TSK205 Kuliah 4 Peta Karnaugh Part1 v201703

(1)

Peta Karnaugh & Rangkaian Multi-Keluaran (Bagian

1)

@2017,Eko Didik Widianto

Peta Karnaugh Ringkasan Lisensi

Peta Karnaugh & Rangkaian

Multi-Keluaran (Bagian 1)

Kuliah#4 TKC205 Sistem Digital

Eko Didik Widianto

(2)

1)

Umpan Balik

◮ Sebelumnya dibahas tentang implementasi fungsi logika

menjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran, maupun aljabar Boolean

◮ Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum ◮ Diagram Venn

◮ Manipulasi aljabar

◮ Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran

◮ Bentuk kanonik: minterm/SOP dan maxterm/POS beserta

notasinya

◮ Konversi SOP <-> POS ◮ Rangkaian AND-OR, OR-AND ◮ Rangkaian NAND-NAND, NOR-NOR

(3)

1)

Tentang Kuliah

◮ _{Dibahas proses sintesis rangkaian logika minimal menggunakan}

peta Karnaugh untuk menyederhanakan persamaan fungsi logika

◮ Peta Karnaugh juga digunakan untuk merancang rangkaian

multikeluaran minimal

◮ _{Pokok Bahasan:}

◮ peta Karnaugh: 2 variabel, 3-variabel, 4-variabel, 5-variabel

dan 6-variabel

◮ strategi minimisasi rangkaian SOP (pengelompokan

minterm)

◮ kondisidon’t caredan rangkaian dengan spesifikasi tidak

lengkap

◮ literal, implicant,cover,cost,implicant utama dan fungsi

minimum

◮ implementasi rangkaian logika SOP optimal dengan

(4)

1)

Kompetensi Dasar

◮ _{Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:}

1. [C2] memahami prinsip-prinsip penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta Karnaugh;

2. [C3] menggunakanDon’t caredalam peta Karnaugh;

3. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian logika SOP minimal (AND-OR atau NAND-NAND) menggunakan peta Karnaugh;

◮ _Link

◮ Website:❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴✷✵✶✼✴✵✸✴✵✻✴

t❦❝✷✵✺✲s✐st❡♠✲❞✐❣✐t❛❧✲✷✵✶✻✲❣❡♥❛♣✴

(5)

1)

Buku Acuan/Referensi

Eko Didik Widianto, Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi

Pertama, Graha Ilmu, 2014(Bab 4: Peta

Karnaugh dan Rangkaian Multikeluaran)

◮ Materi: 4.1 Peta Karnaugh

◮ 4.1.1 Representasi Peta Karnaugh ◮ _{4.1.2 Pengelompokan Minterm} ◮ _{4.1.3-5 K-map Tiga Variabel, Empat}

Variabel, dan Banyak Variabel

◮ _{4.1.6 Literal, Implicant, Cover dan Cost} ◮ 4.1.7 Implicant Utama dan Fungsi

Minimum Rangkaian

◮ _Website:

◮ ❤tt♣✿✴✴❞✐❞✐❦✳❜❧♦❣✳✉♥❞✐♣✳❛❝✳✐❞✴

(6)

1)

Bahasan

Peta Karnaugh Karnaugh Map Grouping K-Map

Literal, Implicant, Cover dan Cost

Ringkasan

(7)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map Grouping K-Map Literal, Implicant, Cover dan Cost

Ringkasan Lisensi

Rangkaian Optimal

◮ Rangkaian optimal

◮ Costrangkaian sekecil mungkin: jumlah gerbang (dan

transistor), jumlah jalur

◮ Fungsional terpenuhi

◮ Constraintterpenuhi: delay,fanout(driving), area

◮ Rangkaian optimal biasanya minimal

◮ Rangkaian optimal bisa diperoleh dengan teknik:

1. Penyederhanaan fungsi logika

◮ _{Menggunakan prinsip-prinsip Aljabar Boolean} ◮ _{Menggunakan Karnaugh Map}

(8)

1)

Peta Karnaugh Karnaugh Map

Grouping K-Map Literal, Implicant, Cover dan Cost

Ringkasan Lisensi

Bahasan

Ringkasan

(9)

1)

Ringkasan Lisensi

Prinsip Penyederhanaan

◮ _{Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di}

ekspresi

◮ _{SOP: menggunakan hukum 14a (}_x

·y+x·y=x)

◮ _{POS: menggunakan hukum 14b (}₍_x₊_y₎

·(x+y) =x)

◮ _{Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan}

(10)

1)

Ringkasan Lisensi

Peta Karnaugh

◮ _{Peta Karnaugh}_{(K-map) menyediakan cara sistematik dan grafis}

untuk mencari rangkaian SOP dan POS minimal

◮ _{K-map SOP}

◮ mengelompokkan minterm-minterm bernilai 1 yang saling

berdekatan, yang hanya mempunyai perbedaan di satu variabel saja

◮ membentuk rangkaian AND-OR

◮ _{K-map POS}

◮ mengelompokkan Maxterm-Maxterm bernilai 0 yang saling

berdekatan

(11)

