BAB II LANDASAN TEORI

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Saham

2.1.1 Pengertian saham

Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perusahaan terbatas. Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Akan tetapi sekarang ini sistem tanpa warkat sudah mulai dilakukan di pasar modal Jakarta dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tetapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah. Saham atau ekuitas merupakan surat berharga yang sudah banyak dikenal masyarakat. Umumnya jenis saham yang dikenal adalah saham biasa (common stock).[sinarharapan.co.id/ekonomi/eureka/2002/05/3/eur01.html].

2.1.2 Jenis-jenis saham

Saham dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu : 1. Saham biasa (common stock)

Merupakan saham yang menepatkan pemiliknya paling junior atau akhir terhadap pembagian dividen dan hak atas harta kekayaan perusahaan apabila perusahaan tersebut dilikuidasi. Karakteristik lain dari saham biasa adalah dividen dibayarkan selama perusahaan

memperoleh laba. Setiap pemilik saham memiliki hak suara dalam rapat umum pemegang saham (one share one vote). Pemegang saham biasa memiliki tanggung jawab terbatas terhadap klaim pihak lain sebesar proporsi sahamnya dan memiliki hak untuk mengalihkan kepemilikan sahamnya kepada orang lain.

2. Saham preferen (preffered stock)

Merupakan saham yang memiliki karakteristik gabungan antara obligasi dan saham biasa, karena bisa menghasilkan pendapatan tetap (seperti bunga obligasi).

Persamaan saham preferen dengan obligasi terletak pada tiga hal, yaitu : a. Ada klaim atas laba dan aktiva sebelumnya.

b.Dividen tetap selama masa berlaku dari saham dan memiliki hak tebus c. Dapat dipertukarkan dengan saham biasa.

Saham preferen lebih aman dibandingkan dengan saham biasa karena memiliki hak klaim terhadap kekayaan perusahaan dan pembagian dividen terlebih dahulu. Saham preferen sulit untuk diperjualbelikan seperti saham biasa karena jumlahnya sedikit.

2.1.3 Keuntungan saham

Daya tarik dari investasi saham adalah keuntungan yang dapat diperoleh investor dengan memiliki saham, yaitu :

1. Dividen

Salah satu bentuk return yang paling umum dan merupakan salah satu faktor penting dalam investasi sekuritas saham adalah dividen.

Menurut Jones (2002, p.40) “Dividens are the only cash payment regularly made by corporations to their stockholders”. Sedangkan menurut Sharpe (1995, p.511) “Payments made in cash to stockholders are termed dividens”. Dari dua pendapat tersebut, dapat disimpulkan bahwa dividen merupakan keuntungan yang diberikan perusahaan penerbit saham atas keuntungan yang dihasilkan perusahaan dalam bentuk uang tunai kepada para pemegang sahamnya. Biasanya dividen dibagikan setelah adanya persetujuan pemegang saham dan dilakukan setahun sekali. Agar investor berhak mendapatkan dividen, investor tersebut harus memegang saham tersebut untuk kurun waktu tertentu hingga kepemilikan saham tersebut diakui sebagai pemegang saham dan berhak mendapatkan dividen. Dividen yang diberikan perusahaan dapat berupa dividen tunai, dimana pemegang saham mendapatkan uang tunai sesuai jumlah saham yang dimiliki dan dividen saham dimana pemegang saham mendapatkan jumlah saham tambahan.

2. Capital Gain

Menurut Jones (2002, p.131) “The appreciation (or depreciation) in the price of asset, commonly called the capital gain(loss)”. Capital gain merupakan selisih antara harga beli dan harga jual yang terjadi. Capital gain terbentuk dengan adanya aktivitas perdagangan di pasar sekunder. Umumnya investor jangka pendek mengharapkan keuntungan dari capital gain.

2.1.4 Faktor-faktor dalam memilih saham

Sebagai investor terdapat tiga alasan untuk memilih membeli saham tertentu, yaitu :

1.Income

Apabila pertimbangan dalam berinvestasi dalam saham adalah mendapatkan pendapatan yang tetap dari hasil investasi pertahunnya, maka investor bisa membeli saham pada perusahaan yang sudah mapan dan memberikan dividen secara regular.

