BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1Riset Operasi
Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul di Inggris selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode kuantitatif dalam pemakaian radar selama perang. Mereka menamakan pendekatan itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan ilmuwan (scientist) untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional selama perang. Ternyata pendekatan tersebut sangat berhasil dalam memecahkan masalah operasi konvoi, operasi anti kapal selam, strategi pengeboman, dan operasi pertambangan. Aplikasi ini menyebabkan Riset Operasi didefinisikan
sebagai: “Seni memenangkan perang tanpa berperang” (Jong Jek Siang, 2014).
Setelah Perang Dunia II berakhir, Riset Operasi yang lahir di Inggris ini kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan tim Riset Operasi dalam bidang militer ini telah menarik perhatian orang-orang industri. Sedemikian pesat perkembangannya sehingga kini Riset Operasi telah digunakan dalam hampir seluruh bidang (Dimyati dan Dimyati, 2004:1).
Secara harfiah kata operation dapat didefinisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara kata research adalah suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesa tadi. Kenyatannya, sangat sulit mendefinisikan OR, terutama karena batas-batasnya tidak jelas. OR memiliki bermacam-macam penjelasan, namun hanya beberapa yang biasa digunakan dan diterima secara umum (Mulyono, 2004:2).
pengolahan manajemen yang besar, baik yang menyangkut manusia, mesin, bahan, dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahaan, dan pertahanan. Pendekatan ini menggabungkan dan menerapkan metode ilmiah yang sangat kompleks dalam suatu pengelolaan manajemen dengan menggunakan faktor-faktor produksi yang ada dan digunakan secara efisien dan efektif untuk membantu pengambilan keputusan dalam kebijakan perusahaan. Definisi lain menurut Operational Research Society of America (ORSA), operation research berkaitan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah dan bagaimana membuat suatu model yang baik dalam merancang dan menjalankan sistem yang melalui alokasi sumber daya yang terbatas. Inti dari beberapa kesimpulan di atas adalah bagaimana proses pengambilan keputusan yan optimal dengan menggunakan alat analisis yang ada dan adanya keterbatasan sumber daya (Andi Wijaya, 2013).
Riset Operasi adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah- masalah yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. Pendekatan khusus ini bertujuan untuk membentuk suatu model ilmiah dari sistem, mengabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti kesempatan resiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Tujuannya adalah membantu pengambilan keputusan menentukan kebijaksanaan dan tindakannya secara ilmiah (Operational Research Society of Great Britian) (Mulyono, 2004:2).
Dalam riset operasional, masalah optimasi dalam pengambilan keputusan diperoleh dengan menerapkan teknik matematika dan statistika. Model matematika yang digunakan dalam metode riset operasional bersifat menyederhanakan masalah dan membatasi faktor-faktor yang mungkin berpengaruh terhadap suatu masalah. Jika riset operasi akan digunakan untuk memecahkan suatu permasalahan, maka harus dilakukan lima langkah sebagai berikut:
3. Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi. 4. Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi.
5. Mengimplementasikan hasil studi. (Dimyati dan Dimyati, 2004:4)
2.2Program Linier
Program linear (Linear Programming yang disingkat LP) merupakan salah satu teknik OR yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear (Mulyono, 2004: 13).
Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara aktifitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan (Dimyati dan Dimyati, 2004:17).
George B. Dantzig diakui umum sebagai pioner LP, karena jasanya dalam menemukan metode mencari solusi masalah LP dengan banyak variable keputusan. Dantzig bekerja pada penelitian teknik matematik untuk memecahkan masalah logistic militer ketika ia dipekerjakan oleh angkatan udara Amerika Serikat selama Perang Dunia II. Penelitiannya didukung oleh ahli-ahli lain seperti: J. Von Neumann, L. Hurwicz dan T. C. Koopmans, yang bekerja pada subyek yang sama (Mulyono, 2004:14).
fungsi-fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanaan . Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang mungkin.
