PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

SKRIPSI

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By:

Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2008

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Hidup itu seperti sebuah sepeda.

Kau tidak akan terjatuh kecuali bila berhenti mengayuh.

(Claude Pepper)

Semakin banyak pengetahuan yang kita peroleh,

bukannya semakin nyata, tetapi menjadi semakin

misterius.

(Albert Schweitzer)

PERSEMBAHAN :

“Skripsi ini kupersembahkan untuk Bapak dan Ibu serta

Mb Merry, Uri dan Ria yang senantiasa memberikan doa,

semangat, dukungan, kasih sayang dan pengaruh yang

besar dalam setiap keberhasilanku.”

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.

MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

ABSTRACT

Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’ yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan, kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dengan tulus untuk membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini.

2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan selama menjadi mahasiswa.

3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa. 4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si.

M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.

5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa.

6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan biaya, dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan skripsi.

8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan keberhasilanku.

9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat. 10. Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas

Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian.

11. Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman, Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan setia.

12. Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama.

13. Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat, serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.

14. Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku menjadi sumber informasi dalam mengatasi segala masalah komputerku.

15. Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius, teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan keluhanku.

Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak.

Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………..……… HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….… HALAMAN PENGESAHAN ………..…….. HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………..……….………. ABSTRAK ………. ABSTRACT ……….………….. KATA PENGANTAR ……….…………... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………. DAFTAR ISI ……….………. BAB I. PENDAHULUAN.………. 1.1. Latar Belakang ……….………. 1.2. Perumusan Masalah ……….………. 1.3. Batasan Masalah ……….……….. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……….……… 1.4.1. Tujuan Penelitian ……….………...…… 1.4.2. Manfaat Penelitian ……….…………. 1.5. Sistematika Penulisan ………....………… BAB II. DASAR TEORI ………....………… 2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ……… 2.1.1. Hukum Gauss ……….………. 2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………

i ii iii iv v vi vii x xi 1 1 5 6 6 6 6 6 8 8 8 8 xi

2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..… 2.1.2. Hukum Ampere ……….………...……... 2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………

2.2. Persamaan Maxwell ………..………. 2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ………...…. 2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ………...….…… 2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ……….……...

2.3.2.1. Gas Elektron Bebas ………... 2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………...

2.4. Operator Del ∇r ………..

2.5. Persamaan Diferensial ………... 2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ……….. 2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ……….…...

2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan ……...…

2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan Koefisien-Koefisien Konstan ………

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……….. 3.1. Jenis Penelitian ……….……. 3.2. Sarana Penelitian ………... 3.3. Langkah-Langkah Penelitian ………. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……….. 4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ………...………… 11 13 17 20 20 21 22 22 24 28 30 30 30 31 32 33 33 33 33 35 35 xii

4.1.1. Persamaan Gelombang ………...……… 4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa ...…..

4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium …… 4.1.2. Persamaan Gerak ……… 4.2. Pembahasan ………... BAB V. PENUTUP ……….…………... 5.1. Kesimpulan ……….……... 5.2. Saran ……….………. DAFTAR PUSTAKA ……….……… 35 35 40 46 55 57 57 57 58 xiii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek nonlinear ketika menganalisis suatu masalah.

Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan teknologi. Para fisikawan telah melakukan berbagai penelitian untuk menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi Pr memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik Er. Polarisasi adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat dipelajari dengan dua metode, yaitu secara klasik dan kuantum.

Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi, dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang elektromagnetik

Pr

Er ( He and Liu, 1999 )

E

Pr =ε0χr (1.1)

dengan ε₀ permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan linear antara Pr dan Er pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen. Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr dan Er tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut hubungan antara Pr dan Er menjadi

...] [ (1) (2) (3)

0 + + +

= E EE EEE

Pr ε χ r χ rr χ rrr (1.2) dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear), orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

) 1 (

χ χ(2) χ(3)

Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal. Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap dapat dideskripsikan sebagai

I dz

dI _α

−

= (1.3)

dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan α

konstanta medium. Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )

2 I I dz dI _{α β} − − = (1.4) dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti

... 3 2 − − − − = I I I dz dI _{α β γ} . (1.5)

Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada sumbu x, dengan komponen medan E dan B pada arah sumbu z dan , arah

pergeseran elektron ke arah sumbu

y

z yang dideskripsikan sebagai fungsi .

Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 )

) , ( tx r 0 = − dx dE dt dB (1.6)

dx dB c dt dr qN dt dE 2 0 0 = + ε , (1.7)

dimana q muatan listrik, N jumlah elektron per satuan volume, kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan

0

c

0

ε permitivitas ruang hampa. Elektron yang dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E

dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 )

qE r U dt r d m + ′( )= 2 2 (1.8)

dengan m massa elektron,

2 2

dt r d

turunan ke dua fungsi pergeseran elektron

terhadap waktu (percepatan), dan U ′(r) turunan sumur potensial. Jika persamaan (1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu U ′(t) menjadi

qE t U r U dt r d m + ′( )+ ′( )= 2 2 (1.9)

dan diberikan nilai 2 2 2

1 )

(r m r

U = ω , , dan , sehingga persamaan (1.9) menjadi β ω2r = ω2 =α m qE r dt dr dt r d = + +β α 2 2 , (1.10)

dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (1.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 1.1.

) (t

r

Gambar 1.1 Grafik hubungan antara dan t persamaan (1.10). Untuk nilai ) (t r 1 = α , 1β = , 1q= , E=1, dan m=1.

Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran mencapai nilai maksimum pada saat t = 0.5 s kemudian mencapai nilai minimum pada saat t = 4 s. Pada saat = 7 s, nilai pergeseran meningkat dan mulai saat t = 10 s nilai menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.

) (t r ) (t r t r(t) r(t) 1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan adalah

1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell 2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear menggunakan pendekatan fisika

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek nonlinear secara klasik.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell.

2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial serta syarat yang diperlukan.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika penulisan.

Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear, persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan langkah-langkah penelitian.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian dan pembahasan.

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Perumusan Persamaan Maxwell

Persamaan-persamaan Maxwell merupakan persamaan yang dapat diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.

2.1.1 Hukum Gauss

2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik

Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas Sr, fluks listrik yang dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik yang tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984) E Φ q

∫

= = ΦE EdS q r r . 0 0 ε ε . (2.1)

Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik P dan memuat medan listrik Er, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P terletak pada x,y,z dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok mempunyai panjang dx,dy,dz.

dx dz dy P x y z • P(x, y,z)

Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.

(a) (b)

Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu x negatif sehingga dSr =−iˆ.dy.dz. Untuk muka depan nilai dSr =+iˆ.dy.dz. Jika vektor medan listrik di muka belakang adalah Er, maka medan listrik di muka

depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx x E E r r . Nilai dx x Ex ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂r

menyatakan perubahan Er yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam . Besar nilai yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah

dx S d Er. r

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . x E dz dy dx x E dz dy dx i dz dy i dx x E E dz dy i E S d E x x ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.2)

Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah sumbu y negatif sehingga dSr =−ˆj.dx.dz. Untuk muka samping kanan nilai

dz dy j S

dr =+ˆ. . . Jika medan listrik di muka samping kiri adalah Er, maka medan listrik di muka samping kanan yang berjarak dy dari muka samping kiri adalah

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dy y E E r r . Nilai dy y E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂r

menyatakan perubahan Er yang diasosiasikan

dengan perubahan y dalam dy. Sehingga Er.dSr untuk permukaan samping kiri dan samping kanan balok adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . y E dz dy dx y E dz dy dx j dz dx j dy y E E dz dx j E S d E y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.3)

Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu

z negatif sehingga dSr=−kˆ.dx.dy. Untuk muka atas nilai dSr=+kˆ.dx.dy. Jika medan listrik di muka bawah adalah Er, maka medan listrik di muka atas yang

berjarak dz dari muka bawah adalah _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dz z E E r r . Nilai dz z E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂r menyatakan

perubahan Er yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz. Sehingga untuk permukaan atas dan bawah balok adalah

z S d Er. r

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . z E dz dy dx z E dz dy dx k dy dx k dz z E E dy dx k E S d E z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.4)

Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4),

( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = z E y E x E dz dy dx z E dz dy dx y E dz dy dx x E dz dy dx S d E S d E S d E dS E z y x z y x z y x . . . . . . . . . . . . r r r r r r r =

∫

dx.dy.dz div Er. (2.5) Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam permukaan tersebut adalah

q

q=

∫

ρ.dx.dy.dz (2.6) dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh

ε0 div E r =ρ atau ε0 ∇ r .Er =ρ. (2.7)

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984)

Φm =

∫

B. Sd =0 r r

dengan Φ_m fluks magnetik (Weber), Br vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau Wb/m²) dan elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka belakang balok S dr dz dy i S

dr=−ˆ. . . Untuk muka depan nilai . Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah

dz dy k S

dr=+ˆ. .

Brdan medan magnet

di muka depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx x B B r r .

