KETERKAITAN SEBARAN KHI-KUADRAT DENGAN PENDEKATAN SEBARAN BINOMIAL TERHADAP NORMAL BAKU DALAM PENGUJIAN PROPORSI

(1)

Informatika Pertanian Volume 18 No. 1, 2009 ₃₅

KETERKAITAN SEBARAN KHI-KUADRAT DENGAN

PENDEKATAN SEBARAN BINOMIAL TERHADAP

NORMAL BAKU DALAM PENGUJIAN PROPORSI

Interconnection Distribution Khi-Square With Binomial Distribution

Approach to The Standard Normal Distribution for Proportions Testing

Iwa Sungkawa

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara Jakarta ABSTRACT

This article discuss about the study of the use of the chi-square and standard normal distribution in the testing of the proportion and discuss about analys relations between the chi-square and standard normal distribution. In the proportion research, the connect distribution is the binomial or multinomial distribution, generally is us by the chi-square distribution for hipothesis testing.

The chi-square distribution could be generated from determine the quadratic of the standard value from each random variable that poisson distribution, that is the form of the approach from the binomial distribution to n (the measurement of the sample) quite big and p relatively small

The special form in the testing of the similarity of one or two proportion, by using the standard normal distribution that is results of reduction of the chi-square distribution in the proportion test, so as could point out in x2 = Z2 (where x2= chi-square).

In this article is us the sample from the data hipotetik about the researcher that grouped according to the age group.

The key word : the chi-square distribution, the binomial and multinomial distribution, the poisson distribution, the proportion, the standard normal distribution.

(2)

Keterkaitan Sebaran Khi-Kuadrat 36

PENDAHULUAN

Dalam suatu penelitian yang mengamati tentang proporsi atau prosentase dari suatu kategori dapat dilakukan dengan mengklasifikasikan individu-individu dalam populasi tersebut pada kelompok yang tergolong pada kategori tertentu yang diamati, sebut saja kategori A dan sisanya tergolong pada kelompok yang bukan kategori A. Untuk ini diambil sampel acak dari populasi tersebut dan tentunya dalam sampel tersebut terdapat individu-individu yang tergolong kategori A dan bukan A. Bentuk sebaran yang digunakan untuk kasus seperti ini adalah sebaran binomial dengan parameter P yang merupakan peluang atau proporsi untuk kategori A.

Sebaran binomial merupakan salah satu sebaran peubah acak diskrit yang sering di gunakan dalam analilsis data termasuk dalam pengujian kesamaan proporsi.

Untuk ukuran sampel yang cukup besar, sebaran binomial sulit di gunakan secara langsung dan dapat di gunakan pendekatannya

terhadap sebaran poisson atau sebaran normal baku. Pendekatan

sebaran binomial terhadap sebaran normal baku dilakukan bila n cukup besar dan p tetap untuk setiap percobaan dan relatif tidak kecil. Sedangkan untuk p yang relatif kecil maka di gunakan pendekatan binomial terhadap sebaran poisson.

Dalam pengujian kesamaan proporsi, secara umum di gunakan sebaran khi kuadrat dan khusus untuk pengujian kesamaan satu dan dua proporsi di gunakan sebaran normal baku dengan rata-rata np dan ragamnya npq dimana q=1-p.

Dalam kesempatan ini akan diuraikan prosedur pengujian beberapa proporsi dengan menggunakan sebaran khi-kuadrat dan untuk kasus khusus yaitu uji satu proporsi dapat dilakukan dengan menggunakan sebaran normal baku. Alasan dari digunakannya sebaran normal baku sebagai pengganti sebaran khi-kuadrat dalam uji satu proporsi sebagai kasus khusus merupakan topik utama dalam kajian ini. Juga penggunaan sebaran khi-kuadrat dalam pengujian beberapa proporsi sebagai bentuk pendekatan sebaran binomial terhadap poisson yang selanjutnya dapat dimodifikasi ke dalam sebaran khi-kuadrat melalui tranpormasi peubah acak atau dengan menentukan kuadrat dari angka baku peubah acak sebaran poisson.

Tujuan dari kajian ini adalah untuk memberikan gambaran tentang

keterkaitan antara sebaran binomial dengan normal baku dan poisson

serta sebaran khi kuadrat yang merupakan alasan dalam memilih metode analisis yang di gunakan dalam pengujian kesamaan proporsi. Diharapkan kajian ini dapat memberikan masukan bagi pengguna statistika dalam melakukan pengujian kesamaan proporsi.

