2010, Том 12, Выпуск 1, С. 10–16
УДК512.552.32
К ПОНЯТИЮ «СЕРЕДИНА» В АФФИННЫХ ПЛОСКОСТЯХ
Е. П. Емельченков, Н. Л. Шатохин
В работе предлагается несколько подходов к определению понятия «середина» в аффинной плоско-сти, доказывается, что в левоальтернативной плоскости все введенные определения эквивалентны.
Ключевые слова:аффинная плоскость, плоскость трансляций, аксиома Фано.
В аффинной плоскости можно ввести понятие середины пары точек различными способами.
Определение 1.Серединой пары точекa,bназовем точкуc=ab∩(M∩L)(N∩P), где M, N, L, P — прямые, удовлетворяющие условиям: M, NIa; L, PIb; MkP ∦ ab;
NkL∦M, ab. Обозначение:c=S1[a, b].
L
P N
M
a c b
Рис. 1.
Определение 2.Серединой пары точекa,bназовем точкуc=e(af∩bd)∩ab, гдеe— произвольная точка, не инцидентная прямойab;dIae;d6=a, e;fIbe;dfkab. Обозначение:
c=S2[a, b].
e
f d
a b
c
Рис. 2.
c
Определение 3. Точка c называется серединой пары точек a, b, если существует такой переносτ плоскости, что τ(a) =cи τ(c) =b. Обозначение: c=S3[a, b].
τ
τ
a b c
Рис. 3.
Определение 4. Аффинную плоскостьA =hP, L;I,ki будем называть плоскостью с серединойS, если:
1) (∀a, b∈P) (∃!c∈P) c=S[a, b]; 2) (∀a, c∈P) (∃!b∈P) c=S[a, b].
Теорема 1. Аффинная плоскость A с серединой S1 является плоскостью трансля-ций, удовлетворяющей аксиоме Фано.
⊳ Докажем сначала, что в плоскости A для любой точки o существуют инволю-тивные коллинеации с центром в этой точке. Для этого рассмотрим преобразование α, которое каждой точкеaставит в соответствие точку a′ такую, что o=S
1[a, a′].
о
a’ b’
c’
a b c
M
N
L
Рис. 4.Преобразованиеα.
Преобразование сохраняет коллинеарность точек. Действительно, пусть a, b, cIL и
b, c∤a↑a′ (в противном случае доказательство очевидно). Тогда b′ = M ∩N, где MIa; Mkba′; NIa′; Nkba. Таким образом, точка b′ инцидентна прямой N, проходящей через
точку a′ и параллельной прямой L. Аналогично доказывается, что и образ c′ точки c
инцидентен прямойN. Следовательно, α — коллинеация. Инволютивностьα следует из условия S[a, b] =S[b, a].
Рассмотрим теперь коллинеацию β◦αплоскостиA, гдеα иβ — инволютивные кол-линеации с центрамиaи S1[a, b]. Коллинеацияβ◦α не имеет неподвижность точек, так
как если бы точкаcявлялась неподвижной, тоβ(c) =α(c), и, следовательно, пара точек
cиα(c) имела бы две различные серединыS1[a, b]иa, что противоречит определению 4.
Так как, кроме того, (β ◦α)(L)kL для любой прямой L плоскости A, то коллинеация
β ◦α — параллельный перенос, переводящий точку a в точку b. Отсюда следует, что плоскостьA является плоскостью трансляций.
В плоскостиA диагонали произвольного параллелограммаabcdвсегда пересекаются, так как в противном случае пара точекa, bне имела бы середины.
ПоэтомуA является плоскостью трансляций, удовлетворяющей аксиоме Фано. ⊲ Теорема 2.В аффинной плоскостиA с серединойS2 для любой прямойLи направ-ленияΠ,L6∈Π, существует инволютивная коллинеация с осью Lи направлением Π.
⊳ Пусть даны прямая L и направление Π, L 6∈Π. Рассмотрим отображениеα точек плоскостиA на себя, переводящее точкуa в точкуa′ такую, что aa′ ∈Π и S
2[a, a′]IL .
Докажем, что α сохраняет коллинеарность точек. Пусть x, y, z — три точки, ин-цидентные одной прямой M. Предположим сначала, что M 6∈ Π и M ∦ L. Положив в определении 2a=x,b=x′,d=y,e=M∩L, получим, чтоS
2[d, f]∈Lиdf ∈Π, т. е. что y′=α(y) =f. Следовательно, образ точкиy принадлежит прямойx′(M∩L).
Аналогич-но показывается, что образ точкиzпринадлежит этой же прямой. Отсюда вытекает, что прямая M, пересекающая прямуюL и не принадлежащая направлению Π, переходит в прямуюM′, также пересекающую прямуюL. В случаеM ∈Πдоказательство очевидно.
Если же теперь MkL, то, предположив, что точки x′, y′,z′ не коллинеарны, получаем,
что хотя бы одна из прямыхx′y′ илиx′z′ не параллельнаL. Однако этого быть не может,
так как в силу доказанного выше и инволютивности отображенияα отсюда следует, что
M ∦L.
Таким образом,α является инволютивной коллинеацией с осьюLи направлениемΠ. Замечание 1.Из условия 2) определения 4 следует, что в плоскости с серединойS2
осевая инволютивная коллинеация однозначно определяется осью и направлением, а в аффинной плоскости с серединойS1 нейтральная инволютивная коллинеация
однознач-но определяется центром.
