INTISARI MATEMATIKA blm slesai INTISARI MATEMATIKA blm slesai

Materi Matematika :

 Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat  Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat  FPB dan KPK

 Akar dan pangkat  Perbandingan

 Operasi hitung pada pecahan

 Operasi hitung pada bilangan desimal

 Penulisan Bilangan Bentuk Baku  Aljabar

 Aritmatika sosial

 Persamaan linear satu variabel  Himpunan

 Luas bangun datar  Keliling bangun datar  Volume bangun ruang

 Luas permukaan bangun ruang  Prisma

 Limas

 Fungsi

 Persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel  Persamaan garis

 Eksponen dan logaritma

 Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma  Transformasi Geometri

 Permutasi dan kombinasi  Peluang

 Trigonometri  Diferensial  Integral  Logika  Limit

 Komposisi fungsi  Lingkaran  Polinomial

 Persamaan dan Pertidaksamaan  Program Linear

MENENTUKAN KPK DAN FPB

1. Menentukan Faktorisasi Prima untuk Mencari KPK Contoh soal : tentukanlah KPK dari 56, 28 dan 63

KPK dari 56, 28, dan 63 dalam bentuk faktorisasi prima adalah 2 X 2 X 2 X 7 X 3 dan ditulis = 2 3 _{X 7 X 3}

= 8 X 7 X 3 Maka KPK dari 56, 28 dan 63 adalah 168 yaitu hasil kali faktor-faktor prima

2. Menentukan Faktorisasi Prima untuk Mencari FPB Contoh soal : Tentukanlah FPB dari 64, 80 dan 96 !

Faktor prima

56 28 63 Keterangan

Penyelesaian :

Faktor Prima 70 80 90 Keterangan

2 35 40 45 Semua bilangan prima dibagi dengan faktor prima dengan pembagi yang sama, begitu seterusnya sampai tidak dapat dibagi dengan pembagi yang sama

5 7 8 9

Bilangan 7, 8 dan 9 sudah tidak dapat dibagi dengan bilangan prima yang sama, maka hentikan.

FPB dari 70, 80, dan 90 dalam bentuk faktorisasi prima adalah 2 X 5

Maka FPB dari 70, 80, dan 90 adalah 10 yaitu hasil kali faktor-faktor prima.

OPERASI HITUNG CAMPURAN BILANGAN CACAH DAN BILANGAN

BULAT

Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

hal yang harus kita perhatikan, yaitu :

1. Kerjakan lebih dahulu operasi hitung yang berada dalam kurung

2. Penjumlahan dan pengurangan sama kuat, maka kerjakanlah secara berutan dari depan atau dari kiri ke kanan

3. Perkalian dan pembagian lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan maka dahulukanlah mengerjakannya.

4. Perkalian dan pembagian sama kuat, maka kerjakan secara berurutan dari kiri ke kanan. 5. Mengetahui operasi perkalian bilangan positif X positit, positif X negatif, negatif X negatif dan negatif X negatif

6. Mengetahui operasi pembagian bilangan positif : positif, Positif : negatif, negatif : negatif dan negatif : negatif

Perhatikan contoh soal berikut !

____________________________________________________________________________________

MENGHITUNG BILANGAN KUADRAT

selanjutnya

MENARIK AKAR PANGKAT TIGA (KUBIK)

METODE LAIN

Metode yang digunakan biasanya yaitu : 1. Trial Error : Mencari 3 angka yang sama

untuk dikalikan, jika belum ditemukan cari terus 3 angka tersebut sehingga ditemukan hasil dari akar pangkat tiga tersebut.

Akar pangkat tiga dari kubik sempurna

Bilangan 216.000 adalah bilangan kubik sempurna karena 216.000 = 603_.

Semua bilangan yang memiliki angka terakhir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dapat menghasilkan nilai akar pangkat 3 yang bilangannya memiliki angka terakhir sebagai berikut:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Atau dapat disimpulkan, sbb :

Bilangan depan antara 1 s/d 8 hasil puluhannya adalah 1

“ 27 s/d 64 “ 3

“ 64 s/d 125 “ 4

“ 125 s/d 216 “ 5

“ 216 s/d 343 “ 6

“ 343 s/d 512 “ 7

“ 512 s/d 729 “ 8

“ 729 s/d 999 “ 9

Sifat-sifat perpangkatan

(bentuk aljabar)

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

1. (a x b)c _{= a}c _{x b}c _atau

(an₎m _{= a}n x m

(an _{x b}m₎p _{= a}np _{x b}np

ac_bc

2. [a/b]c _{= a}c _{: b}c

ab _{: a}c _{= a}b-c _{; syarat: b ≥ c, (a}b₎c _{= a}bc

4. a-b _{= 1/p}a

5. Bilangan nol dalam perpangkatan

0a _{= 0}

a0 _{= 1}

Sifat-sifat penarikan akar

_______________________________________________

OPERASI MENARIK AKAR

( yg bilangannya bukan kuadrat).

a. Dengan perkalian factor

Contoh :

150 = 25 x 6 = 5 6

25 salah satu factor dari 125 yg merupakan bilangan kuadrat .