Contoh untuk permasalahan yang memaksimumkan adalah masalah keuntungan, sedangkan contoh untuk permasalahan meminimumkan adalah masalah biaya, persediaan, dan lain-lain. Kendala-kendala yang sering dijumpai adalah keterbatasan bahan mentah, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Kendala – kendala ini dapat diekspresikan dalam bentuk sejumlah persamaan atau pertidaksamaan linear dalam variabel atau peubahnya. Jadi fungsi yang akan dioptimumkan merupakan suatu penyelesaian atatu solusi layak yang mempunyai nilai fungsi tujuan yang dikehendaki. Nilai yang dikehendaki dapat berupa nilai terbesar yaitu fungsi tujuan berupa nilai maksimum sedangkan nilai terkecil yaitu fungsi tujuan berupa nilai minimum.
2.3Persoalan Transportasi
Persoalan transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur khusus untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan unit yang homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber) ke sejumlah titik permintaan (tujuan). Semua ditempatkan pada sumber dan tujuan yang berbeda secara geografis (Aminudin, 2008).
Adapun menurut Jong Jek Siang, Masalah transportasi merupakan masalah yang sering dihadapi dalam pendistribusian barang. Misalkan ada buah gudang (sumber) yang masing-masing memiliki 1, 2, …, buah barang yang sama. Barang-barang tersebut hendak dikirimkan ke buah toko (tujuan) yang masing - masing membutuhkan 1, 2, …, buah barang. Diasumsikan 1+ 2+⋯+
berbeda, maka biaya pengiriman dari suatu sumber ke suatu tujuan tidaklah sama. Misalkan, adalah biaya pengiriman sebuah barang dari sumber ke tujuan .
Masalahnya adalah bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber sehingga semua kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum mungkin.
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang (balanced program) apabila jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan. Dapat dituliskan:
=1
=
=1
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi dari sumber ke tujuan , maka model program linier untuk permasalahan transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Fungsi tujuan :
� = �
=1 =1
Dengan kendala :
� =1
= ; = 1,2,…,
� = ; = 1,
=1
2,…,
� 0 untuk semua dan Keterangan:
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
= banyaknya sumber = banyaknya tujuan
Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi Tujuan
Langkah-langkah penyelesaian model transportasi ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari penyelesaian awal pada variabel dasar.
Ada beberapa metode untuk menentukan solusi awal. Tiga dari metode yang dikenal yaitu:
a. Metode North West Corner b. Metode Least Cost
Setelah didapat penyelesaian awal, maka langkah berikutnya adalah memeriksa kembali apakah penyelesaian yang didapat sudah optimal atau belum. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Terdapat 2 metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimal yaitu:
a. Metode Modified Distribution Method (MODI) b. Metode Stepping Stone
3. Jika penyelesaian belum optimal maka dilanjutkan dengan langkah iterasi yaitu menentukan basis feasible yang baru dari variabel dasar yang masuk dan keluar.
2.4Persoalan Transshipment
Model Transshipment merupakan perluasan dari masalah transportasi. Dimyati dan Dimyati (2004:146) mengatakan, Model transshipment adalah model transportasi yang memungkinkan dilakukannya pengiriman barang (komoditas) secara tidak langsung, dimana barang dari suatu sumber dapat berada pada sumber lain atau tujuan lain sebelum mencapai tujuan akhirnya. Pada model transshipment ini titik perantara dapat berperan sebagai sumber sekaligus sebagai
tujuan. Dengan kata lain, proses pendistribusian barang dari suatu sumber ke sumber tujuan harus melalui agen terlebih dahulu.
Sumber Titik Perantara Tujuan
Gambar 2.1 Contoh Gambar Sumber, Titik Perantara, dan Tujuan 6 3
4
5 1
7
2
Pada gambar diatas, titik 1 dan titik 2 merupakan sumber; titik 3, 4, dan 5 merupakan titik perantara dan titik 6, 7, dan 8 merupakan titik tujuan. Dapat dilihat bahwa titik perantara dapat bertindak sebagai sumber maupun tujuan.Titik 3, 4, dan 5 merupakan titik tujuan untuk titik 1 dan 2. Akan tetapi untuk titik 6, 7, dan 8 titik 3, 4, dan 5 akan bertindak sebagai sumber.
