Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG
BANACH
Ariyanto*
ABSTRACT
The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a
compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is
relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally
bounded.
These
paper
study
about
relationship
of
concepts.
Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.
ABSTRAK
Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari
pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah
kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan
ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach. Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real dimaksudkan suatu koleksi himpunan terbuka
G yang merupakan himpunan bagian sehingga
E
G
, dan suatu himpunanE
di dalam sistem bilangan real dikatakan kompak apabila setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga. Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki sistem bilangan real ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real setelah di bawah ke ruang Banach berhasil memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk teorema atau lemma.MATERI DAN METODE KAJIAN
Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian , mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.
Teori Dasar
Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung merujuk ke daftar pustaka.
Ruang Metrik
Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai berikut.
Definisi 1: Diberikan sebarang himpunan tak kosong
X
.
i
Fungsid
:
R
yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1 , 0 ,
, 0 ,
d x y untuk setiap x y
d x y jika dan hanya jika x y
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
2
d x y
,
d y x untuk setiap x y
,
,
dan
3
d x y
,
d x z
,
d z y untuk setiap x y z
,
, ,
, Disebut metrik atau jarak padaX
.
ii
HimpunanX
dilengkapi dengan suatu metrikd
, dituliskan dengan
,
d
, disebut ruang metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulisX
saja. Anggota ruang metrik
,
d
disebut titik dan untuk setiapx y
,
bilangan nonnegatifd x y
,
disebut jarak titikx
dengan titik y.Definisi 2 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik, dan S X .1. Apabila
x
sebarang titik di dalam ruang metrikX
dan
0, maka Himpunan
)
(
x
N
y
X
:
d
x
,
y
dinamakan persekitaran dengan titik pusatx
dan jari-jari
. 2. Titikx
X
disebut titik limit himpunan S, apabila setiap persekitaran dengan titik pusatx
memuat paling sedikit satu titik yS dengan y x, atau untuk setiap
0 berlaku
)
(
x
N
S
x
. Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan dinotasikan dengan S. HimpunanS
SS disebut closure(S). Titik anggota S yang bukan titik limit disebut titik terasing.3. Titik
x
X disebut titik-dalam himpunan S, apabila terdapat persekitaranN
(
x
)
sehingga berlakuN
(
x
)
S.4. Himpunan S X disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titik-dalam himpunan S.
5. Himpunan S X dikatakan himpunan tertutup apabila Sc terbuka. Closure(S) didefinisikan juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S.
6. Himpunan S X dikatakan terbatas apabila ada titik xX dan bilangan real M 0 sehingga untuk setiap yS berlaku
d
x
,
y
M.7. Diameter himpunan S X , dinotasikan sebagai
d
S
dan didefinisikan sebagai
S
d
sup
d
x
,
y
:
untuk
setiap
x
,
y
S
. S juga dikatakan terbatas apabila diameternya hingga.Teorema 3 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik, dan S X .Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : Syarat perlu : S tertutup, jadi Sc terbuka. Andaikan bahwa S S, yaitu ada xS dengan xS ataux
S
c. KarenaS
c terbuka, makax
merupakan titik-dalam himpunanS
c. Jadi, ada bilangan
0 sehingga berlakuN
(
x
)
Sc atauN
(
x
)
S
. Akibatnya untuk0
tersebut berlakuN
(
x
)
S
x
. Jadix
bukan titik limit himpunan S, kontradiksi dengan pengambilanx
S
.Syarat cukup : Diketahui
S
S
atauS
c
S
c. Diambil sebarangx
S
c, makax
S
catau
x
bukan merupakan titik limit himpunan S. Jadi ada bilangan
0 dengan sifat
)
(
x
N
S
x
.Kemungkinan terjadi,
N
(
x
)
S
atauN
(
x
)
S
x
.Karena xSc (atau xS) maka
N
(
x
)
S
. Jadi, apabila diambil xSc, maka ada bilangan
0 sehinggaN
(
x
)
S
atauN
(
x
)
Sc. Dengan kata lainx
merupakan titik-dalam himpunanS
c, sehingga terbuktiS
c himpunan terbuka atau himpunan S tertutup. Definisi 4 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik. Barisan
x
n di dalam suatu ruang metrikX
dikatakan konvergen jika ada
x
X
sehingga untuk setiap bilangan
0
terdapat bilangan asli0
n
, sehingga untuk setiap bilangan aslin
n
0 berlakud x x
n,
. Dalam hal ini dikatakan barisan {xn} konvergen ke xatau barisan
x
n mempunyai limitx
dan biasa dinotasikan dengan
lim
n,
0
n
d x x
, atau limnxn x. Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen.Definisi 5 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik. Suatu barisan
x
n di dalamX
, dan dibentuk barisan bilangan asli
nk :kN
sehinggan
1
n
2
n
3
...
