Erna Zuni Astuti adalah Dosen Fakultas Ilmu Komputer UDINUS Semarang
53
Transformasi Fourier Untuk Peningkatan
Kualitas Citra
Erna Zuni Astuti
Abstract : Fourier Transform is an important trasformasi on signal processing, especially in image processing. Fourier transform is tools to convert from spatial domain to frequency domain, which is a function of time domains (spasial) into the frequency domain. In general, Fourier transformation is divided into two, spatial transformation and domain transformation. Spatial transformation is to change intensity of pixel (brightness, contrast, negation, thresholding), while domain transformation is a process of change of image from one domain to another domain. In this way, transformed first digital image with the Fourier transformation, followed by manipulation of the results of the Fourier transformation.Once manipulation is complete, do inverse Fourier transformation to get the image back. Fourier transformation changing the spatial domain into the frequency domain in the lowpass filter and highpass filter. Lowpass filter to work at low frequency, the greater the radius of the filter, the more low frequencies are passed so that the image of the original image mendekatai results, conversely the smaller the radius of the circle on the filter, the less amount of low frequency is passed so that the image becomes blur of cint original. highpass filter while working at high frequency, the greater the radius of the filter, the more high frequencies are passed so that the image looks darker not even seen the original image. Meanwhile, if the radius of the filter is smaller, then the high frequency passed the less, it produces a dark image but it still looks the image sketched the original image.
Keywords : Transformasi Fourier, Domain Frekuensi, Highpass Filter, Lowpass Filter
PENDAHULUAN
Transformasi Fourier adalah sub pokok bahasan dalam mata kuliah yang sering dipelajari di Fakultas MIPA, maupun Fakultas Teknik, Di Fakultas Ilmu Komputer transformasi ini diterapkan pada materi pengolahan citra. Aplikasi yang memanfaatkan transformasi fourier yaitu pengolahan sinyal digital dan pengolahan citra digital. Sebagai aplikasi transformasi fourier dalam pengolahan citra digital, sebuah citra memegang peranan sangat penting sebagai bentuk informasi visual. Citra mempunyai karakteristik yang kaya dengan informasi. Meskipun sebuah citra kaya informasi, namun seringkali citra mengalami penurunan mutu (degradasi), misalnya
54 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010
mengandung cacat atau derau (noise), warnanya terlalu kontras, kurang tajam, kabur (bluring) dan sebagainya. Citra yang demikian ini menjadi sulit diinterprestasikan karena informasi yang disampaikan oleh citra tersebut menjadi berkurang. Agar citra mudah diinterprestasikan, maka citra tersebut perlu dimanipulasi menjadi citra lain dengan cara ditingkatkan kualitasnya sesuai kebutuhan masing – masing pengguna. Dalam proses pengolahan citra, transformasi fourier dapat digunakan untuk perbaikan citra (image restoration) atau peningkatan kualitas citra (image enhancement). Perbaikan citra diartikan sebagai proses untuk mengolah citra digital yang didapat agar lebih mendekati bentuk citra aslinya, atau sering disebut sebagai proses mendapatkan kembali citra asli dari suatu citra yang telah mengalami proses degradasi. Sedangkan peningkatan kualitas citra adalah suatu proses untuk mengubah sebuah citra baru sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan melalui berbagai cara. Pada transformasi spasial yang diubah adalah intensitas piksel (brightness, kontras, negasi, thresholding) atau posisi piksel (rotasi, translasi, scaling, shear, dan lain- lain). Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dan lain-lain). Sedangkan transformasi domain yaitu proses perubahan citra dari suatu domain ke domain lainnya, sebagai contoh domain spasial ke domain frekuensi. Transformasi yang mengubah dari domain spasial ke domain frekuensi disebut transformasi fourier.