1)

Ringkasan Lisensi

Representasi Peta Karnaugh

◮ _{K-map juga merupakan}_alternatif_{untuk menyatakan suatu}

fungsi logika selain tabel kebenaran dan ekspresi logika

(12)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Bahasan

Ringkasan

(13)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Grouping K-Map

◮ _{Minterm-minterm yang berdekatan}_{dapat dikombinasikan}

karena mereka hanya berbeda di satu variabel saja, disebut Grouping

◮ _{Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatan} ◮ _Melingkari_{dua nilai ’1’ bersama, berarti}_{mengeliminasi satu}

term dan satu variabeldari ekspresi output

◮ Variabel yang dieliminasi adalahyang mempunyai

perbedaan nilaidi grup, vertikal/horizontal

◮ Group merah:x

(14)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Ketentuan dan Tips Grouping

◮ Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatan

◮ Hanya dapat menggabungkan 2nminterm (1,2,4,8,16, dst)

◮ Bentuk grup sebesar mungkin

◮ grup 2 minterm menghilangkan 1 variabel ◮ grup 4 minterm menghilangkan 2 variabel ◮ grup 8 minterm menghilangkan 3 variabel

◮ Group yang sudah dicover oleh group laintidak perlu

(15)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

Sederhanakan:f(x1,x2) =Pm(0,3)danf(x1,x2) =Pm(1,2)

◮ _f₍_x

1,x2) =Pm(0,3) =x1x2+x1x2

◮ fungsi SOP tidak dapat disederhanakan

◮ _f₍_x₁_,_x₂_{) =}P_m₍_1,₂_{) =}_x₁_x₂₊_x₁_x₂

(16)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

◮ _{Sederhanakan:}_f₍_x₁_,_x₂_{) =}P_m₍_0,1₎_dan_f₍_x₁_,_x₂_{) =}P_m₍_1,3₎

◮ _f₍_x

1,x2) =Pm(0,1) =x1x2+x1x2=x1,x2❞✐❡❧✐♠✐♥✐s✐

(17)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel

◮ _{Sederhanakan:}_f₍_x

1,x2) =Pm(0,1,2)danf(x1,x2) =Pm(1,2,3)

◮ _f₍_x

1,x2) =Pm(0,1,2) =x1x2+x1x2+x1x2=x1+x2

(18)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

K-Map 3 Variabel

◮ K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanya

mempunyai perbedaan 1 variabel

x1 x2 x3 mintermmj

0 0 0 m0=x1x2x3

0 0 1 m1=x1x2x3

0 1 0 m2=x1x2x3

0 1 1 m3=x1x2x3

1 0 0 m4=x1x2x3

1 0 1 m5=x1x2x3

(19)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

◮ Sederhanakanf(x₁

,x2,x3) = P

(20)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

◮ Sederhanakanf(x

1,x2,x3) = P

m(0,2,4,7)

◮ menghasilkanf(x

(21)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

◮ _{Sederhanakan:}_f₍_x₁_,_x₂_,_x₃_{) =}P_m₍_1,_3,_5,7₎_,

(22)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Desain Rangkaian Logika

Dari sebuah K-map, implementasi rangkaian logika bisa mempunyai dua bentuk, yaitu:

1. Jika diinginkan rangkaian logika dengan AND-OR atau

NAND-NAND, maka persamaan logika SOP minimal dapat diperoleh dengan mengelompokkan minterm bernilai 1;

2. Jika diinginkan rangkaian logika dengan OR-AND atau

(23)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh K-Map 3 Variabel

◮ _{Rancang rangkaian NAND-NAND dari fungsi}

f(x1,x2,x3) =Pm(0,1,3,4,5,7)danf(x1,x2,x3) =

(24)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

K-Map 4 Variabel

(25)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh: Grouping K-Map 4 Variabel

◮ _Sederhanakan_f₍_x

(26)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Grouping K-Map 4 Variabel

◮ Sederhanakan fungsi

(27)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Umpan Balik: Grouping K-Map 4 Variabel

(28)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

(29)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Contoh K-map 5 Variabel

◮ Sederhanakan fungsif(x

1,x2,x3,x4,x5) = P

(30)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map

Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

K-map 6 Variabel

◮ Bagaimana K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut

pandang praktis

◮ Akan membutuhkan perangkat CAD, salah satunya bmin

❤tt♣✿✴✴❜✉❦❦❛✳❡✉✴❜♠✐♥✴✵✳✺✳✵

(31)

1)

Peta Karnaugh

Karnaugh Map Grouping K-Map

Ringkasan Lisensi

Bahasan

Ringkasan

(32)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Terminologi

◮ Literal= variabel di suatu term

◮ Contoh:x

1x2x3x4(term dg 4 literal),x2x3(term dg 2 literal)

