SEBARAN PELUANG DISKRET

(1)

SEBARAN PELUANG DISKRET

(2)

Beberapa Peubah Acak Diskret

Binom Negatif Binomial

Bernoulli

Hiper-

geometrik Geometrik Poisson

Seragam

Hazmira Yozza Jur. Matematika FMIPA Unand Izzati Rahmi HG

(3)

Peubah Acak Seragam

DEFINISI :

Bila setiap kemungkinan percobaan memiliki kesempatan yang sama untuk muncul/terpilih

Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai x1, x2, , xk, dengan peluang yang sama, maka fungsi peluang bagi peubah acak X adalah ^:

x

k

x x

k x k

x f

x X

P 1 , ,...,

)

; ( )

( = = = =

₁ ₂

(4)

CONTOH :

Tentukan rumus bagi fungsi peluang X yang menyatakan nomor yang terambil bila satu potong kertas diambil dari sebuah kotak yang berisi 12 potong kertas yang masing- sebuah kotak yang berisi 12 potong kertas yang masing- masingnya diberi nomor 1 sampai 12. Tentukan peluang terambilnya kertas bernomor kurang dari 4

(5)

Peubah Acak Bernoulli, Binomial dan Multinomial

Percobaan dilakukan sebanyak n kali ulangan

Ciri

Ciri--ciri ciri Percobaan Percobaan

Setiap ulangan hanya memiliki dua kemungkinan hasil.

”Berhasil” dan ”Gagal”

Peluang “Berhasil” dan “Gagal sama pada setiap ulangan ; P(Berhasil) = p dan P(Gagal)=q=1-p

n ulangan saling bebas, artinya hasil suatu ulangan tidak dipengaruhi dan mempengaruhi hasil ulangan lainnya

Percobaan Percobaan

Binomial Binomial

(6)

Peubah Acak Bernoulli, Binomial dan Multinomial

DEFINISI : Peubah acak X didefinisikan sebagai

banyaknya keberhasilan dalam n percobaan binomial.

Fungsi peluang bagi peubah acak binomial X adalah :

n x

p p

C p

n x b x

X

P ( = ) = ( ; , ) =

_n _x ^x

( 1 − )

ⁿ⁻^x

= 0 , 1 ,....,

Bila n = 1, maka X dinamakan peubah acak bernoulli, dengan fungsi peluang

1 , 0 )

1 ( )

( X = x = p − p

¹⁻

x =

P

^x ^x

(7)

Peubah Acak Bernoulli dan Binomial

CONTOH :

Diketahui bahwa 40% dari populasi sejenis serangga terinfeksi virus tertentu. Jika dari populasi serangga

tersebut diambil contoh acak berukuran 10, dan masing- masing serangga diperiksa secara terpisah apakah

terinfeksi atau tidak dan dicatat banyaknya serangga yang terinfeksi atau tidak dan dicatat banyaknya serangga yang terinfeksi dari 10 serangga yang diperiksa. Bila diketahui bahwa peluang setiap serangga pada contoh untuk

terinfeksi tidak dipengaruhi atau mempengaruhi peluang serangga lain untuk terinfeksi. (a) Berapa peluang lima dari sepuluh serangga tersebut terinfeksi virus (b) Berapa peluang lebih dari 7 serangga yang diperiksa ternfeksi virus (c) Berapa peluang lebih dari 2 serangga terinfeksi.

(8)

Peubah Acak Bernoulli dan Binomial

CONTOH :

Satu buah dadu dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata lebih dari 4.

(9)

Tabel Binomial

n X

P

0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9

10 0 0.3487 0.1074 0.0563 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 10 1 0.3874 0.2684 0.1877 0.1211 0.0403 0.0098 0.0016 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 10 2 0.1937 0.3020 0.2816 0.2335 0.1209 0.0439 0.0106 0.0014 0.0004 0.0001 0.0000 10 3 0.0574 0.2013 0.2503 0.2668 0.2150 0.1172 0.0425 0.0090 0.0031 0.0008 0.0000 10 4 0.0112 0.0881 0.1460 0.2001 0.2508 0.2051 0.1115 0.0368 0.0162 0.0055 0.0001 10 5 0.0015 0.0264 0.0584 0.1029 0.2007 0.2461 0.2007 0.1029 0.0584 0.0264 0.0015 10 6 0.0001 0.0055 0.0162 0.0368 0.1115 0.2051 0.2508 0.2001 0.1460 0.0881 0.0112 10 7 0.0000 0.0008 0.0031 0.0090 0.0425 0.1172 0.2150 0.2668 0.2503 0.2013 0.0574 10 8 0.0000 0.0001 0.0004 0.0014 0.0106 0.0439 0.1209 0.2335 0.2816 0.3020 0.1937 10 9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0016 0.0098 0.0403 0.1211 0.1877 0.2684 0.3874

(10)

Peubah Acak Hipergeometrik

Percobaan :

Pengambilan 4 kelereng tanpa pengembalian dari kotak yang berisi 10 kelereng (6 merah, 4 biru). Percobaan binomial???

