Design and Analysis of Algorithm

(1)

Design and Analysis of Algorithm

Week 4: Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 1

Dr. Putu Harry Gunawan1

1_{Department of Computational Science}

School of Computing Telkom University

(2)

Outline

1 Quiz I Quiz I 2 Review 3 Pendahuluan Pendahuluan

Dikatkan bentuk rekursif: Tujuan dibuat rekursif: Syarat bentuk rekursif:

4 Relasi Rekurens Faktorial

Relasi Rekurens Faktorial

5 Relasi Rekurens Hanoi Tower

Relasi Rekurens Hanoi Tower

6 Relasi Rekursi Min Max

Relasi Rekursi Min Max

7 Tambahan Tambahan Cara coba-coba 8 References References 9 Exercise Exercise

(3)

Outline

Dikatkan bentuk rekursif: Tujuan dibuat rekursif: Syarat bentuk rekursif: 4 Relasi Rekurens Faktorial

Relasi Rekurens Faktorial 5 Relasi Rekurens Hanoi Tower

Relasi Rekurens Hanoi Tower 6 Relasi Rekursi Min Max

Relasi Rekursi Min Max 7 Tambahan Tambahan Cara coba-coba 8 References References 9 Exercise Exercise

(4)

Exercise 1

Quiz I

Kuis I dimulai selama 45 menit.

(5)

Exercise 1

Buatlah algoritma rekursif untuk menghitung faktorial! Contoh

10! = 10 × 9 × · · · × 2 × 1 (2.1)

(6)

Exercise 2

Buatlah algoritma rekursif untuk menentukan nilai baris fibonanci ke-n Contoh: Baris fibonanci ke 6

1, 1, 2, 3, 5, 8 (2.2)

(7)

Outline

(8)

Pendahuluan

Pada bab ini, akan dibahas mengenai menghitung waktu asismtotik untuk algoritma rekursif. Kita mulai dengan definisi-definisi algoritma rekursif:

(9)

Outline

(10)

Rekursif

Dikatkan bentuk rekursif:

1 _{suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.} 2 _{bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin} 3 dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.

(11)

Rekursif

1 _{suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.}

2 _{bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin} 3 dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.

(12)

Rekursif

1 _{suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.} 2 _{bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin}

3 dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.

(13)

Rekursif

1 _{suatu subrutin atau fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.} 2 _{bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat di dalam body subrutin} 3 dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat.

(14)

Outline

(15)

Rekursif

Tujuan dibuat rekursif:

1 _{menyederhanakan penulisan program} 2 menggantikan bentuk iterasi

(16)

Rekursif

1 _{menyederhanakan penulisan program}

2 menggantikan bentuk iterasi

(17)

Rekursif

1 _{menyederhanakan penulisan program} 2 _{menggantikan bentuk iterasi}

(18)

Outline

(19)

Rekursif

Syarat bentuk rekursif:

1 ada kondisi terminal

2 ada subroutine call yang melibatkan parameter yang nilainya menuju kondisi terminal

Sehingga untuk menghitung kompleksitas bentuk rekursif, maka digunakan teknik perhitungan kompleksitas dengan relasi rekurens.

(20)

Rekursif

Syarat bentuk rekursif: 1 ada kondisi terminal

(21)

Rekursif

(22)

Rekursif

(23)

Outline

Dikatkan bentuk rekursif: Tujuan dibuat rekursif: Syarat bentuk rekursif:

4 Relasi Rekurens Faktorial

(24)

Faktorial

Perhatikan algoritma berikut:

Function Factorial(input n: integer) -> integer Algoritma

if n=0 then return 1 else

return (n * Factorial(n-1)) endif

(25)

Faktorial

Kompleksitas waktu:

untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian → 0

untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu diukur dari jumlah perkalian (1) ditambah kompleksitas wasktu untuk faktorial (n-1).

(26)

Faktorial

Sehingga relasi rekursinya dapat dibentuk menjadi:

T (n) = (

0, n = 0,

T (n − 1) + 1, n > 0. (4.1)

(27)

Faktorial

Jadi menghitung waktunya adalah T (n) = 1 + T (n − 1) = 1 + 1 + T (n − 2) = 2 + T (n − 2) = 2 + 1 + T (n − 3) = 3 + T (n − 3) = · · · = n + T (0) = n + 0 Jadi T (n) = n → O(n).

