BAB II TINJAUAN PUSTAKA. beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Perpipaan

Pipa digunakan untuk mengalirkan fluida (zat cair atau gas) dari satu atau beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

system) terdiri dari gabungan pipa-pipa yang memiliki panjang total relatif pendek

dan digunakan untuk mengalirkan fluida dari suatu peralatan ke peralatan lainnya yang beroperasi pada suatu plant. Sistem perpipaan dilengkapi dengan komponen-komponen seperti katup, flens, belokan, percabangan, nozzle, reducer, tumpuan, isolasi, dan lain-lain.

Pada dasarnya bila kita analogikan seperti tubuh kita, sistem perpipaan kurang lebih sama seperti pembuluh darah yang mengantarkan darah ke organ-organ tubuh dengan sistem tertentu. oleh karena itu sistem perpipaan bagaikan urat nadi dalam dunia industri baik migas ataupun industri proses.Dalam dunia industri, biasa dikenal beberapa istilah mengenai sistem perpipaan seperti piping dan pipeline.Piping adalah sistem perpipaan di suatu plant, sebagai fasilitas untuk mengantarkan fluida (cairan atau gas) antara satu komponen ke komponen lainnya untuk melewati proses-proses tertentu. Piping ini tidak akan keluar dari satu wilayah plant.Sedangkan pipeline adalah sistem perpipaan untuk mengantarkan fluida antara satu plant ke plant lainnya yang biasanya melewati beberapa daerah.Ukuran panjang pipa biasanya memiliki panjang lebih dari 1 km bergantung jarak antar plant.

Sistem perpipaan dapat ditemukan hampir pada semua jenis industri, dari sistem pipa tunggal yang sederhana sampai sistem pipa bercabang yang sangat kompleks. Contoh sistem perpipaan adalah, sistem distribusi air minum pada gedung atau kota, sistem pengangkutan minyak dari sumur bor ke tandon atau tangki penyimpan, sistem distribusi udara pendingin pada suatu gedung, sistem distribusi uap pada proses pengeringan dan lain sebagainya.

Sistem perpipaan meliputi semua komponen dari lokasi awal sampai dengan lokasi tujuan antara lain, saringan (strainer), katup atau kran, sambungan, nosel dan sebagainya. Untuk sistem perpipaan yang fluidanya liquid, umumnya dari lokasi awal fluida, dipasang saringan untuk menyaring kotoran agar tidak menyumbat aliran fuida. Saringan dilengkapi dengan katup searah ( foot valve) yang fungsinya mencegah aliran kembali ke lokasi awal atau tandon. Sedangkan sambungan dapat berupa sambungan penampang tetap, sambungan penampang berubah, belokan (elbow) atau sambungan bentuk T (Tee).

2.2 Teori Tegangan

Pengetahuan mengenai sifat-sifat mekanik material sangat penting.Melalui pengetahuan ini dapat diperkirakan tegangan-tegangan yang terjadi pada sistem perpipaan.Dalam kode ditetapkan aturan-aturan agar pada sistem perpipaan tidak terjadi tegangan yang berlebih sehingga dapat terhindar dari kegagalan.Secara umum teori tegangan pada sistem perpipaan merupakan pengembangan dari teori tegangan dalam mekanika.Oleh sebab itu, dapat digunakan dalam perhitungan dan analisis tegangan pada sistem perpipaan.

2.2.1. Tegangan Satu Arah (Uniaxial)

Tegangan uniaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja hanya terjadi dalam satu arah. Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Keadaan tegangan ini pada aplikasi suatu batang lurus berpenampang A dengan gaya dan arah yang ditunjukkan seperti gambar 2.1. Dianggap bahwa tegangan terbagi rata diseluruh penampang yang tegak lurus dengan luasan pada benda, dimana gaya yang bekerja terdapat pada koordinat sumbu x.