, maka barisan
xnk dinamakanbarisan bagian dari
x
n .Definisi 6 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik. Barisan
x
n di dalamX
disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap bilangan
0 terdapat bilangan aslin
1 sehingga untuk setiap m,n
n
1berlaku d
xm,xn
.Teorema 7 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik, dan S X .Apabila
x
titik limit himpunan S, maka ada suatu barisan
x
n di dalam S sehingga
n
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Teorema 8 : Diketahui
X
,
d
ruang metrik.Apabila setiap barisan
x
n di dalamX
konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan Cauchy.Ruang Bernorma
Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya. Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas
C
atau R.Fungsi
.
:
X
R
disebut norma apabila :
N
1x
0
untuk setiapx
X
, danx
0
x
.
N
2
.
x
.
x
untuk setiapx
X
dan skalar
.
N
3x
y
x
y
untuk setiap x,yX.Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan
X
,
.
atau X saja.Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan
d
(
x
,
y
)
x
y
untuk setiap x,yX .
Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.
Teorema 11 : Ruang bernorma
X
dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnyakonvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.
Contoh :
C
a
,
b
f
:
a
,
b
R
,
f
kontinu
koleksi semua fungsi kontinu dari
a
,
b
ke. Terhadap norma
f
0
sup
f
x
:
x
a
,
b
merupakan ruang Banach, akan tetapi terhadap normaf
1
b
a
f
x
dx
, bukan merupakan ruang Banach.Definisi 12 : Apabila ruang bernorma
X
memuat suatu barisan
en yang memenuhi untuk setiap xX ada dengan tunggal barisan skalar
n sehingga berlaku
e
e
e
n
x
1 1
2 2
.
.
.
n
untukn
, maka
en disebut basis untukX
. Dengan kata lain, untuk setiap xX dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari1
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Lemma 13 : Apabila
x1,x2,...,xn
himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang bernormaX
yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan c0 sehingga untuk setiap skalar
1,
2, ...,
n berlaku,
1x
1
2x
2
...
nx
n c
1
2
...
n
.Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga Y dari ruang bernorma
X
merupakan himpunan tertutup di dalamX
.Lemma 15 :(Lemma Riesz’s) Diberikan
X
ruang bernorma berdimensi hingga danY
,Z
ruang bagian
X
. Apabila Y tertutup dan Y Z, maka untuk setiap bilangan
0
,
1
ada Zz sehingga
z
1
danz
y
, untuk setiap yY. Bukti : Diambil sebarang vZ dengan vY, dan dibentuk
a
inf
v
y
:
y
Y
. Apabila diambil
0
,
1
, maka ada y0Y sehingga berlaku
a
v
y
0
a
. Diambil
z
c
vy0
di dalamZ
, denganc
0
1
y
v
maka diperoleh
z
c
v
y
0
0 0 y v y v 1 .Selanjutnya, akan ditunjukkan
z
y
sebagai berikut. Untuk setiapy
Y
diperoleh
y
z
c
v
y
0
y
c
y
y
v
c
0
c
c
y
y
v
0
c
v
y
1 , dengany
1
c yy0 . Oleh karena itu, menurut definisi
a
di atas diperolehv
y
1 a.Berdasarkan hasil di atas pula, dengan
c
0
1
y
v
maka diperoleh
y
z
c
v
y
1 c.a
0y
v
a
a
a
.Karena
y
Y
diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.PENGKAJIAN Pembahasan
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan di dalam ruang Banach
X
dikatakan liput (cover) himpunan S X apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu anggota koleksi semua himpunan .Dengan kata lain, merupakan liput himpunan S X apabila S
G
G
. Apabila setiapanggota merupakan himpunan terbuka di dalam
X
, maka disebut liput terbuka (open cover) untuk S.Definisi 17 : Diketahui
X
ruang Banach.Himpunan S X dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka himpunan S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S.
Jelasnya, S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka merupakan liput terbuka untuk S, maka ada himpunan berhingga
G1,G2,...,Gn
sehingga berlaku S
n i i G 1 .