Pengambilan-1 P(M) = 0.6; P(B) = 0.4

Pengambilan-2 P(M) dan P(B) tergantung hasil pengambilan sebelumnya

Pengambilan-1 terambil merah P(M) = 5/9; P(B) = 4/9

Pengambilan-1 terambil biru

P(M) = 6/9; P(B) = 3/9

Jadi perc. ini bukan perc

binomial

Cust aniHazmira Yozza Jur. Matematika FMIPA Unand Izzati Rahmi HG

(11)

Populasi berukuran N, yang terdiri dari k anggota yang dapat dianggap sebagai ”keberhasilan” dan N-k

anggota yang dapat dianggap sebagai ”kegagalan”.

Dari populasi tersebut diambil n contoh acak satu persatu tanpa pengembalian. Cara pengambilan seperti ini sama dengan pengambilan secara

seperti ini sama dengan pengambilan secara sekaligus.

Jika dinyatakan X sebagai banyaknya keberhasilan dalam n ulangan, maka peubah acak tersebut

dinamakan peubah acak hipergeometrik.

(12)

Bila dalam populasi N benda, k benda diantaranya

merupakan keberhasilan dan N-k benda benda merupakan kegagalan, maka sebaran peluang bagi peubah acak

hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya

keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah : keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

n N

x n k N x k

C C k C

n N x h x

X

P ( = ) = ( ; , , ) =

⁻ ⁻ Untuk x = a, a+1, a+2, ,b

Dengan a = max{0, n-(N-k)} b = min{n,k}

(13)

CONTOH :

Dari sepuluh orang yang melamar sebagai seorang ahli terapi bicara, 6 di antaranya memiliki gelar master. Lima

terapi bicara, 6 di antaranya memiliki gelar master. Lima orang dari 10 orang tersebut dipilih secara acak untuk menduduki jabatan tersebut. Berapa peluang tiga di antaranya memiliki gelar master.

(14)

Hampiran Sebaran Binomial bagi sebaran Hipergeometrik

Kasus I : Isi kotak 4 M + 6 B

P(M1) = 4/10 P(M2|M1) = 3/9 P(M2|B1) = 4/9

Percobaan : Pengambilan 3 kelereng dari sebuah kotak tanpa pengembalian

Kasus II : Isi kotak 4000 M + 6000 B

P(M1) = 4000/100000 P(M2|M1) = 3999/99999 P(M2|B1) = 4000/99999

= 4/10

≈ 4/10

≈ 4/10 P(M2|B1) = 4/9

P(M3|M1∩M2) = 2/8 P(M3|M1∩B2) = 3/8 P(M3|B1∩M2) = 3/8 P(M3|B1∩B2) = 4/8

P(M2|B1) = 4000/99999 P(M3|M1∩M2) = 3998/99998 P(M3|M1∩B2) = 3999/99998 P(M3|B1∩M2) = 3999/99998 P(M3|B1∩B2) = 4000/99998

≈ 4/10

Tidak sama Tidak sama Dapat diang-

gap sama Seb. hipergeometrik dapat

didekati dengan seb. normal

(15)

X = banyaknya keberhasilan dalam contoh berukuran n PA hipergeometrik X dapat didekati dengan sebaran peluang binomial jika :

• populasi berukuran besar atau tak hingga

• ukuran contoh relatif sangat kecil jika dibandingkan

05 .

≤ 0 N

n

Bila PA hipergeometrik X didekati dengan PA binomial, maka :

• PA X = banyaknya keberhasilan dalam n ulangan

• peluang keberhasilan p = k/N

• ukuran contoh relatif sangat kecil jika dibandingkan dengan ukuran populasi

• Menurut Kvanli jika

(16)

CONTOH :

Suatu batch yang terdiri dari 350 buah resistor baru akan dikirim bila dari 15 resistor yang diambil dari batch tersebut, hanya ditemukan kurang dari dua resistor yang cacat. Jika

hanya ditemukan kurang dari dua resistor yang cacat. Jika diketahui terdapat 50 resistor cacat dalam batch tersebut, berapa peluang batch tersebut tidak jadi dikirim.

(17)

Sebaran Poisson

PA X : banyaknya hasil suatu percobaan pada suatu selang waktu atau luas daerah tertentu

PA X dinamakan PA Poisson Asumsi :

1. Banyaknya kejadian pada suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak dipengaruhi oleh banyaknya kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.

daerah yang lain.

2. Rata-rata banyaknya kejadian suatu percobaan pada suatu selang waktu atau daerah tertentu sebanding dengan panjang selang waktu atau luas daerah tersebut. Contoh, bila rata-rata banyaknya

kecelakaan dalam 1 bulan adalah 20 kecelakaan, maka rata-rata banyaknya kecelakaan dalam 1 minggu adalah 5 kecelakaan.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau dalam daerah yang sangat sempit

(18)

Sebaran Poisson

C O N T O H :

Rata-rata banyaknya pelanggaran lalu lintas pada salah satu perempatan jalan di Kota Padang adalah 1

pelanggaran per hari. Pada suatu hari tertentu, berapa peluang terjadinya:

peluang terjadinya:

3 pelanggaran

kurang dari 2 pelanggaran

lebih dari 1 pelanggaran

(19)

Sebaran Poisson

r

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725 0.7358 2 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.9371 0.9197 3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865 0.9810 4 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9977 0.9963

5 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9997 0.9994

6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

1.0000

) 3 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) 0 . 5

; (

3

0

= +

=

∑ =

=

X P X

P X

P x

p

x

(20)

LOGO