200 = 100 x 2 = 10 2

3 _{16 =} 3 _{8 x 2 = 2} 3 ₂

8 adalah salah satu factor 16 yang merupakan bilangan kubik.

3 _{54 =} 3 _{27 x 2 = 3} 3 ₂

b. Dengan menghitung sampai ke satu angka decimal.

Contoh :

1. 150 = 144 < 150 < 169

= 12 < 15 < 13

169 – 150

2. 200 = 196 < 200 < 225

= 14 < 200 < 25

200 = 14 200-196 = 14 4/25 = 14, 1

225-200

3. 3 _{16 =} 3 _{8 <} 3 _{16 <} 3 ₂₇

= 2 < 3 _{16 < 3}

3 _{16 = 2 16 - 8 = 2 8/19 = 2,4}

27- 8

4. 3 _{54 =} 3 _{27 <} 3 _{54 <} 3 ₆₄

= 3 < 3 _{54 < 4}

3 _{54 =}

3

_{54 – 27 =}

3

_{27/37 = 3,7}

64 - 27

c. Menarik akar kuadrat dengan grafik kartesius dengan y = x2_.

0

BANGUN DATAR

Persegi Panjang

Sifat - sifat :

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Memiliki 2 pasang sisi sejajar,

berhadapan dan sama panjang

 Memiliki 4 sudut yang besarnya 90 derajat

 Keempat sudutnya siku-siku

 Memiliki 2 diagonal yang sama panjang

 Memiliki 2 simetri lipat

 Memiliki Simetri putar tingkat 2



Luas = p x l

Persegi

Sifat - sifat :

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar

dan sama panjang

 Keempat sisinya sama panjang  Keempat Sudutnya sama besar

yaitu 90 derajat (siku-siku)

 Memiliki 4 simetri lipat

 Memiliki simetri putar tingkat 4

 Luas = s x s

 Keliling = 4 x s

Jajar Genjang

Sifat-sifat :

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar

dan sama panjang

 Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip

 Sudut yang berhadapan sama besar

 Diagonalnya tidak sama panjang  Tidak memiliki simetri lipat  Memiliki simetri putar tingkat 2  Luas = a x t

 Keliling = AB + BC + CD + AD

Belah Ketupat

Sifat - sifat :

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Keempat sisinya sama panjang  Memiliki 2 pasang sudut yang

berhadapan sama besar

 Diagonalnya berpotongan tegak lurus

 Memiliki 2 simetri lipat

 Memiliki simetri putar tingkat 2  Luas = ½ AC x BD

 Keliling = AB + BC + CD + AD

Layang- layang

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Memiliki 2 pasang sisi yang sama

panjang

 Memiliki 2 sudut yang sama besar  Diagonalnya berpotongan tegak

lurus

 Salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang

 Memiliki 1 simetri lipat.  Luas = ½ x AC x BD

 Keliling = AB + BC + CD + AD

Trapesium

Sifat -sifat :

 Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut  Memiliki sepasang sisi yang sejajar

tetapi tidak sama panjang

 Sudut - sudut diantara sisi sejajar besarnya 180 derajat

 Luas = (a+b) x t/2

 Keliling = AB + BC + CD + AD Trapesium dibedakan menjadi 3 yaitu :

 Trapesium sama kaki : Sisi diantara sisi sejajar sama panjang. Memiliki 2 pasang sudut yang sama besar, diagonalnya sama panjang, Memiliki 1 simetri lipat.

 Trapesium siku-siku : Memiliki 2

 Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut  Jumlah ketiga sudutnya 180

derajat

 Luas = ½ x a x t

 Keliling = AB + BC + AC

Berdasarkan panjang sisinya segitiga dibagi menjadi 4 yaitu :

1. Segitiga sama sisi :

 Mempunyai 3 buah sisi sama panjang, yaitu AB=BC=CA;

 Mempunyai 3 buah sudut yang besar , yaitu <ABC , <BCA, <CAB;

 Mempunyai 3 simetri putar dan 3 simetri lipat

2. Segitiga samakaki :

 Mempunyai 2 buah sisi yang sama panjang, yaitu BC=AC;

 Mempunyai 2 buah sudut sama besar, yaitu < BAC = <ABC;

 Mempunyai 1 sumbu simetri;  Dapat menempati bingkainya

dalam dua cara

3. Segitiga siku-siku :

 Mempunyai 1 buah sudut siku-siku,yaitu <BAC;

 Mempunyai 2 buah sisi yang saling tegak lurus, yaitu BA dan AC;

 Mempunyai 1 buah sisi miring yaitu BC;

 Sisi miring selalu terdapat di depan sudut siku-siku.

