FUNGSI TEMPERATUR
Hari Wisodo1,2, Pekik Nurwantoro1, Agung Bambang Setio Utomo1
1Jurusan Fisika FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia
2Jurusan Fisika FMIPA UM, Malang, Indonesia, E-mail: wisodo fisikaum@yahoo.com
Abstrak
Persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) sebagai parameter temperatur, T , tertransfomasikan menjadi persamaan TDGL fungsi temperatur melalui kaitan koefisien Landau |α(T )| = |α(0)|(1 − T /Tc).
Penor-malisasi bagi kedua persamaan TDGL ini berbeda. PenorPenor-malisasi persamaan TDGL sebagai parameter T adalah besaran superkonduktivitas sebagai parameter T . Penormalisasi persamaan TDGL fungsi T adalah besaran su-perkonduktivitas pada T = 0 kecuali penormalisasi bagi parameter benahan yang diungkapkan sebagai fungsi T , Ψ = Ψ0,gl(0)(1 − T0)12Ψ0. Walaupun berbeda kedua penormalisasi tersebut memiliki bentuk yang sama. Diper-lukan dua langkah sederhana untuk menormalisasi persamaan TDGL: substitusikan variabel ternormalisasi pada Tabel 2 yang sesuai ke persamaan yang akan dinormalisasi dan sederhanakan persamaan yang diperoleh dengan memanfaatkan Tabel 3. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi yang dihasilkan dapat mereproduksi kurva magnetisasi dan kurva rapat energi bebas milik Sardella dkk [14]. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi untuk T tertentu dan sebaliknya.
Kata kunci: persamaan TDGL, normalisasi, reproduksi kurva
1 PENDAHULUAN
Normalisasi persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) pada umumnya dibedakan menjadi dua cara sesuai dengan tujuannya. Nor-malisasi pertama dilakukan untuk menghasilkan persamaan TDGL ternormalisasi dengan vari-abel temperatur, T , sebagai parameter [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Normalisasi kedua dilakukan un-tuk menghasilkan persamaan TDGL ternormal-isasi dengan variabel T disajikan secara eksplisit [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21].
Penggunaan persamaan TDGL ternormalisasi dapat memberikan keuntungan. Keuntungan pertama adalah nilai yang terlibat dalam kom-putasi dapat dijamin tidak terlalu besar atau ter-lalu kecil. Selain itu persamaan yang terlibat menjadi berbentuk sederhana. Keuntungan
keti-ga adalah ketelitian proses komputasi yang ting-gi dapat dicapai karena orde angka numerik yang terlibat sesuai batas ketelitian komputer.
Artikel ini memaparkan bagaimana mene-mukan kedua persamaan TDGL ternormalisasi tersebut. Selanjutnya ditunjukkan bahwa solusi persamaan TDGL tersebut telah berhasil mere-produksi kurva magnetisasi dan kurva rapat en-ergi bebas milik Sardella dkk [14].
Persamaan dan besaran yang disajikan dit-uliskan dalam satuan MKS. Tabel 1 menyajikan semua besaran dan lambang yang digunakan. Kolom ketiga pada tabel tersebut menyajikan cara penulisan setiap besaran. Tabel ini mem-berikan tiga keuntungan: mempercepat mene-mukenali lambang yang tertulis untuk mewakili besaran apa dan sebagai fungsi apa, meringkas penulisan, dan menjaga konsistensi penulisan.