TINJAUAN PUSTAKA
Pengolahan CitraDefinisi citra (image) menurut kamus Webster adalah suatu representasi, kemiripan atau imitasi dari suatu objek atau benda. Secara harfiah, citra adalah gambar pada bidang dua dimensi (dwimatra). Ditinjau dari sudut pandang matematis, merupakan fungsi menerus (continue) dari intensitas cahaya pada bidang dua dimensi. Citra yang terlihat merupakan cahaya yang direfleksikan dari objek, sumber cahaya menerangi objek, objek memantulkan kembali sebagian dari berkas cahaya tersebut dan pantulan cahaya ditangkap oleh alat–alat optik, misalnya mata manusia, kamera, scanner, sensor satelit dan sebagainya, sehingga bayangan objek yang disebut citra tersebut terekam. Citra sebagai keluaran dari suatu sistem perekaman data dapat bersifat Digital, artinya dapat langsung disimpan pada media penyimpan magnetic.Citra yang dimaksudkan dalam penulisan ini adalah citra diam (still image). Citra diam adalah citra tunggal yang tidak bergerak. Untuk selanjutnya citra diam akan disebut citra saja.
Perbaikan Citra
Jenis operasi ini bertujuan untuk memperbaiki citra dengan cara memanipulasi perameter-parameter citra. Perbaikan citra diartikan sebagai proses untuk mengolah citra digital yang didapat agar lebih mendekati bentuk citra aslinya, atau sering disebut sebagai proses mendapatkan kembali citra asli dari suatu citra yang telah mengalami proses degradasi.
55
Transformasi Fourier (Erna)
Peningkatan Kualitas Citra (Image Enhancement)
Proses peningkatan kualitas citra atau image enhancement berasal dari enhancement yang artinya mempertinggi atau meningkatkan kualitas citra dengan metode–metode tertentu. Peningkatan kualitas citra adalah suatu proses untuk mengubah sebuah citra menjadi citra baru sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan melalui berbagai cara, bisa berupa fungsi transformasi, operasi matematis, pemfilteran, dan lain-lain. Tujuan utama dari peningkatan kualitas citra adalah untuk memproses citra sehingga citra yang dihasilkan lebih baik dari pada citra aslinya
Pemugaran Citra (image Restoration)
Operasi ini bertujuan menghilangkan atau meminimalkan cacat pada citra. Tujuanya hampir sama dengan operasi perbaikan citra, bedanya pada pemugaran citra penyebab degradasi gambar diketahui.
Tranformasi Fourier
Transformasi Fourier 2D
Transformasi Fourier 2D dari suatu fungsi f(x,y) didefinisikan sebagai berikut
f x y j ux vy dxdy v u F( , ) ( , ).exp[ 2
.( . . )] 5-2(a)Invers dari transformasi tersebut adalah
F u v j ux vy dudv y x f( , ) ( , ).exp[ 2
.( . . )] 5-2(b)Discrete Fourier Transform (DFT) 1D
Transformasi Fourier bersifat kontinu, oleh karena itu sulit untuk dilakukan komputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinu itu sendiri. Untuk kebutuhan pengolahan citra, fungsi yang akan ditransformasi haruslah fungsi diskrit. Transformasi Fourier Diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah Transformasi Fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasil transformasinya juga merupakan fungsi diskrit. DFT 1D didefinisikan sebagai
] . . 2 exp[ . ) ( ) ( 1 0 N x u j x f u F N x
6-3(a)56 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010 ] . . 2 exp[ . ) ( 1 ) ( 1 0 N x u j u F N x f N x
6-3(b) Dimana u = 0,1,2,...N−1 dan x = 0,1,2,...N−1 Contoh 6.3Diketahui f(x) dalam bentuk diskrit berikut
Fungsi tersebut mempunyai N = 8 (dari 0,1,2,...7). DFT dari f(x) adalah sebagai berikut
] 8 . . 2 exp[ . ) ( ) ( 7 0 x u j x f u F x
Untuk u = 0, ] 0 exp[ . ) ( ) 0 ( 7 0
x x f F
7 0 ) ( ) 0 ( x x f F ) 7 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( f f f f f f f f F 2 4 4 2 2 4 4 2 ) 0 ( F 24 ) 0 ( F Untuk u = 1, ] 8 . 2 exp[ . ) ( ) 1 ( 7 0 x j x f F x
2 4 f(x) x 0 1 2 3 4 5 6 757
Transformasi Fourier (Erna)
]
4
3
exp[
).
3
(
]
4
2
exp[
).
