MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL IPM PROVINSI JAWA TENGAH PERIODE TAHUN 2007

MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL

IPM PROVINSI JAWA TENGAH PERIODE TAHUN 2007

Citra Fatimah Nur

Mahasiswa Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS, Sukolilo, Surabaya 60111

Email : fatimeh@statistika.its.ac.id Purhadi

Dosen Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS, Sukolilo, Surabaya 60111

Email : purhadi@statistika.its.ac.id

Abstrak. Regresi logistik ordinal merupakan salah satu metode statistika untuk menganalisis variabel respon (dependen) yang mempunyai skala ordinal yang terdiri atas tiga kategori atau lebih. Variabel prediktor (independen) yang dapat disertakan dalam model berupa data kategori atau kontinu yang terdiri atas dua variabel atau lebih. Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan indikator keberhasilan pembangunan manusia dalam suatu wilayah dan dapat dikategorikan menjadi bawah, menengah-bawah, menengah-atas, dan atas. Berdasarkan pengkategorian tersebut selanjutnya, dalam penelitian ini ingin diketahui lebih lanjut model IPM dengan menggunakan metode Regresi Logistik Ordinal, dengan variabel prediktor yang diduga mempengaruhi, yaitu : Persentase penduduk yang tinggal di daerah perkotaan (X1), Persentase penduduk yang berpendidikan

di atas SLTP (X2), Rata-rata Pendapatan per kapita (X3), rasio ketergantungan penduduk

(X4), peranan sektor industri dalam PDRB (X5), dan Persentase penduduk miskin (X6).

Berdasar Model Regresi Logistik Ordinal diperoleh beberapa variable prediktor yang signifikan mempengaruhi nilai IPM.

Key Words : Ordinal Logistic Regression, Human Development Index

1. Latar belakang

Jumlah penduduk miskin di Jateng masih sangat tinggi. Dari data Badan Pusat Statistik (BPS) pada 2006, dari 33,18 juta jiwa penduduk Jateng, sebanyak 12,68 juta jiwa (26%) di antaranya masuk kategori miskin. Jumlah warga miskin tersebut terdiri atas 3,17 juta rumah tangga miskin (RTM). Gubernur Jateng Mardiyanto mengungkapkan, data tersebut berdasarkan survei BPS dengan menggunakan 14 variabel. Namun, dari data tersebut, penduduk yang dikategorikan sangat miskin hanya 0,34 juta RTM (1,39 juta jiwa). Menurut Gubernur dalam LKPJ yang disampaikan ke DPRD Jateng, kategori miskin 1,54 juta RTM (6,16 juta jiwa) dan kategori hampir miskin sebanyak 1,27 juta RTM (5,08 juta jiwa). (www.depdagri.go.id)

Sejak era pembangunan ber-Pelita mulai tahun 1969 propinsi Jawa Tengah “terjepit” di antara 2 propinsi besar Jawa Barat-DKI Jakarta dan Jawa Timur, yang keduanya “maju pesat” melalui industrialisasi yang berpusat di “Jabotabek” dan Surabaya.

Seminar Nasional Statistika IX

dampak negatif karena menjadi pemasok tenaga kerja murah yang hanya dinikmati mereka yang meninggalkan desanya. Akibatnya kemiskinan tetap luas dan SDM-nya terdiri atas mereka yang “tersisa”, yang kualitasnya bukan yang terbaik. Nilai Indek Pembangunan Manusia (IPM) Jawa Tengah tahun 1996 adalah 67,0 lebih rendah dari IPM Jakarta 76,1 dan Surabaya 72,1. Yang menarik, IPM Semarang kecuali dalam pendidikan selalu lebih baik dari IPM Surabaya meskipun selalu lebih buruk dibanding 3 kota lainnya yaitu Jakarta, Bandung, dan Yogyakarta. Amat jelas IPM kota Semarang yang tinggi berbeda jauh sekali dengan IPM terburuk di Jawa Tengah yaitu Brebes (60.5, 1996) dan Pemalang (56.1, 1999). (Mubyarto, 2002)

Penelitian sebelumnya ,Rita Diana (2009), telah mengungkap beberapa faktor yang mempengaruhi nilai IPM di Jawa Tengah dengan metode regresi multivariat, meliputi :

