BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

(1)

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Formulasi masalah

Misalkan C [ n ,k ,d ] adalah kode linear biner yang mempunyai panjang

n , berdimensi k dan jarak minimum d. kode C dikatakan baik jika n kecil, k besar dan d besar. Makna fisiknya, n harus kecil terkait dengan proses enkoding dan dekoding, juga terkait dengan memori yang digunakan dalam proses tersebut. Selanjutnya k harus besar terkait dengan banyaknya pesan yang dapat diubah menjadi kata kode dan d harus besar terkait dengan banyaknya galat yang dapat dikoreksi.

Diberikan sembarang dua parameter, misalnya n dan k, problemnya: “Adakah suatu kode [n,k,d] untuk nilai d yang sebesar besarnya.?”. Pertanyaan itu mengarah pada pendefinisian fungsi

D ( n, k ) = maks { d / kode [ n, k, d ] ada }

Dalam hal ini, suatu kode C dengan parameter [ n, k, d ] disebut optimal-D (optimal jarak minimum), jika C ada (telah berhasil dikonstruksi) dan telah pula dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [ n, k, d + 1]. Batas bawah (lower bound) dan batas atas (upper bound) dari fungsi D(n, k) diartikan sebagai berikut. Misalnya,

l ≤ D ( n, k ) ≤ u

artinya telah berhasil dikonstruksi kode dengan parameter [ n, k, d ≤ l ], dan telah berhasil pula dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [n, k, d > u], sedangkan ada/tidaknya kode dengan parameter [ n, k, d], dengan l < d ≤ u, merupakan open problem. Untuk memperbaiki satu langkah batas bawah dari fungsi D ( n, k ) berarti harus mampu mengkonstruksi kode dengan parameter [ n, k, l + 1]. Perbaikan satu langkah batas atas dari fungsi D(n, k) berarti dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [ n, k, u ]. Penelitian ini hanya untuk memperbaiki satu langkah batas bawah saja. Informasi terkini (updated) basis data untuk batas fungsi D(n, k ) dapat dilihat di dalam Tabel Brouwer (Brouwer 1998) dan bisa diakses secara on-line. Secara analog (ekivalen), didefinisikan fungsi K(n,d) untuk optimalisasi dimensi (optimal-K) atau fungsi N(k,d) untuk

(2)

optimalisasi panjang kode (optimal-N), dan sekaligus memformulasikan masalahnya:

K ( n, d ) = maks { k / kode [ n, k, d ] ada } N ( k, d ) = min { n / kode [ n, k, d ] ada }.

Berdasarkan formulasi umum problem di atas, pada penelitian ini didefinisikan kode optimal kuat (strongly optimal codes) beserta formulasi problem konstruksinya. Kode linear C dengan parameter [n, k, d] disebut optimal kuat jika kode linear-[n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n+1, k+1, d] tidak ada. Sedangkan suatu kode disebut optimal –D jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k, d+1] tidak ada. Jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n-1, k, d] tidak ada maka disebut optimal-N. Selanjutnya jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k+1, d] tidak ada, maka kode tersebut disebut optimal –K.

2.6 Analisis Teori

Suatu matriks H berukuran yang semua barisnya merupakan suatu basis untuk disebut matriks cek paritas dari C. Pengertian matriks cek paritas ini berimplikasi pada pendefinisian kode linear berkaitan dengan cara konstruksinya, yaitu | H . Mengkonstruksi suatu kode berarti mendefinisikan matriks cek paritas H atau matriks generatornya G.

Pada bagian ini akan dikaji beberapa teorema yang paling berperan untuk melandasi konstruksi H.

Teorema 3.2.1

Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode tersebut mempunyai dimensi (n-r) jika dan hanya jika ada r kolom dari H yang bebas linear tetapi tidak ada (r + 1) kolom dari H yang bebas linear. Ini artinya r adalah rank dari H.

Bukti

Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode linear C dengan panjang n dan G adalah matriks generator untuk C. Maka C berdimensi (n – r) jika dan hanya jika rank (G) = ( n – r). (karena G adalah basis dan banyaknya baris di G

(3)

menunjukkan dimensi suatu kode). Karena G dan H saling orthogonal, maka rank (G) = (n - r) jika dan hanya jika rank ( H) = r.

Teorema 3.2.2

Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode tersebut mempunyai jarak minimum d jika dan hanya jika setiap d - 1 kolom dari H yang bebas linear dan ada d kolom dari H yang tidak bebas linear.