2.Growth

Apabila pertimbangannya untuk jangka panjang dan memberikan hasil yang besar di masa datang, berinvestasi pada saham perusahaan yang sedang berkembang memberikan keuntungan yang besar, karena kebijakan dari perusahaan yang sedang berkembang biasanya keuntungan perusahaan akan diinvestasi kembali ke perusahaan maka perusahaan tidak memberikan dividen

bagi investor. Keuntungan bagi investor hanya dari kenaikan harga saham apabila investor menjual saham tersebut di masa datang. 3.Diversification

Apabila tujuan membeli saham untuk kepentingan portfolio maka pemodal harus hati-hati dalam melengkapinya. Apakah memerlukan saham untuk pendapatan tetap atau membeli obligasi dengan bunga yang diberikan sebagai pendapatan.

2.1.5 Perbedaan saham dan obligasi

Saham merupakan bukti pemilikan sedangkan obligasi merupakan bukti hutang. Salah satu perbedaan itu adalah aspek jatuh temponya, obligasi walaupun jangka panjang memiliki jatuh tempo, sedangkan saham tidak memiliki jatuh tempo.

Varian jenis-jenis obligasi nyaris tidak terbatas. Rumpun aktiva keuangan yang bernama obligasi bisa dikelompokkan berdasarkan tipe emiten, berdasarkan maturity atau masa jatuh temponya, berdasarkan agunan, berdasarkan hadir atau tidaknya indeksasi pelunasan, berdasarkan variasi penetapan tingkat bunga, berdasarkan ada atau tidaknya hak penukaran, dan sebagainya.

Dalam pasar modal Indonesia, saat ini diperdagangkan dua jenis obligasi yaitu obligasi biasa dan konversi. Tetapi dalam kelompok obligasi biasa terdapat variasi yang cukup banyak : ada yang diterbitkan BUMN dan perusahaan swasta, ada yang memiliki tingkat bunga tetap dan ada yang mengambang, ada yang memiliki agunan atau penanggung, ada yang tidak, dan sebagainya.

Bagi investor, dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu :

1. Tingkat risiko, investor bisa menggunakan peringkat obligasi sebagai acuan.

2. Potensi keuntungan, investor dapat meminta bantuan pialang atau agen untuk membantu menghitung yieldnya.

2.1.6 Bertransaksi saham

Sebelum melakukan transaksi saham di pasar modal, pemodal sebagai investor harus menjadi nasabah perusahaan efek yang terdaftar di pasar modal yang sekarang jumlahnya sebanyak 185 perusahaan (data tahun 2002). Pertama yang harus dilakukan adalah membuka rekening dengan mengisi dokumen pembukuan.

Besarnya dana yang ditempatkan atau deposit wajib bagi investor besarnya berbeda untuk bermacam –macam perusahaan. Ada perusahaan yang mewajibkan investor untuk menempatkan dana sebesar Rp. 25 juta untuk dapat berinvestasi atau bertransaksi di pasar modal. Ada juga yang mengharuskan hanya Rp. 15 juta. Namun ada juga perusahaan efek yang menetukan misalnya lima puluh persen dari nilai transaksi yang harus ditempatkan.

Dalam perdagangan saham, jumlah yang diperjualbelikan dilakukan dalam satuan perdagangan yang disebut lot. Di Bursa Efek Jakarta, 1 lot sama dengan lima ratus lembar saham, khusus perbankan 1 lot sama dengan lima

ribu lembar saham. (sinarharapan.co.id/ekonomi/eureka/2002/05/3/eur01.html)

2.2 Portfolio

Sebuah portfolio adalah sekumpulan dari saham-saham/asset yang berisiko. Jika seorang investor menginvestasikan uangnya pada saham A, saham B, saham C, maka investor tersebut dikatakan mempunyai portfolio dengan tiga saham. (Bringham, p127)

2.3 Expexted Rate of Return

Setiap pengembalian dari investasi yang diharapkan diberi istilah return, menurut Penman (2001, p.66) “Returns are uncertain –risky- and normal returns are compensation for bearing the risk and for the time value of money”. Bisa diartikan pengembalian adalah risiko yang bersifat tidak pasti dan pengembalian normal adalah kompensasi dari menerima risiko tersebut dan sebagai nilai waktu dari uang.