2
(
]
4
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
1
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 4 7 exp[ ). 7 ( ] 4 6 exp[ ). 6 ( ] 4 5 exp[ ). 5 ( ] 4 4 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f ) 4 3 sin( ) 4 3 cos( . 2 ) 2 sin( ) 2 cos( . 4 ) 4 sin( ) 4 cos( . 4 1 . 2 ) 1 (
j
j
j
F
) 4 5 sin( ) 4 5 cos( . 4 ) sin( ) cos( . 2
j
j
) 4 7 sin( ) 4 7 cos( . 2 ) 2 3 sin( ) 2 3 cos( . 4
j
j
j j j j j j F(1)22 22 2 4 2 22 2 22 22 2 4 2 22 2 F(1) = 0 Untuk u = 2, ] 8 . 2 2 exp[ . ) ( ) 2 ( 7 0 x j x f F x
] 2 . exp[ . ) ( ) 2 ( 7 0 x j x f F x
]
2
3
exp[
).
3
(
]
2
2
exp[
).
2
(
]
2
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
2
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 2 7 exp[ ). 7 ( ] 2 6 exp[ ). 6 ( ] 2 5 exp[ ). 5 ( ] 2 4 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f F(2) = − (4+4j) Untuk u = 3, ] 8 . 3 2 exp[ . ) ( ) 3 ( 7 0 x j x f F x
] 4 . 3 exp[ . ) ( ) 3 ( 7 0 x j x f F x
]
4
9
exp[
).
3
(
]
4
6
exp[
).
2
(
]
4
3
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
3
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 4 21 exp[ ). 7 ( ] 4 18 exp[ ). 6 ( ] 4 15 exp[ ). 5 ( ] 4 12 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f 58 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010 0 ) 3 ( F Untuk u = 4, ] exp[ . ) ( ) 4 ( 7 0 x j x f F x
] 3 exp[ ). 3 ( ] 2 exp[ ). 2 ( ] exp[ ). 1 ( ] 0 exp[ ). 0 ( ) 4 ( f f j
f j
f j
F ] 7 exp[ ). 7 ( ] 6 exp[ ). 6 ( ] 5 exp[ ). 5 ( ] 4 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f 0 ) 4 ( F Untuk u = 5, ] 8 . 5 . 2 exp[ . ) ( ) 5 ( 7 0 x j x f F x
] 4 . 5 exp[ . ) ( ) 5 ( 7 0 x j x f F x
]
4
15
exp[
).
3
(
]
4
10
exp[
).
2
(
]
4
5
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
5
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 4 35 exp[ ). 7 ( ] 4 30 exp[ ). 6 ( ] 4 25 exp[ ). 5 ( ] 4 20 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f 0 ) 5 ( F Untuk u = 6, ] 8 . 6 . 2 exp[ . ) ( ) 6 ( 7 0 x j x f F x
] 2 . 3 exp[ . ) ( ) 6 ( 7 0 x j x f F x
]
2
9
exp[
).
3
(
]
2
6
exp[
).
2
(
]
2
3
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
6
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 2 21 exp[ ). 7 ( ] 2 18 exp[ ). 6 ( ] 2 15 exp[ ). 5 ( ] 2 12 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f ) 4 4 ( ) 6 ( j F 59
Transformasi Fourier (Erna)
Untuk u = 7, ] 8 . 7 . 2 exp[ . ) ( ) 7 ( 7 0 x j x f F x
] 4 . 7 exp[ . ) ( ) 7 ( 7 0 x j x f F x
]
4
21
exp[
).
3
(
]
4
14
exp[
).
2
(
]
4
7
exp[
).
1
(
]
0
exp[
).