Bukti:

Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode C dengan panjang n, maka kode tersebut berjarak minimum d jika dan hanya jika C berbobot minimum d jika dan hanya jika ada vektor v dengan wt(v) = d sehingga HvT

= 0T dan untuk setiap w dengan wt(w) < d jika dan hanya jika HwT

0T ( jika HwT = 0T berarti w , maka akan terjadi kontradiksi karena wt(w) < d ) jika dan hanya jika ada d kolom dari H yang tidak bebas linear dan setiap d – 1 kolom dari H yang bebas linear.

Teorema 3.2.3 (The Singleton Bound)

Jika C adalah kode dengan parameter [n, k, d], maka (n – k) (d- 1). Bukti:

Jika C kode dengan parameter [n, k, d], maka C mempunyai matriks paritas H berordo (n – k) n. Ini berarti rank (H) (n – k), dan berdasarkan teorema 3.2.2, matriks H memiliki d – 1 kolom yang bebas linear, sehingga rank (H) = (d – 1), maka (n – k) (d- 1).

Teorema 3.2.4 ( Teorema Gilbert-Varshamov bound) Jika telah diketahui ada kode [ ] yang m

1 2 , maka ada (dapat dikonstruksi) kode

dengan parameter [n+1, k+1, d].

n,k,d emenuhi ketaksamaan

Bukti:

Misalkan diketahui kode C memiliki parameter [n, k, d]. Berdasarkan teorema 3.2.2 ada matriks paritas H berordo (n - k) n ditulis

H = ( c1 c2 … cn )

yang setiap d - 1 vektor dari { c1, c2, … cn } adalah bebas linear dalam ruang

. Ide dasar pembuktian adalah jika ada vektor x yang bukan i kombinasi linear dari vektor-vektor kolom H untuk i = 1, 2,…, d – 2, maka

(4)

adalah matriks berordo (n - k) (n + 1) yang setiap d-1 vektor dari{c1,c2,… cn, x }

adalah bebas linear dalam ruang . Dalam hal ini, merupakan matriks paritas untuk kode [n + 1, k + 1, d]. Syarat adanya vektor x terjadi ketika dipenuhi ketaksamaan

= ( c1 c2 … cn x )

1

1 2 3 2 2 ,

dimana ruas kiri menyatakan banyaknya vektor-vektor sebagai hasil i kombinasi linear dari vektor-vektor kolom H untuk i = 1, 2, … d - 2, sedangkan ruas kanan menyatakan banyaknya vektor-vektor dalam .

2.7 Algoritme Konstruksi

Mengkonstruksi kode linear [k+r, k,d] berarti mengkonstruksi bentuk standar dari H, yaitu H = ( | ). Untuk efisiensi komputasi cukup dikonstruksi matriks B berukuran k r. Berdasarkan teorema Gilbert-Vashamov bound diturunkan teorema konstruksi berikut:

Teorema 3.3.1

Jika matriks B berukuran k r dikonstruksi berdasarkan sifat : 1. Semua vektor baris dari B berbeda.

2. Jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot paling sedikit (d – i) untuk i = 1,

2, 3,…s dimana s = min {d – 1, k} dan (d – 1) r, maka

H = ( BT | Ir )

merupakan matriks paritas untuk kode C dengan parameter [k + r, k, d]. Dalam hal ini matriks generator dari C adalah

G = ( Ik | B )

Bukti:

Misalkan telah dikonstruksi matriks B berukuran k sebagaimana disyaratkan oleh teorema, akan ditunjukkan bahwa H merupakan matriks paritas untuk kode C [k + r, k, d]. Hal pertama yang mudah dilihat dari struktur H adalah C mempunyai panjang (k + r) dan berdimensi k, sehingga tinggal ditunjukkan C memiliki jarak minimum d. Andaikan ada v C dengan wt (v) < d dan

(5)

dituliskan v = (vm, vc) dimana vm vektor pesan dengan wt (vm) = i dan vc vektor

cek dengan wt (vc) = j, maka berlaku

i + j < d j < d - i wt (vc) < d – i (i)

dan

HvT_{= 0}T _{( B}T

| Ir ) = 0T BT + Ir = 0T BT = (ii)

Karena wt(vm) = i, dan berdasarkan syarat 2 dari konstruksi B, maka

wt(BT _{) d – i. (iii)}

Dari ekspresi (i), (ii), dan (iii) menunjukkan suatu kontradiksi sehingga dapat disimpulkan bahwa C berbobot minimum d atau dengan kata lain C memiliki jarak minimum d.

