MATRIKS INVERS MOORE PENROSE ATAS DAERAH INTEGRAL. Titi Udjiani SRRM Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.

(1)

Titi Udjiani SRRM

Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275

Abstract. The Inverse Moore Penrose matrix has been applied in various areas, for example in

statistic and optimization. In this paper we study Inverse Moore Penrose matrix which is applied to Integral Domain. We will first discuss the characterization of all matrices over Integral Domain which admits Moore Penrose Inverse. With this characterization we will derive necessary and sufficient conditions for a matrix to have a Moore Penrose Inverse. We also show the relations between Moore Penrose Inverse matrix and Compound matrix. The aim of this paper is to obtain an explicit formula for the Moore Penrose Inverse when it exist and gives a necessary and sufficient condition for a matrix to have a Moore Penrose Inverse under the assumption that a matrix has a rank factorization.

Key words: Integral Domain, rank, minor.

1. PENDAHULUAN

Jika A adalah suatu matriks dengan rank r dan elemen elemennya merupakan ring komutatif, maka syarat perlu dan cu-kup agar A mempunyai invers Moore Pen-rose adalah jika jumlahan dari semua mi-nor berukuran rxr dari A mempunyai in-vers Moore Penrose.

Saat ini matriks invers Moore Pen-rose semakin banyak penggunaannya da-lam berbagai cabang ilmu matematika, mi-salnya dalam statistik dan operasi riset. Oleh karenanya tulisan ini akan membahas mengenai matriks Invers Moore Penrose pada Daerah Integral.

Seperti telah diketahui bahwa Daerah Integral adalah Ring komutatif dengan ele-men satuan yang tidak sama dengan nol dan tidak mempunyai pembagi nol sejati mengacu pada [2]. Selanjutnya untuk dapat memahami tulisan ini, pemahaman menge-nai Daerah Integral sangat diperlukan. 2. MATRIKS INVERS MOORE PENROSE PADA DAERAH INTEGRAL

Berikut ini adalah definisi menge-nai matriks Invers Moore Penrose.

Definisi 2.1. [3] Diketahui A adalah ma-triks berukuran mxn atas Daerah Integral R. Suatu matriks G berukuran nxm atas R dikatakan matriks invers Moore Penrose dari A jika:

1. AGA = A 2. GAG = G 3. (AG)T= AG 4. (GA)T = GA

Lemma 2.1. [3] Diketahui A adalah ma-triks tidak nol berukuran nx1 atas R. Matriks A dikatakan mempunyai Invers Moore Penrose jika dan hanya jika AT

A invertible di R

Bukti.

Diketahui bahwa A mempunyai invers Moore Penrose, akan ditunjukkan bahwa ATA invertible di R.

Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, maka AGA = A. Karena A≠0 dan ber-ukuran nx1 maka GA adalah I₁.

Selanjutnya karena (AG)T= AG maka GTATA=(AG) TA = AGA = A. Sehingga (GGT)(ATA) = G(GTATA) = GA = I1.

(2)

Sampai disini terbukti bahwa ATA inver-tible di R, dengan inversnya GGT.

Sebaliknya diketahui bahwa ATA inverti-ble di R, akan dibuktikan bahwa A mem-punyai matriks invers Moore Penrose. Untuk membuktikan bahwa A mempunyai matriks invers Moore Penrose, akan ditun-jukkan bahwa (ATA)−1ATadalah invers Moore Penrose dari ATA.

(a). ( (AT A)−1AT)A((ATA)−1AT) = (ATA)−1(ATA)(ATA)−1AT). Karena ATA invertible, artinya (ATA)−1 ada, maka (ATA)−1 (AT A)(AT A)−1 AT ) = I(ATA)−1AT = (ATA)−1AT. (b). A((ATA)−1AT)A =

A((ATA)−1ATA). Karena ATA invertible di R, maka ((AT A)−1 AT A) = A. (c). (A((ATA)−1AT))T = ((ATA)−1)TAT = A(A−1(AT)−1)TAT = A(A−1(A−1)T )TAT = AA−1 (A−1 )T AT = AA−1(AT)−1AT = A (ATA)−1AT (d). (((ATA)−1AT)A)T = ATA((ATA)−1) T = ATA(A−1 (A−1)T) T = ATA(A−1)T = AT(( ATA) −1 AT)T = ATA((ATA)−1)T = ATA (A−1( AT)−1)T = AT A (A−1 ( A−1 )T )T = ATA (A−1( A−1)T) = ATA(ATA) −1 = (ATA) −1(ATA) _■ Dengan cara yang sama juga dapat ditun-jukkan untuk matriks tak nol A yang beru-kuran 1xm atas R.