Contoh : 1. Di dalam ruang Banach
X
, himpunan berhingga merupakan himpunan kompak. Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S
x1,x2,...,xn
dan
G merupakan liput terbuka untuk S, maka ada anggota S merupakan anggotaG
untuk paling sedikit satu
. Jadi untuk setiapx
i dipilih satuG
saja yang memuatx
i, sebut sajai G . Jadi 1 G , 2 G , ..., n
G merupakan liput bagian berhingga untuk S. Terbukti untuk sebarang liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S. Jadi disimpulkan S kompak.
2. Himpunan S n n: 1
di dalam sistem bilangan real tidak kompak. Definisi 18 : Diketahui
X
ruang Banach.Himpunan S X dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika
S
(closure S) merupakan himpunan kompak.Definisi 19 : Diketahui
X
ruang Banach.Himpunan S X dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan
x
n di dalam S mempunyai barisan bagian
xnk yang konvergen ke xS.Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Himpunan S X dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan hanya jikaS
(closure S) merupakan himpunan kompak.Definisi 21 : Diketahui
X
ruang Banach.Himpunan S X disebut
net
apabila S himpunan berhingga dan
S xx
N
)
(
X , danX
disebut terbatas total apabila
X
memuat suatu
net
, untuk setiap
0. Definisi 22 : DiketahuiX
ruang Banach, dan liput terbuka untukX
.Bilangan
0 disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka apabila setiap himpunan XS dengan d(S)
, ada G sehingga SG. Teorema 23 : : DiketahuiX
ruang Banach.Apabila setiap himpunan tak berhingga S X mempunyai titik limit di dalam
X
, makaX
kompak sekuensial.
Bukti : Diambil sebarang barisan
x
n di dalamX
. Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai berikut : S
xn :n
.Apabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota xS untuk tak berhingga banyaknya indeks
n
, sebabx
n merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga . Dengan demikian terbentuk suatu barisan
nk :k
sehinggan
1
n
2
...
, dan1
n
x
2
n
x
...
x
. Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen kex
S X . Apabila S tak berhingga, dan S mempunyai titik limitx
0 di dalamX
maka ada barisan di dalam S yang konvergen kex
0. Dipilihn
1 sehingga berlaku 01
x
x
n
1
. Kemudian dipilihn
2 dengan2 1
n
n
sehingga 0 2 x xn 2
1
. Setelah dipilihn
1
n
2
...
n
k1, maka dipilihn
k dengan1
k kn
n
sehingga x x0 k n k 1 . Jadi terbentuk barisan
k
n
x
yang konvergen kex
0.Dengan kata lain terbukti
X
kompak sekuensial. Lemma 24 : DiketahuiX
ruang Banach.Apabila himpunan S X tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap
0 ada himpunan tak berhingga M S sehinggad
M
.Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : Diketahui S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang
0. Misalkan himpunan
H
x1,x2,...,xn
merupakan suatu net 3
di dalam
X
sehingga berlaku X
n i ix
N
1 3)
(
, yang berakibat S
n i ix
N
S
1 3))
(
(
. Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunan-himpunan ( )3
i x N
S yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja M dengan
M
d
.Teorema 25 : Diketahui
X
ruang Banach.X
terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan
x
n di dalamX
mempunyai barisan bagian Cauchy.Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui
X
ruang Banach. Pandang himpunan
A
xn;n
. Apabila A berhingga, maka barisan
x
n mempunyai barisan bagian berhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhinggaB
1
A
dengan
d
B
1
1
. Dipilihn
1 sehingga xn1B1. Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatuhimpunan tak berhingga
B
2
B
1 dengan
2 1 2 B d . Dipilihn
2
n
1 sehingga 2 2 B xn . Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga1
k kB
B
...
B
2
B
1 dengan
i B d i 1 (
i
1
,
2
,...,
n
) sehingga untuk setiap bilangan aslin
k
n
k1
...