Sehingga nilai Br.dSr untuk bagian permukaan depan dan belakang balok adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . x B dz dy dx x B dz dy dx i dz dy i dx x B B dz dy i B S d B x x ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.9)

Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian samping kiri dan kanan adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . y B dz dy dx y B dz dy dx j dz dx j dy y B B dz dx j B S d B y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.10)

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . z B dz dy dx z B dz dy dx k dy dx k dz z B B dy dx k B S d B z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.11)

Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),

( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∫

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = z B y B x B dz dy dx S d B S d B S d B S d B z y x z y x . . . . . . r r r r r r r r =

∫

dx.dy.dzdiv Br. (2.12) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh

div Br= 0 atau

∇v.Br= 0 . (2.13)

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

∫

= Φ dt d l d B E 0 0 . r μ ε r . (2.14)

Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan sebagai

∫

B.dl =μ0i

r r

. (2.15)

Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ ₊ = i dt d l d B E 0 0 . r μ ε r . (2.16)

Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16) untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik P diletakkan di x,y,z dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang x, , sehingga mempunyai panjang y

dan dy . dx P dx x y

z

.

P (a) (b) dy

Gambar 2.2 (a) elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. (b) kerangka referensi.

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh

untuk sisi belakang

( )

Br.dlr₁ =Br.(−jˆdy) sisi kiri

( )

B.dl 2 =B.(+iˆdx) r r r sisi depan

( )

. 3 dx .( ˆjdy) x B B l d B _⎟⎟ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sisi kanan

( )

. ₄ dy .( iˆdx) y B B l d B _⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ) ˆ ).( ( ) ˆ ).( ( ) ˆ .( ) ˆ .( . . . . . _{1 2 3 4} dx i dy y B B dy j dx x B B dx i B dy j B l d B l d B l d B l d B l d B r r r r r r r r r r r r r r r r

∫

∂ ∂ − ∂ ∂ = idydx y B dy dx j x B . . ˆ . . ˆ r r

∫

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = i y B j x B dy dx. .ˆ .ˆ r r

∫

∫

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y B x B dy dx l d B y x . . r r . (2.17)

Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan dt dΦE

adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika diambil untuk menyatakan rapat arus dan

Jr dy

dx k S

dr= ˆ. . yang merupakan vektor luas permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z

dan

∫

∫

∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ ) . . ˆ ( . kdxdy t E dS t E dt d _E r r atau

∫

∂ ∂ = Φ dy dx t E dt d _{E z} . . (2.19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan (2.16), didapatkan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J y B x B _z z x y 0 0 ε μ (2.20)

Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang y, memberikan nilai z

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J z B y B x x y z 0 0 ε μ . (2.21)

Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z, memberikan nilai x

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J x B z B y y z x 0 0 ε μ . (2.22)

Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen , (2.21) dengan , dan (2.22) dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan

kˆ iˆ jˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J k t E J j t E J i y B x B k x B z B j z B y B i x x x x x x x y z x y z 0 0 0 0 0 0 . ˆ . ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ε μ ε μ ε μ curl Br= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + + ˆ ˆ ) (ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( 0 0 t E k t E j t E i J k J j J i x x x ε x x x μ

curl Br= _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + t E J r r 0 0 ε μ atau _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r 0 0 ε μ . (2.23)

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas

ggl

ε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

dt d B ggl Φ − = ε . (2.24)

Jika ditinjau muatan uji yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang dilakukan pada muatan uji tiap putaran

0 q l E q l

Fr.r= 0.r.r. Dimana adalah gaya yang bekerja pada muatan tersebut dan

E q0r

lr adalah jarak sepanjang gaya bekerja. Besar kerja Fr.lr nilainya sama dengan q₀ε_ggl, sehingga dapat dituliskan sebagai

∫

= Edl

ggl .

r

ε (2.25)

Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai

dt d l d E =− ΦB

∫

r. r . (2.26)

Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang

y

x, , didapatkan

Untuk sisi belakang

( )

Er.dlr ₁ = Er.(−ˆjdy) sisi kiri

( )

E.dl 2 = E.(+iˆdx) r r r sisi depan

( )

. 3 dx .( ˆjdy) x E E l d E _⎟⎟ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sisi kanan

( )

. ₄ dy .( iˆdx) y E E l d E _⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ) ˆ ).( ( ) ˆ ).( ( ) ˆ .( ) ˆ .( . . . . . _{1 2 3 4} dx i dy y E E dy j dx x E E dx i E dy j E l d E l d E l d E l d E l d E r r r r r r r r r r r r r r r r