Pada pembicaraan selanjutnya akan dibahas untuk matriks atas R yang full rank.

Definisi 2.2. [3] Diketahui A = ((a_ij)), adalah matriks berukuran mxn atas daerah integral R, ) i ,..., i ( ₁ _r =

α

dengan1≤i₁ ≤...≤i_r ≤m, ) j ,..., j ( 1 r =

β

dengan 1≤ j1 ≤...≤ jr ≤n.

Aα_βadalah submatriks A yang ditentukan oleh baris sesuai dengan αdan kolom sesu-ai dengan β. Jika

α

=(i₁,...,i_m) maka Aα_β cukup ditulis dengan A_β, dan jika

) j ,..., j ( 1 n =

β

maka Aα_βcukup ditulis de-ngan Aα.

Teorema 2.1. [3] Diketahui A adalah matriks berukuran mxn atas R dengan rank n. Pernyataan di bawah ini ekivalen.

1. A mempunyai matriks invers Moore Penrose. 2. AT A invertible di R. 3.

∑

α 2 Aα invertible di R. Dengan α berjalan sepanjang n elemen subset dari {1,2,…,m}.

Selanjutnya jika Invers Moore Penrose dari A ada, maka ((AT

A)−1 ) AT

adalah invers Moore Penrose dari A.

Bukti. 1 ⇒ 2.

Diketahui A mempunyai invers Moore Penrose. Akan ditunjukkan bahwa ATA invertible di R.

Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, maka AGGTATA = AG(AG)TA= AGAGA = AGA = A.

Misal A full coulomb rank , maka menurut [1] rank A adalah n. Sehingga GGT

AT A = I_n Terbukti bahwa AT A invertible di R. 2 ⇒ 1.

Selanjutnya diketahui ATA invertible di R. Untuk menunjukkan bahwa A mempu-nyai invers Moore Penrose yaitu dengan menunjukkan bahwa ((ATA)−1 ) AT ada-lah invers Moore Penrose dari A yang su-dah ditunjukkan pada lemma 2.

(3)

2 ⇒ 3.

Karena A mempunyai rank n dan dengan menggunakan formulasi Cauchy Binet, diperoleh:

A

AT =

∑

_α A_αT Aα =

∑

_α Aα 2 Dengan α berjalan sepanjang n elemen subset dari {1,2,…,m}.

Karena suatu matriks bujur sangkar atas R invertible jika dan hanya jika determinan-nya invertible di R dan ATA invertible, maka terbukti bahwa

∑

_α Aα 2

inverti-ble. _■

Teorema diatas juga berlaku jika A mem-punyai rank m ( full row rank ).

Teorema 2.2. [3] Jika A adalah matriks berukuran mxn di R dengan rank r, dan A = BC adalah faktorisasi rank dari A atas R, maka kondisi dibawah ini ekivalen.

1. A mempunyai invers Moore Penrose. 2. BT B dan CCT invertible di R. 3.

∑

β , α 2 α β A invertible di R, dengan ⊂

α

{1,2,…m}; dan β ⊂{1,2,…,n}. Selanjutnya jika invers Moore Penrose dari

A ada maka CT(CCT)−1(BTB)−1BT ada-lah invers Moore Penrose dari A.

Bukti. 1 ⇒ 2.

Misal G adalah matriks invers Moore Penrose dari A, sehingga BCGGTATBC = BCG(AG) T BC = BCGAGBC = BCGBC = BC. Artinya CGGTATB = CGGT(BC) TB = CGGTCTBTB = I. Terbukti bahwa BTB invertible di R.