 Segitiga siku-siku samakaki memiliki 1 sumbu simetri

4. Segitiga sembarang

 Mempunyai 3 buah sisi yang tidak sama panjang;

 Memiliki simetri putar dan simetri lipat tak terhingga;  Luas = πr2 _;

SIMETRI LIPAT & SIMETRI PUTAR

Sumbu simetri adalah garis yang membagi suatu bangun menjadi dua bagian sama besar. Berikut ini sumbu simetri dari beberapa bangun datar

Berikut ini simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri beberapa bangun datar :

1 Segitiga samakaki 1 1 1

2 Segitiga samasisi 3 3 3

3 Segitiga sembarang - 1

-4 Segitiga siku-siku samakaki 1 1 1

5 Persegi Panjang 2 2 2

6 Persegi 4 4 4

7 Jajargenjang - 2

-8 Trapesium samakaki 1 1 1

9 Trapesium siku-siku 1 -

-10 Trapesium sembarang - 1

-11 Layang-layang 1 1 1

12 Belah ketupat 2 2 2

13 Lingkaran tak terhingga tak terhingga tak terhingga

 Segitiga sama sisi mempunyai 3 simetri putar dengan sudut putar 120°, 240°, dan 360°.

 Persegi mempunyai 4 simetri putar dengan sudut putar 90°, 180°, 270°, dan 360°.  Belah ketupat mempunyai 2 simetri putar dengan sudut putar 180° dan 360°.

Ket:

r = radius (jari-jari)

d = diameter

π = 3,14 atau 22/7 Luas = πx r x r

Keliling = 2 x π x d

8. Trapesium

Ket:

t = tinggi

Luas = (sisiA+sisiB) x t x 1/2

Keliling = sisiA + sisiB + sisiC + sisiD atau

Jumlah semua sisi

PENCERMINAN BANGUN DATAR

Hasil pencerminan bangun terhadap garis g adalah d.

 Hasil pencerminan bangun ABCD terhadap cermin g adalah A'B'C'D'. Bangun hasil pencerminan yang tepat adalah....

Hasil pencerminan bangun yang tepat adalah d.

_____________________________________________________________________________________________

mencari panjang dan lebar persegi panjang yang diketahui hanya luas dan kelilingnya ? contoh : Luas = 112cm2 Keliling = 46 cm.

panjang = ?, lebar = ?

Luas persegi pjg = pjg x lebar keliling = 2 x (pjg + lebar)

112=pjg x lebar --> 112/lebar = panjang (ini nanti di substitusi ke persamaan keliling) kelling = 2 x (112/lebar + lebar)

46=2 x [(112 + lebar^2) / lebar] 23lebar = 112 + lebar^2

maka --> lebar ^2 - 23lebar + 112 = 0 (difaktorisasi)

ntar ketemu lebar = 7 atau lebar = 23 ada 2 jawaban sih emang. Kalo lebarnya 7, berarti panjangnya 12

Kalo lebarnya 23, berarti panjangnya 112/23

misal :

Oke dari sini kita tinggal cari pake Teori kebalikan : A. buat diketahui : Luas dan Keliling

1. lihat luasnya dulu. contoh : L = 16

kemungkinan perkalian yang muncul adalah = 1 x 16

= 2 x 8 = 4 x 4

kemungkinan lebar adalah 1, 2, 4 karena "l" lebih pendek dari "p" 2. lihat Kelilingnya

contoh : 20

kemungkinan perkalian yang muncul : 2(1) + 2(9)

2(3) + 2(7) 2(4) + 2(6) 2(5) + 2(5)

3. Cari Panjang dan Lebar yang sama yaitu :

A. pada prediksi Luas : = 2 x 8

B. pada prediksi Keliling : 2(2) + 2(8)

Jadi, panjangnya 8 cm dan lebarnya 2 cm.

Contoh : Diketahui luas persegi adalah 64 cm 2 _{, tentukan kelilingnya}

Diketahui : L = cm 2 80 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut.