◮ Implicant: sebarang term bernilai ’1’ atau grup term

bernilai ’1’ yang dapat digabungkan di K-map

◮ minterm adalahimplicantdasar. Untuk fungsi n-variabel,

minterm adalahimplicantdengan n literal

◮ Prime Implicant:implicantyang tidak bisa digabungkan

dengan implicant lain untuk menghilangkan sebuah variabel

◮ Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untuk

mendapatkanimplicantvalid

◮ Cover: suatu himpunanimplicantyang menghasilkan nilai

(33)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Implicant dan Prime Implicant

◮ _Terdapat_{10 implicant}_valid

◮ 7 buah minterm

◮ 1 term 3-literal (grup 2 minterm) ◮ 2 term 2-literal (grup 4 minterm)

◮ _Terdapat_{3 prime implicant}

◮ x

1x2,x2x3, x1x3x4

◮ Tidak bisa disederhanakan lagi?

◮ Untukx

1x2, jika sebuah literal dihapus menyisakanx1atau x2, padahalx1bukan implicant valid karena {1,1,0,0}

(34)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Cover dan Cost

◮ _{Cover untuk}_f₍_x₁

,x2,x3,x4) =

P

m(2,3,8,9,10,11,13)

1. Persamaan dengan semua minterm

2. f=x1x2+x1x2x3+x1x3x4♠❡r✉♣❛❦❛♥ ❝♦✈❡r ✈❛❧✐❞

3. f=x1x2+x2x3+x1x3x4merupakan cover valid yang berisi prime implicant

◮ _{Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau}

tidak mempunyai cost 0)

1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semua gerbang=7*4+7*1, total=8+28+7=43

2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3, total=4+11=15

3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3, total=4+10=14

(35)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Menghitung Cost Rangkaian

◮ Fungsi_f ₌_x₁_x₂₊_x₂_x₃₊_x₁_x₃_x₄

◮ NOT tidak diperhitungkan

Gerbang #Gerbang #Masukan Keterangan

AND-3 1 1×3=3 →x₁x₃x₄

AND-2 2 2×2=4 →x₁x₂danx₂x₃

OR-3 1 1×3=3

Total 4 10

(36)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Jika Gerbang NOT Diperhitungkan

AND-3 1 1×3=3 →x1x3x4

AND-2 2 2×2=4 →x1x2danx2x3

NOT 2 2×1=2 →1 masukan,x2danx3

OR-3 1 1×3=3

Total 6 12 Cost=6+12=18

(37)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Prime Implicant Esensial dan Non-Esensial

SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namun tidak semua prime implicant)

◮ _{Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimum} ◮ _{Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum, sehingga}

dapat dihilangkan

(38)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Contoh

◮ _{Prime implicant:}_x₁_x₂_,_x₂_x₃_,_x₁_x₂_x3✱

x1x2x4❞❛♥x1x3x4

◮ _Esensial:_x₁_x₂_,_x₂_x₃_,❞❛♥_x₁_x₂_x₃ ◮ _{non-esensial:}_x₁_x₂_x₄ ✱_x₁_x₃_x₄✭❤❛r✉s

❞✐♣✐❧✐❤ s❛❧❛❤ s❛t✉✮

◮ _fmin ₌_x₁_x₂₊_x₂_x₃₊_x₁_x₂_x₃₊

x1x2x4 x1x3x4

(39)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Langkah Penyederhanaan

◮ _{SOP minimum berisi}_{semua prime implicant esensial}_dan

beberapa prime implicant non-esensial

◮ _{Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:}

1. Cari semua prime implicant darif

2. Cari set prime implicant esensial

3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana f=1, maka set ini adalah cover darifyang diinginkan. Jika tidak, tentukan prime implicant non-esensial yang harus ditambahkan agar minimum

◮ _{Menentukan prime implicant non-esensial?}_heuristik_(mencoba

(40)

1)

Peta Karnaugh

Ringkasan Lisensi

Latihan

◮ Cari semua prime implicant darif

◮ Cari set prime implicant esensial

◮ Cari cover dengan cost terendah

(41)

1)

Ringkasan Kuliah

◮ Yang telah kita pelajari hari ini:

◮ Penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta

Karnaugh melalui Grouping minterm untuk rangkaian SOP, baik fungsi 2-variabel sampai 6-variabel

◮ Terminologi dalam K-map, yaitu implicant, prime implicant

(esensial, non-esensial), cover dan cost beserta contoh penggunaan istilah-istilah tersebut

◮ Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalah

(42)

1)

Lisensi

Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0)

◮ _{Anda bebas:}

◮ untukMembagikan— untuk menyalin, mendistribusikan, dan

menyebarkan karya, dan

◮ _untuk_Remix_{— untuk mengadaptasikan karya}

◮ _{Di bawah persyaratan berikut:}

◮ _Atribusi_{— Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan}

cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalah mencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber.

◮ _{Pembagian Serupa}_{— Jika Anda mengubah, menambah, atau}

membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.