Dengan cara yang sama diperoleh juga bahwa CCT invertible di R.

2 ⇒ 1

Akan ditunjukkan bahwa CT(CCT)−1 (BTB)−1BTadalah matriks invers Moore Penrose dari A. (a). ACT(CCT)−1 (BTB)−1BTA = ACT (CT)−1 C−1 B−1 (BT )−1 BT A = AC−1B−1A = A(BC) −1A = AA−1A = A. (b).CT(CCT)−1(BTB)−1BTACT(CCT)−1 ( BTB)−1 BT= CT(CCT)−1(BTB)−1BTA CT (CT )−1 C−1 B−1 (BT )−1 BT = CT(CCT)−1(BTB)−1BTAC−1B−1= CT(CCT)−1(BTB)−1BTAC−1B−1= CT(CCT)−1(BTB)−1BTA (BC)−1= CT(CCT)−1(BTB)−1BTA A−1= CT(CCT)−1(BTB)−1BT (c).Karena ACT (CCT )−1 (BT B)−1 BT = ACT(CT)−1C−1 B−1 (BT) −1BT= AC−1B−1= A(BC) −1= AA−1= I , maka (ACT(CCT)−1(BTB)−1BT)T = ACT(CCT)−1(BTB) −1BT

(d).Dengan cara yang sama karena CT(CCT)−1(BTB)−1BT = I maka (CT(CCT)−1(BTB)−1BTA)T= CT(CCT)−1(BTB)−1BTA. 2 ⇒ 3

Karena A = BC adalah faktorisasi rank dari A atas R, maka dengan menggunakan for-mulasi Cauchy Binet diperoleh bahwa

α β

A =Bα C untuk suatu _β

α

berjalan se-panjang r elemen subset dai {1,2,…,m} dan

βberjalan sepanjang r elemen subset dai {1,2,…,n}. Sehingga

∑

β α, 2 α β A =

∑

β α, 2 α B C_β 2=

∑

α 2 α B

∑

β 2 β C . Dengan menggunakan Teorema 2.

Terbuk-ti bahwa

∑

β α, 2 α β A invertible. _■ Akibat 2.1.

Diketahui A adalah matriks berukuran mxn atas R dengan rank r. Jika ada faktorisasi rank A = BC dari A atas R maka A akan mempunyai matriks Invers Moore Penrose jika dan hanya jika C_r(A) mempunyai in-vers Moore Penrose.

Bukti.

(⇐)Karena ada faktorisasi rank A = BC maka C_r(A) = C_r(B) C_r(C). Sehingga

(4)

karena C_r(A) mempunyai invers Moore Penrose dan dengan menggunakan teorema 3 [1) ⇒ 3)], diperoleh bahwa jumlahan dari semua elemen di C_r(A) yaitu

∑

β α, 2 α β A invertible, dengan

α

⊂{1,2,…m}; dan

⊂

β {1,2,…,n}. Akibatnya dengan meng-gunakan teorema 3 [3) ⇒ 1)] diperoleh A mempunyai invers Moore Penrose.

( ⇒ )Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, sehingga AGA = A. Dengan meng-gunakan sifat matriks Compound diperoleh bahwa C_r(G) adalah invers dari C_r(A)_{. ■} Lemma 2.2.

Diketahui A matriks berukuran mxn atas R yang mempunyai rank 1. A dikatakan mempunyai invers Moore Penrose jika dan hanya jika

∑

j , i ai,j 2 invertible di R. Bukti. (⇐)Diketahui u =

∑

j , i a_i_,_j 2invertible di R. Akan ditunjukkan bahwa u−1AT adalah invers Moore Penrose dari A.

Karena A mempunyai rank 1 maka setiap minor berukuran 2x2 dari A mempunyai determinan nol.

Untuk suatu i,j,k,l diperoleh a_k_,_j a_i_,_l= a_i_,_j a_k_,_l. Sehingga untuk suatu i,l diperoleh:

∑

k j, kl jk ijg a a = u−1

∑

k j, kl kj ija a a = u−1

∑

k j, 2 kj ila a =

∑

− j , k 1 2 kj) ) (a (

∑

k j, 2 kj ila a = a_il….(*). Terbukti bahwa AGA = A.