Gambar 2.1 Distribusi Tegangan Uniaxial

Akibat dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka akan terbentuk sudut potong pada benda sebesar 𝜃𝜃. Dimana dengan sudut tersebut akan diproyeksikan nilai tegangan – tegangan yang terjadi pada benda tersebut seperti tegangan geser dan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Kesetimbangan gaya dan tegangan dapat dilihat pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Distribusi Tegangan Uniaxial

A F F 𝜎𝜎 =𝐹𝐹 𝐴𝐴 F 𝜃𝜃

Persamaan untuk distribusi tegangan pada gambar 2.2 dapat dilihat pada persamaan 2.1 dibawah ini.

dimana:

σ

= tegangan (N/𝑚𝑚2)

F = gaya (N)

A = luas penampang (𝑚𝑚2)

Gambar 2.3 Distribusi Tegangan Uniaxialpada sudut 𝜃𝜃

Pada gambar 2.3 terlihat beberapa tegangan yang terdapat pada benda yang membentuk sudut 𝜃𝜃. Dengan menuliskan bentuk persamaan dari gambar tersebut kedalam kesetimbangan gaya maka akan diperoleh nilai tegangan tarik dan tegangan geser.

Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap

𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎 =𝐹𝐹_𝐴𝐴 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎 _𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃, dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.1.

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 - 𝜎𝜎 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0 (2.1)

Untuk menentukan nilai 𝐴𝐴_𝑥𝑥 dapat diubah ke dalam bentuk A𝜃𝜃 dengan menggunakan persamaan 2.2 :

_{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 =} 𝐴𝐴𝑥𝑥

𝐴𝐴_𝜃𝜃

(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

(𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 (2.2)

Dengan demikian nilai 𝐴𝐴_𝑥𝑥 pada persamaan 2.2, dapat disubstitusikan kedalam persamaan 2.1 sehingga akan diperoleh persamaan tegangan tarik 𝜎𝜎𝜃𝜃 yang bekerja terhadap sumbu 𝜃𝜃,dapat dilihat pada persamaan 2.3:

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃- 𝜎𝜎 𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝝈𝝈𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 (2.3)

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 , maka persamaan 2.3 akan berubah menjadi persamaan 2.4 : 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(12) 𝝈𝝈𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙 (2.4) 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 A 𝐵𝐵 𝐶𝐶

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎 _𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃, dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.5 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃= 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝝉𝝉𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 (2.5)

Melalui persamaan trigonometri diketahui bahwa : 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 1_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃}

Dengan merubah persamaan trigonometri diatas kedalam persamaan trigonometri pada persamaan tegangan geser maka akan dihasilkan persamaan akhir untuk tegangan geser, yaitu pada persamaan 2.6 :

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝝉𝝉𝜽𝜽= 𝝈𝝈𝒙𝒙𝟏𝟏_𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 (2.6)

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 dan 𝜃𝜃 = 45𝑐𝑐 , akan diperoleh tegangan geser:

𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃 = 45𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(0) 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥1₂𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(45°)

𝝉𝝉𝜽𝜽 =0 𝝉𝝉𝜽𝜽 =𝝈𝝈_𝟐𝟐𝒙𝒙

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasannya.Tegangan

tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.4.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik maksimum adalah : Syarat 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝑑𝑑(𝜎𝜎𝑥𝑥 2 + 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃) 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 0 0 + −2 �𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0}𝑥𝑥 −2 �𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0}𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = _−𝜎𝜎0 𝑥𝑥 = 0 2𝜃𝜃 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠−1₀ 𝜃𝜃 = 1_{2 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}−1₀₎ 𝜃𝜃 = 0, 90, 180 𝜃𝜃 = 0,𝜋𝜋_{2 , 𝜋𝜋}

Sehingga 𝜎𝜎_𝜃𝜃 maximum pada 𝜃𝜃 = 0𝑐𝑐 dapat diperoleh dengan memasukkan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum.

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_{2 +} 𝑥𝑥 𝜎𝜎_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃}𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎₂𝑥𝑥+ 𝜎𝜎₂𝑥𝑥 (1) = 𝜎𝜎𝑥𝑥

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕 �σx 2� sin2θ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 2 �σ_{2 � cos2θ = 0}x 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃 =𝜋𝜋_{4 ,}3𝜋𝜋₄

Sehingga dengan memasukkan besaran sudut yang menghasilkan tegangan geser maksimum akan diperoleh nilai maksimum dari tegangan geser yaitu pada persamaan 2.8 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = 𝐵𝐵𝐵𝐵′ = 𝑚𝑚𝐵𝐵 sin 2𝜃𝜃

=𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2}𝑥𝑥 𝜋𝜋_{4 =} 𝜎𝜎₂𝑥𝑥

2.2.1.1 Lingkaran Mohruntuk Tegangan Uniaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar. Penyederhanaan persamaan untuk lingkaran mohr dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan trigonometri dalam aturan kosinus sebagai berikut. cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2_{𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}2_𝜃𝜃 Cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃) cos 2𝜃𝜃 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2_{𝜃𝜃 − 1} 2cos 2𝜃𝜃 = 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝜃𝜃 cos2_{𝜃𝜃 =} 1 2 + 1 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2 𝜃𝜃

Persamaan untuk tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 dengan menggunakan penyederhanaan aturan kosinus.

