08 Getaran Bebas MDOF

Getaran Bebas

Getaran Bebas

Sistem

Sistem

Multi Degree of

Multi Degree of

Freedom

Freedom

KL3201, Kelas 02 KL3201, Kelas 02 Semester II 2015/2016 Semester II 2015/2016

  [[mm]] : : mmaattrriikks s mmaassssaa   [[cc]] : : mmaattrriikks s rreeddaammaann   [[k k ]] : : mmaattrriikks s kkeekkaakkuuaann 

 : vektor perpindaan,: vektor perpindaan,

ke!epatan, dan per!epatan ke!epatan, dan per!epatan



 ""F F ## : : vveekkttoor r $$aa%%a a lluuaarr

Persamaan Gerak 

Persamaan Gerak 

[ [ ]]

m

m u

{ { }}

u c

&&& &

+

+

[ [ ]]

c u

{ { }}

u k

&&

+

+

[ [ ]]

k u

{ }

{

u

} {

=

=

{ }}

F  

F  

{



 'ersamaan $erak'ersamaan $erak



 Solusi dimisalkan dalam (entukSolusi dimisalkan dalam (entuk



 Su(stitusi ke persamaan $erakSu(stitusi ke persamaan $erak men$asilkan

men$asilkan

Get

Get

aran

aran

Beb

Beb

as

as

T

T

ak

ak

Teredam

Teredam

di mana "

di mana "φ φ # merupakan vektor amplitudo# merupakan vektor amplitudo

simpan$an %an$ tidak merupakan )un$si simpan$an %an$ tidak merupakan )un$si *aktu+

*aktu+

[ [ ]]

m m u

{ { }}

u &&&&

+

+

[ [ ]]

k k u

{ }

{

u

} {

=

=

{ }}

00

{

{ }

u u

} {

=

=

{ }

φ φ

} (

sinsin

(

ω ω t t 

+

+

θ θ 

))

[

[ ]

]

[

[ ]]

( (

22

))

{

{ }

} (

(

)

) {

{ }}

ssiin n 00 k k

−

−

ω ω m m φ φ ω ω θ  t t 

+

+

θ  

=

=

[

[ ]

]

[

[ ]]

( (

22

))

{

{ }

} {

{ }}

0 0 k k

−

−

ω ω mm φ φ 

=

=

 entuk -[k ] . ω 2[m] "φ # dise(ut eigenvalue

 problem+

 Solusi nontrivial diperole ika

 ilainilai ω 2 %an$ memenui persamaan

karakteristik di atas dise(ut eigenvalue+

 ektor "φ # i %an$ memenui: dise(ut eigenvector +

Eigenvalue Problem

atau

[ ]

2

[ ]

0 k

−

ω  m

=

[ ]

[ ]

(

2

)

{ } { }

0 i _i k

−

ω m φ 

=

[ ]

k

{ }

φ _i

=

ω _i2

[ ]

m

{ }

φ  _i

 'ersamaan karakteristik 4[k ] . ω 2[m]4  0

(er(entuk persamaan polinomial deraat N

den$an varia(el ω 2, di mana N adala

 umla deraat ke(e(asan struktur+

 en$an demikian akan terdapat N (ua ω 

%an$ akan memenui persamaan

karakteristik terse(ut -diam(il %an$ positi) saa+

 alam dinamika struktur, ω 

i merupakan

)ekuensi alami dari struktur MDOF  %an$ ditinau+

 7rekuensi alami (iasan%a diurutkan dari

nilai terke!il:

 Eigenvector  "φ #

i %an$ sesuai den$an

)rekuensi alami ω _i dalam dinamika struktur

dise(ut ra$am $etar -mode shape kei dari struktur+

 en$an demikian, se(ua struktur den$an

N deraat ke(e(asan akan memiliki N

pasan$ )rekuensi alami dan ra$am $etar+

Frekuensi Alami dan Ragam

Getar

1 2 N 

 Susun persamaan $erak dan tentukan

)rekuensi alami serta ra$am $etar dari model (an$unan $eser den$an 2 deraat ke(e(asan seperti ter$am(ar+