n
2
n
1 berlaku xn Bii (i 1,2,...,n). Berdasarkan proses ini diperoleh
suatu barisan bagian
k
n
x
dari
x
n . Apabila diberikan sebarang
0, maka dipilih k0 sehingga
0
1
k . Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh xnmBk0untuk
m
k
0. Jadi apabilaj
,
m
k
0 maka berlakum j n n
x
x
0 1 k
. Oleh karena itu terbukti bahwa setiap barisan di dalamX
mempunyai barisan bagian Cauchy.Syarat cukup : Andaikan himpunan
X
tidak terbatas total, maka ada
0
0
sehingga tidak terdapat
0
net
di dalamX
. Diberikan sebarangx
1
X
dan dipilihx
2
X
sehinggaMedia Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
1 2
x
x
0. Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan
x
1 bukan suatu
0
net
di dalamX
. Selajutnya dipilih x3X denganx
3
x
1
0 danx
3
x
2
0, dan ini mungkinterjadi sebab
x
1,
x
2
bukan suatu
0
net
di dalamX
. Apabila proses dilakukan secara terusmenerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan
x1,x2,...,xn
yang bukan suatu
0
net
di dalamX
dengan sifat xi xj
0, untuk setiapi
j
( j1,2,..,k). Jadiada
x
n1
X
dengan xk1xj
0, untuk j1,2,..,k. Oleh karena itu barisan
x
n tidak mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.Teorema 26 : Ruang Banach
X
kompak sekuensial jika dan hanya jikaX
terbatas total. Bukti : Syarat perlu : KarenaX
kompak sekuensial, maka setiap barisan
x
n di dalamX
mempunyai barisan bagian
k
n
x
yang konvergen, yang berakibat barisan
k
n
x
merupakan barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalamX
mempunyai barisan bagian Cauchy, dan berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwaX
terbatas total.Syarat cukup : Diketahui
X
terbatas total dan diambil sebarang barisan
x
n di dalamX
. Menurut Teorema 25, maka barisan
x
n mempunyai barisan bagian Cauchy
xnk dan karenaX
ruang Banach, maka barisan
k
n
x konvergen atau terbukti
X
kompak sekuensial.Lemma 27 : Diketahui
X
ruang Banach. ApabilaX
kompak sekuensial, maka setiap liput terbuka untukX
mempunyai bilangan Lebesque.Bukti : Diketahui
X
kompak sekuensial dan liput terbuka untukX
. Andaikan tidak ada bilangan Lebesque untuk liput terbuka , maka untuk setiap n ada himpunan tak kosongX
A
n
dengan d
An n 1sehingga An tidak termuat dalam . Selanjutnya, dipilih n
n
A
x
, dan karenaX
kompak sekuensial maka barisan
x
n di dalamX
mempunyai barisan bagian
k
n
x
yang konvergen kex
0. DipilihG
0
sehingga x0 G0. KarenaG
0 himpunan terbuka, maka ada bilangan
0 sehinggaN
(
x
0)
G
0. Karena
k n x konvergen ke
x
0, maka k nx
termuat di dalamN
(
x
0)
untuk tak berhingga banyak nk . Dipilih k n yang maksimal sehingga k n
x
N
(
x
0)
dengan k n 1 2
. Apabila diambil
k nA
y
maka diperolehMedia Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
0x
y
k n 1 , dan mengingat
k nA
d
k n 1 maka berakibaty
x
0 2
. Oleh karena itu
y
N
(
x
0)
, dengan demikian diperoleh
k
n
A
N
(
x
0)
G
0. Kotradiksi dengan fakta bahwa untuk setiap n, An tidak termuat di dalam anggota . Dengan kata lain mempunyai bilangan Lebesque.Teorema 28 : Diketahui
X
ruang Banach dan S X . S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu himpunan tak berhingga AS dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S. Dengan demikian setiap anggota S bukan titik limit himpunan
A
, dan setiap titik anggotaA
merupakan titik terasing. Jadi, untuk setiap xA ada bilangan
0 sehingga N(x)A
x
, dan untuk setiapy
S
dengany
A
dapat dibuat persekitaranN
(
y
)
sehingga N(x)A
. Karena A tak berhingga, maka koleksi semua himpunan
N(x):xA
N(y):xS&yA
merupakan liput terbuka untuk S, akan tetapi liput terbuka tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu persekitaranN
(
x
)
saja dari titik xA maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan fakta bahwa S kompak.Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka untuk S, maka menurut Lemma 26 liput terbuka mempunyai bilangan Lebesque
0, dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas total. Oleh karena itu, ada suatu net3
dari himpunan berhingga
x1,x2,...,xn
sehingga untuk setiap k 1,2,...,n berlaku ) ( 3 k x N d
3 2
. Selanjutnya, adaG
k
dengan ( )3 k x N
G
k. Karena
n k kx
N
1 3)
(
S , maka diperoleh
G1,G2,...,Gn
merupakan liput bagian berhingga untuk S, atau terbukti S kompak.Teorema 29 : Diketahui
X
ruang Banach dan S X . Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Bukti : (a) Diambil sebarangx
0
X
denganx
0
Sc, dan untuk setiap anggota xS dibuat persekitaranN
(
x
)
y
:
x
y
, dan persekitaran N(x0)
y
:
x
y
dengan pusatx
0 dan jari-jari2 1
x
x
0 . Jelas bahwa,N
(
x
)
N(x0)
untuk setiap xS.Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran
N(x) :xS
merupakan liput terbuka untuk S. Karena diketahui S kompak, maka adax
1,x
2,...
