Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta Bahan ajar kaldif 3

BAHAN AJAR 3 KALKULUS DIFERENSIAL

Oleh: ENDANG LISTYANI

KEKONTINUAN DI SUATU TITIK (Hal 114)

Perhatikan gambar – gambar grafik fungsi y = f(x) berikut

K

L

M

c c

lim

x→c f(x)

= tidak ada

lim

x→c f(x)

= L (ada)

f(c) = M (ada) f(c) = K (ada)

tetapi

lim

x→c f(x)

¿ f(c)

M

c

lim

x→c f(x)

= f(c)

Dari ketiga gambar grafik tersebut, yang terakhir merupakan grafik fungsi kontinu

Definisi (hal 115)

Kekontinuan di suatu titik

Misalkan f(x) terdefinisi pada selang terbuka yang memuat c. Kita katakan bahwa f kontinu di c jika

lim

x→c

f(x)

= f(c) Syarat f kontinu di c adalah:

(i) f(c) ada (ii)

lim

x→c f(x)

ada (iii)

lim

x→c f(x)

= f(c) Untuk menunjukkan f tidak kontinu/diskontinu di c, cukup

f

(

x

)=

{

2

x

+

x

2

, x

<

0

√

x ,

0

≤

x

<

1

2

, x

=

1

x

2

,

1

<

x

≤

2

3

−

x , x

>

2

Selidiki kekontinuan fungsi f : (1) di x = 0 (2) di x = 1 (3) di x = 2

(KEKONTINUAN PADA SELANG) HAL 118 DEFINISI KONTINU KIRI

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang (a , c], maka f kontinu kiri di x = c ⇔

lim

x→c−

f(x)=f(c)

DEFINISI KONTINU KANAN

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang [c , a), maka f kontinu kanan di x = c ⇔

lim

x→c+

f(x)=f(c)

Hubungan antara kekontinuan di satu titik dengan kekontinuan sepihak

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat c.

Fungsi f kontinu di x = c ⇔ _{fungsi f kontinu kiri di x = c dan} kontinu kanan di x = c

Contoh

f(x) =

|

x

|

+

|

[

x

]

|

pada -2 ¿ _x ¿ ₁

1. Gambarlah

2. Selidiki kekontinuan sepihak dari fungsi f di (a) x = -2 (b) x = -1 (c) x = 0 (d) x = 1 Penyelesaian

Terlebih dahulu, nyatakan fungsi dalam bentuk yang lebih sederhana

Pada -2 ¿ _{x < -1,}

|

x

|

_{= -x ,}

|

[

x

]

|

_{= -2} ⇒ _{f(x) = -x – 2} Pada -1 ¿ _{x < 0 ,}

|

x

|

_{= -x ,}

|

[

x

]

|

_{= -1} ⇒ _{f(x) = -x – 1} Pada 0 ¿ _{x < 1 ,}

|

x

|

_{= x ,}

|

[

x

]

|

_{= 0} ⇒ _{f(x) = x}

Pada x = 1 ,

|

x

|

= 1 ,

|

[

x

]

|

= 1 ⇒ _{f(x) = 2}

f

(

x

)=

{

−

x

−

2

,

−

2

≤

x

<−

1

−

x

−

1

,

−

1

≤

x

<

0

x ,

0

≤

x

<

1

2

, x

=

1

Y 2

1

-2 -1 0 1 X

-1

a) Di titik x = -2 dapat diselidiki apakah f kontinu kanan di x = -2 f(-2) = 0

lim

x→−2+

f(x)=

lim

x→−2

(−x−2)=0

lim

x→ −2+

f(x)

= f(-2) jadi f kontinu kanan di x = -2

b) Di titik x = -1 dapat diselidiki apakah f kontinu kiri dan kanan di x = -1

 f(-1) = 0



lim

x→−1−

f(x)=

lim

x→−1

(−x−2)=−1

lim

x→−1−

f(x)

¿ f(-1) jadi f tidak kontinu kiri dI x = -1



lim

x→−1+

f(x)=

lim

x→−1

(−x−1)=0

lim

x→−1+

f(x)

DEFINISI FUNGSI KONTINU PADA SUATU SELANG/INTERVAL (hal 118)

 f kontinu pada suatu selang terbuka (a , b) jika f kontinu di

setiap titik pada selang tersebut

 f kontinu pada suatu selang tertutup [a , b] jika f kontinu di setiap titik pada selang terbuka (a , b) dan f kontinu kanan di x = a , kontinu kiri di x = b

Soal ( kerjakan dan dikumpulkan, kelompok maks 3 orang) Gambarlah dan selidiki apakah f kontinu kiri atau kanan di titik yang ditunjuk

1. f(x) =

|

x

+

2

|

xdi x = -2

2. f(x) = x2

|

x

|

_{+ 2}

|

x

|

_{di x = 0} 3. f(x) = (x-2)

|

[

x

]

|

di x = 2 4. f(x) = x2 _{– 2x + 3 +}

|

[

x

]

|

_{di x = 3} 1. f(x) =

|

x

+

2

|

xdi x = -2

f(x) =

{

(x+2)x jika x≥−2

−x(x+2) jika x<−2

f(-2) = 0

lim

x→−2−

f(x)=

lim

x→−2

−x(x+2)=0

Jadi f(x) kontinu kiri

Buktikan

lim

x→3

x2₋₄₌₅

Bukti pendahuluan

Diberikan ε > 0 sebarang, akan ditentukan δ >0 sehingga jika

Karena diketahui bahwa

|

x

−

3

|

< δ , pilih δ = 1 untuk menentukan batas dari

|

x

+

3

|

|

x

+

3

|

₌

|

x

−

3

+

6

|

¿

|

x

−

3

|

_{+ 6 (ketaksamaan segitiga)}

< 1 + 6 =7

Dengan demikian kita juga mensyaratkan δ ¿

ε

7 _{sehingga hasil kali}

|

x

−

3

| |

x

+

3

|

akan lebih kecil dari ε Bukti formal

Diberikan ε > 0 sebarang, terdapat δ = min{1,

ε

7 _{} , sehingga jika}

0

<|

x

−

3

|<

δ

_maka

|(

x

2

−

4

)−

5

|

₌

|

x

−

3

| |

x

+

3

|

< 7 .

ε