0
(
)
7
(
f
f
j
f
j
f
j
F
] 4 49 exp[ ). 7 ( ] 4 42 exp[ ). 6 ( ] 4 35 exp[ ). 5 ( ] 4 28 exp[ ). 4 ( j
f j
f j
f j
f 0 ) 7 ( FHasil DFT fungsi f(t) di atas, setelah unsur real dan kompleksnya dipisahkan adalah
k Real {F(k)} Im {F(k)} 0 24 0 1 0 0 2 −4 − 4j 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 −4 − 4j 7 0 0
Discrete Fourier Transform (DFT) 2D
Transformasi Fourier diskrit dua dimensi dari sebuah fungsi diskrit f(x,y) dinyatakan segabai berikut
1 0 1 0 2 exp ). , ( ) , ( M x x N y y dxdy N vy M ux j y x f v u F
6-4(a) Inversnya adalah60 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010
1 0 1 0 2 exp ). , ( 1 ) , ( M u N v dxdy N vy M ux j v u F MN y x f
6-4(b) Dimana u = 1,2,....M−1; x = 1,2,....M−1; v = 1,2,....N−1 y = 1,2,....N−1.Misalkan R(u,v) dan I(u,v) adalah komponen real dan imajiner dari F(u,v), spektrum fourier didefinisikan sebagai
F
(
u
,
v
)
R
2(
u
,
v
)
I
2(
u
,
v
)
1/2 6-5 Dan sudut fase transformasi definisikan sebagai ) , ( ) , ( tan ) , ( 1 v u R v u I v u 6-6
Sehingga F(u,v) dapat ditulis sebagai
F(u,v) F(u,v)ei(u,v) 6-7
Spektrum daya didefinisikan sebagai
P
(
u
,
v
)
F
(
u
,
v
)
2
R
2(
u
,
v
)
I
2(
u
,
v
)
6-8 Transformasi Fourier untuk Peningkatan kualitas CitraKarena citra digital merupakan besaran diskrit dua dimensi (2D), maka untuk analisis citra hanya dibutuhkan transformasi fourier diskrit 2D. Untuk menganalisis citra pada domain frekuensi, hasil transformasi fourier dapat ditampilkan sebagai citra, dimana intensitasnya sebanding dengan besarnya |F(u,v)| atau spektrum fourier.
Ideal Lowpass Filter
Ideal Lowpass Filter adalah filter yang menghilangkan semua komponen frekuensi tinggi dari transformasi fourier pada jarak yang lebih besar daripada jarak spesifik
D
0 (dari pusat transformasi). Filter semacam ini dinamakan Ideal Lowpass filter (ILPF). 0 1 ) , ( vu H if if 0 0 ) , ( ) , ( D v u D D v u D 6-10
61
Transformasi Fourier (Erna)
Butterworth Lowpass Filters
Fungsi dari Butterworth LowPass Filter (BLPF) dengan order n, dan dengan cutoff frequency pada jarak
0
D
dari titik asal adalah:
nD
v
u
D
v
u
H
2 0/
)
,
(
1
1
)
,
(
Gaussian Lowpass Filters
Fungsi Gaussian LowPass Filters (GLPF) dinyatakan oleh persamaan berikut
2 2( ,)/2 ) , (u v e D uv H Bila σ =
D
0, persamaan nya akan menjadi ,2 2( , )/2 ) , (u v e D uv Do H
dimana
D
0adalah cutoff frequency. Bila D(u,v)=D0, filter akan turun hingga 0,607 dari nilai maximumnya.Aplikasi yang menerapkan lowpass filtering, di antaranya adalah: pengenalan karakter, printing and publishing industry, dan processing satellite and aerial images. Lowpass filtering juga dapat dimanfaatkan untuk memperbaiki citra agar lebih indah dipandang, misalnya: pada citra wajah seseorang, cacat atau kelemahan pada wajahnya dapat “ditutupi” dengan cara diblurr (disamarkan). Lowpass filtering membantu memudahkan analisa dengan merata-rata fitur yang penting agar jumlah fitur yang perlu diperhatikan menjadi lebih kecil.
Ideal Highpass Filters
Ideal Highpass Filter (IHPF) merupakan kebalikan dari ILPF. IHPF memberikan nilai 0 untuk semua frequency di dalam lingkaran radius
D
0ketika dilewati, tanpa pengurangan, semua frequency di luar lingkarandiset menjadi 1.
Butterworth Highpass Filters
Butterworth Highpass Filter (BHPF) mempunyai persamaan sebagai berikut
)
,
(
1
)
,
(
u
v
H
u
v
H
BLPFGaussian Highpass Filters
Fungsi Gaussian Highpass Filter (GHPF) dengan cutoff frequency terletak pada jarak
D
0 dari origin,62 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010 ) , ( 1 ) , (u v H u v H GLPF
Pada proses Inverse, citra asli akan ditransformasi dengan transformasi fourier untuk mengubah domain spasial ke dalam domain frekuensi. Sehingga hasilnya akan dikalikan dengan citra lowpass filter 2D atau highpass filter 2D. Selanjutnya dilakukan proses inverse untuk mengembalikan citra dari domain frekuensi ke dalam domain spasial.