Dapat disimpulkan, return merupakan keuntungan yang didapat dari investasi yang dilakukan oleh investor. Seperti yang sudah disebutkan dalam 2.1.3, return dapat berupa dividen atau capital gain. Rate of return adalah skala yang menunjukkan hasil dari investasi atau return dari investasi. Rate of return mempunyai rumus sebagai berikut :

Rate of return = invested amount invested amount received amount −

Expected rate of return adalah jumlah hasil kali probabilitas kejadian dengan rate of return, atau bisa ditulis :

n _i i iP r r

∑

= = 1 = P1(r1) + P2(r2) + ….+Pn(rn)

ri = rate of return stock-i

Pi = probabilitas terjadinya rate of return stock-i

Jika data ditampilkan dalam bentuk array of return, dimana setiap komponen i dari array ini adalah expected return dari asset i maka dapat ditulis sebagai berikut :

Dalam menentukan expected rate of return bisa juga mengambil data historis. Jadi dengan melihat data-data dari masa yang lalu dapat diharapkan nilai di masa yang akan datang.

2.4 Portfolio Returns

Portfolio Returns merupakan return dari sekumpulan asset (portfolio). Jika investor mempunyai dana sebesar x yang akan dialokasikan ke sejumlah asset, maka dapat dinyatakan : x= (x1, x2, …, xn)

dimana xi adalah jumlah dana yang dialokasikan ke asset i dan 1 1 =

∑

= n i i x , 0x_i ≥ n = banyak asset. Portfolio return =

∑

= n i i ir x 1 = rp

dimana ri = expected return dari asset ke – i n = jumlah saham dalam portfolio

xi = proporsi pengalokasian dana pada asset ke – i

2.5 Risiko (Risk)

Faktor yang membuat return tidak pasti adalah risiko(risk). Risiko seringkali didefinisikan sebagai “bahaya” atau kemungkinan akan kejadian yang tidak disukai akan terjadi. Dalam membuat keputusan investasi, kita harus melibatkan return dan risk. Investor harus selalu waspada terhadap risiko yang mereka perkirakan, harus tahu apa yang diakibatkan oleh risiko dan bersiap menghadapi konsekuensinya.

Jones (2002, p.131) mendefinisikan “Risk is the chance that the actual outcome from from an investment will differ from the expected outcome”. Risiko adalah kemungkinan berbedanya antara hasil yang terjadi dengan hasil yang diharapkan, dalam hal ini return.

Risiko dari sebuah asset dapat diperkirakan dengan dua cara :

1. stand-alone basis, dimana asset dianalisa tersendiri, jadi risiko yang akan dihadapi oleh investor berasal dari asset itu sendiri.

2. in portfolio context, dimana asset yang satu dikombinasikan dengan asset lainnya, lalu dianalisa.

Stand-alone risk adalah risiko yang akan dihadapi oleh investor jika ia hanya memegang satu asset saja.

Untuk menentukan besar kecilnya risiko, kita dapat menggunakan standar deviasi. Standar deviasi ( σ ) merupakan akar dari varians. Varians adalah ukuran sebaran data.

Varians (untuk 1 asset)= σ2 ₌

∑

( )

= − − n i i n r r 1 2 1

Dimana i = asset ke-i n = banyak asset

ri = expected return asset i

r = rata-rata expected return keseluruhan saham/asset. Varians (portfolio) =

∑∑

− = = n i n j ij j i p x x 1 1 2 _σ σ

Dimana xi = proporsi saham i dalam portfolio xj = proporsi saham j dalam portfolio

n = jumlah saham dalam portfolio σij= kovarians antara saham i dan j

Dua saham yang returnnya bergerak berlawanan, dalam kombinasi, akan menghasilkan nilai varians portfolio yang lebih rendah daripada varians dari saham individual.