∫

∫

Edl = dxdy_⎝⎛⎜⎜∂_∂E_xy −∂_∂E_yx ⎟⎟⎞_⎠ . . r r . (2.27) Dari persamaan (2.26), dt dΦB

adalah perubahan fluks magnet yang melalui

permukaan tersebut dan dSr =kˆ.dx.dydigunakan untuk menyatakan vektor luas permukaan yang sejajar dengan bidang x, dan mempunyai arah ke sumbu z , y

maka dapat dituliskan

∫

∫

∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ ) . . ˆ .( . kdxdy t B S d t B dt d _B r r r

∫

∂ ∂ = Φ dy dx t B dt d B z . . (2.28)

Persamaan (2.27) dan (2.28) disubstitusikan ke persamaan (2.26), didapatkan t B y E x Ey _{x z} ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ . (2.29)

Dengan melihat persamaan (2.29) yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang sejajar bidang x, , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi y

empat siku-siku yang sejajar dengan bidang y, , z

t B z E y E_z y x ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.30)

dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z, , x

t B x E z E_{x z} y ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ . (2.31)

Persamaan (2.29) bersesuaian dengan komponen z , sehingga dikalikan dengan komponen vektor k . Persamaan (2.30) dikalikan dengan komponen vektor dan (2.31) dikalikan dengan komponen vektor . Kemudian ketiga persamaan ini ditambahkan sehingga didapatkan,

ˆ _iˆ jˆ t B k t B j t B i y E x E k x E z E j z E y E i z y x z y x x y z ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ _{ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ} ˆ curl Er= t B ∂ ∂ − r atau t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . (2.32)

2.2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan persamaan (2.7), (2.13), (2.23) dan (2.32) yang bila dirangkum kembali menjadi (Efendi, R, 2007) (1) ε₀ ∇r .Er =ρ (2.33) (2) ∇v.Br= 0 (2.34) (3) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r 0 0 ε μ (2.35) (4) t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . (2.36)

Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus bernilai nol, sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah

Jr (1) ∇r .Er = 0 (2.37) (2) ∇v.Br= 0 (2.38) (3) t E B x ∂ ∂ = ∇ r r r 0 0ε μ (2.39) (4) t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . (2.40)

2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear

Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi Pr memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik Er.

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik Pr diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang elektromagnetik Er, ditulisakan seperti persamaan (1.1) (He and Liu, 1999)

E Pr =ε0χr

Dengan ε₀ permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan linear antara Pr dan Er pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen. Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr dan

Er tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut hubungan antara Pr dan Er dituliskan seperti pada persamaan (1.2)

...] [ (1) (2) (3)

0 + + +

= E EE EEE Pr ε χ r χ rr χ rrr

dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear), orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

) 1 (

χ χ(2) χ(3)

Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear.

2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear 2.3.2.1 Gas Elektron Bebas

Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh gelombang cahaya terpolarisasi, (Bloembergen,1996)

) exp(ikz i t c E c E By = x = − ω , (2.41) dimana k = cω −1.

Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma,

τ / 1 x m B z ec eE x

m&&= _x − − _{& y} − & (2.42)

y

m&& = −my&/ τ (2.43)

z

m&& = ec−1 x& By −mz&/τ . (2.44) Waktu tumbukan τ mendeskripsikan redaman gerak statis. Bila

) exp( 0 ikz i t x x= − ω , maka, x i t i ikz x i dt dx x&= =(−ω) ₀exp( − ω )=−ω (2.45) x t i ikz x i i dt x d x _{2 0} 2 2 ) exp( ) )( (−ω −ω − ω =−ω = = && (2.46)

Sehingga substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam persamaan (2.42) menghasilkan pendekatan linear pertama,

x

mω2

− = 2eEexp(ikz−iωt)− ec z&−1 B_y −m(−iωx)/ τ (2.47) Jika )z= z0exp(ikz−i2ωt diekspansikan dengan menganggap (ikz−i2ωt) sangat kecil, maka dalam pendekatan linear nilai z =z₀(konstanta), sehingga persamaan (2.47) menjadi

) (ω x = ) ( ) exp( 1 2 + − − − ωτ ω ω i m t i ikz eE . (2.48)

Berdasarkan persamaan (2.48), nilai dari x&(ω), ) (ω x& = ) ( ) exp( ) ( )) exp( )( ( ) ( 1 2 1 2 − + − − = + − − − = ωτ ω ω ω ωτ ω ω ω ω i m t i ikz eE i i m t i ikz eE i dt dx (2.49)

Jika nilai z =z0exp(ikz−i2ωt), maka

z i t i ikz z i dt dz z&= =(−2ω) 0exp( − ω )=−2ω (2.50) z t i ikz z i i dt z d z _{2 0} 2 2 4 ) exp( ) 2 )( 2 (− ω − ω − ω =− ω = = && (2.51)