Contoh

2k  u₁ 2m m u2 k 

 8odel mekanik u1 2k  2m u₂ k  m  Free-body diagram  'ersamaan keseim(an$an 2ku_{1 k(u} 1 . u2 8assa 1 : 8assa 2 : 1 2mu& 2 mu& ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 2 0 0 mu ku k u u mu k u u + + − = − − = && && 1 1 2 2 2 0 3 0 0 0 u u m k k  u u m k k  −          + =         ₋           && &&

 'ersamaan karakteristik:  Eigenvalue:  7rekuensi alami:

[ ]

2

[ ]

0 k

−

ω  m

=

2 2 3 2 0 k m k  k k m ω  ω  − − = − − 4 2 2 2 2ω m − 5ω  km k  + 2 = 0 2 2 1 2 2 ; 2 k k  m m ω = ω  = 1 2 2 ; 2 k k  m m ω = ω  =

 9a$am $etar 1, ω   ω 

1:

ilai amplitudo ra$am $etar φ ₁ , φ ₂ , dst+ tidakla unik, akan tetapi rasio antara masin$masin$ adala unik+

le karena itu, !ukup dimisalkan suatu nilai untuk sala satu koordinat -misaln%a φ ₁  1, maka nilai φ _i

%an$ lain akan dapat ditentukan+ ;atatan:  9a$am $etar 2, ω   ω  2: 1 2 1 2 ₁ 2 0 2 0.5 k k  k k  φ  φ φ  φ  −     = ⇒ =         1 2 ₁ 1 2 φ  φ     =       1 1 2 ₂ 2 ₂ 1 0 1 k k  k k  φ φ  φ φ  − −         = ⇒ =        _{− −}  ₋        

φ ₁ φ ₂ 9a$am $etar 1: "φ #₁ 9a$am $etar 2: "φ #₂ φ ₁ φ ₂

 Kem(ali ke pemisalan a*al:

 Karena terdapat N solusi, maka solusi

len$kapn%a (erupa kom(inasi linier masin$ masin$ solusi:

Respons Getaran Bebas

Tak Teredam

di mana

iperlukan 2N kondisi a*al untuk menentukan

konstanta A_i dan B_i, %aitu simpan$an a*al dan ke!epatan a*al pada setiap deraat ke(e(asan+

{ } { } (

u

=

φ sin ωt

+

θ

) { }

=

φ

(

Acos tω

+

B sinω t

)

   

{ }

{ }

1  N  i i i u φ  q =

=

∑

cos sin i i i i i q A

=

ω t B

+

ω t  

 <ntuk analisis le(i lanut, vektor ra$am

$etar "φ #_i di$a(un$kan ke dalam matriks

ra$am [Φ]:

 9espons "u# dapat dituliskan dalam (entuk:

Matriks Ragam

di mana

[ ]

Φ = 



{ } { }

φ ₁ φ ₂ L

{ }

φ  _N 



_

{ }

{ }

[ ]

{ }

1  N  i i i u φ  q q = =

∑

= Φ

{ }

1 2 q q q q       =         8

 =inau u(un$an )rekuensi dan ra$am $etar

(erikut:

 >ika i  , kedua persamaan di atas elas

identik tanpa s%arat+

 >ika i ≠ , diperlukan u(un$an:

a$ar kedua persamaan di atas identik+

Orthogonalitas Ragam

Getar

{ }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } 2 2 T T  i  j i j i T T   j i j i j k m k m φ φ ω φ φ   φ φ ω φ φ   = =

{ }

T

[ ]

{ }

0 ;

{ }

T 

[ ]

{ }

0 i k j i m j φ φ = φ φ = 

 rto$onalitas ra$am $etar:

 ?ki(at si)at orto$onalitas ra$am $etar ini,

perkalian (erikut:

akan men$asilkan matriks [! ] dan [M] %an$ dia$onal+

Orthogonalitas Ragam

Getar

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

0 0 T  i j T  i j k  m i j φ φ  φ φ  = = ≠

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

T  T  k K  m M  Φ Φ = Φ Φ =

 8atriks [! ] dan [M] %an$ dia$onal akan

(er(entuk:

di mana

Diagonalisasi Massa dan

Kekakuan

[

]