Adapun model matematika dari masalah transshipment adalah sebagai berikut:
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan � = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
= jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan
2.5 Penyelesaian Persoalan Transsshipment
Seperti masalah transportasi, tujuan transshipment adalah mengatur pengiriman barang agar biaya seminimum mungkin. Penyelesaian dilakukan dengan mengubah masalah transshipment menjadi masalah transportasi dan kemudian menyelesaikannya dengan algoritma model transportasi.
Transformasi masalah transshipment ke masalah transportasi meliputi beberapa bagian, antara lain (Jong Jek Siang, 2014):
1. Menyeimbangkan tabel. Teliti apakah jumlah persediaan barang (node bertanda +) sama dengan jumlah permintaan (node bertanda −). Jika belum sama maka tabel harus diseimbangkan dengan menambahkan sumber/tujuan semu (dummy).
2. Tentukan titik yang merupakan titik sumber, titik tujuan, dan titik perantara. Titik sumber adalah titik yang hanya bisa mengirimkan barang dan tidak bisa menerima barang. Sebaliknya, titik tujuan adalah titik yang hanya bisa menerima barang dan tidak bisa mengirimkan barang. Titik perantara adalah titik yang bisa mengirimkan sekaligus menerima barang. Sumber dalam masalah transportasi yang sesuai adalah gabungan dari sumber tujuan dan titik perantara, sedangkan tujuan merupakan gabungan dari tujuan dan titik perantara dalam masalah transshipment.
3. Tentukan jumlah persediaan dan permintaan tiap titik.
Misalkan dalam masalah transshipment mula-mula, adalah persediaan titik dan adalah permintaan titik .
= =
Maka dalam masalah transportasi, titik sumber memiliki persediaan sebesar ′ = dan titik tujuan memiliki kebutuhan sebesar ′ = . Titik perantara memiliki persediaan sebesar �′ = + (atau permintaan sebesar + ).
Jika ada jalur langsung dari ke .
= 0 Jika = .
M Jika tidak ada jalur langsung dari ke .
2.5.1 Penyelesaian Feasible Awal
Penyelesaian feasible awal digunakan untuk menentukan penyelesaian awal dalam masalah transportasi maupun masalah transshipment yang telah ditransformasikan ke masalah transportasi. Ada beberapa metode yang biasa digunakan antara lain metode North West Corner, metode Least Cost dan metode Vogel’s Approximation (VAM). Namun dalam tulisan ini penulis menggunakan metode Least Cost dalam mencari penyelesaian feasible awal.
Jika tabel transportasi terdiri dari baris dan kolom, maka penyelesaian awal harus memenuhi + −1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika penyelesaian awalnya berisi kurang dari + −1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengecekan keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
2.5.1.1 Metode North West Corner
Metode North West Corner (disingkat metode NWC) dalam bahasa Indonesia disebut metode sudut barat laut merupakan metode dimana untuk mengisi tabel awal transportasi dimulai dari sisi barat laut (kiri atas) dengan kuantitas sebanyak-banyaknya disesuaikan dengan jumlah demand dan supply dari baris dan kolom sampai semua kapasitas terpenuhi.
2. Dimulai dari sel pada sudut kiri atas yang diisi dengan angka sebanyak-banyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan.
3. Lakukan langkah yang sama pada langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas dan permintaan terpenuhi.
2.5.1.2Metode Least Cost
Metode Least Cost (disingkat metode LC) dalam bahasa Indonesia disebut metode biaya terendah. Menurut Jong Jek Siang (2014), prinsip dasar penyelesaian awal dengan metode Least Cost tidak jauh berbeda dengan metode North West Corner. Hanya saja pengisian tidak dilakukan dari sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya pengirimannya terkecil. Pada sel tersebut diisi barang sebanyak mungkin. Jika ada beberapa sel yang biaya terkecilnya sama, maka dipilih sembarang.