Persentase penduduk yang tinggal di daerah perkotaan, Persentase penduduk yang berpendidikan di atas SLTP, Rata-rata Pendapatan per kapita, rasio ketergantungan penduduk, peranan sektor industri dalam PDRB , dan Persentase penduduk miskin. Mengingat Indeks Pembangunan Manusia adalah nilai yang menunjukkan seberapa tinggi tingkat pembangunan manusia yang dapat dikategorikan menjadi 4 kategori, yaitu : rendah, menengah-bawah, menengah atas, dan tinggi, maka pada penelitian kali ini ingin mengungkap faktor-faktor yang mempengaruhi IPM dengan metode Regresi Logistik Ordinal. Sehingga untuk ke depannya dapat digunakan untuk memperbaiki kualitas pembangunan dengan memperbaiki hal-hal yang mempengaruhi indikator IPM itu sendiri, agar tidak terjadi ketimpangan nilai IPM antar kabupaten/kota.

2. Indeks Pembangunan Manusia

IPM merupakan gambaran komprehensif mengenai tingkat pencapaian pembangunan manusia di suatu daerah, sebagai dampak dari kegiatan pembangunan yang dilakukan di daerah tersebut. Perkembangan angka IPM, memberikan indikasi peningkatan atau penurunan kinerja pembangunan manusia pada suatu daerah. IPM dibangun melalui pendekatan tiga dimensi dasar, yang meliputi umur panjang dan sehat, pengetahuan dan kehidupan yang layak. Untuk mengukur dimensi kesehatan digunakan angka umur harapan hidup, sedangkan untuk mengukur dimensi pengetahuan digunakan gabungan indicator angka melek huruf dan rata-rata lama sekolah. Adapun untuk mengukur dimensi hidup layak digunakan indicator kemampuan daya beli ( Purchasing Power Parity). (BPS, 2008)

3. Regresi logistik ordinal

Model logit yang menjadi fokus utama dalam bidang sosial adalah model logit kumulatif (cumulative logit models). Model logit kumulatif pertama kali diperkenalkan oleh Walker dan Duncan (1967) dan kemudian disebut model odds proporsional

(proportional odds model) oleh McCullagh (1980). Jika variabel prediktor

1

...

2

T p

x x

x

x

, maka peluang kumulatif logit didefinisikan (Agresti, 2002) sebagai

1 2

(

| )

( )

( ) ...

_j

( ) ,

1,2,...,

P Y

j

x

x

x

x

j

J

Kumulatif logit didefinisikan sebagai

(

| )

log [ (

| ) ln

1

(

| )

P Y

j

it P Y

j

P Y

j

x

x

x

(

| )

ln

(

| )

P Y

j

P Y

j

x

x

1 2 1 2

( )

( ) ...

( )

ln

( )

( ) ...

( )

j j j J

x

x

x

x

x

x

,

j

1,2,...,

J

1

(1) Anggap suatu peubah respon multinomial Y dengan keluaran kategori yang dinyatakan oleh 1,2,...,J dan misalkan

x

menyatakan suatu vektor kovariat berdimensi p. Dependensi peluang kumulatif Y terhadap

x

untuk model proportional odds sering dinyatakan dalam bentuk

0

(

| )

ln

,

1,2,...,

1

(

| )

T j

P Y

j

j

J

P Y

j

x

x

x

(2)

Persamaan (2.3) dapat diubah ke dalam bentuk

1 2 0 1 2

( )

( ) ...

( )

ln

,

1,2,...,

1

( )

( ) ...

( )

j T j j j J

j

J

x

x

x

x

x

x

x

Model yang secara simultan menggunakan semua kumulatif logit (Agresti, 2002) adalah

0

log [ (

| )]

T

,

1,2,...,

1

j

it P Y

j

x

x

j

J

(3)

( )

(

| )

j

x

P Y

j

x

merupakan peluang kumulatif dari kejadian

(

Y j

)

. 0 j

merupakan parameter intersep yang tidak diketahui yang memenuhi kondisi

01 02

...

0,J 1 dan 1

, ,...,

2

T

p merupakan vektor koefisien regresi yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan

x.

Jika _j

( )

x

₁

( )

x

₂

( )

x

₃

( ) ...

x

_j

( )

x

. Maka ₁

( )

x

₁

( )

x

,

2

( )

x

1

( )

x

2

( )

x

, dan J

( )

x

1

( )

x

2

( ) ...

x

J

( ) 1

x

. Model regresi logistik ordinal yang terbentuk jika terdapat J kategori respon adalah

1 1 01 1 1 2 2 1

( )

log ( ) ln

...