Jika portfolio mempunyai standar deviasi yang tinggi menandakan variasi dari return yang besar maka peluang return yang sebenarnya mungkin lebih kecil expected return menjadi lebih besar, jadi risiko dari portfolio juga tinggi.

Berdasarkan besar kecilnya risiko yang berani diambil oleh investor, maka investor terdiri dari dua macam, yaitu :

1. Risk Loving investor

Risk loving investor, seperti namanya, merupakan investor yang menyukai risiko, atau investor yang berani mengambil risiko dalam berinvestasi.

2. Risk Averse investor

Risk averse investor merupakan investor yang tidak menyukai risiko. Dalam berinvestasi, investor ini cenderung berinvestasi pada saham yang menyukai risiko yang kecil. Kebanyakan, para investor termasuk dalam tipe ini.

2.6 Kovarians

Kovarians adalah ukuran yang mengkombinasikan variance dari stock’s return dengan kecenderungan untuk bergerak naik atau turun pada waktu yang

bersamaan atau saling berkebalikan. Kovarians menyatakan hubungan antar dua saham. Kovarians dihitung dengan rumus :

Kovarians σij =

∑

(

)(

)

= − − − n t j jt i it n r r r r 1 1 atau σij =

∑

(

)(

)

= − − − n t j jt i it r r r r n 1 1 1

Nilai kovarians positif jika ketika expected return saham i diatas rata-rata, expected return saham j juga diatas rata-rata atau ketika expected return saham i dibawah rata-rata, expected return saham j juga dibawah rata-rata. Dua saham dengan nilai kovarians yang positif cenderung (secara rata-rata) bergerak bersama, yaitu jika expexted return saham i naik, maka expected return saham j juga naik. Nilai kovarians yang negative, menandakan bahwa kedua saham saling bergerak berlawanan, yaitu jika expected return saham i turun, maka expected return saham j akan naik dan sebaliknya.

Matriks kovarians seringkali dituliskan dalam :

∑

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n n n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ K M M M 2 1 2 22 12 1 21 11 ... ... 2.7 Bentuk Kuadratik

Ketika sebuah fungsi objektif mengandung fungsi kuadrat ( misalnya 0,25 x2), namun batasan masalahnya adalah linear, maka hal ini disebut masalah quadratic programming.

Bentuk umum kuadratik Diberikan : X =

(

)

T

n

x x

A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n n n a a a a a a a a a K M M M 2 1 2 22 12 1 21 11 ... ... Q(X) =

(

)

T n x x x_{1 2} ... ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n n n a a a a a a a a a K M M M 2 1 2 22 12 1 21 11 ... ... ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n x x x M 2 1 Maka fungsinya : Q(X) = XTAX =

∑∑

= = n i n j j i ijx x a 1 1

disebut bentuk kuadratik. Matriks

A dapat selalu diasumsikan simetris karena setiap elemen untuk setiap pasang dari koefisien a = _ij a untuk i ≠ j dapat diganti dengan _ji

(

)

2 ji ij a a + tanpa merubah Q(X).

Bentuk kuadratik dapat dikatakan :

1. Positive –definite jika Q(X) > 0 untuk semua X ≠ 0.

2. Positive-semidefinite jika Q(X) ≥ 0 untuk semua X dan terdapat X ≠ 0 sehingga Q(X) = 0.

3. Negative-definite jika -Q(X) positive-semidefinite

4. Negative-semidefinite jika –Q(X) adalah positive-semidefinite. 5. Indefinite dalam kasus lainnya.

Dapat dibuktikan bahwa kondisi yang dipelukan dan memenuhi untuk realisasi dari kasus diatas adalah :

1. Q(X) adalah positive-definite (semidefinite) jika nilai dari principal minor determinants atas A adalah positif (nonnegative).

n k a a a a a a a a a kk k k k k ..., , 2 , 1 , 2 1 2 22 21 1 12 11 = M M M L L

Dalam kasus ini, A dikatakan sebagai positive-definite (semidefinite).

2. Q(X) adalah negative-definite jika nilai dari kth principal minor determinants dari A mempunyai tanda (-1)k, k = 1, 2,…, n. Dalam kasus ini, A disebut negative-definite.

