BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam aljabar linier, untuk sistem yang besar berpotensi menghasilkan matriks-matriks yang buruk. Persyaratan penyimpanan untuk matriks-matriks besar dapat dire-duksi jika merupakan matriks sparse, yaitu jika memiliki banyak entri matriks yang nol. Selanjutnya, waktu dan memori yang diperlukan untuk menyelesaikan sistem besar dapat direduksi dengan preconditioning sistem sebelum menyele-saikannya (Chen, 2001).
Secara informal, untuk prasyarat sistem sebelum mengkomputasi solusi ada-lah dengan menghitung solusi untuk sistem peubah kemudian diubah menjadi solusi dari masalah asli. Keuntungan dari penyelesaian modifikasi sistem adalah dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat, penurunan waktu (running time), persyaratan memori berkurang, atau beberapa kombinasi dari semuanya. Precon-ditioner yang diinginkan dapat bergantung pada masalah dan metode solusinya. Berikut ini akan disajikan beberapa tinjauan tentang konsep dan literatur yang melandasi penelitian ini, yaitu bentuk umum sistem linier (dalam tulisan ini sis-tem linier sama dengan sissis-tem persamaan linier), teori graf dan matriks.
2.1 Sistem Sparse
Penelitian Chen (2001), matriks sparse yang dimisalkan dengan matriks yang berukuran nxm yang memiliki cukup banyak entri nol dan untuk membuat pe-nyimpanan hanya entri taknol, dan tidak semua entri nm. Algoritma sparse yang mengabaikan elemen nol bisa lebih cepat dari bagian lain yang padat yang beroperasi pada semua entri. Sebagai contoh, perhatikan diagonal matriks nxn. Telihat jelas penyimpanan hanya terjadi pada entri diagonal n taknol yang lebih mudah daripada menyimpan semua elemen matriks n2.
Jelas algoritma yang mengabaikan unsur-unsur nol diluar diagonal dapat jauh lebih efisien daripada yang tidak mengabaikannya. Sebagai contoh, jika menghitung matriks diagonal waktu sebuah vektor, algoritma matriks padat
stan-5
6
dar menghitung n perkalian dot dengan panjang n, sedangkan algoritma sparse hanya beroperasi pada elemen taknol membutuhkan n perkalian skalar.
Chen (2001) juga menjelaskan matrikssparsemuncul di banyak aplikasi. Se-bagai contoh, ketika mensimulasi dampak penerapan panas ke piring atau aliran udara di sekitar sayap pesawat udara, langkah pertama sering dilakukan adalah memodelkan piring atau sayap dengan meletakkanmesh di atasnya. Mesh ini da-pat dilihat sebagai sebuah graf tak berarah dengan v simpul dan e sisi. Jika graf diterjemahkan menjadi matriks, matriks tersebut adalah matriks vxv dengan 2e taknol. Dua simpul yang terhubung dengan sebuah sisi terjadi hanya jika simpul tersebut dekat satu sama lain pada objek fisik, jumlah sisi jauh lebih kecil dari v2/2. Jika memodelkan piring persegi 2 dimensi dengan menempatkan mesh nxn di atasnya, matriks akan memiliki v =n2 baris dan kolom, dan hanya 5n2
−4n, dan entri nol sebanyakn4.
2.2 Preconditioner
Preconditioning merupakan tindakan untuk melakukan suatu tindakan lebih lan-jut. Preconditioningberfungsi mengubah sistem sehingga sistem berubah menjadi ”lebih baik”. Sistempreconditioningsangat tergantung pada bagaimana algoritma yang digunakan untuk memecahkan sistem preconditioning. Cara kerja precondi-tioning untuk metode iteratif dan metode langsung berbeda.
Pada metode langsung, solusi dihasilkan setelah melakukan beberapa lang-kah yang tetap. Metode langsung menghitung faktorisasi LU dari A untuk me-nemukan vektor x pada sistem linier Ax=b. Jika baris dan kolom dari A tidak permutasi atau A = LU, vektor x dapat ditemukan dengan mencari y sehingga Ly =b dan Ux=y. Preconditioner untuk metode langsung dilakukan untuk me-nemukan permutasi yang baik, misalnya ordering sparsity meme-nemukan permutasi yang mengurangi jumlah tak nol dalam L dan faktor U (Chen, 2001).
Pada metode iteratif, pemilihan preconditioning yang baik sangat penting karena konvergen setiap iterasi tidak sama. Preconditioner pada metode iteratif juga mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi, pengurangan
7
satu iterasi dapat dihitung lebih efisien. Preconditioner tidak hanya dinilai dari seberapa baik dapat meningkatkan kinerja penyelesaian, tetapi juga seberapa be-sar biaya komputasi dan menerapkan preconditioner itu.
Karenapreconditionerharus dihitung terlebih dahulu sebelum menyelesaikan sistem modifikasi, maka preconditionerharus mudah untuk dihitung. Perhatikan bahwa jika banyak sistem yang serupa harus diselesaikan danpreconditioneryang sama digunakan untuk sistem tersebut, biaya komputasipreconditionerdapat ber-potensi diamortisasi. Setelah menyelesaikan sistem yang dipreconditioning, efek
preconditioner harus dibatalkan untuk memulihkan solusi masalah asli. Selanjut-nya jika preconditioner akan diterapkan di setiap iterasi pada algoritma, seperti preconditionerLU tidak lengkap, penerapanpreconditionersemestinya tidak sulit.
2.3 Beberapa Penelitian Permasalahan Kombinatorik dalam Menyele-saikan Sistem Linier
Berikut beberapa penelitian tentang permasalahan kombinatorik dalam menyele-saikan sistem linier.
1. Parallel algorithms for sparse linier systems (Heath et al., 1991) tentang algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse dengan membahas isu yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah utama dari penye-lesaian langsung.
2. Combinatorial aspects in sparse elimination methods(Bollhofer dan Schenk, 2004) memberikan gambaran aspek kombinatorial dari faktorisasi LU.
3. Combinatorial scientific computing: The enabling power of discrete algo-rithms in computational science (Hendrickson dan Pothen, 2007) fokus pada peran algoritma kombinatorial dalam komputasi ilmiah, menjelaskan berba-gai aplikasi: komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse, diferensiasi otomatis untuk optimasi, fisika statistik, kimia komputasi, bio-informatika, dan pengolahan informasi.
4. Combinatorial problems in solving linier systems (Duff dan Ucar, 2009) meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse dan kombinatorika.
8
bagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi matrikssparse de-ngan graf sehingga sebagian algoritma berhubude-ngan dede-ngan matriks sparse memiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma pada graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi lang-sung persamaan linier sparse dan solusi dengan metode iteratif, terutama berfokus pada preconditioning.