1

( )

p p

it

x

x

x

x

x

x

2 2 02 1 1 2 2 2

( )

log ( ) ln

...

1

( )

p p

it

x

x

x

x

x

x



1 1 0, 1 1 1 2 2 1

( )

log

( ) ln

...

1

( )

J J J p p J

it

x

x

x

x

x

x

di mana 0 0

exp(

)

( )

(

| )

1 exp(

)

T j j T j

P Y

j

x

x

x

x

,

j

1,2,...,

J

1

dan J

( ) 1

x

Model ini disebut model logistik kumulatif karena rasio odds dari suatu kejadian

(

Y j

)

adalah independen pada setiap indikator kategori.

Jika dimisalkan terdapat 3 kategori respon, maka model regresi logistik ordinal yang terbentuk adalah

1 1 01 1 1 2 2 1

( )

log ( ) ln

...

1

( )

p p

it

x

x

x

x

x

x

2 2 02 1 1 2 2 2

( )

log ( ) ln

...

1

( )

p p

it

x

x

x

x

x

x

Pendugaan Parameter

Metode pendugaan parameter regresi logistik ordinal dapat diperoleh dengan menggunakan metode pendugaan maximum likelihood estimation ( MLE) dengan syarat distribusi variabel respon Y diketahui. Selain itu, metode MLE dipilih karena mempunyai beberapa kelebihan dibandingkan dengan metode lain, diantaranya dapat digunakan untuk model tidak linier seperti regresi logistik, serta hasil penaksirannya unbiased (Hosmer dan Lemeshow, 2000).

Pendugaan parameter regresi logistik ordinal didapatkan dengan menurunkan fungsi log likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi dan disamakan dengan nol. Persamaan

0

)

(

k

L

digunakan untuk menaksir intersep parameter βk dimana k=1, 2, ...p dan

0

)

(

j

L

dipergunakan untuk menaksir intersep θj dimana j=1, 2, ..., J – 1.

Hasil dari persamaan

(

)

0

k

L

dan

(

)

0

j

L

merupakan fungsi nonlinear sehingga diperlukan metode iterasi untuk memperoleh estimasi parameternya. Metode iterasi yang dipergunakan adalah metode iterative Weighted Least Square (WLS) yaitu algoritma Newton-Raphson. Iterasi akan berhenti jika terpenuhi kondisi konvergen, yaitu selisih t 1 ( )t , di mana adalah bilangan yang sangat kecil.

Model logistik ordinal yang telah diperoleh perlu diuji kesesuaiannya. Pengujian yang dilakukan adalah sebagai berikut.

Uji univariabel (parsial) : Hipotesa pengujian ini adalah :

0: k 0

H lawan H₁: k 0 , k=1,2,…,p

Statistik uji yang digunakan adalah statistik Wald :

2 2

ˆ

ˆ

( )

k k k

W

SE

Daerah penolakan: 0

H ditolak bila

W

_k2> 2_,1 atau p-value kurang dari α. Uji Multivariabel (Serentak) :

Hipotesa pengujian ini adalah : 0: 1 2 ... p 0

H

1:

H Paling sedikit ada satu k 0 , k=1,2,…,p

Statistik uji yang digunakan statistik uji G2 atau Likelihood Ratio Test : 2

0 1 0 1

2 ln( ) 2( )

G   L L

di mana  = nilai yang dimaksimalkan dari fungsi likelihood di bawah ₀ H ₀

1

 = nilai yang dimaksimalkan secara keseluruhan (H₀ H ) ₁ Daerah penolakan:

0

4. Metode penelitian

Data yang digunakan pada Penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari BPS dan penelitian sebelumnya. Data yang diambil adalah data IPM 2007 Propinsi Jawa Tengah. Dengan unit observasi adalah kabupaten/kota di Jawa Tengah, yang terdiri dari 35 kabupaten/kota, Dengan variabel-variabel penelitian yang akan diteliti adalah :

Tabel 1. Variabel Penelitian

No. Nama Variabel Tipe

Variabel Kategori

(1) (2) (3) (4)

1 Y = Indeks pembangunan manusia Diskrit 1=Bawah

2=Menengah-bawah 3=Menengah-atas 4=Atas

2 X1 = Persentase penduduk yang tinggal di daerah perkotaan

Kontinu -

3 X2 = Persentase penduduk yang berpendidikan di atas SLTP

Kontinu -

4 X3 = Rata-rata Pendapatan per kapita Kontinu -

5 X4 = Rasio ketergantungan penduduk Kontinu

6 X5 = Peranan sektor industri dalam PDRB Kontinu -

7 X6 = Persentase penduduk miskin Kontinu -

Metode peneltian yang digunakan sebagai langkah-langkah untuk mencapai tujuan penelitian dijabarkan sebagai berikut.