3. Q(X) merupakan negative-semidefinite jika kth principal minor determinant dari A adalah nol atau mempunyai tanda (-1)k, k = 1, 2,…, n.

Dalam pemilihan portfolio, para investor menginginkan expected return yang besar dan risiko kerugian yang kecil. Untuk itu fungsi objektif nya dapat dirumuskan sebagai berikut : min ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

∑∑

= = n i n j p ij j ix x 1 1 2 σ σ (1) max ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

_∑

= n i i ir x 1 (2) dengan batasan : 1 1 =

∑

= n i i x (3) 2.8 Quadratic Programming

Model Quadratic Programming ditujukan sebagai berikut : Maximize z = CX + XTDX

AX ≤ b, X ≥ 0 dimana X =

(

)

T n x x x₁, ₂,..., C =

(

c₁,c₂,...,c_n

)

b =

(

b₁,b₂,...,b_n

)

T A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn m n a a a a L M M L 1 1 11 D = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mn m n d d d d L M M L 1 1 11

Fungsi XTDX menunjukkan bentuk kuadratik dimana D adalah simetris. Matriks D diasumsikan definit negatif jika masalahnya adalah maximasi, dan definit positif jika masalahnya adalah minimasi. Hal ini berarti z konveks dalam X untuk minimasi dan konkaf untuk maximasi. Batasan-batasan diasumsikan linear dalam kasus ini, yang menjamin tempat solusi konveks.

Solusi untuk masalah ini berdasarkan KKT necessary conditions. Masalah quadratic programming akan diberlakukan untuk kasus maksimasi, mengubah formulasi untuk minimasi merupakan hal yang mudah. Masalahnya dapt ditulis sebagai berikut :

Maximize z = CX + XTDX Dengan batasan

G(X) = 0⎟⎟_⎠≤0 ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Χ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ι − Α b Dan λ = ( λ1, λ2, …,λm)T U = (μ1, μ2, …, μn)T

merupakan Lagrange Multipliers yang sesuai dengan dua set batasan AX – b ≤ 0 dan –X ≤ 0. Aplikasi dari KKT menghasilkan :

λ ≥ 0, U ≥ 0 z ∇ - (λT_{, U}T_{) ∇G(X) = 0} λi b n a x i m j j ij i 0, 1, 2,..., 1 = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

∑

= n j x_j j =0, =1,2,..., μ AX ≤ b -X ≤ 0 sekarang z ∇ = C + 2XTD ∇G(X) = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ι − Α

Biarkan S = b – AX ≥ 0 menjadi slack variables atas batasan-batasan. Kondisi-kondisi dikurangi menjadi:

-2XTD + λT_{A – U}T _{= C} AX + S = b i i j jx λS μ = 0= semua i dan j

λ, U, X, S ≥ 0

Karena DT _{= D transpose dari set pertama atas persamaan-persamaan dapat ditulis} sebagai

-2DX + ATλ - U = CT

Maka, kondisi-kondisi yang diperlukan dapat dikombinasikan sebagai

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Χ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ι Α Ι − Α − b C S U D T λ T 0 0 0 2 i i j jx λS μ = 0= semua i dan j λ, U, X, S ≥ 0

Kecuali untuk kondisi-kondisi μ_jx_j = 0=λ_iS_i semua i dan j, persamaan-persamaan yang tersisa adalah persamaan-persamaan linear dalam λ, U, X, S. Karena z konkaf dan tempat solusinya adalah konveks, solusi feasible yang memenuhi semua kondisi harus unik dan optimum. [Taha (2003, p7470]

2.9 Karush-Kuhn-Tucker

Kondisi Karush-Kuhn-Tucker (KKT) digunakan untuk mengidentifikasi stationary points atas permasalahan nonlinier dengan batasan masalah berupa pertidaksamaan. Pengembangan KKT didasarkan pada metode Lagrangean.