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dari kajian ini digunakan sampel dari data hipotetik tentang tenaga peneliti yang

(3)

Informatika Pertanian Volume 18 No. 1, 2009 ₃₇

dikelompokan menurut kelompok umur dari yang muda sampai kelompok yang tua.

Sebaran Binomial dan Pendekatannya

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya sukses pada n kali percobaan bernoulli mempunyai sebuah sebaran binomial dengan fungsi peluang p(x), sebagai berikut :

x n x _p p x n x p ₋ −       = (1 ) ) (

x

=

0 ,

1 ,

2 ,...,

n

=

0

untuk selainnya

Parameter dari sebaran binomial adalah

n

dan

p

, dimana

n

adalah suatu bilangan bulat positif sebagai ukuran sampel dan 0 ≤ p ≤ 1.

Rata-rata X dapat ditentukan secara langsung yaitu E(X) = np

dengan ragam (variansi) V(X ) = npq

Untuk ukuran sampel n yang cukup besar dan peluang p relatif tetap maka kasus dalam sebaran binomial dapat didekati dengan sebaran normal baku Z dengan rata np dan ragamnya npq dimana q=1-p. Dalam hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut : jika X ~ b(n,p) dengan E(X) = np dan ragamnya = E(X2) - [E(X)]2 = np(1-p), sehingga Z = (x - np)/(npq)0.50 akan menyebar normal dengan rata-rata 0 dan ragamnya satu atau N(0,1). Hal tersebut sesuai dengan ketentuan sebagai berikut:

Menurut Hogg, R.V. dan A.T. Craig (1995) : jika X merupakan

peubah acak kontinu yang menyebar normal dengan rata-rata µ dan

ragam (variansi) σ2

maka peubah acak V = (X-µ)2/σ2

akan menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas satu.

Selanjutnya bila X1X2…Xn sampel acak berukuran n yang diambil

dari populasi yang menyebar normal dengan rata-rata µ dan ragam

(variansi) σ2_{maka :}

1) rata-rata untuk x adalah µ dengan ragamnya adalah

n

σ2

2) jika s2 ragam (variance) dari sampel di atas, maka peubah acak

(n-1)s2/σ2 berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas (n-1). dimana

(

)

∑

=

(

)

n 1 2 i 2

_x

_-

_x

1 -n

1 =

i

s

Di atas dinyatakan untuk p tidak kecil, jika ternyata p relatif kecil dan n besar, maka kasus sebaran binomial dapat didekati oleh sebaran poisson.

(4)

Penerapan Sebaran Khi-Kuadrat dan Normal Baku Dalam Uji Proporsi

Pada bagian terdahulu telah diuraikan hubungan sebaran normal baku (rata-rata 0 dan ragamnya satu) dan sebaran khi-kuadrat. Dalam bagian ini akan diuraikan prosedur pengujian beberapa proporsi dengan menggunakan sebaran khi-kuadrat dan untuk kasus khusus yaitu uji satu proporsi dapat dilakukan dengan menggunakan sebaran normal baku. Alasan dari digunakannya sebaran normal baku sebagai pengganti sebaran khi-kuadrat dalam uji kesamaan proporsi kasus khusus dapat dikemukakan dalam uraian sebagai berikut ini.

Pengujian Hipotesis Untuk Satu Proporsi

Bentuk hipotesis yang akan diuji dapat ditulis sebagai berikut :

o o

o

P

lawan

H

P

H

:

=

₁

:

≠

Po nilainya diketahui dan merupakan peluang suatu individu

tergolong dalam kategori tertentu dan sebut saja kategori sukses. Untuk menguji hipotesis di atas ditarik sampel berukuran n dan misalkan dari hasil pengamatan ada x individu yang tergolong kategori sukses dan (n-x) tergolong gagal.

Sedangkan untuk frekuensi yang diharapkan Ei adalah n.Po untuk kategori sukses dan n.(1-Po) untuk kategori gagal (tidak sukses). Ini merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan sebaran binomial,

dan dengan sendirinya nilai Oi dan Ei dapat disajikan pada tabel

sebagai berikut :

Frekuensi Sukses Gagal Total

Pengamatan (Oi ) x (n-x) n Harapan (Ei) n . Po n . (1-Po) n

(5)

Informatika Pertanian Volume 18 No. 1, 2009 ₃₉

Dimana n = banyaknya pengamatan;

x = banyaknya yang tergolong kategori tertentu (O1) (n-x) = banyaknya yang tergolong bukan pada kategori tertentu (O2)