1. Mengetahui pengaruh indikator pendidikan terhadap IPM di Provinsi Jawa Tengah menggunakan regresi logistik ordinal dengan uraian langkah.

a. Memodelkan variabel x (variabel bebas) terhadap Y (variabel tak bebas) dengan metode Regresi Logistik Ordinal

b. Memilih variabel mana yang signifikan dengan melakukan uji sebagai berikut :

0

:

k

0

H

1

:

k

0

H

, k=1,2,…,9

c. Memodelkan variabel Y dengan beberapa variabel x yang signifikan dengan metode Regresi Logistik Ordinal, dengan pengujian hipotesis :

0

:

1 2

...

9

0

H

1

:

H

Paling sedikit ada satu _k

0

, k=1,2,…,9 Dan

5. Hasil dan pembahasan

Pengkategorian IPM terbagi menjadi 4 kategori, yaitu : bawah, menengah – bawah, menengah - atas, dan atas. Namun, pada data IPM Jawa Tengah tidak seperti demikian, karena seluruh data berada pada kisaran menengah – atas, seperti pada tabel berikut :

No. Kategori Persentase Jateng 1 (IPM<50) 0.00% 2 (50<IPM<66) 0.00% 3 (66<IPM<80) 100.00% 4 (IPM>80) 0.00%

Sehingga untuk pengolahan data dengan metode Regresi Logistik Ordinal, diperlukan pengkategorian variabel respon kembali, menjadi :

Kategori Persentase Jateng 1(IPM<70) 37.14% 2(70<IPM<75) 51.43% 3(IPM>75) 11.43%

Karena variabel respon terdiri dari tiga kategori, maka akan didapatkan dua fungsi logit yaitu fungsi logit 1 dan fungsi logit 2.

Sebelum dilakukan analisis regresi logistik ordinal, maka perlu dilakukan pemilihan variabel yang berpengaruh nyata secara individu terhadap IPM yaitu dengan cara meregresikan tiap-tiap variabel prediktor dengan variabel responnya. Dari sini akan diketahui variabel prediktor mana saja yang secara univariabel berpengaruh terhadap variabel responnya.

Hipotesis yang digunakan adalah:

0

:

k

0

H

1

:

k

0

H

, k=1,2,…,9

Statistik uji yang digunakan adalah statistik Wald,

2 2

ˆ

ˆ

( )

k k k

W

SE

Pengujian dilakukan dengan membandingkan nilai

W

_k2 dengan distribusi chi-square, 2 dengan derajat bebas satu dan

0,20

. Hipotesis akan tolak

H

₀ bila

W

_k2 lebih besar dari

Variabel Ordinal Logistic Regression Kesimpulan

COEF1 SECO1 Wald test

(X1) -0,077 0,070 1,209 Gagal Tolak H0 (X2) 0,328 0,165 3,962 Tolak H0 (X3) 0,030 0,033 0,825 Gagal Tolak H0 (X4) -43,592 21,631 4,061 Tolak H0 (X5) 0,041 0,041 1,014 Gagal Tolak H0 (X6) 0,106 0,144 0,547 Gagal Tolak H0

Berdasarkan tabel, dapat dilihat bahwa hanya variable X2, dan X4 yang memiliki

pengaruh yang signifikan terhadap model secara univariabel, sebagai berikut : H0 : _{2 4}

0

1

:

H

Paling sedikit ada satu _k

0

, k=2,4

Berdasarkan output perhitungan dalam SPSS 15 diperoleh bahwa nilai Statistik G = 41.887 dengan p-value = 0.000 < α(0.05). Maka dapat disimpulkan, bahwa kedua variabel

bebas X2, dan X4 berpengaruh secara serentak terhadap model. Kemudian, berikutnya

adalah uji parsial dengan hipotesis sebagai berikut :