Misalkan masalah : Maximize z = f(X) Dengan batasan :

Batasan masalah berupa pertidaksamaan dapat dirubah menjadi persamaan-persamaan dengan menggunakan nonnegative slack variables. Digunakan 2

i

S ( ≥ 0 ) menjadi slack quantity yang ditambahkan ke batasan masalah ke-i dari gi(X) ≤ 0 dan tentukan :

S = ( S1, S2, …, Sm)T , S 2 =

(

S S2 S_m2

)

T 2

2

1, ,K,

dimana m merupakan jumlah dari batasan pertidaksamaan. Fungsi Lagrangean diberikan sebagai berikut :

L(X, S, λ) = f(X) - λ[g(X) + S2_] dengan batasan masalah :

g(X) ≤ 0

kondisi yang dibutuhkan untuk optimalisasi adalah λ merupakan nonnegative (nonposotive) untuk masalah maksimasi (minimasi). Vektor λ mengukur tingkat variasi dari f dengan mengacu kepada g, yaitu :

λ = g f ∂ ∂

Dalam kasus maksimasi, sisi sebelah kanan dari batasan g(X) ≤ 0 berubah dari 0 menjadi ∂g ( > 0), solution space menjadi lebih sedikit dibatasi dan f tidak dapat menurun. Hal ini berarti λ ≥ 0. Sama halnya dengan kasus minimasi, sejalan dengan sisi sebelah kanan dari batasan menurun, f tidak dapat menurun, yang menyatakan λ ≤ 0. Bila batasan masalahnya berupa persamaan, yaitu g(X) = 0, maka λ menjadi tidak terbatas dalam tanda.

Sekarang akan diturunkan secara sebagian dari L mengacu kepada X, S, dan λ, maka didapat :

0 ) ( ) ( − ∇ = ∇ = ∂ ∂ X g X f X L _λ m i S S L i i i , , 2 , 1 , 0 2 = = _K − = ∂ ∂ _λ 0 ) ) ( ( ₊ 2 ₌ − = ∂ ∂ S X g L λ

Set kedua dari persamaan-persamaan menunjukkan hasil sebagai berikut : 1. Jika λi ≠ 0, maka 2 ₌0

i

S

2. Jika 2 _≥0

i

S , maka λi = 0

Dari set kedua dan ketiga dari persamaan, didapat : λigi(X) = 0, i = 1, 2, …, m

Kondisi baru ini mengulang pernyataan sebelumnya, karena jika λi > 0, gi(X) = 0 atau 2 ₌0

i

S dan jika gi(X) > 0, 2 _>0

i

S , dan λi = 0.

Kondisi KKT untuk masalah maksimasi dapat dirangkum sebagai berikut :

λ ≥ 0

∇f(X) - λ∇g(X) = 0

λigi(X) = 0, i = 1, 2, …, m

g(X) ≤ 0

2.10 Metode Wolfe

Untuk bentuk dari Quadratic Programming yang umum Minimize z = xTCx₊ pTx

2 1

Dengan Ax = b dan x ≥ 0

Dengan A = (aij) merupakan matrix m x n, b = (bi ) merupakan vektor m x 1, x = (xij) dan p = (pj) keduanya merupakan vektor n x 1. Matrix C merupakan matrix n x n.

Diasumsikan matriks C simetris (CT = C) dan merupakan positif definit, yaitu xCTx ≥ 0 untuk setiap n x 1 vektor x.

Metode Wolfe untuk menyelesaikan Quadratic Programming merupakan variasi dari metode simplex untuk linear programming. Teorema : x* merupakan solusi optimal untuk Quadratic Programming jika dan hanya jika terdapat m x 1 vektor u* dan n x 1 vektor v* sehingga (x*, u*, v*) yang menyelesaikan sistem persamaan :

Ax = b Cx + ATu-v = -p

xTv = 0 x ≥ 0 , v ≥ 0

Metode Wolfe menyatakan untuk menyelesaikan masalah Quadratic Programming sama halnya dengan menyelesaikan system persamaan diatas. Persamaan-persamaan diatas merupakan system persamaan linear dan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut dapat digunakan algoritma simplex.