E1 = n . Po dan E2 = n . (1-Po)

Dengan menggunakan sebaran khi-kuadrat dalam uji kecocokan suatu sebaran, dapat ditunjukkan sebagai berikut :

( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )) 1 ( ) (( ) ( ] ) ( [ hitung o o o o o o o o o o k i i i i hitung Z n P P P p P nP nP x P n P n x n nP nP x E E O = − − = − − = − − − − + − = − =

∑

₌ χ

Berdasarkan uraian di atas, ternyata nilai khi-kuadrat sama dengan

Z2_{, dimana Z merupakan peubah acak yang menyebar normal baku,}

sesuai dengan hasil pendekatan sebaran binomial untuk n yang cukup besar terhadap sebaran normal baku. Jadi untuk melakukan pengujian hipotesis dimaksud cukup digunakan statistik.

n

p

P

p

Z

o hitung

)

1 (

−

=

dengan kriteria pengujian hipotesis :

tolak Ho pada taraf α jika

|

Z

hitung

|

≥

Z

α /2 terima Ho pada taraf α jika |

Z

hitung

|

<

Z

α /2

Pengujian Kesamaan Beberapa Proporsi

Jika kasus binomial di atas diperluas menjadi beberapa kategori, yaitu sukses 1, sukses 2, …, sukses (k-1), dan untuk yang ke tergolong kategori gagal (tidak sukses). Untuk ini akan dilakukan pengujian kesamaan beberapa proporsi dengan hipotesis sebagai berikut : Ho : P1 = P2 = … = Pk-1 = Po untuk nilai Po diketahui

(6)

H1 : paling sedikit sepasang tidak sama (ada dua yang berbeda)

Frekuensi Sukses 1 Sukses 2 Sukses k-1 Gagal Total Pengamata n (Oi ) x1 x2 xk-1 xk n Harapan (Ei) n . Po n . Po n . Po n . Po n

Dimana n = banyaknya pengamatan;

xi = banyaknya yang tergolong kategori sukses ke i i = 1, 2, 3, …, k-1

xk = banyaknya yang tergolong bukan pada kategori

sukses (tergolong gagal)

Ei = banyaknya yang diharapkan

Dalam tabel di atas Ei sama untuk semua kolom, karena

disesuaikan dengan kondisi Ho yang menyatakan peluang (proporsi)

dianggap sama untuk setiap kategori. Seperti di atas kasus ini merupakan kasus binomial, tetapi disini diperluas menjadi k kategori, sehingga kasusnya akan menjadi multinomial. Jika kita simak peluang/proporsi setiap kategori yaitu Pi, dan menurut ketentuan ΣPi = 1 (satu), sehingga untuk Ho benar peluang untuk setiap kategori sama dengan Po dan nilainya relatif kecil (Po = 1/k, untuk k yang cukup besar nilai Po akan makin kecil). Jadi menurut ketentuan untuk ukuran sampel n yang cukup besar dan peluangnya kecil maka sebaran binomial akan mendekati sebaran poisson dengan rata-rata sama dengan ragamnya yaitu n.Po.

Dengan menggunakan hasil di atas, dapat ditentukan nilai khi-kuadrat hitung sebagai berikut :

( ) 2 1 1 2 1 2 2

]

.

)

.

(

[

]

.

)

.

(

[

]

)

(

[

∑

= = =

−

=

−

=

−

=

k i o o i k i o o i k i i i i hitung

P

n

P

n

x

P

n

P

n

x

E

O

χ

(7)

Informatika Pertanian Volume 18 No. 1, 2009 ₄₁

Jika kita perhatikan suku ke-i, yaitu _]

. ) . ( [ o o i P n P n x − 2 _{. X merupakan}

peubah acak yang menyebar poisson dengan rata-rata = ragamnya =

n.Po dan bentuk Z=

]

.

)

.

(

[

o o i

P

n

P

n

x

−

adalah peubah acak yang

menyebar normal baku sehingga Z2₌

]

.

)

.

(

[

o o i

P

n

P

n

x

−

₂ akan menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas sama dengan satu, atau

Z2 ~

χ

_{( )}2₁ . Jadi bentuk di atas yaitu

(

)

₁ (2 1) 2 2

_~

− =

∑

=

k k i i hitung

Z

χ

. Bentuk ini yang

biasa digunakan dalam pengujian beberapa proporsi, dengan kriteria pengujian untuk taraf nyata yang dipilih dan derajat bebas (k-1) sebagai berikut :

Tolak Ho pada taraf α jika khi-kuadrat dari perhitungan lebih besar dari khi-kuadrat tabel, dan untuk sebaliknya Ho diterima.