Tabel 1: Besaran dan Lambang dalam Teori Superkonduktivitas Ginzburg-Landau
Besaran Lambang Penulisan
Posisi r r
Waktu t t
Parameter Order Ψ(r, t) =pns(r)eiS(r,t) Ψ
Fase fungsi gelombang makroskopik S(r, t) S
Potensial Vektor Magnet A(r, t) A
Induksi Magnet B(r, t) B
Medan Listrik E(r, t) E
Potensial Listrik Φ(r, t) Φ
Rapat Arus Super Js(r, t) Js
Rapat Arus Normal Jn(r, t) Jn
Rapat Arus Eksternal Jex(r, t) Jex
Medan Magnet Eksternal H(r) H
Magnetisasi M(r) M
Temperatur T T
Koefisien ekspansi Landau |α(T )| |α(T )|
Koefisien ekspansi Landau β β
Rapat Energi Bebas Ginzburg-Landau g(Ψ, T, H) g
Konstanta Difusi D D
Konduktivitas Normal σ σ
Panjang Ekstrapolasi b b
Muatan elektron super es= 2e es
Muatan elektron e e
Massa elektron super ms= 2me ms
Massa elektron me me
Konstanta Planck per 2 ¯h = h
2 ms
Permeabilitas hampa µ0 µ0
Rapat elektron super ns ns
Bilangan natural e = 2, 718281828 . . . e
Bilangan imajiner i =√−1 i
Tera potensial listrik χ(r, t) χ
Operator Nabla ∇ = ˆi∂ ∂x+ ˆj
∂ ∂y + ˆk
∂
2 NORMALISASI
Rumus umum untuk menormalisasi suatu vari-abel adalah
V0 = V Vp
(1)
dengan V variabel yang dinormalisasi, Vp
vari-abel penormalisasi, dan V0 variabel ternormal-isasi. Pada umumnya V dan Vpberdimensi sama
sehingga menghasilkan V0 yang tak berdimensi. Persamaan (1) akan menjamin V0 bernilai di an-tara nol dan satu jika Vp merupakan nilai
mak-simum dari V . Sebagai contoh, pada Tabel 2 dituliskan
r = ξ(T )r0. (2)
Pada persamaan ini variabel yang dinormalisasi adalah r, variabel penormalisasi adalah ξ(T ), dan variabel ternormalisasi adalah r0. Dengan ka-ta lain variabel posisi, r, yang dinormalisasi ter-hadap panjang koheren, ξ(T ), akan menghasilkan variabel posisi ternormalisasi, r0. Besaran ξ(T ) dipilih sebagai penormalisasi karena parameter benahan, Ψ(r), hanya bervariasi dalam rentang ξ(T ).
Bagaimana langkah menormalisasi suatu per-samaan? Berikut disajikan contoh menormalisasi persamaan magnetisasi
M = B µ0
− H. (3)
Langkah pertama mensubstitusikan setiap variabel yang sesuai pada Tabel 2 kolom Normalisasi 1 ke persamaan (3). Dalam hal ini variabel yang dimaksud adalah M, B, dan H. Langkah ini menghasilkan
Hc2(T )M0 = Hc2(T )B0− Hc2(T )H0. (4)
Langkah kedua menyederhanakan persamaan ternormalisasi yang dihasilkan, persamaan (4). Langkah ini menghasilkan persamaan magneti-sasi ternormalimagneti-sasi sebagai
M0= B0− H0. (5)
Persamaan ini memiliki bentuk lebih sederhana dari persamaan aslinya, persamaan (3).
Sekarang diberikan dua contoh menormalisasi persamaan rapat energi bebas Ginzburg-Landau sebagai parameter dan fungsi temperatur dengan
menggunakan kembali dua langkah untuk men-emukan persamaan (5). Ungkapan rapat ener-gi bebas Ginzburg-Landau sebagai parameter T adalah [5, 24, 25] g = −|α(T )||Ψ|2+1 2β|Ψ| 4 + ¯h 2 2ms ∇ − ies ¯ hA Ψ 2 + 1 2µ0 (∇ × A − µ0H)2. (6)
Substitusikan g, Ψ, ∇, A dan H dari Tabel 2 kolom Normalisasi 1 ke persamaan (6). Lanjutkan dengan menyederhanakan persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan persamaan pada Tabel 3 kolom kedua, Parameter T . Kedua langkah ini memberikan persamaan
g0 = −|Ψ0|2+1 2|Ψ 0|4+ ∇0− iA0 Ψ0 2 +κ2(∇0× A0− H0)2 (7) dimana telah digunakan identitas
esµ0Hc2(T )ξ2(T ) ¯ h = 1 (8) |α(T )|2 β = µ0H 2 c(T ). (9)
Rapat energi bebas Ginzburg-Landau sebagai fungsi T berbentuk g = −|α(0)| 1 − T Tc |Ψ|2+1 2β|Ψ| 4 + ¯h 2 2ms ∇ − ies ¯ hA Ψ 2 + 1 2µ0 (∇ × A − µ0H)2. (10)
Substitusikan g, Ψ, ∇, A, H, dan T pada Tabel 2 kolom Normalisasi 2 ke persamaan (10). Sederhanakan persamaan yang diperoleh meng-gunakan persamaan pada Tabel 3 kolom keem-pat, Parameter pada T = 0. Kedua langkah ini menghasilkan [14] g0 = (1 − T0)2|Ψ0|2 1 2|Ψ 0|2− 1 +(1 − T0) ∇ − iA0 Ψ0 2 +κ2(∇0× A0− H0)2 (11) dengan telah digunakan identitas
esµ0Hc2(0)ξgl2 (0) ¯ h = 1, (12) |α(0)|2 β = µ0H 2 c,gl(0). (13)
Contoh-contoh di atas telah memberikan gam-baran dengan jelas bagaimana menormalisasi su-atu persamaan melalui dua langkah sederhana dengan memanfaatkan Tabel 2 dan 3.