Dengan demikian, mengkonstruksi kode C[k+r, k, d] berdasarkan teorema 3.3.1 berarti mengkonstruksi matriks generato yrn a,

G = |

cukup dengan mengkonstruksi matriks B berukuran k r yang memenuhi sifat-sifat: semua vektor baris dari B berbeda dan jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot paling sedikit (d – i), untuk i =1, 2, …, s dimana s = min{d – 1, k} dan (d – 1) r.

Begitu kode linear C [ n, k, d ] telah terkonstruksi, langkah berikutnya adalah mendefinisikan himpunan V yang beranggotakan semua vektor baris dari B dan semua vektor sebagai hasil jumlah i vektor baris dari B untuk i = 2,3,…s dimana s = min {d-1, k}. Maka jelaslah bahwa V _. Jika V ≠ _, maka ada vektor dan x yang bisa ditambahkan ke baris matriks B untuk mendefinisikan matriks yang berukuran (k+1) r dan matriks cek paritas H’ =

T_| _{) akan mendefinisikan kode dengan parameter [n+1, k+1 , d]. Pada} penelitian ini strategi konstruksi kode [n +1, k + 1, d] memenuhi teorema Gilbert- Varshamov bound.

Proses ekstensi kode dari [n, k , d] ke [ n+1, k+1, d ] dilakukan tahap demi tahap sampai diperoleh suatu kode C dengan parameter [ n’ , k’ ,d ] yang sudah tidak bisa diperluas lagi. Ketika diperoleh informasi bahwa telah dibuktikan bahwa kode dengan parameter [ n'_{+1, k}'_{+1, d ] tidak ada, maka C merupakan}

(6)

informasi bahwa ada kode dengan parameter [ n'_{+1, k}'_{+1, d ], berarti kode}

optimal kuat gagal dikonstruksi. Dalam hal ini, harus dilakukan rekonstruksi dengan strategi memilih kode dasar [n , k , d ] lain yang berpeluang besar dapat diperluas menjadi kode optimal kuat C. Pemilihan kode dasar yang baik memerlukan eksplorasi yang baik yang bersifat teoritik maupun komputatif. Selanjutnya keberhasilan konstruksi kode optimal kuat C dapat digunakan sebagai kode dasar untuk diperluas menjadi kode kode optimal kuat berikutnya dengan strategi yang sama.

Algoritme konstruksi kode ini juga berlaku untuk kode linear biner berjarak minimum bilangan genap berdasarkan sifat dari kode linear yang menyatakan bahwa jika kode dengan parameter [n, k, d] ada untuk d ganjil, maka dapat dikonstruksi kode dengan parameter [ n + 1, k, d + 1] dan setiap anggotanya berbobot genap (Williams & Sloane 1981).

Keberhasilan konstruksi kode optimal kuat sangat dipengaruhi oleh metode komputasi yang digunakan. Berikut ini dideskripsikan pembangunan metode komputasi yang digunakan dalam penelitian ini.

1 Membangun fungsi-fungsi aljabar matriks biner. Hal pertama yang dilakukan adalah mempresentasikan ruang vektor biner sebagai himpunan kuasa dari Sn = { 0, 1, 2, …,n-1 }. Ini berarti sembarang vektor

biner dengan panjang n secara komputasi merupakan subhimpunan dari . Operasi jumlah dua vektor berarti selisih simetrik dua himpunan. Produk dalam dua vektor berarti irisan dua himpunan. adalah keluarga semua himpunan dari subhimpunan S merupakan grup terhadap selisih simetrik. Jika S ={0, 1, 2, 3} maka . {0, 2} isomorfik dengan (1, 0, 1, 0), { } isomorfik dengan (0, 0, 0) dan {0, 1, 2, 3} isomrfik dengan (1, 1, 1).Dengan demikian, matriks biner A berordo n x p dapat dipandang sebagai list dari sebanyak p subhimpunan dari Sn.. Matriks A =

1 0 0 0 1 1

dapat dinyatakan dengan A =[3, [{0, 2}, {2}]]. Dari dua konsep dasar ini kemudian dibangun fungsi dasar aljabar matriks, seperti:

(7)

jumlah, kali, transpose, operasi baris dasar, pencarian matriks kanonik dan lainnya. Implementasinya menggunakan software MAPLE.