Persamaan Ax = b dapat ditulis sebagai berikut :

a11x1 + . . . + a1nxn = b1

Dapat ditambahkan variabel buatan d = (d1, d2, …, dm) sehingga persamaan linearnya menjadi : Minimize Z= d1 + d2 + … + dm Dan a11x1 + . . . + a1nxn ± d1 = b1 am1x1 + . . . + amnxn ± dm = bm x ≥ 0, d ≥ 0

Yang dimaksud dengan ± di adalah + di jika bi ≥ 0, dan - di jika bi < 0. Initial Basic Feasible Solution nya adalah x = 0 dan di = |bi|. Jika sistem persamaan Ax = b, x ≥ 0 mempunyai solusi, nilai optimal Z* akan sama dengan 0, sebaliknya, nilai optimal akan menjadi positif. Algoritma Simplex akan menyelesaikan persamaan-persamaan diatas. Tetapi karena ada persamaan-persamaan xTv = 0, maka persamaan tersebut akan digunakan sebagai aturan pengecualian, yaitu xj dan vj keduanya tidak boleh positif pada saat yang sama untuk setiap j = 1,…,n. Dengan kata lain, pada setiap tahap dari algoritma simplex untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diatas, jika xj berada dalam basis lama (xj > 0) maka vj tidak boleh masuk ke dalam basis. Jika vj berada dalam basis lama (vj >0), maka xj tidak boleh masuk ke dalam basis.

2.11 Fungsi Objektif

Fungsi Objektif yang akan diselesaikan untuk mendapatkan portfolio yang optimal adalah :

Max (₋xTQx₎ Dengan batasan : 1 1 ≤

∑

= n i i x k x rT _≥ x ≥ 0. Dimana : rTx = expected return

xTQx = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

∑∑

= = n i n j p ij j ix x 1 1 2 σ σ = varians

k = expected return yang diharapkan investor.

2.12 Metode Lain

Metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi objektif yang mempunyai bentuk kuadrat selain dengan quadratic programming adalah Metode Newton-Raphson. Metode Newton-Rapson merupakan prosedur iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Sebenarnya, metode Newton – Raphson juga merupakan bagian dari Metode Gradien yang digunakan untuk mengoptimalisasi fungsi –fungsi yang tidak mempunyai batasan masalah.

Misalkan persamaan fungsi : fi(X) = 0, i = 1, 2,….m

Xk merupakan nilai yang diberikan. Maka perluasan Taylor : fi(X) ≈ fi(Xk) + ∇ fi(Xk)(X- Xk), i = 1, 2,….m.

Maka persamaan awal, fi(X) = 0, i = 1, 2,….m dapat dibuat sebagai : fi(Xk) + ∇ fi(Xk_{)(X- X}k_{) = 0, i = 1, 2,….m}

Persamaan ini dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut : Ak + Bk(X- Xk) = 0

Jika Bk tidak singular maka : X = Xk – Bk-1Ak

Ide dari metode ini adalah memulai dari sebuah initial point X0. Dengan menggunakan persamaan terdahulu, sebuah point baru Xk+1 ditentukan dari Xk. Prosedur akan berakhir dengan Xm sebagai solusi dimana Xm≈ Xm-1_.

Kesulitan yang ditemui dari metode ini adalah konvergensi tidak selalu dijamin kecuali fungsi f mempunyai ‘perilaku baik’. Tidak ada cara yang mudah untuk mengalokasikan initial point yang baik. Maka lebih baik menggunakan quadratic programming karena lebih mudah dalam perhitungannya dan quadratic programming menjamin solution space yang optimal.

2.13 Perangkat Lunak

Menurut Pressman (2001, p6), perangkat lunak adalah :

1. instruksi – instruksi (program komputer) yang jika dijalankan akan menyediakan fungsi yang diperlukan.

2. struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi

3. dokumen yang menyatakan operasi dan kegunaan program.

2.13.1 Dasar Perancangan Perangkat Lunak

Menurut Mahyuzir (1991, p78), perancangan merupakan proses penerapan bermacam-macam tehnik dan prinsip dengan tujuan untuk

mendefinisikan peralatan, proses atau system secara rinci. Perancangan dilakukan pada tahap awal pengembangan.

Tujuan perancangan adalah menghasilkan model yang akan dibuat. Perancangan perangkat lunak mengalami perubahan jika didapatkan metode yang baru, analisis yang baik dan penyusunan pengertian yang lebih luas.