(28)

Generally

Secara umum, untuk menganalisis waktu efisiensi dari algoritma rekursif: 1 _{Putuskan dalam parameter, yang mengindikasikan ukuran inputan.} 2 Identifikasi operasi dasar algoritma

3 Cek apakah jumlah operasi dasar akan berbeda jika ukuran masukan berbeda?, kalau iya maka dapat dihitung, waktu terbaik, terburuk, dan rata-rata secara terpisah.

4 _{Buat relasi rekursi dengan kondisi awal yang sesuai, untuk jumlah} operasi dasar yang dijalankan.

5 _{Selesaikan relasi rekursi, atau paling tidak tentukan orde kenaikannya.}

(29)

Outline

Relasi Rekurens Faktorial

5 Relasi Rekurens Hanoi Tower

(30)

Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower of Hanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yang memiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusun

berdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah.

Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang A ke B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang C sebagai perantara.

(31)

Hanoi Tower

Selanjutnya adalah contoh masalah yang dikenal sebagai the Tower of Hanoi puzzle. Dalam permainan ini, pemain diberikan tiga buah batu yang memiliki ukuran berbeda. Batu-batu tersebut selanjutnya disusun

berdasarakan ukuran, yakni ukuran terbesar berada paling bawah.

Tujuan dari permainan ini adalah, memindahkan tumpukan batu di tiang A ke B tanpa mengubah posisi batu besar paling bawah. Disediakan tiang C sebagai perantara.

(32)

Hanoi Tower

Figure : Solusi rekursif untuk masalah Menara Hanoi.

(33)

Hanoi Tower

Procedure Hanoi (input n, A, B, C:integer) Algoritma

If n=1 then

Write (Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Else

Hanoi(n-1,A,C,B)

Writeln(Pindahkan piringan dari,A,ke,B) Hanoi(n-1,C,B,A)

Endif

(34)

Hanoi Tower

Operasi dasar dari algoritma Hanoi adalah ’Writeln()’, sehingga dengan jelas bahwa pergerakan T (n) bergantung pada n yang relasi rekursinya berupa:

T (n) = T (n − 1) + 1 + T (n − 1) ∀n > 1 (5.1) Dengan kondisi awal T (1) = 1, maka relasi rekursinya ditulis ulang dalam bentuk:

T (n) = (

1, n = 1

2T (n − 1) + 1, n > 1 (5.2)

(35)

Hanoi Tower

Maka kompleksitas waktunya dapat dihitung sebagai berikut: T (n) = 2T (n − 1) + 1 = 2(2T (n − 2) + 1) + 1 = 22T (n − 2) + 2 + 1 = 22(2T (n − 3) + 1) + 2 + 1 = 23T (n − 3) + 22+ 2 + 1 = · · · = 2n−2(2T (n − (n − 1)) + 1) + 2n−3+ · · · + 22+ 2 + 1 = 2n−2· 2T (1) + 2n−2+ 2n−3+ · · · + 22+ 2 + 1 = 2n−1+ 2n−2+ 2n−3+ · · · + 22+ 2 + 1 = 2n− 1 Sehingga T (n) = 2n− 1 → O(2n_).

(36)

Outline

Relasi Rekurens Hanoi Tower

6 Relasi Rekursi Min Max

(37)

Min Max

Perhatikan algoritma mencari data maksimum dan minimum dari suatu tabel berikut

procedure MinMaks2(input A : TabelInt, i, j : integer, output min, maks : integer) { Mencari nilai maksimum dan minimum di dalam tabel A

yang berukuran n elemen secara Divide and Conquer.