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 ( 1_{2 +}1_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃)}

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_{2 +}𝑥𝑥 𝜎𝜎_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃}𝑥𝑥

Persamaan untuk tegangan geser pada permukaan 𝜃𝜃 yaitu : 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃}𝑥𝑥 (𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃)2 (𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥)2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22𝜃𝜃 ( 2.10 ) (𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃)}𝑥𝑥 2 𝜏𝜏𝜃𝜃2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥)2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝜃𝜃 ( 2.11 )

Pada penjumlahan eliminasi yang sama sehingga akan menghasilkan persamaan lingkaran mohr sebagai berikut:

(𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥)2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝜃𝜃

(𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22𝜃𝜃 + (𝜎𝜎₂𝑥𝑥)2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝜃𝜃

(𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃2 = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝜃𝜃)

Dengan demikian persamaan lingkaran mohr diperoleh pada persamaan 2.12:

(𝜎𝜎𝜃𝜃 −𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃2 = = (𝜎𝜎₂𝑥𝑥) 2 ( 2.12 )

Gambar 2.4 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Uniaxial

Gambar pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.2. Tegangan Dua Arah (Biaxial)

Tegangan Biaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja terjadidalam dua arah. Tegangan dalam dua arah meliputi tegangan terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. sehingga dengan menggunakan kesetimbangan energi akan diperoleh persamaan persamaan untuk

A O 𝜏𝜏 𝜎𝜎 B 𝐵𝐵′ M 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 𝜎𝜎𝜃𝜃−𝜎𝜎₂𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 2𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥

x y

n

𝜃𝜃 𝜃𝜃

tegangan geser dan tegangan tarik. Pada tegangan biaxial terdapat tiga tegangan yang bekerja pada tiap garis yang sama yaitu tegangan pada sudut 𝜃𝜃, tegangan pada luasan sumbu y dan tegangan pada sumbu x yang diproyeksikan terhadap satu garis yang sama.

Gambar.2.5Tegangan pada Sebuah Batang

Dari gambar 2.5 akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik dan geser dengan menggunakan kesetimbangan gaya pada satu sumbu garis yang sama.Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎 _𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 dan 𝜎𝜎 _𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 pada dua luasan yang berbeda dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.13.

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃− 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ =0

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 cos θ) cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 sin θ) sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃= 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos2θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 sin2 θ 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 θ 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 x 𝜎𝜎𝑦𝑦 θ 𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃= 1₂ (𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦) + 1₂ (𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦) cos 2θ ( 2.13 )

Jadi persamaan untuk menentukan tegangan maksimal pada tegangan dua arah adalah :

𝝈𝝈𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙+ 𝝈𝝈𝒚𝒚) + 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚) cos 2θ (2.14)

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎 _𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 dan 𝜎𝜎_𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃pada dua gaya yang bekerja pada permukaan 𝜃𝜃 dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.15 (Lit. Timosenko, hal 47).

𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜃𝜃)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃

𝝉𝝉𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚)sin2θ (2.15)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasannya.Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai

tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.6.

Syarat untuk mendapatkan tegangan tarik maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕[�σx+ σy 2 � + � σx−σy 2 � cos2θ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 0 + −2 �σx− σ_{2 � sin2θ = 0}y − (σx − σy) sin2θ = 0 sin2θ = 0 θ = 0,π_{2 , π}

Tegangan tarik maksimum diperoleh dengan mensubsitusikan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum untuk tegangan biaxial.