2. Membangun prosedur untuk pelacakan kode optimal.

Didefinisikan matriks generator G = ( Ik | B ), misalkan M matriks

representasi vektor baris dari B. Kemudian didefinisikan fungsi berikut: KombinM menentukan list semua kombinasi j vektor dari vektor-vektor M (representasi baris) untuk suatu nilai j = 1,2,…, k. ListKombM menentukan list dari semua list KombinM untuk semua j = 1,2,3,…,t degan t = min {k, d-1

}.

UjiAdd1VekM menguji apakah vektor X bisa ditambahkan ke M,

menggunakan ListkombM. Misal sudah ada matriks M =

1 0 0

1 1 0

1 1 1

maka

didapat list semua kombinasi j vektor L = {1 0 0, 1 1 0, 1 1 1}, {0 1 0, 0 1

1,0 0 1},{1 0 1}. Kemudian diuji apakah satu vektor X bisa ditambahkan ke

M Jika hamming distance < d – 1 – i.maka tidak terpenuhi. Jika selain itu

berarti vektor X bisa ditambahkan ke matriks

Lacak1VekM melacak satu vektor baris X

dalam yang bisa ditambahkan ke

M berdasarkan Gilbert-Varshamov, menggunakan UjiAdd1VekM. Ilustrasi ada matriks B = 1 0 0 1 0 01 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 1

kemudian dicatat berapa banyak angka 1 dan berapa angka 0. Misalkan V baris ke-1, banyak angka 1 = v dan W baris ke-2. Cari vektor-vektor X yang berjarak j= d – 2 sampai batas yang ditentukan. Tanpa mengurangi keumuman maka V diset yang rapi. Jika (v + j – 2 * i) (d – 1) maka ambil anggota V sebanyak v – i, dan ambil anggota W sebanyak j – 1. Maka gabungan dari anggota V dan W yang telah dipilih akan didapat vektor X.

Kolek1VekM menentukan himpunan semua vektor baris X yang bisa ditambahkan ke M, menggunakan UjiAdd1VekM. Untuk Kolek1VekM cara kerjanya hamper sama dengan UjiAdd1VekM kalau sudah dapat satu vektor selesai, tetapi Kolek1VekM mencari semua kemungkinan dan menghimpunnya.

(8)

ReduEki1 membuang anggota out put Kolek1VekM dan menyisakan vektor-vektor yang menghasilkan matriks-matriks yang tidak saling ekivalen jika ditambahkan ke M. Misalkan H adalah out put Kolek1VekM, setiap pasangan vektor (X, Y) anggota H akan menghasilkan vektor Z = X+Y. Agar dua vektor X dan Y bisa ditambahkan langsung ke matriks M, maka Z diuji dengan prosedur UjiAdd2VekM berdasarkan out put ListkombM. Kolek2VekM menentukan semua pasang (X, Y) dalam yang bisa ditambahkan ke M berdasarkan teorema 4, menggunakan UjiAdd2VekM. Kolek2VekMDt menentukan semua pasang (X, Y) menggunakan data hasil sebelumnya. ReduEkiX membuang anggota out put Kolek2vekM dan menyisakan vektor-vektor yang menghasilkan matriks-matriks tidak saling ekivalen jika ditambahkan ke matriks M. Misalkan H adalah out put Kolek2VekM, setiap pasangan vektor (X, Y,Z) anggota H akan menghasilkan vektor W = X + Y + Z agar tiga vektor X, Y dan Z bisa ditambahkan langsung ke matriks M maka diuji dengan uji AddVek3M berdasarkan out put ListKombM. Selanjutnya secara induksi agar X vektor bisa ditambahkan langsung ke M, maka diuji dengan prosedur UjiAddXVekM menggunakan out put Kolek(X-1)VekM dan berdasarkan out put ListKombM. Program lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

3. Konstruksi kode optimal kuat dengan jarak minimum d = 5 dan d = 7

Mengkonstruksi matriks cek paritas dalam hal ini matriks B dan melakukan perluasan terhadap matriks tersebut. Bagaimana proses lengkapnya akan dijelaskan pada sub bab hasil eksplorasi.

3.4 Hasil Eksplorasi.

Berikut ini akan diilustrasikan konstruksi kode optimal kuat untuk kasus d =5 dan d= 7.