Jika persamaan (2.49), (2.50) dan (2.51) disubstitusikan ke persamaan (2.44), maka pendekatan nonlinear orde terendahnya,

) 2 ( ω z = ) )( 2 4 ( ) 2 2 exp( 1 2 1 2 2 2 − − ₊ + − − ωτ ω τ ω ω i i c m t i ikz E ie . (2.52)

Momen dipol linear p=q.d( q muatan, d jarak). Karena q= dan e d = x(ω), momen dipol dapat dituliskan menjadi ex(ω)

Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma adalah N0 per , maka besar polarisasi,

2

cm

P_x(ω)= χ(ω)E_x(ω)= N₀ex(ω). (2.53) Persamaan (2.48) dan (2.53) mempunyai penyelesaian susceptibilitas χ(ω),

) ( ) ( _{2 1} 2 0 − + − = ωτ ω ω χ i m e N . (2.54)

Jika frekuensi optik ωτ <<1, maka ₂ 2 0 ) ( ω ω χ m e N −

= , sehingga nilai susceptibilitas plasma, 2 2 0 / 4 ) ( 4 ) 1 (ε − _ω = πχ ω =− πN e mω . (2.55)

Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan, ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ω χ ω E ω N₀ez ω P_z = _x = (2.56)

Seperti langkah sebelumnya, persamaan (2.52) dan (2.56) mempunyai penyelesaian susceptibilitas, ) )( 2 4 ( ) exp( ) 2 ( _{2 1 2 1} 3 0 − − ₊ + − − = ωτ ω τ ω ω ω χ i i c m t i ikz E ie N . (2.57)

Jika frekuensi optik ωτ <<1, maka

c m t i ikz E ie N 3 2 3 0 4 ) exp( ) 2 ( ω ω ω χ = − − (2.58)

sehingga nilai susceptibilitas plasma,

c m t i ikz E ie N 3 2 3 0 2 ) exp( ) 2 ( 4 ) 1 ( ω ω π ω πχ ε − _ω = = − − . (2.59)

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik

Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi ±ω₁ dan±ω₂, maka persamaan geraknya adalah

)) exp( ) exp( ( / _{1 1 1 2 2 2} 2 2 0x vx e m E ik z i t E ik z i t x x&&+ &Γ +ω + = − ω + − ω .(2.60)

Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan (2.60) dapat diperoleh menjadi ) exp( / 1 1 1 2 0x e mE ik z i t x x&&+ &Γ +ω = − ω , (2.61) Jika )x=x₀exp(ikz−iωt , maka

x i t i z ik x i dt dx x&= =(−ω1) 0exp( 1 − ω1 )=−ω1 (2.62) x t i z ik x i i dt x d x 2 1 1 0 1 1 12 2 ) exp( ) )( (−ω −ω − ω =−ω = = && , (2.63)

Sehingga persamaan (2.61) dengan substitusi persamaan (2.62) dan (2.63) menghasilkan ) ( ) exp( ) ( ₂ 0 1 2 1 1 1 1 1 _{ω ω ω} ω ω + Γ − − − = i m t i z ik eE x (2.64)

Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik kedua 2ω , 1 2ω , bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh 2

nonlinear kuadrat 2,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah

vx ω₁+ω₂,

sedang bedanya ω1 −ω2. Untuk memperoleh nilai χ(2ω1) digunakan

) 2 exp( 1 1 0 ik z i t x x= − ω , sehingga x i t i z ik x i x&=−ω1 0exp(2 1 − ω1 )=−2ω1 (2.65) x t i z ik x i i x&&=(−2ω1)(−2ω1) 0exp(2 1 − ω1 )=−4ω12 (2.66)

Jika persamaan (2.65) dan (2.66) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas kiri mengandung faktor 2ω, sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω , sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan (2.61) dengan menggunakan persamaan (2.65) dan (2.66) dapat dituliskan menjadi

0 2 2 0 + = + Γ + x x vx x&& & ω ) 2 4 ( ) ( ) 2 2 exp( ) 2 ( ₂ 0 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω + Γ − − + Γ − − − − = i i m t i z ik E ve x (2.67)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.67) menjadi 2 0 2 ) ( ) (ω = D∗ −ω =−ω −iΓω+ω D ) 2 ( ) ( ) 2 2 exp( ) / ( ) 2 ( 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 _{ω ω} ω ω D D t i z ik vE m e x = − − . (2.68) Sedangkan untuk nilaix(ω₁ −ω₂), digunakan x=x₀exp(i(k₁ −k₂)z−i(ω₁ −ω₂)t) sehingga x i t i z k k i x i x_&=−(ω₁−ω₂) ₀exp( ( ₁ − ₂) − (ω₁−ω₂) )=− (ω₁ −ω₂) (2.69) x t i z k k i x i i x 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 ) ( ) ) ( ) ( exp( ) ( ). ( ω ω ω ω ω ω ω ω − − = − − − − − − − = && (2.70)