σθ= (σx+ σ₂ y) + (σx−σ₂ y) cos 2θ

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �σx + σ₂ y� + �σx − σ_{2 � cos0}y o

σθ= (σx+ σ₂ y) + (σx−σ₂ y) (1)

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �σx+ σ₂ y� + �σx−σ₂ y� ( 2.16)

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum

merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : 𝜕𝜕τθ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕 �σx−σy 2 � sin2θ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 2 �σx − σ_{2 � cos2θ = 0}y 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃 =𝜋𝜋_{4 ,}3𝜋𝜋₄

Dengan demikian akan diperoleh nilai dari tegangan geser maksimum dengan memasukkan besaran dari nilai sudut yang menghasilkan tegangan maksimum. Sehingga akan diperoleh tegangan geser maksimum untuk biaxial ditunjukkan pada persamaan 2.17 :

τθ= �σx−σ₂ y�sin2 (𝜋𝜋₄)

τθ= �σx−σ₂ y�sin 2 (45o)

2.2.2.1 Lingkaran Mohr untuk Tegangan Biaxial

Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar.

σθ= (σx+ σ₂ y) + (σx−σ₂ y) cos 2θ

σθ−(σx+ σ₂ y) = (σx−σ₂ y) cos 2θ

τθ= �σx−σ₂ y�sin2θ

Sehingga dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap persamaan tegangan akan terbentuk persamaan lingkaran dasar dalam bentuk tegangan umum yang dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum tegangan geser dan tegangan tarik. [σ_θ− (σx+ σy 2 )]2 = ( σx−σy 2 )2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22𝜃𝜃 τθ = �σx−σ₂ y� 2 sin2_2θ [σ_θ− (σx+ σy 2 )]2 + (τθ)2= ( σx−σy 2 )2 (𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)2_{+ (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)}2 _{= 𝑟𝑟}2 (𝑥𝑥 − 𝜃𝜃)2_{+ (𝑦𝑦)}2_{= 𝑟𝑟}2 +

Gambar 2.6 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Biaxial

Gambar pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.3 Tegangan Utama (Principal Stress)

Tegangan maksimum atau minimum pada suatu batang dapat digambarkan pada sebuah elemen yang mendapat beban. Dimana penjabaran tegangan yang terjadi dapat diuraikan, sehingga nantinya mendapatkan persamaan minimum dan maksimum untuk mencari nilai suatu tegangan. Titik centroid pada benda akan menjabarkan tegangan-tegangan yang terjadi, sehingga untuk mendapatkan persamaan akan lebih mudah.

O 𝜎𝜎 𝜏𝜏 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦 C 𝐶𝐶′ _A 2𝜃𝜃 σx− σy 2 σx+ σy 2 𝜎𝜎𝜃𝜃− σx+ σy 2 M B 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 θ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 x y 𝜎𝜎𝑦𝑦

Gambar.2.7 tegangan umum yang terjadi

Dari gambar 2.7 tersebut dimana : Ax

A

= A_θcos θ

y

Tegangan tarik utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya tarik utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan tarik pada sumbu x dan tegangan tarik terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan tarik utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan tarik pada luasan θ terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥cos θ dan σ

= A_θsin θ

ysin θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan

untuk tegangan tarik utama yang terlihat pada persamaan 2.18 berikut :

σθAθ = σx Axcos θ + σy Ay sin θ- 2 τ

σθAθ= σ

xy Aθcos θ sin θ

x (A_θcos θ) cos θ+ σy (A_θsin θ)sin θ - 2 τ

σθ = σ

xy A_θcos θ sin θ

x cos2θ+ σy sin2θ- 2 τxy cos θ sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠θ 𝜎𝜎𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 x y 𝜃𝜃 θ a b

𝛔𝛔𝛉𝛉 = (𝛔𝛔𝐱𝐱+ 𝛔𝛔_𝟐𝟐 𝐲𝐲)+(𝛔𝛔𝐱𝐱− 𝛔𝛔_𝟐𝟐 𝐲𝐲) cos 2θ - 2 τxy

Tegangan geser utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya geser utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan geser pada sumbu x dan tegangan geser terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan geser utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan geser θ yang terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎_𝑥𝑥sin θ dan σ

sin 2θ ( 2.18)

y

𝜏𝜏𝜃𝜃 =1₂�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

cos θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan geser utama yang terlihat pada persamaan 2.19 (Lit.Timosenko hal 75).

𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = 0 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑦𝑦𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦(𝐴𝐴𝜃𝜃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 =𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 −}𝑥𝑥 𝜎𝜎_{2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦 �1_{2 +}1_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃� − 𝜏𝜏}𝑥𝑥𝑦𝑦 �1_{2 +}1_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃�} 𝜏𝜏𝜃𝜃 =1_{2 �𝜎𝜎}𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 +𝜎𝜎_{2 +}𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜎𝜎_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 −}𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏_{2 +}𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏_{2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃}𝑥𝑥𝑦𝑦 𝝉𝝉𝜽𝜽= 𝟏𝟏_𝟐𝟐�𝝈𝝈𝒙𝒙− 𝝈𝝈𝒚𝒚�𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝜽𝜽 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 (2.19)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang mampu diterima oleh beban. Tegangan tarik maksimum merupakan batas yang diizinkan dalam pemberian gaya berupa pembebanan. Tagangan tarik maksimum pada tegangan utama memiliki syarat dalam penentuan nilai sudut yang dibentuk.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik utama maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕 ��𝜎𝜎𝑥𝑥+𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � + � 𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 0 + −2 �𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎_{2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦(2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃) = 0 −�𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −4 � 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦�� 𝑡𝑡𝜃𝜃𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦�

Sehingga Tegangan Tarik Utama Maximum adalah :

𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎_{2 � + �}𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎_{2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃

= �𝜎𝜎𝑥𝑥+ 𝜎𝜎_{2 � + �}𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎_{2 � − 2𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑡𝑡𝜃𝜃𝑠𝑠𝜃𝜃 = �𝜎𝜎𝑥𝑥+ 𝜎𝜎_{2 � + �}𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎_{2 � − 2𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦�_𝜎𝜎𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦� 𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎_{2 � +}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2

Tegangan geser utama maksimumadalah batas nilai tegangan tertinggi yang mampu diterima oleh benda pada pembentukan sudut tertentu, dimana nilai sudut yang dibentuk dapat ditentukan dengan menentukan titik maksimum dari tegangan geser utama.Syaratuntuk menentukan tegangan geser utama maksimum mempengaruhi besarnya pembebanan yang mampu diterima oleh benda.

Syarat untuk memperoleh tegangan geser utama maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕 ��𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃� 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 𝜕𝜕 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎_{2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦(−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃) = 0 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦� 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑡𝑡𝜃𝜃𝑠𝑠2𝜃𝜃 =�𝜎𝜎𝑥𝑥_2𝜏𝜏− 𝜎𝜎𝑦𝑦� 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑡𝑡𝜃𝜃𝑠𝑠2𝜃𝜃 =1_{2 �}�𝜎𝜎𝑥𝑥_2𝜏𝜏− 𝜎𝜎𝑦𝑦� 𝑥𝑥𝑦𝑦 � 𝑡𝑡𝜃𝜃𝑠𝑠2𝜃𝜃 = � �𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦� 2 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �

Sehingga Tegangan Geser Maximum Utama adalah (Lit. Timosenko hal 68):

𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎_{2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏}𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

=

�

𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦 2

�

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

+ 𝜏𝜏

𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃

=

�

𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦 2

� �

�𝜎𝜎𝑥𝑥−𝜎𝜎𝑦𝑦₂ � 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦

� + 𝜏𝜏

𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 = ��

𝜎𝜎

𝑥𝑥

− 𝜎𝜎

₂

𝑦𝑦� 2

+ 𝜏𝜏

𝑥𝑥𝑦𝑦2

2.2.3.1. LingkaranMohr Tegangan Utama

Lingkaran mohr untuk tegangan utama dibentuk dari persamaan dasar dari lingkaran dengan menjumlahkan persamaan pada tegangan tarik utama dan tegangan geser utama.Persamaan yang diperoleh merupakan dasar untuk membentuk lingkaran.Tegangan maksimum dan minimum dapat dihitung melalui perhitungan untuk titik terjauh pada lingkaran sepanjang sumbu x dan tegangan tarik utama minimum dapat dihitung melalui penentuan titik terdekat pada sumbu x. Persamaan – persamaan tersebut dapat dilihat pada lingkaran mohr pada gambar 2.8.

Gambar 2.8Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Utama

Dengan demikian nilai – nilai tegangan yang dapat diperhitungkan pada pembebanan yang diberikan dapat dilihat berdasarkan gambar yang dilukis berdasarkan perhitungan dari nilai – nilai tegangan tarik dan geser pada sudut pembentuk.Diagram mohr merupakan bentuk dari semua tegangan yang mempengaruhi benda yang dapat dilihat melalui gambar.