Masukan: tabel A yang sudah terdefinisi elemen- elemennya Keluaran: nilai maksimum dan nilai minimum tabel

}

Deklarasi

min1, min2, maks1, maks2 : integer if i=j then {Jika satu elemen}

min <-- A[i] maks <-- A[i] else

(38)

Min Max

else

if (i = j-1) then {Jika dua elemen} if A[i] < A[j] then

maks <-- A[j] min <-- A[i] else maks <-- A[i] min <-- A[j] endif

(39)

Min Max

else

k=(i+j) div 2 { bagidua tabel pada posisi k } MinMaks2(A, i, k, min1, maks1)

MinMaks2(A, k+1, j, min2, maks2) if min1 < min2 then

min <-- min1 else min <-- min2 endif if maks1<maks2 then maks <-- maks2 else maks <-- maks2 endif endif endif

(40)

Min Max

Dari algoritma tersebut dapat dibuat relasi rekursi sebagai berikut:

T (n) =      0, n = 1 1, n = 2 2T (n/2) + 2, n > 2 (6.1)

(41)

Min Max

Sehingga waktu asismtotiknya bisa dicari yaitu: Misal n = 2k, sehingga T (n) = 2T (n/2) + 2 = 2(2T (n/4) + 2) + 2 = 4T (n/4) + 4 + 2 = 4(2T (n/8) + 2) + 4 + 2 = 8T (n/8) + 8 + 4 + 2 = 23T (2k/23) + 8 + 4 + 2 = 23T (2k−3) + 23+ 22+ 21, n = 2k = · · · = 2k−1T (2) + 2k−1+ · · · + 22+ 21 = 2k−1+ k−1 X i =1 2i = 2k−1+ 2k − 2

Selanjutnya bawa ke bentuk n atau k =2log n,

(42)

Min Max

T (n) = 2k−1+ 2k − 2 = 22log n−1+ 22log n− 2 = n 2 + n − 2 = 3n 2 − 2 ∈ O(n)

(43)

Outline

(44)

Tambahan

Untuk mengetahui kompleksitas bentuk rekursif, maka T (n) harus diubah dalam bentuk yang bukan rekursif.

Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ? Ada dua macam cara untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu cara coba-coba dan dengan persamaan karakteristik :

1 Cara coba-coba (deret).

2 Metode dengan persamaan karakteristik

(45)

Outline

(46)

Metode Coba-Coba

Cara ini dilakukan dengan menentukan pola deret yang terbentuk (cara deret). Contoh untuk cara ini telah ditunjukkan dalam mencari

kompleksitas waktu untuk beberapa bentuk rekursif sebelumnya. Cara ini agak sulit dan perlu pengalaman.

Example

Tentukan waktu rekursi berikut: T (n) =

(

a, n = 1, 2

T (n − 1) + T (n − 2) + b, n ≥ 3 (7.1)

(47)

Metode Coba-Coba

Solusi dari contoh diatas dengan cara coba coba adalah sebagi berikut: T (1) = T (2) = a T (3) = T (2) + T (1) + b = a + a + b = 2a + b T (4) = T (3) + T (2) + b = (2a + b) + a + b = 3a + 2b T (5) = T (4) + T (3) + b = (3a + 2b) + (2a + b) + b = 5a + 4b T (6) = T (5) + T (4) + b = (5a + 4b) + (3a + 2b) + b = 8a + 7b · · ·

Sangat sulit untuk bisa diformulasikan. Sehingga harus mencari cara lain utntuk menghitung waktu algoritma. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan metode karakteristik. Metode ini akan dijelaskan pada peretemuan selanutnya.

(48)

Outline

(49)

References

1 _{Anany, L. (2003). Introduction to the design and analysis of} algorithms. Villanova University.

(50)

Outline

(51)

Exercise 1

Selesaikan relasi rekurensi berikut: T (n) =

(

0, n = 1

T (n − 1) + 5, n ≥ 2 (9.1)

(52)

Exercise 2

(

4, n = 1

3T (n − 1), n ≥ 2 (9.2)

(53)

Exercise 3

(

0, n = 0

T (n − 1) + n, n > 0 (9.3)

(54)

Exercise 4

(

1, n = 1

T (n/2) + n, n > 1 (9.4)

(55)

Exercise 5

(

1, n = 1

T (n/3) + 1, n > 1 (9.5)

(56)

Exercise 6

Diberikan algoritma untuk menghitung jumlah pangkat 3 dari deret, S (n) = n3+ (n − 1)3+ · · · + 23+ 13.

ALGORITHM S(n)

//Input: A positive integer n

//Output: The sum of the first n cubes if n = 1 return 1

else return S(n - 1) + n * n * n

1 Tentukan relasi rekursi dari algoritma di atas dan selesaikan. 2 Bandingkan dengan algoritma yang tidak ditulis dengan rekursif.

(57)

The end of week 4

Thank you for your attention!