Jika persamaan (2.69) dan (2.70) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen yang mengandung faktor frekuensi (ω1 −ω2). Sebagai konsekuensinya, ruas kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan

) ) ( ) ( )( )( ( ) ) ( ) ( exp( ) ( ₂ 0 2 1 2 2 1 2 0 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 _{ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω} ω ω ω ω + − Γ − − − + Γ + − + Γ − − − − − − = − ∗ i i i m t i z k k i E E e v x (2.71)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.71) dapat dituliskan menjadi 2 0 2 ) ( ) (ω =D∗ −ω =−ω −iΓω+ω D ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) ( exp[ ) / ( ) ( 2 1 2 * 1 2 1 2 1 * 2 1 2 2 2 1 _{ω ω ω ω} ω ω ω ω − − − − − = − D D D t i z k k i E vE m e x . (2.72)

) 2 ( ) ( ) , , 2 ( ) 2 ( ω χ ω ω ω E2 ω N₀ex ω P_xNL = _{xxx x} = . (2.73) Dari persamaan (2.68) dengan mengubah nilai ω menjadi ω kemudian ₁ disubstitusikan ke persamaan (2.73) diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear,

) 2 ( ) ( ) 2 2 exp( ) / ( ) , , 2 ( ₂ 2 3 0 ω ω ω ω ω ω χ D D t i ikz v m e N xxx − − = (2.74)

dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk susceptibilitas )χ_xxx(ω₁ −ω₂,ω₁,−ω₂ . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati resonansi dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan frekuensi resonansi , D(ω1−ω2)=iω0Γ untuk ω1−ω2 =ω0, maka

susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya.

Ketika ω1 −ω2 sama atau mendekati frekuensi resonansi ω0, digunakan

komponen fourier (2.72) dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya. bentuk linear menghasilkan komponen

2

vx 2ω₁ −ω₂,ω₁−2ω₂, dalam

penambahan ke bentuk frekuensi pertama ω dan 1 −ω2. Sebagai contoh, untuk

mendapatkan nilai ( menunjukkan sistem nonlinear), diselesaikan dengan langkah sebagai berikut,

* 2) (ω NL x NL ) ( ) ( ) (ω₂ * = NL −ω₂ = NL ω₁−ω₂ −ω₁ NL x x x (2.75)

dari persamaan (2.64) diubah ke dalam bentuk

) ( ) exp( ) ( ) exp( ) ( 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 _ω ω ω ω ω ω ω ∗ = ∗ −_∗ + + Γ + − + − = − mD t i z ik eE i m t i z ik eE x (2.76)

0 ) ( ) ( 1 2 1 2 0 + − − = + Γ + x ω x vxω ω x ω x&& & , (2.77) jika x= x₀exp(−ik₂z+iω₂t), maka

x i x&= ω2 dan x x (2.78) 2 2 ω − = &&

sehingga substitusi persamaan (2.72), (2.76) dan (2.78) ke persamaan (2.77) menghasilkan 2 1 * 2 2 1 2 1 2 2 * 2 3 3 2 * 2 ) ( ) ( )) ( ( ) / ( ) ( ) ( E E D D D v m e x xNL NL ω ω ω ω ω ω − = − = atau ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( 2 1 * 2 1 2 2 2 3 4 0 1 1 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω χ − = − + = D D D v m e N xxxx . (2.79) 2.4 Operator Del ∇r

Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial. Dalam koordinat kartesian, operator ∇

r

r

dianggap sebagai sebuah vektor : ∇r = z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{ˆ ˆ} ˆ _(2.80)

dimana i ˆˆ,j dan menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu kˆ x, dan z . y

Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator , maka dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari

del ∇r

φ (grad φ), ditulis sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

grad φ ≡ ∇r φ = z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂φ _ˆ φ _ˆ φ ˆ _{. (2.81)}

Jika diberikan sebuah medan vektor Ar = A_xiˆ+A_yˆj+A_zkˆ, maka perkalian titik

dari ∇r dan Ar menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari Ar (div Ar), dituliskan sebagai

div Ar ≡ ∇r.Ar = z A y A x A_x y _z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ . (2.82)

Perkalian silang dari ∇r dan Ar menghasilkan medan vektor yang dinamakan curl dari Ar (curl Ar), dituliskan sebagai

curl Ar ≡ ∇rxAr = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ y A x A k x A z A j z A y A i_ˆ z y _ˆ x z ˆ y x . (2.83)