2.13.2 Fase Pengembangan Perangkat Lunak

Menurut Mahyuzir (1991, p78), fase pengembangan terdiri dari tiga langkah yang jelas, yaitu :

1.Perancangan

Metodologi perancangan terdiri dari :

a. Perancangan data yang terfokus pada pendefinisian struktur data.

b. Perancangan arsitektur yang mendefinisikan hubungan antara elemen yang utama dari struktur program.

c. Perancangan procedural yang merupakan transformasi elemen dari struktur program ke dalam deskripsi procedural perangkat lunak.

2.Membuat source code 3.Uji Coba

Fase pengembangan menerapkan 75% atau lebih biaya dalam perekayasaaan perangkat lunak. Keputusan yang diambil akan mempengaruhi keberhasilan penerapan dan mengurangi pekerjaan pada fase pemeliharaan. Hal yang terpenting dalam perancangan perangkat

lunak adalah kualitas. Perancangan menyediakan gambaran atau model yang dapat dinilai segi kualitasnya.

Perancangan perangkat lunak merupakan landasan untuk seluruh fase pengembangan dan pemeliharaan. Tanpa perancangan, akan dihasilkan system yang tidak stabil.

2.13.3 Proses Perancangan

Perancangan perangkat lunak adalah suatu proses dimana informasi-informasi yang telah diperoleh diterjemahkan ke dalam model perangkat lunak. Model perangkat lunak memegang peranan penting dalam penulisan program.

Berdasarkan manajemen proyek, perancangan perangkat lunak dikerjakan dalam dua langkah, yaitu :

1. Perangcangan awal

Adalah informasi-informasi ke dalam arsitektur data dan perangkat lunak.

2. Perancangan rinci

Terfokus pada perbaikan model arsitektur yang memegang peranan penting dalam pembuatan struktur data dan algoritma secara rinci dari perangkat lunak.

2.14 Sistem Basis Data

Dalam pengertian umum database diartikan sebagai gabungan dari elemen-elemen data yang berhubungan dan terorganisir. Database terbagi dalam beberapa kategori umum, yaitu :

• Paper-based, merupakan database yang paling sederhana yang disimpan dalam bentuk kumpulan kertas dokumen yang terorganisasi.

• Legacy mainframe, biasa dikenal dengan Database VSAM (Virtual Storage Access Method). Legacy Mainframe menggunakan kemampuan mainframe untuk melakukan proses penyimpanan dan pengaksesan data.

• Dbase, mengandung ISAM (Index Sequential Access Method) yang merupakan metode pengaksesan data secara berurutan yang memiliki index. Pada umumnya menggunakan file yang terpisah untuk setiap tabelnya. Contoh dari database yang menggunakan system ini adalah Dbase, Foxpro, Microsoft Access, Paradox.

• RDBMS (Relational Database Management System), merupakan system database untuk jumlah user yang besar dengan integritas data. Struktur perintahnya disebut dengan SQL (Structured Query Language). SQL terbagi menjadi dua komponen yaitu DDL (Data Definition Language) yang mencakup perintah create, alter, dan drop. Yang kedua DML (Data Manipulation Language) yang mencakup perintah select, insert, delete, dan update.

• Object-oriented Database, menggunakan system objek dalam penyimpanan data. Data disimpan bukan dalam bentuk tabel melainkan dalam bentuk objek-objek yang terpisah.

2.15 Penelitian yang Relevan

• Markus Hirschberger dari Department of Mathematics University of Eichstatt-Ingolstadt, Germany dan dan Yue Qi dan Ralph E.Steuer dari Terry College of

Business University of Georgia, USA menginvestigasi mid-to large scale portfolio selection dengan quadratic parametric programming tanpa simplifikasi pada matriks kovarians.

• Andrew Whinston menulis paper tentang penyelesaian quadratic programming dengan decomposition algorithm, dan memberikan solusi pada subproblem dengan menyelesaikan linear programming problem.

• Luis A Gallardo, Max A Meju, Marco A Perez – Flores menggunakan pendekatan Quadratic Programming untuk merekonstruksikan kembali suatu gambar.