3 NORMALISASI PERSAMAAN
TDGL
Tabel 2 menyajikan dua kelompok variabel ter-normalisasi: Normalisasi 1 dan Normalisasi 2. Normalisasi 1 digunakan untuk menor-malisasi persamaan TDGL sebagai parameter T dan persamaan lain yang dihitung menggu-nakan solusi numerik persamaan TDGL ini, se-bagai contoh persamaan (5) dan (7). Tabel 3 kolom kedua, Parameter T , digunakan un-tuk menyederhanakan persamaan ternormalisas-inya. Normalisasi 2 digunakan untuk menor-malisasi persamaan TDGL sebagai fungsi T dan persamaan lain yang dihitung menggunakan so-lusi numerik persamaan TDGL ini, contoh per-samaan (11). Tabel 3 kolom keempat, Parameter pada T = 0, digunakan untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasinya.
3.1 Persamaan TDGL
Persamaan TDGL merupakan dua persamaan diferensial parsial terkopel bagi parameter be-nahan (order parameter ) dan rapat arus. Per-samaan TDGL 1 yang diungkapkan sebagai pa-rameter temperatur berbentuk
¯ h2 2msD ∂ ∂t + i es ¯ hΦ Ψ = ¯ h2 2ms ∇ − ies ¯ hA 2 Ψ + |α(T )|Ψ − β|Ψ|2Ψ. (14) Persamaan (14) dapat diungkapkan secara ek-splisit sebagai fungsi temperatur dengan cara mengganti |α(T )| dengan |α(T )| = |α(0)| 1 − T Tc , (15)
lihat persamaan No. 6 kolom ketiga pada Tabel 3. Persamaan TDGL 2 untuk rapat arus total, Jt, ungkapannya adalah ∇ × ∇ × A = µ0(Js+ Jn+ Jex) (16) dengan Js= ¯ hes ms ∇S − es ¯ hA |Ψ|2, (17) Jn = σ −∇Φ −∂A ∂t = σE, (18) Jex = ∇ × H. (19)
Persamaan TDGL dilengkapi dengan syarat batas untuk parameter benahan dan potensial vektor listrik. Syarat batas untuk A pada per-mukaan bahan adalah
B = (∇ × A) = µ0H (20)
dengan H adalah medan magnet eksternal yang diberikan pada bahan.
Syarat batas bagi parameter order untuk su-perkonduktor yang berbatasan dengan bahan iso-lator atau vakum (syarat batas SI) adalah [16]
∇ − ies ¯ hA nΨ = 0 (21)
Syarat batas bagi superkonduktor yang berbatasan dengan logam normal (syarat batas SN) adalah [10, 11, 23] ∇ − ies ¯ hA nΨ = Ψ b (22)
dengan b adalah panjang ekstrapolasi per-mukaan. Nilai b mulai dari nol untuk bahan magnet sampai tak berhingga untuk isolator dan vakum.