Operator lain yang sering didapati adalah ∇r2, ditulis sebagai

2 2 2 2 2 2 2 . z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ∇ = ∇r r r . (2.84)

Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ, maka diperoleh

2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r φ φ φ φ . (2.85) Untuk sebuah medan vektor Ar, operasi ∇r2Ar adalah

. ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x A z y x k A z y x j A z y x i A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r r (2.86)

Untuk perkalian silang ∇rx∇rxAr atau curl curl Ar nilainya akan sama dengan −∇r2Ar+ grad div Ar, dapat dituliskan sebagai

2.5 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. (Waluya, 2006)

2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu

Bentuk persamaan linear orde satu, (Ayres, 1986)

Q Py dt

dy _{+ =}

(2.88)

dimana P dan Q adalah fungsi t atau konstanta.

Karena Py e Q dt dy e yPe e dt dy ye dt d Pt = pt + pt = Pt + = Pt ) ( ) ( maka yePt =

∫

QePtdt

∫

− =e Qe dt y Pt Pt (2.89)

2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua,

Q y P dt dy P dt y d P ₂ + ₁ + ₂ = 2 0 (2.90)

2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan

Dari persamaan (2.90), jika Q=0 maka disebut dengan persamaan linear homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen dengan koefisien-koefisien konstan, (Ayres, 1986)

0 2 1 2 2 0 + +P y= dt dy P dt y d P (2.91)

dimana P₀ ≠0,P₁,P₂ adalah konstanta.

Untuk memudahkan penyelesaian, notasi

dt d

diganti dengan operator .

Sehingga persamaan (2.91) menjadi

D 0 0 2 1 2 0D y+PDy+P y= P atau . (2.92) ) (P₀D2 +P₁D+P₂ y=

Sehingga nilai akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai faktorisasinya diperoleh ) (P₀D2 +P₁D+P₂ 0 ) )( (D−m₁ D−m₂ y= (2.93) 2 1,m

m adalah akar-akar karakteristik. Jika m₁ ≠m₂ maka,

(2.94) t m t m e C e C y i 2 2 1 + =

2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan

Berdasar persamaan (2.90), dengan mengubah

dt d menjadi D, maka Q y P D P D P + + ) = ( ₀ 2 _{1 2}

Dengan memfaktorkan nilai ( 1 2), diperoleh

2 0D PD P P + + Q m D m D y ) ( 1 ) ( 1 2 1 − − = (2.95) u m D y ) ( 1 1 − = . (2.96) Dengan Q m D u ) ( 1 2 −

= , dapat diubah menjadi m u Q dt

du _{− =}

2 dan berdasar

persamaan (2.89), maka persamaan dapat diselesaikan menjadi

∫

− =e Qe dt u m2t m2t _{. (2.97)} Dari persamaan (2.96), u m D y ) ( 1 1 − = sehingga m y u dt dy_{− =} 1 , dengan

penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (2.89), diperoleh

∫

−

=e ue dt

y m1t m1t _{. (2.98)}

Dengan substitusi persamaan (2.97) ke pesamaan (2.98), diperoleh

∫

−

∫

−

=e e Qe dtdt

y m1t (m2 m1)t m2t _{. (2.99)}

Jika diselesaikan, persamaan (2.99) menjadi

] [ 2 1 2 1 2 1 m m Q e C e C y= mt + mt + . (2.100)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi pustaka.

3.2 Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi faraday.

2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau secara klasik.

3. Mempelajari persamaan diferensial orde dua.

4. Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.

5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9.

6. Menyelesaikan persamaan gerak dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear.

7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan menggunakan program Maple 9.

8. Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh. 9. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penurunan Persamaan Maxwell 4.1.1 Persamaan Gelombang

Dari keempat persamaan Maxwell baik dalam ruang hampa maupun dalam medium yang diperoleh pada bab II, akan digunakan untuk memperoleh persamaan gelombang elektromagnetik dalam hampa dan dalam medium.