0

:

k

0

H

1

:

k

0

H

, k=2,4

Berdasar tabel di atas nampak bahwa variabel bebas yang signifikan mempengaruhi model adalah X2, dan X4, yaitu Persentase penduduk yang berpendidikan di atas SLTP, dan Rasio ketergantungan penduduk. Hal ini dapat dilihat dari nilai p-value-nya telah signifikan baik secara uji serentak maupun uji parsial. Sehingga diperoleh model terbaik sebagai berikut :

4 2 1 1 1

9

,

32442

0

,

290907

34

,

4076

)

(

1

)

(

ln

)

(

log

X

X

x

y

x

y

x

y

it

_





)

(

x

y





Penduga Koefisien p-value

Konstanta 1 -9,.32442 0,327 Konstanta 2 0,0655197 0,994 X2 -0,290907 0,003 X4 34,4076 0,045 Uji Serentak G = 41,887 p-value = 0,000

Setelah didapatkan model terbaik, maka peluang tiap-tiap kategori di tiap-tiap provinsi juga bisa dihitung, sebagai berikut :

)

4076

,

34

290907

,

0

32442

,

9

exp(

1

)

4076

,

34

290907

,

0

32442

,

9

exp(

)

(

4 2 4 2 1

X

X

X

X

x



(

)

)

4076

,

34

290907

,

0

0655197

,

0

exp(

1

)

4076

,

34

290907

,

0

0655197

,

0

exp(

)

(

₁ 4 2 4 2 2

x

X

X

X

X

x





, dan



₃

(

x

)

1



₁

(

x

)



₂

(

x

)

Berdasarkan hitungan peluang di atas dapat diperoleh hasil prediksi, sehingga kebenaran model logit ini dapat dilihat berdasar hasil pengklasifikasian antara prediksi dan observasi

Tabel Klasifikasi Hasil IPM antara Observasi dan Prediksi

Observasi Prediksi Persentase ketepatan IPM Kategori 1 IPM Kategori 2 IPM Kategori 3 IPM Kategori 1 9 4 0 69.23% IPM Kategori 2 3 15 0 83.33% IPM Kategori 3 0 0 4 100.00% Total 84.19%

Berdasarkan pengklasifikasian IPM pada Tabel di atas dapat diketahui persentase ketepatan pengklasifikasian IPM Jawa Tengah sebesar 84,19%. Angka ini cukup baik karena ketepatannya sudah lebih dari 50 persen, sehingga dapat disimpulkan bahwa model dianggap baik.

6. Kesimpulan

Hasil pemodelan IPM Jawa Tengah dengan tiga kategori diperoleh bahwa hanya

Persentase penduduk yang berpendidikan di atas SLTP, dan Rasio ketergantungan penduduk yang signifikan berpengaruh, dengan model regresi logistik :

4 2 1 1 1

9

,

32442

0

,

290907

34

,

4076

)

(

1

)

(

ln

)

(

log

X

X

x

y

x

y

x

y

it

_





_{2 4} 2 2 2

0

,

0655197

0

,

290907

34

,

4076

)

(

1

)

(

ln

)

(

log

X

X

x

y

x

y

x

y

it

_





Dengan ketepatan prediksi yang dihasilkan dari model tersebut yang cukup besar yaitu 84,19%.

7. Daftar Pustaka

BPS (2008), Indeks Pembangunan Manusia 2006-2007. BPS, Jakarta.

Cameron, A. Colin. and Trivedi, Pravin K. (1998). Regression Analysis of Count Data. Cambridge University Press, United Kingdom

Diana, R. (2009). Uji Kesamaan Vektor Parameter Model Linier Multivariat : Studi Kasus Faktor-faktor yang mempengaruhi IPM tahun 2007. Jurusan Statistika-ITS

Hosmer, D. W. dan Lemeshow, S. (2000). Applied Logistic Regression. John Wiley and Son, New York

Mubyarto. (2002). “Penanggulangan Kemiskinan di Jawa Tengah dalam Era Otonomi Daerah”. Jurnal Ekonomi Rakyat. Artikel Tahun I. No. 9

Tirtosudarmo, R. (2009), “ Mobility and Human Development in Indonesia”, Human Development Reesearch Paper.

http://www.depdagri.go.id/konten.php?nama=BeritaDaerah&op=detail_berita_daerah&id= 636. diakses pada tanggal 20 Oktober 2009. Pukul : 17.14