Действительно, пусть α — центральная инволютивная коллинеация с центромo, пе-реводящая точку a в точку a′, и M, N — две различные прямые, отличные от прямой aa′. Прямые M и N, очевидно, переходят в прямые M′ и N′ такие, что MkM′, NkN′, M′;N′|a′. Точкаaпересечения прямыхMиN′переходит в точку пересечения прямыхM′
иN′. Поэтому точкаo инцидентна прямойbb′. Так как, кроме того, точкаoинцидентна
прямойaa′, то по определению 1 следует, чтоo=S
1[a, a′], т. е. для любой инволютивной
центральной коллинеации αаффинной плоскости A с серединой S1 центр коллинеации является серединой пары aиα(a).
Для случая осевой коллинеации доказательство аналогично.
Замечание 2.Инволютивную центральную коллинеацию с центромoи инволютив-ную осевую коллинеацию с осью L и направлением Π будем называть также соответ-ственно симметрией с центром в точке oи симметрией с осьюL и направлением Π.
Теорема 3. Аффинная плоскость A с серединойS2 является плоскостью с середи-ной S1. При этом
(∀a, b∈P) S1[a, b] =S2[a, b].
⊳ Пусть a, b — произвольные точки плоскости A,L — прямая, инцидентная точке
c=S2[a, b] и не параллельная прямой ab. Рассмотрим симметрию α с осьюL и
направ-лениемΠab. Выберем на прямойLточкуd, отличную от точкиS2[a, b]. Тогда прямаяM, Mkad;MIb, пересекающая ось L в точке f, переходит при симметрии α в прямую f a, параллельную прямой bd.
f
b d
a c
L
Итак, композиция двух симметрий с общей осью L и различными направлениями является сдвигом с осьюL.
Нетрудно доказать теперь, что в плоскости A для любой прямой L и любых двух точек a и b таких, что abkL, a, b ∤L, существует сдвиг с осью L, переводящий точку a
в точкуb. Действительно, пусть α — симметрия с осью L и произвольным направлени-ем, β — симметрия с осью L и направлением Πα(a)b. Следовательно, композиция β ◦α
является сдвигом с осьюL, переводящим точку aв точку b. Таким образом, плоскость A является левоальтернативной.
Теорема 6. Аффинная плоскость A, в которой выполняется аксиома Фано, явля-ется плоскостью с серединой S2 тогда и только тогда, когда A — левоальтернативная
плоскость.
⊳Необходимость доказана в теореме 4.
Достаточность.ПустьA — левоальтернативная плоскость, в которой выполняется аксиома Фано. Тогда в этой плоскости выполняется аксиома о четвертой гармонической и поэтому для каждой пары точек a, b середина c = S2[a, b] существует и определена
однозначно. Отсюда же следует и выполнение условия 2) определения 4. Таким образом, A является аффинной плоскостью с серединойS2.⊲
Теорема 7. Аффинная плоскостьA, в которой выполняется аксиома Фано, тогда и только тогда является плоскостью с серединойS3, когдаA является левоальтернативной
плоскостью.
⊳ Необходимость. Пусть A является плоскостью с серединой S3. Тогда из усло-вия 2) определения 4 следует, что для любых двух точек a и b существует перенос τ, переводящий точкуaв точкуb. ПоэтомуA является плоскостью трансляций. Так как, кроме того, в A выполняется аксиома Фано, то в плоскости A выполняется аксиома о четвертой гармонической. Отсюда следует, чтоA является аффинной плоскостью, удо-влетворяющей аксиоме Фано, и, следовательно, по теореме 5 A — левоальтернативная плоскость.
Достаточность.Пусть A — левоальтернативная плоскость. Так как в этой плоско-сти для любой пары точекaи bсуществует перенос, переводящий точкуaв точкуb, то условие 2) определения 4 для серединыS3 выполняется.
Докажем теперь, что для произвольной пары точек a и b существует середина S3
и причем только одна. Введем тернар R так, чтобы точки a и b имели соответственно координаты(0,0)и (0,1). Тогда переносτ, действующий следующим образом:
(x, y)→(x, y+ (1 + 1)−1),
переводит точку(0,0)в точку(0,(1 + 1)−1), а точку(0,(1 + 1)−1 — в точку(0,(1 + 1)−1+
(1 + 1)−1) = (0,1). Таким образом, для любой пары точек a и b существует середина S3[a, b].
Единственность середины c=S3[a, b]пары точекa,bследует из того, что переносτ,
переводящий точки a = (a1, a2) и c = (c1, c2) соответственно в точки c и b = (b1, b2),
однозначно определяется условиями:
c1 =a1+x0, c2 =a2+y0,
Действительно, из этих условий следует:
b1 =a1+x0+x0,
b1−a1=x0+x0, b1−a1= (1 + 1)×x0,
x0 = (1 + 1)−1×(b1−a1).
Аналогично получаем:y0= (1+1)−1×(b2−a2). Следовательно, переносτ однозначно
определяется формулами:
x′ =x+ (1 + 1)−1×(b
1−a1),
y′ =y+ (1 + 1)−1×(b
2−a2).✄
Литература
1. Pickert G.Projective Ebenen.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1955.—viii+343 p.
Статья поступила 16 мая 2008 г.
Емельченков Евгений Петрович Смоленский государственный университет, зав. каф. информатики
РОССИЯ, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4 E-mail:[email protected]
Шатохин Николай Леонидович Смоленский государственный университет, доцент каф. математики
РОССИЯ, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4 E-mail:[email protected]
TO CONCEPT «MIDDLE» OF AFFINE PLANES
Yemelchenkov Y. P., Shatohin N. L.
Some approaches to the definition of «middle» in an affine plane are offered; it is proved that in any leftalternative plane all given definitions are equivalent.