G O F H D B y E C 𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 �𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦� 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥+ 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 𝜎𝜎2 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎₁ A x 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 �𝜎𝜎𝑦𝑦. 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦� 𝜏𝜏 �𝜎𝜎𝑥𝑥. 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 � ��𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � 2 + 𝜏𝜏𝑋𝑋𝑋𝑋2 2𝜃𝜃 2𝜃𝜃 𝜏𝜏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜎𝜎𝑥𝑥− 𝜎𝜎𝑦𝑦 2

2.3. Sistem Penumpu

Pipe support adalah salah satu bagian yang penting dalam sistem perpipaan atau di suatu plant.Sistem penumpu berfungsi untuk menahan dan mengkondisikan suatu sistem perpipaan sehingga aman sampai waktu yang telah ditentukan, bahkan diharapkan berfungsi selama pipa masih digunakan.

2.3.1. Momen Lentur (Bending Momen)

Momen lentur merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen lentur juga dinotasikan dengan M. Momen lentur lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

2.3.2. Gaya geser

Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan, gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser.

2.3.3. Gaya dan Momen pada tumpuan

Ketika pipa dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik tersebut.Untuk menentukan besarnya resultan pada tumpuan dapat menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Berikut ini adalah contoh analisa 1 dimensi arah x untuk menentukan arah gaya dan momen pada sebuah pipa yang ditumpu.

Diagram benda bebas:

RAx

RAy RBy

Gambar 2.9Diagram Benda Bebaskesetimbangan gaya dan momen

Dari diagram benda bebas diatas akan didapatgaya–gaya reaksi yang bekerja pada tiap tumpuan yangterlihat pada persamaan dari gambar 2.9 :

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 𝑃𝑃𝜃𝜃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦(𝐿𝐿) = 0 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦 (𝐿𝐿) = 𝑃𝑃𝜃𝜃 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦

=

𝑃𝑃𝜃𝜃_𝐿𝐿 ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦− 𝑃𝑃 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 = 𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 = 𝑃𝑃 −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦

= 𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

Persamaan momen untuk batasan0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜃𝜃

A B

L

a b

𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 ∑𝑀𝑀 = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_{𝐿𝐿 (𝑥𝑥)} Untuk nilai x = 0 𝑀𝑀0 = 0 Untuk nilai x = a 𝑀𝑀𝜃𝜃 = 𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑥𝑥 =𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿 Untuk nilai x = 0 𝑉𝑉0 = 𝑃𝑃_𝐿𝐿𝑏𝑏 Untuk nilai x = a 𝑃𝑃𝑏𝑏 v Mx x Nx

Sedangkan persamaan momen untuk batasan 𝜃𝜃 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐿𝐿 ∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃) − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦(𝑥𝑥) − 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃) 𝑀𝑀𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

(𝑥𝑥) − 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝜃𝜃) Untuk nilai x = a 𝑀𝑀𝜃𝜃 =𝑃𝑃𝑏𝑏_𝐿𝐿𝜃𝜃 Untuk nilai x = l 𝑀𝑀𝑙𝑙 = 0

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 − 𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

− 𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑥𝑥 = −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

x M a v 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑋𝑋 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑋𝑋 Nx P x-a

Untuk nilai x = a

𝑉𝑉𝜃𝜃 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_𝐿𝐿

− 𝑃𝑃

Untuk nilai x = l

𝑉𝑉𝑙𝑙 =

𝑃𝑃𝑏𝑏

_{𝐿𝐿 − 𝑃𝑃}

𝑉𝑉𝑙𝑙 = −

𝑃𝑃𝜃𝜃

_𝐿𝐿

Dari hasil penurunan persamaan diatas untuk momen dan gaya geser akan didapat bentuk diagram untuk masing-masing persamaan momen dan gaya geser dimana gambar yang dihasilkan berdasarkan bentuk dari diagram benda bebas pada gambar 2.10 :

Gambar 2.10 Diagram gaya geser dan momen lentur

A B L a b 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑅𝑅𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑅𝑅𝐵𝐵𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑏𝑏 𝐿𝐿 _{𝑃𝑃𝜃𝜃} 𝐿𝐿 − + 𝑃𝑃𝑏𝑏 𝐿𝐿 (𝜃𝜃) P

2.4 Klasifikasi Tegangan

Tegangan yang tejadi dalam sistem perpipaan dapat dikelompokkan ke dalam dua kategori, yakni Tegangan Normal (Normal Stress) dan Tegangan Geser (Shear Stress). Tegangan normal terdiri dari tiga komponen tegangan, yang masing-masing adalah:

1. Tegangan Longitudinal (Longitudinal Stress), yaitu tegangan yang searah panjang pipa.

2. Tegangan Tangensial atau Tegangan Keliling (Circumferential Stressatau

Hoop Stress), yaitu tegangan yang searah garis singgung penampang

pipa.

