilakukan tanpa pengembalian)

–N :jumlah keseluruhan obyek

–k :jumlah obyek sukses dari keseluruhan obyek

–n - x :jumlah gagal dalam percobaan

–N - k:jumlah gagal pada keseluruhan obyek

–h :nilai dari distribusi hypergeometric

Distribusi Hypergeometric

𝑕 𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘 =

𝑘

𝑥

𝑁 − 𝑘

𝑛 − 𝑥

𝑁

𝑛

,

max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘 ≤ 𝑥 ≤ min 𝑛, 𝑘 .

Contoh:

•

Rata-rata dan Variansi:

𝜇 =

𝑛𝑘

𝑁

𝜎

2

=

𝑁−𝑛

𝑁−1

. 𝑛.

𝑘𝑁 1−𝑁𝑘

–Contoh:

𝑁 = 40, 𝑛 = 5, 𝑘 = 3,

•

Distribusi hypergeometric dapat diselesaikan

dengan distribusi binomial, jika

_𝑁𝑛≤0.05

, 𝑝 =

𝑘_𝑁

(6)

BINOMIAL NEGATIF

Distribusi Binomial Negatif

•

Percobaan binomial negatif

–Mencari peluang _𝑘 sukses dalam _𝑥 percobaan

•

Variabel acak binomial negatif

–Jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan _𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif

•

Distribusi peluang binomial negatif

–Peluang jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan 𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif

•

Notasi:

–𝑏∗_{:peluang sukses pada trial tertentu}

–x :jumlah percobaan

–p :peluang sukses

–q :peluang gagal

–k :jumlah sukses yang terjadi

Distribusi Binomial Negatif

Contoh:

•

𝜇 =

𝑘

𝑝

𝜎

2

=

𝑘(1−𝑝)

𝑝2

GEOMETRIC

(7)

Distribusi Geometric

•

Kondisi khusus dari binomial negatif

–𝑘 = 1

Contoh:

•

𝜇 =

1

𝑝

𝜎

2

=

(1−𝑝)

𝑝2

POISSON

Distribusi Poisson

•

Percobaan Poisson:

Percobaan yang variabel acak-nya adalah banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau area tertentu

Selang waktu: menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, dll

X: banyaknya penelepon 108 per jam,

X: banyaknya hari sekolah libur karena banjir

X: banyaknya pertandingan bola ditunda pada musim hujan

Area: panjang garis, luas daerah, isi benda, potongan material, dll

X: banyaknya tikus sawah per hektar

X: banyaknya salah ketik per halaman

Distribusi Poisson

•

Karakteristik Proses Poisson:

–Jumlah hasil yang terjadi pada selang waktu atau area adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang waktu atau area lain yang terpisah. (poisson process has no memory)

(8)

Distribusi Poisson

•

Rumus:

–𝜇 = λ𝑡

–𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 = 𝑝 𝑥; λ𝑡

𝑝 𝑥; λ𝑡 =𝑒−λ𝑡_λ𝑡𝑥

𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, …

–𝑡: "waktu", "jarak", "area",𝑎𝑡𝑎𝑢 "volume“ –λ: "rata − rata jumlah hasil per satuan unit 𝑡“ –𝑒 = 2,71828 …

Distribusi Poisson

•

Dengan Tabel

𝑃 𝑟; λ𝑡 = 𝑝 𝑥; λ𝑡

𝑟

𝑥=0

Distribusi Poisson

Contoh:

• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu

penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

𝑝 6; 4.1 =𝑒−4 4.1 6

6! =2,71828−4.466𝑥5𝑥4𝑥2𝑥1 =0,018∗4096720 = 0,104196

–Dengan Tabel:

𝑝 6; 4 = 6_𝑥=0𝑝 𝑥; 4 − 5_𝑥=0_{𝑝 𝑥; 4} _{= 0.8893 − 0.7851 = 0.1042}

Distribusi Poisson

Contoh:

• Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu

pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?

–X: banyaknya tanker yang tiba tiap hari

–𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 15 –𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 15_𝑥=0𝑝 𝑥; 10 –𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 0,9513 –𝑃 𝑋 > 15 = 0,0487

Distribusi Poisson

•

𝜇 = λ𝑡

𝜎

2

= λ𝑡

Distribusi Poisson

•

Poisson dan Binomial

–Percobaan Binomial dapat diselesaikan dengan

Poisson jika:

(9)

Distribusi Poisson

•

Distribusi Poisson

•

RANGKUMAN

Distribution Random Variable X

Possible Values of X

Distribution Function Fx(a) = P(X=a)

Mean E(X)

Binomial No. of success in n trials

with p = P (success)

(draw w/ replacement, independet trials)

0, 1, … . , 𝑛 𝑛

𝑎 𝑝𝑎1 − 𝑝𝑛−𝑎 𝑛𝑝

Negative Binomial

No of trials until the kth success with p = P (success)

𝑘, 𝑘 + 1, … 𝑎 − 1

𝑘 − 1 𝑝𝑘−11 − 𝑝𝑎−𝑘. 𝑝 𝑘/𝑝

Geometric No of trials until the 1st

success with p = P (success)

1_{, 2, 3, …} _{𝑝(1 − 𝑝)}𝑎−1 _1/𝑝

Hypergeometric No. of success in n trials

with p = P (success) = k/N

(draw w/o replacement, dependet trials)

max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘

... min 𝑛, 𝑘 𝑘

𝑎 𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑎 𝑁 𝑛

𝑛(𝑘 𝑁 )

Poisson No. of arrivals with

arrivale rate λ during an interval length t

0, 1, 2,... 𝑒−λ𝑡_λ𝑡𝑎 𝑎!

λ𝑡

Distribusi Peluang Diskrit

• The number of defectives found when inspecting 10 items produced by a production line with defective rate 5 %. (𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 10, 𝑝 = 5%)

• The number of flips required to observe the 4thhead flipping a biased coin with P(head)=1/3.

(_{𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘 = 4, 𝑝 = 1/3})

• The number of red balls observed when drawing without replacement 10 balls from a bag with 5 red and 20 black balls. (𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑁 = 25, 𝑘 = 5, 𝑛 = 10) • The number of bubbles observed when inspecting a piece