∑

k j, lk il jia g g = u−1 u−1

∑

k j, kl il ija a a = u−1 u−1

∑

k j, 2 il kja a = u−1(ail2 ) 1 −

_∑

k j, 2 il kja a = u−1

∑

k j, kj a = gjk.

Terbukti bahwa GAG = G. Selanjutnya (AG)T = (Au−1 AT )T = A(u−1 )T AT = Au−1AT =AG.

(GA) T=(u−1ATA)T= ATA(uT)−1 = ATAu−1= u−1ATA = GA.

( ⇒ )Misal G adalah invers Moore Penrose dari A ; r_i adalah baris ke i dari A dengan i = 1,2,…,m dan c_j adalah kolom ke j dari G dengan j = 1,2,..,n.

Selanjutnya dibentuk matriks B₁_xmn= (r₁, r₂, …,r_m); H_mnx₁= (c₁T,cT₂,...,c_mT )dan akan ditunjukkan bahwa H adalah invers Moore Penrose dari B.

Dengan menggunakan (*) diperoleh u−1

∑

k j, 2 kj a = 1; u−1

∑

k j, kj a akj= 1;

∑

k j, kj a gjk=1; BH = 1. Sehingga HBH = H; BHB = B dan (BH)T= BH . Selanjutnya HB =             m m 1 m m 2 1 2 m 1 1 1 r c r c r c r c r c r c ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ .

Untuk menunjukkan bahwa (HB)T

= HB, akan ditunjukkan dengan (c_ir )_j T

Diatas sudah ditunjukkan bahwa u−1AT adalah invers Moore Penrose dari A. Kare-na sifat tunggal dari invers maka gij = u−1a_ji, untuk setiap i, j. Sehingga untuk suatu i,j,k,l diperoleh gkiajl= u

1

− _a

ikajl= u−1 a jl aik= glj aik.

Jadi (c_ir_j)T= c_jr_i, untuk setiap i, j. Sehingga (HB)T= HB. Kemudian dengan menggunakan Lemma 2.1 diperoleh

∑

j , i a_i_,_j 2 invertible di R. _■ Teorema 2.3.

Diketahui A matriks berukuran mxn atas R dengan rank r. Pernyataan pernyataan di bawah ini ekivalen :

(5)

2.C_r(A) mempunyai invers Moore Penro-se

3.

∑

_α_,_β Aα_β 2invertible di R, dengan

⊂

α

{1,2,…m}; dan β ⊂{1,2,…,n}. Selanjutnya jika G invers Moore Penrose dari A, maka G = ((g_ij)) dengan gji=

∑ ∑

∈α ∈ α:i β:j β u−1 Aα_β ij a ∂ ∂ α β A dan u =

∑

_α_β , 2 A_βα Bukti. 1⇒ . 2

Misal G adalah invers Moore Penrose dari A. Denganmenggunakan sifat matriks Compound yang diberikan oleh Prosolov maka C_r(G) adalah invers Moore Penrose dari C_r(A).

2⇒ . 3

Dengan menggunakan teorema 3 diperoleh A mempunyai invers Moore Penrose. _■

3. PENUTUP

Jika A adalah matriks atas Daerah Inte-gral yang mempunyai faktorisasi rank, ma-ka:

1. Invers Moore Penrose dari A dapat diperoleh melalui faktorisasi ranknya 2. A mempunyai Invers Moore Penrose

jika dan hanya jika matriks Com-poundnya juga mempunyai invers Moore Penrose.

4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Ayres F., Linear Algebra, Mc Graw – Hill,Inc.,United State of America. [2] Bapat, R.B., Bhaskara Rao, K.P.S.,

Mayunata, K. (1990), Generalized Over Integral Domain, Elsevier Scien-ce Publishing Co.Inc , New York. [3] Brown W.C. (1993), Matrices Over

Commutative Rings ,Marcel Dekker, Inc. New York.

[4] Fraleigh J.B.(1994), A First course in Abstract Algebra, Fourth edition, Addi-son Wesley Co.Inc.,New York.