3.2 Parameter Temperatur
Persamaan TDGL 1 ternormalisasi sebagai parameter T diperoleh dengan cara sebagai berikut. Substitusikan t, Φ, Ψ, ∇, A dari kolom Normalisasi 1 pada Tabel 2 ke persamaan (14). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan meng-gunakan kaitan pada kolom kedua dari Tabel 3. Untuk mempermudah, gunakan juga identias persamaan (8). Hasilnya adalah [4, 5]
∂ ∂t0 + iΦ 0 Ψ0 = ∇0− iA02 Ψ0 + 1 − |Ψ0|2 Ψ0. (23)
Berikut dicari persamaan TDGL 2 ternormal-isasi sebagai parameter T . Substitusikan seti-ap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 1 dari Tabel 2 ke persamaan (16), (17), (18), dan (19). Sederhanakan persamaan yang di-hasilkan menggunakan kaitan pada kolom kedua dari Tabel 3. Hasilnya berturut-turut adalah
κ2∇ × ∇ × A0= J0s+ J0n+ J0ex (24) dengan J0s = ∇0S − A0 |Ψ0|2 (25) J0n= σ0 −∇0Φ0− ∂A 0 ∂t0 (26) J0ex = κ2∇0× H0. (27)
Tabel 2: Normalisasi variabel yang disajikan dalam satuan MKS
No. Variabel Normalisasi 1 Normalisasi 2
1 Posisi r = ξ(T )r0 r = ξgl(0)r0 2 Operator Nabla ∇ = 1 ξ(T )∇ 0 ∇ = 1 ξgl(0)∇ 0 3 Waktu [2, 4, 5, 7] t = ξ 2(T ) D t 0 t = ξ 2 gl(0) D t 0 4 Parameter Order Ψ = Ψ0(T )Ψ0 Ψ = Ψ0,gl(0)(1 − T0) 1 2Ψ0 5 Potensial Vektor Magnet A = µ0Hc2(T )ξ(T )A0 A = µ0Hc2(0)ξgl(0)A
0
6 Potensial Listrik Φ = µ0Hc2(T )DΦ0 Φ = µ0Hc2(0)DΦ0
7 Medan Magnet Induksi B = µ0Hc2(T )B0 B = µ0Hc2(0)B0
8 Rapat Arus Super Js=
Hc2(T ) ξ(T )κ2J 0 s Js= Hc2(0) ξgl(0)κ2J 0 s
9 Rapat Arus Normal Jn=
Hc2(T ) ξ(T )κ2J 0 n Jn= Hc2(0) ξgl(0)κ2J 0 n
10 Rapat Arus Eksternal Jex=
Hc2(T ) ξ(T )κ2J 0 ex Jex= Hc2(0) ξgl(0)κ2J 0 ex
11 Medan Magnet Eksternal H = Hc2(T )H0 H = Hc2(0)H0
12 Magnetisasi M = Hc2(T )M0 M = Hc2(0)M0 13 Konduktivitas Normal [4, 5] σ = 1 µ0Dκ2 σ0 σ = 1 µ0Dκ2 σ0 14 Panjang Ekstrapolasi b = ξ(T )b0 b = ξgl(0)b0 15 Temperatur T = TcT0 T = TcT0
Tabel 3: Besaran Superkonduktivitas sebagai Penormalisasi [22].
No. Parameter T Fungsi T Terlinearkan Parameter pada T = 0
1 λ(T ) = r m s µ0e2sn?s(T ) = λgl(0) p1 − (T /Tc) λgl(0) = λ(0) 2 2 Hc2(T ) = 2ms|α(T )| es¯hµ0 = Hc2(0) 1 − T Tc 3 Hc(T ) = s ¯ hHc2(T ) 2µ0esλ2(T ) = Hc,gl(0) 1 − T Tc Hc,gl(0) = 2Hc(0) 4 n? s(T ) = n?s,gl(0) 1 − T Tc n? s,gl(0) = 4n?s(0) 5 ξ(T ) = s ¯ h2 2ms|α(T )| = ξgl(0) p1 − T /Tc ξgl(0) = s ¯ h2 2ms|α(0)| = ξ(0) 6 |α(T )| = µ0H 2 c(T ) n? s(T ) = |α(0)| 1 − T Tc |α(0)| = µ0H 2 c,gl(0) n? s,gl(0) 7 β = µ0H 2 c(T ) n?2 s (T ) = µ0H 2 c,GL(0) n?2 s,GL(0) 8 Ψ0(T ) = r |α(T )| β = Ψ0,gl(0) 1 − T Tc 12 Ψ0,gl(0) =r |α(0)| β 9 n? s(T ) = Ψ20(T ) = No. 8 10 κ = λ(T ) ξ(T ) = Hc2(T ) √ 2Hc(T ) = λgl(0) ξgl(0) = Hc2(0) √ 2Hc(0)
Untuk memperoleh persamaan (25) telah digu-nakan identitas ¯ hes ms |α(T )| β κ2 Hc2(T ) = 1. (28)
Persamaan (24) dapat dituliskan lebih kompak sebagai [4, 5] σ0 ∂A 0 ∂t0 + ∇ 0Φ0 = ∇0S − A0 |Ψ0|2 −κ2∇0× ∇0× A0+ κ2∇0× H0. (29) 3.3 Fungsi Temperatur
Cara normalisasi persamaan TDGL sebagai fungsi T sama dengan cara normalisasi per-samaan TDGL sebagai parameter T . Yang mem-bedakan adalah penggunaan variabel penormal-isasi dan penggunaan kaitan besaran superkon-duktivitas untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasi. Sekarang variabel pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 digunakan seba-gai variabel penormalisasi. Kaitan pada kolom keempat dari Tabel 3 digunakan untuk menyeder-hanakan persamaan ternormalisasi.