Metode Least Cost sering juga disebut metode greedy karena sifatnya yang selalu memulai penyelesaian awal dari biaya yang terkecil tanpa memperhitungkan efeknya terhadap keseluruhan proses. Meskipun selalu dimulai dari sel yang biayanya terkecil, namun metode Least Cost belum tentu menghasilkan penyelesaian optimal. Sehingga untuk melihat ke optimalannya harus dilakukan uji keoptimalan sehingga didapat biaya yang seminimum mungkin.
Secara logis, hasil yang diperoleh dengan metode Least Cost akan lebih baik dibandingkan dengan metode North West Corner karena pengisian dengan metode North West Corner tidak mempertimbangkan biaya pengiriman pada sel yang bersangkutan. Akibatnya, total biaya pengiriman akan cenderung tidak optimal .
2. Alokasi dimulai dengan mengisi sel pada biaya terendah dengan kuantitas sebanyak-banyaknya yang disesuaikan dengan kapasitas (supply) dan permintaan (demand).
3. Lakukan langkah yang sama seperti langkah (2) untuk mengisi sel-sel lain yang disesuaikan dengan kapasitas dan permintaan sampai seluruh kapasitas terpenuhi.
2.5.1.3Metode Vogel’s Approximation (VAM)
Perhitungan penyelesaian awal dengan Vogel lebih rumit dibandingkan kedua metode sebelumnya. Akan tetapi biasanya lebih mendekati penyelesaian optimal.
Algoritma Vogel untuk menentukan penyelesaian feasible awal masalah transportasi menurut Jong Jek Siang adalah sebagai berikut:
1. Pada tiap baris dan kolom, hitunglah selisih 2 sel dengan biaya yang terkecil. 2. Tentukan baris/kolom hasil langkah (1) yang selisihnya terbesar. Jika terdapat
lebih dari 1, pilihlah sembarang.
3. Pada baris/kolom yang terpilih, isikan barang semaksimum mungkin pada sel dengan biaya terkecil. Hapuskan baris/kolom yang dihabiskan karena pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom terhapus bersamaan, tambahkan sebuah variabel dummy.
4. Ulangi langkah (1) – (3) hingga semua permintaan/persediaan habis.
2.5.2 Pengujian Optimalitas
optimal. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman dari sumber ke tujuan yang lebih baik.
Terdapat 2 metode yang dapat digunakan untuk pengujian yaitu metode Stepping Stone atau metode Modified Distribution Method (MODI). Suatu pengujian dengan menggunakan Stepping Stone atau metode Modified Distribution Method (MODI) dikatakan telah optimal apabila sudah tidak ada lagi penghematan biaya (tanda negatif) pada proses eksekusi menggunakan metode-metode tersebut.
2.5.2.1Metode Stepping Stone
Salah satu metode transportasi untuk memperoleh solusi optimal adalah metode stepping stone atau sering juga disebut metode batu loncatan, yang digunakan untuk menghasilkan pemecahan layak bagi masalah dengan biaya-biaya operasi (biaya pabrik dan biaya transportasi), sehingga mendapatkan biaya pendistribusian relatif minimal. Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak
+ −1.
Prosedur penyelesaian adalah:
1. Setelah memperoleh tabel penyelesaian feasible awal dengan sembarang metode, selanjutnya periksa apakah variabel basis (sel yang terisi) dari tabel awal sudah memenuhi + −1 buah variabel basis, jika berisi kurang dari
+ −1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan.
2. Kotak yang terisi disebut kotak basis, nilainya diberi tanda kurung buka dan tutup seperti (� ), melambangkan baris dan untuk kolom.
3. Kotak yang tidak terisi disebut kotak bukan basis (non-basis cell).
4. Semua kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar dimana 1 unit
5. = supply atau persediaan barang di sumber , dan = permintaan barang
dari tujuan dan = � jumlah biaya angkut yang harus dibuat minimal.