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa

Keempat persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa,

(1) ∇r .Er = 0 (4.1) (2) ∇r .Br= 0 (4.2) (3) t E B x ∂ ∂ = ∇ r r r 0 0ε μ (4.3) (4) t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r (4.4)

Untuk mendapatkan persamaan gelombang elektromagnet dalam ruang hampa diambil curl dari curlEr, dimana sesuai dengan persamaan (2.87) adalah

curl curlEr = −∇r2Er + grad div Er )

( xE x r r r _∇

∇ = −∇r2Er+ ∇r(∇r.Er)

berdasarkan persamaan (4.1) nilai ∇r.Er _{adalah nol, sehingga persamaan menjadi}

Sesuai dengan persamaan (2.84), bahwa 2 _{2 2 2} z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r , penyelesaian persamaan menjadi E x xr r r ∇ ∇ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2₂ 2₂ 2₂ z E y E x Er r r (4.5)

Hasil perkalian ∇rx(∇rxEr) ini sendiri mengikuti ( ) ( ) t B x E x x ∂ ∂ − ∇ = ∇ ∇ r r r r r ( ) ( xB) t E x x ∇ ∂ ∂ − = ∇ ∇r r r t E E x x ₂ 2 0 0 ) ( ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r _{μ ε} (4.6)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke persamaan (4.6) diperoleh

2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r _{μ ε} r (4.7)

Nilai vektor medan listrik E =Exiˆ+Eyˆj+Ezkˆ. Jika dua komponen r

Er bernilai nol yaitu , sedangkan , maka persamaan (4.7) menjadi

0 = = _z x E E Ey ≠0 ₂ 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x Ey y y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ε μ (4.8)

dengan menganggap bahwa E_y adalah fungsi-fungsi dari x dan t saja, persamaan (4.8) menjadi 2 2 0 0 2 2 t E x E_{y y} ∂ ∂ = ∂ ∂ ε μ (4.9)

. Karena , maka untuk 0 0ε ( /ω) μ = k μ₀ε₀ =1 c/ v=c dihasilkan relasi ω =kc sehingga bentuk ) sin(kx t E E_y = _m −ω (4.10)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.9).

Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.

y

E

Gambar 4.1 Grafik hubungan E_y dengan t dari persamaan (4.10) dengan E_m =1, k =1, ω=30.

Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet Br, digunakan langkah yang sama. Dengan mengambil curl dari curlBr,

) ( xB x ∇ ∇ = −∇ B+ ∇(∇.B) ∇rx(∇rxBr) = 2 . Br r ∇ − Nilai ₂ 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∇r , sehingga penyelesaian persamaan menjadi

) ( xB x r r r _∇ ∇ ₂ . 2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z B y B x Br r r (4.11)

Nilai perkalian untuk ∇rx(∇rxBr) ini sendiri mengikuti ( ) ( 0 0 ) t E x B x x ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ r r r r r ε μ 0 0 ( xE) t r ∇ ∂ ∂ =μ ε ₂ 2 0 0 t B ∂ ∂ − = r ε μ (4.12) dengan mensubstitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.12), diperoleh

. 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t B z B y B x B ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r _{μ ε} r (4.13)

Nilai vektor medan listrik Br =B_xiˆ+B_yjˆ+B_zkˆ. Jika dua komponen Br bernilai nol yaitu , sedangkan , maka persamaan (4.13) menjadi

0 = = _y x B B B_z ≠0 ₂ 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t B z B y B x B_{z z z z} ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{μ ε} (4.14)

dengan menganggap bahwa Bz adalah fungsi-fungsi dari x dan saja, maka persamaan (4.14) menjadi

Jika dianggap bahwa B_z =B_msin(kx−ωt), maka dari persamaan (4.15) dihasilkan relasi . Karena , maka untuk

2 0 0ε ( /ω) μ = k μ0ε0 =1 c/ 2 v=c dihasilkan relasi ω =kc sehingga bentuk ) sin(kx t B B_z = _m −ω (4.16) dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.15).

Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.16), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.2.

z

B

Gambar 4.2 Grafik hubungan Bz dengan t _{dari persamaan (4.16),}

medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium: (1) ε₀ ∇r.Er =ρ (4.17) (2) ∇r .Br= 0 (4.18) (3) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r 0 0 ε μ (4.19) (4) t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r (4.20)

Nilai curl curl E, berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti + ∇ − = ∇ ∇rx(rxEr) r2E grad divEr 2 ( . ) E Er r r r r ∇ ∇ + ∇ − =

dengan mensubstitusikan persamaan (4.17) ke persamaan ini, diperoleh ) ( xE x r r r _∇ ∇ 2 ₀ /ε ρ ∇ + ∇ − = r Er r . (4.21)

Nilai perkalian curl curl E ini sendiri adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ = ∇ ∇ t B x E x x r r r r r ) ( ( xB) t r r ∇ ∂ ∂ − = 0 0 ⎟⎟. ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = t E J t r r ε μ

Jika Jr adalah σEr, dengan σ adalah konduktivitas bahan, maka . ) ( ₂ 2 0 0 0 t E t E E x x ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r r _{μ σ μ ε} (4.22)