,x
nS sehingga berlaku S
n i i x N 1 ) ( . Dibentuk himpunan W
n i x N i 1 0) ( dengan 2 1 i
x
0
x
i , untuk setiap i1,2
,...
,n
. Jadi W merupakan suatu persekitaran dari titik0
x
dan himpunan bagian semua Ni(x0), untuk setiap i1,2
,...
,n
. Jadi,
W
N
(
x
i)
, untuk setiap i1,2
,...
,n
sehingga WN
(
x
)
. Akibatnya,
W S
atau W Sc. Jadix
0 merupakan titik-dalam himpunanc
S , jadi Sc terbuka atau S tertutup.
(b) Untuk setiap xS dibentuk persekitaran
N
1(
x
)
y
:
x
y
1
, yaitu persekitaran dengan pusatx
dan jari-jari1
. Koleksi semua himpunan
N
1(
x
)
:
x
S
merupakan liput terbuka untuk S. Karena diketahui S kompak, maka adax
1,x
2,...
,xmS sehingga S
n i i x N 1 1( ) . Namakan, M 1 maks
x
1
x
2,
x
1
x
3,
...,
x
1
x
m
. Untuk sebarang Sy ada xj dengan 1 jm, sehingga berlaku yN1(xj). Jadi diperoleh
y
x
1x
1
x
j
x
j
y
M
1
1
M
. Jadi untuk setiapy
S
berlaku
y
x
1 M atau dengan kata lain S terbatas.Teorema 30 : Diketahui
X
ruang Banach, dan S X .Apabila S tertutup dan terbatas, dan
X
berdimensi hingga maka S kompak.Bukti : Misalkan Dim(
X
)
n
, dan
e1,e2, . . .,en
merupakan basis untukX
. Diambil sebarang barisan
x
m di dalam S, maka untuk setiap xm anggota S dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear sebagai berikut,
m
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
Karena diketahui S terbatas, maka ada bilangan k 0 sehinggax
m k, untuk setiapm
. Menurut Lemma 13, maka diperoleh k
x
m
n m n m m e x e x e x 2 ( ) ) ( 2 1 ) ( 1 ...c
n j m jx
1 ) ( , dengan c0.Oleh karena itu barisan bilangan
x
(jm) terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik limitnya tersebut adalahx
j, untuk 1 jn. Akibatnya, barisan
x
m mempunyai barisan bagian
z
m yang konvergen ke z
n j j j
e
x
1. Karena himpunan S tertutup, maka zS. Ini menunjukkan bahwa sebarang barisan
x
m di dalam S mempunyai barisan bagian yang konvergen dalam S. Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak.Teorema 31 : Diketahui
X
ruang Banach, dan S X . S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.Bukti : Syarat perlu : Diketahui S kompak relatif atau
S
SS kompak. Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S tidak kompak, dan karena S merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S, maka berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S terbatas total.Syarat cukup : Diketahui S kompak relatif, yaitu
S
kompak.Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang apabila S tidak kompak dan karena
S
merupakan koleksi semua titik limit di dalam S, maka diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total.Syarat perlu : Diambil sebarang barisan
x
n di dalam S. Karena diketahui S terbatas total, maka ada himpunan-himpunan berhingga ) ( , . . . ), ( ), ( 2 1 2 2 1 1 2 1 y N y N yi N yang merupakan
suatu 1net. Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga, katakanlah
xn,1 dengan
xn,1
x
n . Selanjutnya. Diambil lagi suatu net2 1
, maka paling
sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu net 2 1
Media Exacta Volume 11 No.1 Januari 2011
menerus maka akan diperoleh suatu barisan tak hingga
xn,m , untuk suatum
dengan
xn,m
xn,m1
sehingga
xn,m termuat di dalam persekitaran berdiameterm
1
. Misalkan
xn,n merupakan barisan diagonal, maka
n j j j
x
, merupakan barisan bagian dari
n j n j
x
,yang termuat di dalam persekitaran berdiameter n 1 . Jadi diperoleh xn,n xm,m
)
,
(
min
1
m
n
,sehingga
xn,n merupakan barisan Cauchy. KarenaX
lengkap maka barisan
xn,n adalah konvergen. Dengan kata lain barisan
xn,n mempunyai barisan bagian yang konvergen atau S kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif.SIMPULAN
Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach,
maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.
2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut terbatas total.
3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan tersebut kompak sekuensial.
4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut tertutup dan terbatas.
5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.
6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan tersebut terbatas total.