Untuk kasus double error correcting ( d = 5 ), berdasarkan tabel Brouwer kode-kode optimal kuat mempunyai parameter (terurut dari dimensi rendah): [8, 2, 5], [11, 4, 5], [17, 9, 5], [23, 14, 5], [31, 21, 5] dan [33, 23, 5], sedangkan kode optimal kuat untuk k > 23 merupakan open problem. Akan dijelaskan bagaimana metode dan strategi diatas diterapkan untuk mengkonstruksi

(9)

kode-kode tersebut. Dimulai dari kode-kode [8, 2, 5], dikonstruksi dengan mendefinisikan matriks B berukuran 2 6 berikut

B = 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 .

Matriks ini kemudian dipakai sebagai matriks dasar untuk diperluas menjadi matriks ′_{berordo 4 7 yang mendefinisikan kode optimal kuat [11, 4, 5]. Proses}

perluasan dari B ke ′_{dilakukan dengan menambah satu kolom nol pada B,}

dilanjutkan menambah dua vektor 7 bit yang memenuhi syarat strategi. Tanpa memperhatikan relasi ekivalensi, hasil eksplorasi komputatif menunjukkan ada 108 macam ′_{, salah satunya}

=

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

Dengan langkah yang sama diperluas ke berordo 9 8 yang mendefinisikan kode optimal kuat [17, 9, 5]. Tanpa memperhatikan relasi ekivalensi, hasil eksplorasi komputatif menunjukkan ada 144 macam , salah satunya = 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Percobaan untuk memperluas ke untuk mendapatkan kode optimal kuat [23, 14, 5] adalah gagal. Dalam hal ini hanya mampu diperluas ke lebih dari 872 kode optimal-D [22, 13, 5]. Namun demikian, strategi rekonstruksi berhasil mendefinisikan 3 kode optimal kuat [23, 14, 5] yang salah satunya direpresentasikan oleh matriks berordo 14 9 berikut

(10)

= 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

Kemudian diperluas menjadi matriks berukuran 21 10 yang mendefinisikan kode dengan parameter [31, 21, 5], tetapi konstruksi ini hanya mampu mendapatkan 423 kode dengan parameter [30, 20 5] yang salah satunya direpresentasikan oleh matriks

= 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1

(11)

Dari matriks disimpan di data, kemudian dijadikan basis untuk mendapatkan kode [31, 21, 5] dengan cara menghapus lima baris matriks kemudian menambahkan enam vektor yang memenuhi syarat strategi, ternyata dengan cara ini berhasil mendapatkan 1 kode dengan parameter [31, 21, 5] yang direpresentasikan oleh matriks berikut:

= 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1

Percobaan memperluas kode ini untuk meningkatkan dimensi dilakukan dengan cara menghapus baris ke 21, 20, 19, 18, 17, 9, 8, 6, 2 dan 1 matriks kemudian ditambahkan 12 vektor baris yang memenuhi syarat, akhirnya diperoleh satu kode dengan parameter [33, 23, 5]. Kode tersebut direpresentasikan oleh matriks yang berordo 23 10 berikut:

(12)

= 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

Untuk kasus d = 7, dari tabel Brouwer kode optimal kuat mempunyai parameter terurut dari dimensi terendah [11, 2, 7], [15, 5, 7], [23, 12, 7], [27, 14, 7], dan [31, 17, 7], untuk k > 17 merupakan open problem. Dimulai dari kode [11, 2, 7], dikonstruksi dengan mendefinisikan matriks B berukuran 2 9 berikut:

B = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 .

Matriks ini kemudian dipakai sebagai matriks dasar untuk diperluas menjadi matriks berordo 5 10 yang mendefinisikan kode [15, 5, 7]. Proses perluasan dari B ke dilakukan dengan menambah satu kolom nol pada B, dilanjutkan menambah tiga vektor 10 bit yang memenuhi syarat strategi. Tanpa memperhatikan relasi ekivalensi, hasil eksplorasi komputatif menunjukkan ada 144 macam , dengan mereduksi kode yang saling ekivalen maka diperoleh 2 kode optimal kuat [15, 5 , 7], salah satunya adalah

= 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 .