3. Tegangan Radial (Radial Stress), yaitu tegangan searah jari-jari penampang pipa.

Tegangan Geser terdiri dari dua komponen tegangan, yang masing-masing adalah: 1. Tegangan Geser (Shear Stress), yaitu tegangan akibat adanya gaya yang

berimpit atau terletak pada luas permukaan pipa.

2. Tegangan Puntir atau Tegangan Torsi (Torsional Stress), yaitu tegangan yang terjadi akibat momen puntir pada pipa.

2.4.1 Tegangan Longitudinal ( Longitudinal Stress)

Tegangan Longitudinal merupakan jumlah dari Tegangan Aksial (Axial

Stress), Tegangan Lentur (Bending Stress) dan Tegangan Tekanan Dalam

(Internal Pressure Stress). Mengenai ketiga tegangan ini dapat diuraikan berikut ini.

2.4.1.1 Tegangan Aksial

Tegangan aksial adalah tegangan yang ditimbulkan oleh gayaF

axyang

bekerjasearah dengan sumbu pipa, dan dapat diperlihatkan seperti gambar 2.11:

Gambar 2.11 Tegangan Aksial

σ

Dimana :

ax = 𝐹𝐹𝜃𝜃𝑥𝑥

𝐴𝐴𝑚𝑚 (2.20)

σ

_ax

Am = Luas penampang pipa =Tegangan aksial = 𝜋𝜋 4(do 2 – di2 do = diameter luar ) di = diameter dalam

Fax = gaya normal (N)

2.4.1.2 Tegangan Lentur (Bending Stress)

Bending.Tegangan lentur maksimum terletak pada permukaan pipa dan nol pada

sumbu pipa, dapat ditunjukkan pada gambar 2.12 :

Gambar 2.12.Bending Momen

𝜎𝜎

𝑏𝑏

=

𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑐𝑐_𝐼𝐼 (2.21)

Tegangan maksimum terjadi pada dinding terluar dari pipa

𝜎𝜎

𝑏𝑏𝑚𝑚𝜃𝜃𝑥𝑥

=

𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑅𝑅𝑐𝑐_𝐼𝐼

=

𝑀𝑀_𝑍𝑍

(2.22)

Dimana :

M = Momen bending

c = Jari-jari terluar pipa

I = Momen inersia penampang

I = 𝜋𝜋 64( do4 – di4 Z = Section modulus = 𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑐𝑐 )

2.4.2 Tegangan Geser

Berbeda dengan tegangan normal akibat gaya aksial, Tegangan geser terjadi pada permukaan pipa dimana gaya yang bekerja terletak pada permukaan pipa atau bekerja sejajar terhadap permukaan pipa. Tegangan geser terjadi diakibatkan oleh gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan pipa dan karena adanya momen torsi yang terdapat pada pipa, momen torsi ini dapat berupa dua gaya yang bekerja sejajar dengan arah yang berlawanan (momen kopel).

2.4.2.1 Tegangan geser akibat gaya geser (V)

Tegangan geser akibat gaya geser (V) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.23:

τ

max

=

𝑉𝑉 𝐴𝐴 (2.23) Dimana : V = Gaya Geser A = Luas penampang

Tegangan ini mempunyai nilai minimum di sumbu netral (di sumbu simetri pipa) dan bernilai nol pada titik dimana tegangan lendut maksimum( yaitu pada permukaan luar dinding pipa). Karena hal ini dan juga karena besarnya tegangan ini biasanya sangat kecil, maka tegangan ini dapat diabaikan.