Contoh Penerapan

Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas tentang penerapan uji kesamaan proporsi, berikut digunakan sampel dari data hipotetik tentang tenaga peneliti yang dikelompokan menurut kelompok umur (25-35; 36-45; 46-55 dan diatas 55 tahun). Sebaran tenaga peneliti menurut kelompok umur dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Kelompok Umur

(Tahun) Banyaknya Peneliti (Oi)

Proporsi (%) Harapan (EFrekuensi i) 25 - 35 54 0,04 385,5 36 - 45 444 0,29 385,5 46 - 55 737 0,47 385,5 Diatas 55 307 0,20 385,5 T o t a l 1.542 1,00 1.542,0

(8)

Dari tabel di atas nampak bahwa, sebaran peneliti menunjukan bahwa jumlah peneliti yang berumur 25-35 relatif sedikit sekali, hanya 54 orang atau 4% saja. Ini berbeda sangat signifikan jika dibandingkan dengan peneliti yang umurnya lebih tua yang frekuensinya mencapai 29%, 47%, dan 20%. Untuk lebih memberikan gambaran penerapannya, berikut diuraikan.melalui uji hipotesis sebagai berikut. Hipotesis yang akan diuji dapat dirumuskan sebagai berikut :

Ho : P25-35 = P36-45 = P46-55 = P>55 = Po dengan Po = 0.25 H1 : paling sedikit ada dua kelompok umur yang proporsinya

tidak sama

Dengan menggunakan sebaran khi-kuadrat, dari data yang terdapat pada tabel di atas dengan frekuensi harapan semuanya sama dengan 385,5 (karena jika Ho benar maka proporsi untuk semua kelompok umur sama yaitu 0,25 sehingga Ei = 0,25*1.542 = 385,5; sedangkan O1= 54, O2= 444, O3= 737 dan O4= 307) diperoleh nilai khi-kuadrat hitung sebagai berikut :

43 ,

630 )

(

4 1 2 2

₌

∑

−

₌

= i i i i hitung

E

O

χ

Dari tabel khi-kuadrat dengan taraf nyata 0,05 dan derajat bebas db=(k-1)= 3 diperoleh nilai khi-kuadrat sebesar 7,82, ternyata nilai tabel khi-kuadrat dari perhitungan jauh lebih besar dibandingkan nilai dari tabel sehingga Ho ditolak. Artinya : berdasarkan hasil pengujian hipotesis dapat disimpulkan bahwa proporsi peneliti untuk setiap kelompok umur terdapat perbedaan yang sangat berarti atau penyebaran tenaga peneliti menurut kelompok umur sangat tidak merata.

KESIMPULAN DAN SARAN

Beberapa kesimpulan dan saran dari kajian ini adalah sebagai berikut : 1. Dalam pengujian beberapa proprsi kasus binomial diperluas

menjadi multinomial dan bentuk sebaran yang digunakan adalah khi-kuadrat, sedangkan untuk satu atau dua proporsi tetap kasus binomial dengan sebaran normal baku sebagai statistik yang digunakan untuk pengujiannya.

2. Untuk ukuran sampel besar, pengkajian proporsi dapat digunakan melalui pendekatan kasus binomial terhadap sebaran normal baku

atau sebaran poisson. Dengan penjabaran sederhana dapat

ditunjukkan hubungan antara sebaran normal baku dan sebaran khi-kuadrat khusus dalam pengujian kesamaan proporsi

(9)

Informatika Pertanian Volume 18 No. 1, 2009 ₄₃

3. Pendekatan binomial terhadap poisson dilakukan jika ukuran

sampel n cukup besar dan proporsi p atau peluangnya relatif kecil atau (1-p) cukup besar.

4. Berdasarkan hasil kajian dapat disimpulkan bahwa proporsi peneliti untuk setiap kelompok umur terdapat perbedaan yang sangat nyata atau penyebaran tenaga peneliti menurut kelompok umur sangat tidak merata.

DAFTAR PUSTAKA

Hogg, R.V. and A.T. Craig. (1995). Introduction to Mathematical Statistics. Prentice Hall. Singapore

Sudjana, 2002, Metode Statistika; Tarsito; Bandung

Steel, Robert G.D. Jame H Torrie. 1987, Principles and Procedures Of Statistics; A Biometrical Approach, Mc Graw-Hill Book Company.