Sama seperti sebelumnya, persamaan TDGL 1 ternormalisasi sebagai fungsi T diperoleh dengan cara mensubstitusikan setiap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 ke per-samaan (14) dengan |α(T )| pada perper-samaan ini diganti dengan persamaan (15). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pada kolom keempat dari Tabel 3 dan identias persamaan (12). Hasilnya adalah [14]
∂ ∂t0 + iΦ 0 Ψ0 = ∇0− iA02 Ψ0 +(1 − T0) 1 − |Ψ0|2 Ψ0 . (30)
Persamaan TDGL 2 ternormalisasi sebagai fungsi T diperoleh dengan cara sebagai berikut. Substitusikan setiap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 ke persamaan (16), (17), (18), dan (19). Sederhanakan per-samaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pa-da kolom keempat pa-dari Tabel 3. Persamaan-persamaan yang dihasilkan adalah
dengan J0s = (1 − T ) ∇0S − A0 |Ψ0|2 (32) J0n= σ0 −∇0Φ0−∂A 0 ∂t0 (33) J0ex= κ2∇0× H0. (34) Untuk menyederhanakan persamaan (32) gu-nakan identitas ¯ hes ms |α(0)| β κ2 Hc2(0) = 1. (35)
Persamaan (31) dapat dituliskan lebih kompak sebagai σ0 ∂A 0 ∂t0 + ∇ 0 Φ0 = (1 − T0) ∇0S − A0 |Ψ0|2 −κ2∇0× ∇0× A0+ κ2∇0× H0. (36) 3.4 Transformasi Tera
Persamaan TDGL 1 dan TDGL 2 ternormalisasi yang diungkapkan sebagai parameter dan fungsi T secara berturut-turut dapat dituliskan kembali dalam bentuk ∂ ∂t + iΦ Ψ = (∇ − iA)2Ψ + 1 − |Ψ|2 Ψ, (37) σ ∂A ∂t + ∇Φ = (∇S − A) |Ψ|2 −κ2∇ × ∇ × A + κ2∇ × H, (38) dan ∂ ∂t+ iΦ Ψ = (∇ − iA)2Ψ +(1 − T ) 1 − |Ψ|2 Ψ, (39) σ ∂A ∂t + ∇Φ = (1 − T ) (∇S − A) |Ψ|2 −κ2∇ × ∇ × A + κ2∇ × H. (40) Sekarang untuk menyederhanakan penulisan tan-da aksen (. . .0) tidak dituliskan. Dinamika kuan-titas E, B, |Ψ|2, dan J invarian dibawah transfor-masi tera ˜ A = A + ∇χ ˜ Ψ = Ψeiχ ˜ Φ = Φ − ∂χ ∂t, (41)
dengan tera potensial listrik, χ, merupakan medan skalar sebarang. Jika dipilih tera poten-sial listrik bernilai nol, berarti Φ ≡ 0 untuk selu-ruh waktu karena χ =R Φ dt. Persamaan TDGL
ternormalisasi sebagai parameter dan fungsi T dibawah transformasi tera ini menjadi
∂Ψ ∂t = (∇ − iA) 2 Ψ + 1 − |Ψ|2 Ψ, (42) σ∂A ∂t | {z } −Jn = (∇S − A) |Ψ|2 | {z } Js −κ2∇ × ∇ × A + κ2∇ × H | {z } Jex , (43) dan ∂Ψ ∂t = (∇ − iA) 2 Ψ + (1 − T ) 1 − |Ψ|2 Ψ, (44) σ∂A ∂t | {z } −Jn = (1 − T ) (∇S − A) |Ψ|2 | {z } Js −κ2∇ × ∇ × A + κ2∇ × H | {z } Jex . (45)
Arus eksternal Jex = 0 jika H homogen.