(13)

Selanjutnya diperluas menjadi yang berordo 12 11 yang merepresentasikan kode optimal kuat [23, 12, 7]. Dari hasil eksplorasi diperoleh 8 kode optimal kuat [23, 12, 7] yang tidak saling ekivalen. Salah satu dari kode tersebut adalah = 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Adding satu bit paritas dari kode ini menghasilkan kode Golay [24, 12, 8] yang telah dibuktikan unik. Generator matriks Golay [24,12,8] dinyatakan sebagai = (I,B) dengan I adalah matriks identitas 12 12 dan matriks B berikut:

(Kanemasu,1990). Kemudian diperluas menjadi berordo 14 13 dengan cara menambahkan dua kolom nol pada dan dua vektor 13 bit yang memenuhi syarat strategi, tetapi gagal didapatkan dengan cara ini. Selanjutnya dilakukan rekonstruksi untuk mendapatkan kode optimal kuat [27, 14, 7] dengan menggunakan satu kali basis matriks berikut:

(14)

B = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 .

Matriks B dirubah posisi matriks kolomnya. Kemudian dilacak semua kemungkinan 1 vektor yang bisa ditambahkan ke matriks B , kemudian dicoba kombinasi dua vektor yang bisa ditambahkan kematriks B, sampai akhirnya dapat menambahkan 10 vektor yang memenuhi syarat strategi sehingga didapat 1 kode optimal kuat [27, 14, 7] yang dipresentasikan oleh matriks berukuran 14 13 berikut: = 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 .

Matriks digunakan untuk mendapatkan kode optimal kuat berikutnya dengan cara menambah satu kolom nol pada kolom terakhir kemudian dicoba menghapus 4 vektor barisnya sehingga didapat matriks berukuran 10 14, kemudian diperluas lagi dengan mencoba menambah 1 vektor, 2 vektor, 3 vektor dan ternyata hanya bisa sampai 5 vektor. Sehingga diperoleh kode dengan parameter [29,15,7] yang dipresentasikan oleh matriks yang berordo 15 14 berikut:

(15)

= 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 .

Eksplorasi dilanjutkan dengan menggunakan matriks , menghapus baris ke-12, baris ke- 4, baris ke-3, baris ke-2 dan baris ke-1, sehingga diperoleh matriks baru berordo 10 14. Matriks ini ditambahkan 5 vektor yang diambil dari data sebelumnya. Akhirnya diperoleh 4 kode optimal [30,16,7] yang tidak saling ekivalen. Salah satu matriksnya yaitu:

= 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 .

Matriks ini digunakan lagi untuk mendapatkan matriks yang berordo 17 14 dengan cara menghapus baris ke-17, 16,15,14,12 dan baris ke-9 dan kemudian dicoba menambahkan 7 vektor baris yang memenuhi syarat strategi. Akhirnya diperoleh 4 kode optimal [31,17,7] yang tidak saling ekivalen. Salah satu matriksnya adalah

(16)

= 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 .

Percobaan untuk meningkatkan dimensi kode belum berhasil. Kegagalan ini mungkin disebabkan oleh keterbatasan komputer yang digunakan, sehingga tidak bisa melacak semua kemungkinan kombinasi atau mungkin juga karena pemilihan kode dasar (matriks B awal) yang kurang baik.

Dari hasil eksplorasi di atas kode-kode optimal kuat yang sudah berhasil dikonstruksi dirangkum pada tabel di bawah ini.

(17)

Tabel 3.1 Hasil-hasil konstruksi kode optimal kuat berjarak minimum 5 Parameter [n, k, d] Banyak kode yang tidak ekivalen Matriks Generator Matriks B [8, 2, 5] 1 (I2|B2.6) B2x6 1 1 1 1 0 0_{1 1 0 0 1 1} [11, 4, 5] 15 (I4|B4.7) B4x7 = 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 [17, 9, 5] 144 (I9|B9x8) B9x8 = 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 [23,14,5] 3 (I14|B14x9) B14x9 = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 [31,21,5] 1 (I21|B21x10) B21x10 = 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1

(18)

[33, 23,5] 1 I23|B23x10 B23x10 = 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

Tabel 3.2 Hasil konstruksi kode optimal kuat berjarak minimum 7 Parameter [n, k, d] Banyak kode yang tidak ekivalen Matriks Generator Matriks B [11,2,7] 1 (I2|B2x9) B2x9 = 1 1 1 1 1 1 0 0 0_{1 1 1 0 0 0 1 1 1} [15,5,7] 2 (I5|B5x10) B5x10 = 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 [23,12,7] 8 (I12|B12x11) B12x11 = 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(19)

[27,14,7] 1 (I14|B14x13) B14x13 = 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 [30,16,7] 4 (I16|B16x14) B16x14 = 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 [31,17,7] 4 (I17|B17x14) B17x14 = 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1