[

]

1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0  _N 0 0 _N   K M   K M   K M   K M              = =             L L L L 8 8 : 8 8 8 : 8 L L

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

T  i _{i i} T  i _{i i}  K k   M m φ φ  φ φ  = =

 entuk solusi $etaran (e(as MDOF 

dapat dian$$ap se(a$ai ekspansi ra$am untuk perpindaan "u#+

 8aksudn%a, setiap (entuk perpindaan "u#

dapat din%atakan se(a$ai kom(inasi linier dari ra$am $etar "φ #_i den$an "_i se(a$ai

)aktor pen$ali+

kspansi Ragam untuk

Perpindahan

φ ₁₁ φ ₂₁ u₁ u₂  "₁ @ A "2 @ φ  12 φ ₂₂ { } { } 1  N  i i i u φ  q = =

∑

 >ika "u# dan "φ #

i diketaui, nilai "i dapat

di!ari melalui:

 8eman)aatkan si)at orto$onalitas ra$am

$etar, (entuk di atas dapat disederanakan menadi:

sein$$a

kspansi Ragam untuk

Perpindahan

{ } { } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } 1 1  N   j  j  j  N  T T   j i i j  j u q m u m q φ  φ φ φ  = = = =

∑

∑

{ }φ _i T [ ]m { } { } u = φ T _i [ ]m { }φ  _i q_i { }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

{ } T T  i i i _T  i i i m u m u q  M  m φ φ  φ φ  = =

 Modal superposition method dimulai den$an

trans)ormasi koordinat dari perpindaan "u# menadi modal coordinate ""#:

 entuk ini sama den$an ekspansi ra$am %an$

lalu:

 en$an trans)ormasi ini, persamaan $erak

(eru(a menadi:

Metode Superposisi Ragam

{ }

u

= Φ

[ ]

{ }

q

[ ] [ ]

m Φ + Φ =

{ }

q&& k

[ ] [ ]

{ } { }

q 0 { } { } { } { } { } [ ]{ } 1 2 1 2 1  N  i i N  i  N  q q u q q q φ φ φ φ   =         = = _{   } = Φ      

∑

L 8

 'erkalian a*al den$an [Φ]#  men$asilkan:

 'ersamaan di atas dapat disederanakan

menadi:

 Ini merupakan persamaan $erak $DOF  %an$

suda terpisa -uncoupled, sein$$a dapat diselesaikan satu persatu:

Metode Superposisi Ragam

atau di mana

[ ] [ ] [ ]

Φ T _m Φ + _q

{ }

&&

[ ] [ ] [ ]

Φ T  _k Φ =

{ } { }

_q 0

[ ]

 M q

{ }

&&+

[ ]

K q

{ } { }

= 0 0 i i i i  M q &&+ K q = 2 0 i i i q &&+ ω  q = i i  K   M  ω  =

 ari analisis $DOF , tela diperole solusi

masin$masin$ persamaan $erak dalam koordinat ra$am:

 'erlu dilakukan trans)ormasi kondisi a*al

dari dan menadi

dan +

Metode Superposisi Ragam

( )

( )

cos sin 0 0 cos sin i i i i i i i i i i q A t B t   q q t t  ω ω  ω ω  ω 

=

+

=

+

&

{ }

u&₀

{ }

u ₀

( )

0 i q q&_i

( )

0

 Kondisi a*al dalam modal coordinate dapat

diperole dari u(un$an "_i dan "u# %an$ tela diperole se(elumn%a:

Kondisi A!al dalam Koord"

Ragam

( )

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

( )

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

{ }

[ ]

{ }

0 0 0 0 0 0 T T  i i i T  i i i T T  i i i _T  i i i m u m u q  M  m m u m u q  M  m φ φ  φ φ  φ φ  φ φ 

=

=

=

&

=

& &

 =entukan respons $etaran (e(as dari

struktur 27 pada ;onto 1 ika di(eri simpan$an a*al dan ke!epatan a*al

(erikut:

Contoh #

-a -( -! { } ₀ 0.5 ; { } ₀ 0 1 0 u =     u =   &  { } ₀ 1 ; { } ₀ 0 1 0 u =     − u =    & { } ₀ 0.5 ; { } ₀ 0 2 0 u =     − u =   & 

 7rekuensi dan matriks ra$am asil

peritun$an terdaulu

 ia$onalisasi matriks massa dan

kekakuan

 'ersamaan $erak dalam koordinat

ra$am atau

[ ] [ ] [ ] [ ]

  1 2 2 0 1 1 6 0 1 1 0 2 1 0 3 T  m m  M m m m       = Φ Φ = _{    } = _ − −      

[ ]

1 2 1 1 2 ; ; 2 1 2 k k  m m ω = ω  = Φ =   _ −  

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 2 3 1 1 3 0 1 1 2 1 0 6 T  k k k   K k  k k k  −       = Φ Φ = _{    } = _ − − −       1 1 2 2 6 3 0 3 6 0 mq kq mq kq + = + = && && 2 1 1 1 2 2 2 2 0 0 q q q q ω  ω  + = + = && &&

 =rans)ormasi kondisi a*al ke koordinat ra$am -a

( )

{ }

[ ]

{ }

[

]

( )

{ }

[ ]

{ }

[

]

( )

{ }

[ ]

{ }

[

]

( )

1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 2 0 0.5 1 2 0 1 0 0.5 6 2 0 0.5 1 1 0 1 0 0 3 2 0 0 1 2 0 0 0 0 6 0 0 T  T  T  m m u _m q  M m m m u _m q  M m m m u _m q  M m q φ  φ  φ            = = =    − _{   }    = = =        = = = = & & &

 9espons dalam koordinat ra$am  9espons perpindaan -a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0

0 cos sin 0.5cos

0 0 cos sin 0 q q q t t t   q q q t t   ω ω ω  ω  ω ω  ω  = + = = + = & &

{ }

[ ]

{ }

1 1 1 2 1 1 1 0.5cos 2 1 0 0.5cos cos t  u q u t  u t  ω  ω  ω 







= Φ

=

_

_

_

_

−







  



=

  



  



 =rans)ormasi kondisi a*al ke koordinat ra$am -(

( )

[

]

( )

{ }

[ ]

{ }

[

]

( )

( )

1 2 0 2 2 1 2 2 0 1 1 2 0 1 0 0 6 2 0 1 1 1 0 1 0 1 3 0 0 0 T  m m q m m m u _m q  M m q q φ  −           = = −    − _{   }    = = = − = = & &

 9espons dalam koordinat ra$am  9espons perpindaan -( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sin 0 0

0 cos sin cos

q q q t t   q q q t t t   ω ω  ω  ω ω ω  ω  = + = = + = − & &

{ }

[ ]

{ }

2 1 2 2 2 0 1 1 cos 2 1 cos cos u q t  u t  u t  ω  ω  ω 









= Φ

=

_

_{ −}

_

_

−



 



−

  



=

  



  



 =rans)ormasi kondisi a*al ke koordinat ra$am -!

( )

[

]

( )

{ }

[ ]

{ }

[

]

( )

( )

1 2 0 2 2 1 2 2 0 0.5 1 2 0 2 0 0.5 6 2 0 0.5 1 1 0 2 0 1 3 0 0 0 T  m m q m m m u _m q  M m q q φ  −           = = −    − _{   }    = = = − = = & &

 9espons dalam koordinat ra$am  9espons perpindaan -! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0

0 cos sin 0.5cos

0

0 cos sin cos

q q q t t t   q q q t t t   ω ω ω  ω  ω ω ω  ω  = + = = + = − & &

{ }

[ ]

{ }

(

1

)

2 1 1 2 2 1 2 1 1   0.5cos 2 1 cos 0.5cos cos cos cos t  u q t  u t t  u t t  ω  ω  ω ω  ω ω 









= Φ

=

_

_

_

_

−

−



_{ }

_

−









=









+