3.5 Syarat Batas
Syarat batas bagi A dan Ψ dalam bentuk ternor-malisasi adalah
Bs= (∇ × A)s= H. (46)
Syarat batas bagi parameter order untuk su-perkonduktor yang berbatasan dengan bahan isolator atau vakum (syarat batas SI) adalah [8, 14, 13, 16, 17, 18]
(∇ − iA)|nΨ = 0 (47)
sedangkan yang berbatasan dengan logam nor-mal adalah [16, 23]
(∇ − iA)|nΨ = Ψ
b. (48)
3.6 Penggunaan Persamaan TDGL Secara matematis persamaan TDGL ternormal-isasi sebagai parameter dan fungsi T hanya berlaku untuk T sekitar Tc. Tinjau persamaan
yang terrangkum dalam Tabel 3. Persamaan penormalisasi pada kolom ketiga disajikan seba-gai fungsi T terlinearkan. Linearisasi ini men-syaratkan nilai T hanya sekitar Tc. Jadi T pada
persamaan (39) hanya untuk nilai T sekitar Tc.
Akan tetapi pada implementasinya persamaan TDGL dapat digunakan untuk memodelkan su-atu sistem dengan T yang bervariasi diantara
Gambar 1: Variasi temperatur kurva magnetisasi (atas) dan rapat energi bebas (bawah) bagi superkonduktor ukuran 8ξ(0) × 8ξ(0) dengan κ = 5 yang sama dengan milik Sardella dkk [14].
0 ≤ T < Tc [13, 14]. Gambar 1 menyajikan
variasi temperatur kurva magnetisasi dan rap-at energi bebas Gibbs yang diperoleh dari solusi numerik persamaan TDGL bagi bahan ukuran 8ξ(0) × 8ξ(0), κ = 5. Bahan ini terletak dalam vakum dan padanya tidak dialirkan arus ekster-nal. Kurva pada gambar tersebut sama seperti kurva magnetisasi dan rapat energi bebas yang dihasikan Sardella dkk.
Solusi persamaan TDGL ternormalisasi seba-gai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada nilai T tertentu. Tinjau kurva magnetisasi dan rapat energi bebas seba-gai parameter T pada Gambar 2. Dari gam-bar ini diperoleh bahwa −Mz = 0, 0138Hc2(T )
pada Hz = 0, 2Hc2(T ). Menggunakan kaitan
Hc2(T ) = Hc2(0)(1 − T /Tc), kedua nilai
terse-but menjadi −Mz = 0, 0069Hc2(0) pada Hz =
0, 1Hc2(0) untuk T = 0, 5Tc. Jika langkah ini
dilakukan untuk seluruh nilai Hz dan Mz
pa-da Gambar 2, maka kurva magnetisasi ini ter-transformasi menjadi kurva magnetisasi pada T = 0, 5Tc seperti ditunjukkan pada Gambar
3. Sekarang bandingkan kurva magnetisasi pada Gambar 3 dan kurva magnetisasi pada Gambar 1 untuk T = 0, 5Tc. Tampak bahwa kedua kurva
magnetisasi ini sama sekali berbeda. Artinya so-lusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai pa-rameter T tidak dapat ditransformasikan dengan cara seperti di atas menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada T tertentu.
Persamaan TDGL ternormalisasi sebagai pa-rameter memiliki bentuk yang sama dengan per-samaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T untuk T = 0. Kedua persamaan ini juga memili-ki solusi yang sama. Tinjau Gambar 2 dan Gam-bar 1 untuk T = 0. Tampak bahwa kedua kurva tersebut memiliki bentuk yang sama. Walaupun demikian penormalisasi kedua besaran pada ke-dua kurva tersebut berbeda. Besaran pada
kur-Gambar 2: Kurva magnetisasi (atas) dan rapat en-ergi bebas (bawah) sebagai parameter T .
va dalam Gambar 1 dinormalisasi menggunakan Normalisasi 1 pada Tabel 2 sedangkan besaran pada kurva dalam Gambar 3 dinormalisasi meng-gunakan Normalisasi 2 pada Tabel 2.