6. Agar tabel tidak rumit, nilai yang menunjukkan biaya angkut tidak dicantumkan dalam tabel.
7. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non-basis di mana loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non-basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
8. Dihitung − = jumlah pada loop dengan koefisien (+) dan (−) secara
bergantian.
9. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan cara memilih nilai − yang terbesar atau Max − .
10.Menentukan variabel yang keluar dari basis dengan cara: a. Dibuat loop yang memuat − yang terbesar.
b. Diadakan pengamatan pada dalam loop yang mempunyai koefisien
(−).
c. Variabel � yang keluar basis jika dan hanya jika � minimal dari jalur
loop.
11.Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di mana nilai untuk variabel yang baru masuk basis diambil dari nilai variabel minimal dalam loop.
12.Untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop yaitu: a. � baru = � lama – �minimal
b. � baru = � lama + � minimal
13.Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap dan hitung kembali nilai − untuk variabel non-basis.
14.Diperoleh tabel optimal jika semua − 0 .
15.Jika masih ada nilai − 0 , maka dapat ditentukan kembali entering
2.5.2.2 Metode Modified Distribution Method(MODI)
Metode MODI merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone, karena penentuan segi empat kosong yang bisa menghemat biaya dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat (Subagyo, dkk. 2013).
Langkah-langkah pengujian optimalitas dengan metode MODI menurut Jong Jek Siang adalah sebagai berikut:
1. Pada penyelesaian feasible awal, tambahkan kolom ( = 1,2,3,…, ) dan baris ( = 1,2,3,…, )
2. Isi salah satu baris atau kolom dengan 0 (biasanya baris/kolom yang
dipilih adalah baris/kolom yang memuat variabel basis paling banyak).
3. Isi baris dan kolom lainnya dengan aturan: untuk setiap sel basis
berlakulah persamaan + =
4. Isi sel-sel sisanya (bukan basis) dengan kuantitas − − . Jika ada sel
dengan nilai − − < 0 maka tabel tersebut belum optimal.
Tabel optimal jika untuk setiap sel bukan basis, nilai − − 0. Jika
ada salah satu sel saja yang nilai − − negatif, maka tabel tidak optimal
dan perlu ditingkatkan optimalitasnya.
Untuk merevisi tabel, digunakan loop, yaitu barisan sel basis dengan sifat: 1. Setiap pasangan sel yang berurutan terletak pada baris/kolom yang sama. 2. Tidak ada 3 (atau lebih) sel berurutan yang terletak pada baris/kolom yang
sama.
Algoritma untuk merevisi tabel adalah sebagai berikut:
1. Pilih variabel bukan basis (sel kosong) dengan nilai − − < 0 yang
paling minimum.
2. Isi sel tersebut dengan kuantitas sebanyak mungkin. 3. Sesuaikan kuantitas � pada sel-sel lain dalam loop.
4. Cek apakah penyelesaian baru sudah optimal. Jika belum, lakukan langkah (1) – (4) kembali.
2.6 Degenerasi dan Redundansi
Sebelum menguji optimalitas tabel, terlebih dahulu menghitung jumlah variabel basis yang ada pada tabel penyelesaian awal yakni harus memenuhi + −1
( = jumlah baris dan = jumlah kolom buah variabel basis (sel yang terisi)) agar proses pengujian keoptimalan dan iterasi capat dilakukan. Akan tetapi dalam menghitung variabel basis ada kondisi dimana variabel basis yang ada tidak dapat memenuhi + −1 buah variabel basis. Hal ini terjadi karena adanya degenerasi dan redundansi. Pada degenarasi sel yang terisi kurang dari + − 1 buah variabel basis, sedangkan pada redundansi sel yang terisi melebihi dari
+ −1 buah variabel basis. Untuk mengatasi degenerasi, dapat dilakukan penambahan sel terisi dengan cara memasukkan nilai 0 (sebanyak yang dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel terisi sama dengan + −1.
2.7 Loop