2.4.2.2 Tegangan geser akibat momen puntir

Tegangan geser akibat momen puntir (Mt) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.24(Lit. Hibeller, Hal 143) :

τ

Dimana : max

=

𝑴𝑴𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝐽𝐽 (2.24) Mt = Momen Puntir

J = Momen Inersia Polar

Tegangan ini terjadi akibat adanya momen yang bekerja pada pipa yang mengakibatkan adanya pergeseran sudut terhadap sumbu pipa, momen yang bekerja dapat berupa momen ataupun gaya yang mengakibatkan terjadinya puntiran.

2.4.3 Tegangan Torsi

Suatu bentangan bahan dengan luas permukaan tetapdikenai suatu puntiran ( twisting ) pada setiap ujungnya danpuntiran ini disebut juga dengan torsional, dan bentangan bendatersebut dikatakan sebagai poros ( shaft ).Distribusi tegangan bervariasi dari nol pada pusat poros sampai dengan maksimum pada sisi luar poros, seperti diilustrasikan pada gambar 2.13:

Gambar 2.13. Distribusi Tegangan Geser

2.4.3.1 Momen Inersia( Polar )

Untuk suatu batang bulat berlubang (pipa) dengan diameter luar Do dan

diameter dalam Di

Dimana :

, momen kutub inersia (polar momen of inertia) penampang melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J(Lit.Hibbeler, hal 72).

J = ₃₂𝜋𝜋 (D04 – Di4

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat diperoleh dengan memberi nilai D

) (2.25)

i = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat

matematis dari geometri penampang yang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

2.4.3.2 Regangan Geser

Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa beban.Setelah suatu momen punter T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak menjadi a-b’ seperti ditunjukkan pada gambar berikut.Sudut γ, yang diukur dalam radian, diantara posisi garis akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai

regangan geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut, dapat ditunjukkan pada gambar 2.14 :

Gambar 2.14. Regangan Geser

2.5 Persamaan Tegangan Pada Sistem Perpipaan

Persamaan tegangan pada sistem perpipaan merupakan persamaan yang dapat diturunkan dari persamaan untuk tegangan 𝜎𝜎_1,2 yang sesuai dengan aplikasi tersebut. Pada dasarnya persamaan tegangan yang dihasilkan pada tiap kondisi yang berbeda diperoleh dari persamaan untuk tegangan utama, yang membedakan persamaan tegangan pada tiap-tiap kondisi itu adalah tegangan terhadap sumbu x dan tegangan terhadap sumbu y. Pada kondisi bending tegangan terhadap sumbu x tidak berlaku atau diabaikan dengan sudut pembentuk

𝜃𝜃

dengan nilai 90 derajat. Secara umum akan terlihat pada gambar 2.15

Gambar 2.15 Sistem Perpipaan Sederhana

Maka akan berlaku persamaan Tegangan Utama dengan ketentuan dimana pada gambar diatas menunjukkan bahwa, arah tegangan terhadap sumbu x adalah

0, dan hanya ada tegangan yang bekerja terhadap sumbu y. Tegangan geser yang terjadi pada gambar diatas adalah tegangan geser akibat gaya geser yang bekerja searah dengan luas penampang pipa, secara umum dapat dilihat pada persamaan dibawah ini (Lit. Timosenko hal 43).

𝜎𝜎1,2 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎_{2 � ±}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2

+ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2

Dimana 𝜎𝜎𝑦𝑦 dan 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 pada kondisi lentur pada sistem penumpu akan berubah

menjadi persamaan yang sesuai dengan keadaan dari bentuk beam yang dalam hal ini berbentuk pipa dimana tidak terjadi tegangan dalam arah sumbu x (𝜎𝜎_𝑥𝑥=0). 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 0 ( tidak ada tegangan terhadap sumbu x )

𝜎𝜎𝑦𝑦= 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑐𝑐_𝐼𝐼

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦=𝑉𝑉_𝐴𝐴

Dimana :

M= momen bending

C= jari-jari terluar pipa

I= Momen inersia penampang

V = Gaya Geser

Sehingga akan diperoleh persamaan untuk tegangan lentur pada sistem penumpu yaitu : 𝜎𝜎1,2 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎_{2 � ±}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝜎𝜎1,2 = �0 + 𝜎𝜎_{2 � ±}𝑦𝑦 ��0 − 𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝜎𝜎1,2 = 𝜎𝜎_{2 ±}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎_{2 +}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎_{2 −}𝑦𝑦 ��𝜎𝜎_{2 �}𝑦𝑦 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2