Rancangan proses Inverse ini dapat digambarkan dalam FlowChart berikut:
HASIL DAN PEMBAHASAN
Visualisasi Transformasi Fourier untuk jari-jari = 50, 40, 30, 20 dan 10 Gambar 2: Rancangan Output Cita Asli, Lowpass Filter 2D / Highpass Filter 2D, dan Lowpass Filter 3 D / Highpass Filter 3D. Peningkatan_Kualitascitr
a File
VISUALISASI TRANSFORMASI FOURIER
Domain Spasial Buka Gambar Bersih Layar
Masukkan jari2 lingkaran Reset ILPF BLP F GLP F ILPF BLP F GLP F Lowpass Filter Highpass Filter Inverse Keluar DomainFrekuen si Filter 2D Filter 3D
63
Transformasi Fourier (Erna)
Dilakukan ujicoba untuk citra dengan jari-jari 50, 40, 30, 20 dan 10, dengan salah satu Lowpass Filter dan salah satu Highpass Filter. Lowpass Filter terdiri Ideal Lowpass Filter, Butterworth Lowpass Filter dan Gaussian Lowpass Filter. Sedangkan Highpass Filter terdiri dari Ideal Highpass Filter, Butterworth Highpass Filter, Gaussian Highpass Filter. Citra yang diujicobakan adalah citra celsi.jpg. Hasil dari percobaan ini bisa dilihat di dalam ringkasan hasil akhir dari semua percobaan. Citra celsi.jpg dengan Ideal Lowpass Filter
Jari-jari Citra Asli ILPF 2 D ILPF 3 D Transformasi Fourier 2D Transformasi Fourier 3D Citra Hasil 50 40 30 20 10
Gambar3: Hasil Pengujian Transformasi fourier pada Ideal Lowpass Filter citra celsi.jpg
64 Techno.Com, Vol. 9 No. 1, Februari 2010
Jari-jari
Citra Asli IHPF 2 D IHPF 3 D Transformas i Fourier 2D Transformas i Fourier 3D Citra Hasil 50 40 30 20 10
Gambar 4: Hasil Pengujian Transformasi fourier pada Ideal Highpass Filter citra celsi.jpg
KESIMPULAN
1. Transformasi fourier adalah transformasi yang mengubah dari domain spasial ke domain frekuensi.
2. Peningkatan kualitas citra adalah suatu proses untuk mengubah sebuah citra menjadi citra baru sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan melalui berbagai cara.
3. Transformasi fourier dapat memproses citra dalam domain frekuensi, hasil transformasi fourier, filter ideal, butterworth filter, gaussian filter baik lowpass filter maupun highpass filter.
65
Transformasi Fourier (Erna)
4. Dengan transformasi fourier pada lowpass filter jika jari-jari pada filter semakin besar maka frekuensi rendah yang diloloskan semakin banyak sehingga menghasilkan citra hasil yang hampir mendekati citra asli. Sebaliknya jika pada lowpass filter jari-jari pada filter semakin kecil maka frekuensi rendah yang diloloskan semakin sedikit sehingga menghasilkan citra hasil yang blur atau menjadi tidak jelas dan berbeda dengan citra asli.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Murni, Aniati. 1992. Pengantar Pengolahan Citra. Jakarta: PT Elex Media Komputindo [2]. Firmansyah A. 2003. Dasar- dasar Pemrograman Matlab. Indonesia: IlmuKomputer.
[3]. Paulus, Erick S.Si, M.Kom, dan Nataliani, Yessica, S.Si., M.Kom. 2007. Cepat Mahir GUI Matlab.Yogyakarta : Andi
[4]. Munir, Rinaldi. 2004. Pengolahan Citra Digital dengan Pendekatan Algoritmik. Bandung: Informatika [5]. Ch.Wijaya, Marvin dan Prijono, Agus. 2007. Pengolahan Citra Digital Bandung :
[6]. http://www.pdf-search-engine.com/transformasi-fourier-pdf.html, diakses tanggal 10 Januari 2009
[7]. http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/matematika_lanjut/bab10-deret_fourier.pdf, diakses tanggal 12 Februari 2009