Penormalisasi sebagai parameter T dan seba-gai parameter T = 0 pada Tabel 3 kolom ked-ua dan kolom keempat memiliki makna berbe-da. Penormalisasi sebagai parameter T = 0 merupakan nilai penormalisasi yang diukur pa-da T = 0. Penormalisasi Hc2(0) pada nilai
Mz = 0, 00196Hc2(0) bagi suatu superkonduktor
merupakan medan kritis kedua bagi superkon-duktor tersebut yang diukur pada T = 0. Semen-tara penormalisasi sebagai parameter T mewakili keadaan penormalisasi sebagai fungsi T . Penor-malisasi sebagai parameter T tidak mewakili ni-lai penormalisasi pada nini-lai T tertentu. Penor-malisasi Hc2(T ) pada nilai Hz= 0, 2Hc2(T ) yang
diberikan pada suatu superkonduktor merupakan medan kritis kedua bagi superkonduktor tersebut yang diukur pada sebarang temperatur T < Tc.
Variasi temperatur dari medan kritis kedua, Hc2, bagi bahan berukuran 8ξ(0) × 8ξ(0) pada
κ = 5 dapat diperoleh melalui variasi temperatur kurva rapat energi bebas sebagai fungsi medan magnet eksternal, Hz, seperti ditunjukkan
Gam-bar 1. Suatu bahan berada dalam fase superkon-duktif atau fase normal ditunjukkan oleh
rap-Gambar 3: Kurva magnetisasi sebagai fungsi T pada T = 0, 500Tc hasil transformasi dari Gambar 2.
Gambar 4: Variasi temperatur Hc2 untuk bahan
8ξ(0) × 8ξ(0) pada κ = 5.
at energi bebasnya. Rapat energi bebas berni-lai negatif menunjukkan bahwa bahan dalam keadaan superkonduktif. Rapat energi bebas bernilai positif menunjukkan bahwa bahan dalam keadaan normal. Karena itu nilai Hc2 dapat
diperoleh dari nilai Hz yang memberikan rapat
energi bebas tepat mulai bernilai positif. Dengan cara ini dapat diperoleh kurva variasi temperatur dari Hc2 seperti ditunjukkan pada Gambar 4.
4 KESIMPULAN
Persamaan TDGL sebagai parameter temper-atur, T , tertransfomasikan menjadi persamaan TDGL fungsi temperatur melalui kaitan koefisien Landau |α(T )| = |α(0)|(1 − T /Tc).
Penormal-isasi bagi kedua persamaan TDGL ini berbeda. Diperlukan dua langkah sederhana untuk menor-malisasi persamaan TDGL: substitusikan vari-abel ternormalisasi pada Tvari-abel 2 yang sesuai ke
persamaan yang akan dinormalisasi dan seder-hanakan persamaan yang diperoleh dengan me-manfaatkan Tabel 3.
Persamaan TDGL yang dinormalisasi dengan cara tersebut dapat mereproduksi kurva mag-netisasi dan rapat energi bebas sebagai fungsi temperatur milik Sardella dkk [14]. Solusi per-samaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada T tertentu. Selain itu variasi temper-atur dari medan kritis kedua dapat diperoleh dari variasi temperatur dari rapat energi bebas.
PUSTAKA
[1] X.H. Chao, B.Y. Zhu, A.V. Silhanek, V.V. Moshchalkov, 2009, Current-induced Giant Vortex and Asymmetric Vortex Confine-ment in Microstructured Superconductors, Physical Review B, 80, hlm. 054506
[2] S. Miyamoto, T. Hikihara, 2004, Dynami-cal Behavior of Fuxoid and Arrangement of Pinning Center in Superconductor Based on TDGL Equation, Physica C, 417, hlm. 7-16 [3] D.Y. Vodolazov, I.L. Maksimov, E.H. Brandt, 2003, Vortex Entry Conditions in Type-II Superconductors. Effect of Surface Defects, Physica C, 384, hlm. 211226 [4] T. Winiecki, C.S. Adams, 2002, A Fast
Semi-Implicit Finite-Difference Method for the TDGL Equations, Journal of Computa-tional Physics, 179, hlm. 127 - 139.
[5] T. Winiecki, C.S. Adams, 2002, Time-dependent Ginzburg-Landau Simulations of the Voltage-current Characteristic of Type-II Superconductors with Pinning, Physical Review B, 65, hlm. 104517
[6] D.Y. Vodolazov, 2000, Effect of Surface De-fects on the First Field for Vortex Entry in Type-II Superconductors, Physical Review B, 62, hlm. 8691-8694
[7] W.D. Gropp, H.G. Kaper, G.K. Leaf, D.M. Levine, M. Palumbo, V.M. Vinokur, 1996, Numerical Simulation of Vortex Dynam-ics in Type-II Superconductors, Journal of Computational Physics, 123, hlm. 254-266 [8] R. Kato, Y. Enomoto, S. Maekawa, 1991,
Computer Simulations of Flux Lines in
Type-II Superconductors, Journal of Com-putational Physics, 44, hlm. 6916-1920 [9] L.R.E. Cabral, J. Barba-Ortega, C.C.
de Souza Silva, J.A. Aguiar, 2010, Vortex Properties of Mesoscopic Su-perconducting Samples, Physica C, doi:10.1016/j.physc.2010.02.022
[10] J. Barba-Ortega, A. Becerra, J.A. Aguiar, 2010, Two Dimensional Vortex Structures in a Superconductor Slab at Low Temper-atures, Physica C, 470, hlm. 225230
[11] J. Barba-Ortega, C.C. de Souza Silva, J.A. Aguiar, 2009, Superconducting Slab in Con-tact with Thin Superconducting Layer at Higher Critical Temperature, Physica C, 469, hlm. 852856
[12] J.J. Barba, C.C. de Souza Silva, L.R.E. Cabral, J.A. Aguiar, 2008, Flux Trapping and Paramagnetic Effects in Superconduct-ing Thin Films - The Role of de Gennes Boundary Conditions, Physica C, 468, hlm. 718721
[13] J.J. Barba, L.R.E. Cabral, J.A. Aguiar, 2007, Magnetization in a Superconducting Square Ring, Revista Mexicana de Fisica S, 53, hlm. 5356
[14] E. Sardella, A.L. Malvezzi, P.N Lisboa-Filho, 2006, Temperature-dependent Vortex Motion in a Square Mesoscopic Supercon-ducting Cylinder: Ginzburg-Landau Calcu-lations, Physical Review B, 74, hlm. 014512 [15] M. Machida, M. Itakura, 2003, Direct Nu-merical Simulations for Local Superconduc-tivity Above Upper Critical Field - Theoreti-cal Confirmation of Stable Precursors, Phys-ica C, 392396, hlm. 331335
[16] A.D. Hernandez, D. Dominguez, 2002, Sur-face Barrier in Mesoscopic I and Type-II Superconductors, Physical Review B, 65, hlm. 144529
[17] A.D. Hernandez, D. Dominguez, 2002, AC Magnetic Response of Mesoscopic Type-II Superconductors, Physical Review B, 66, hlm. 144505
[18] C. Bolech, G.C. Buscaglia, A. Lopez, 1995, Numerical Simulation of Vortex Arrays in Thin Superconducting Films, Physical Re-view B, 52, hlm. R15719-R15722
[19] M. Machida, H. Kaburaki, 1994, Numerical Simulation of Flux-Pinning Dynamics for a Defect in a Type-II Superconductor, Physi-cal Review B, 50, hlm. 1286-1289
[20] R. Kato, Y. Enomoto, S. Maekawa, 1993, Effects of the Surface Boundary on the Mag-netization Prosess in Type-II Superconduc-tors, Physical Review B, 47, hlm. 8016-8024 [21] M. Machida, H. Kaburaki, 1993, Direct sim-ulation of the Time Dependent Ginzburg-Landau Equation for Type II Superconduct-ing Thin Film Vortex Dynamics and V-I Characteristics, Physical Review Letter, 71, hlm. 3206-3209
[22] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U., 2010, Ke-bergantungan Pergerakan Vortex dalam Su-perkonduktor Mesoskopik terhadap Temper-atur, diajukan ke Jurnal Berkala MIPA UM [23] P.G. de Gennes, 1999, Superconductivity of Metals and Alloys, Westview Press: hal. 227 [24] D. R. Tilley dan J. Tilley, 1990, Superfluidi-ty and SuperconductiviSuperfluidi-ty, Bristol: IOP Pub-lishing Ltd, hlm. 295, 299
[25] Waldram, J. R., 1996, Superconductivity of Metais adn Cuprates, Intitute of Physics, London, hlm. 43