Diketahui : p = ( 3x + 4 ) cm l = ( x + 6 ) cm = 72 cm. Tentukan luas persegi panjang tersebut !

Q.3)

CONTOH :

Keliling suatu persegi panjang adalah 72 cm dan lebarnya 8 cm kurang dari panjangnya. Hitunglah luas persegi panjang tersebut

Diketahui : K = 72 cm

Keliling suatu persegi panjang adalah 52 cm dan lebarnya 12 cm lebih dari panjangnya. Hitunglah luas persegi panjang tersebut

( 3 words or 2 words ) Q.4)

CONTOH :

Halaman rumah berbentuk persegi panjang berukuran panjang 90 meter dan

lebar 65 meter. Di sekeliling halaman itu, akan dipasang pagar dengan biaya

Rp135.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan

pagar tersebut?

Diketahui : p = 90 m l = 65 m

biaya = Rp. 135.000,00 per meter Ditanya : biaya pembuatan pagar seluruh halaman Jawab : K = 2 ( p + l )

K = 2 ( 90 + 65 ) K = 2 ( 155 ) K = 310 m

Jadi harga pembuatan pagar halaman adalah 310 m x Rp. 135.000 = Rp. 41.850.000,00

SOAL :

Halaman rumah berbentuk persegi panjang berukuran panjang 70 meter dan

Rp120.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan

pagar tersebut?

Q.5)

CONTOH :

Diketahui luas persegi sama dengan luas persegi panjang dengan panjang = 16 cm dan lebar = 4 cm. Tentukan keliling persegi tersebut.

Diketahui : L persegi = L persegi panjang p = 16 cm

Diketahui keliling persegi sama dengan luas persegi panjang dengan panjang = 12 cm dan lebar = 10 cm. Tentukan luas persegi tersebut.

( 3 words or 2 words ) Q.6)

CONTOH :

Sebuah lantai berbentuk persegi dengan panjang sisinya 6 m. Lantai tersebut akan dipasang ubin berbentuk persegi berukuran 30 cm x 30 cm. Berapa banyak ubin yang dibutuhkan untuk menutup lantai tersebut

Diketahui : s lantai = 6 m = 600 cm s ubin = 30 cm

Ditanya : banyak ubin yang dibutuhkan untuk lantai tsb ? Jawab : L lantai = s 2 _{L ubin = s} 2

L lantai = 600 2 L ubin = 30 2 _{L lantai = 360.000 L ubin = 900}

Jadi banyak ubin yang dibutuhkan untuk lantai tsb adalah 360.000 : 900 = 400 buah

SOAL :

PHYTAGORAS

x= sisi pertama segitiga y= sisi kedua segitiga

z= sisi terpanjang segitiga (hipotenusa)

BILANGAN PHYTAGORAS BERPOLA

32 _{+ 4}2 _{= 5}2 52 _{+ 12}2 _{= 13}2 72 _{+ 24}2 _{= 25}2 92 _{+ 40}2 _{= 41}2

Berdasarkan pola tersebut, maka terdapat tiga buah pola bilangan yang terbentuk, yaitu :

Pola bilangan pertama : 3, 5, 7, 9, dengan rumus pola 2n + 1 Pola bilangan kedua : 4, 12, 24, 40, dengan rumus pola 2n2_{+ 2n} Pola bilangan ketiga : 5, 13, 25, 41, dengan rumus pola 2n2_{+ 2n + 1}

Dengan demikian kita dapat menentukan berbagai bentuk bilangan-bilangan phytagoras lainnya.

Contoh,

Dengan mengambil n = 30, maka Bilangan pertama = 2 x 30 + 1 = 61

Bilangan kedua = 2 x 302 _{+ 2 x 30 = 1800 + 60 = 1860} Bilangan kedua = 2 x 302 _{+ 2 x 30 + 1 = 1800 + 60 + 1 = 1861} Sehingga bilangan phytagorasnya adalah 61, 1860, 1861

Atau

61

2

+ 1860

2

= 1861

2

Pembuktiannya adalah sebagai berikut :

= (2n2 _{+ 2n + 1)}2

BANGUN RUANG

1. KUBUS

Bangun kubus mempunyai ketentuan :

 Terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan masing-masing luasnya sama

 Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang yang sama

 Semua sudut bernilai 90 derajat atau siku-siku

 Rumus Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk (rusuk pangkat 3)

 Rumus Keliling Kubus = 12 x rusuk

 Rumus Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk

 Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk

2. BALOK

Bangun balok mempunyai ketentuan :

 Rumus Volume Balok = p x l x t (sebenarnya sama dengan kubus, hanya saja kubus memiliki semua rusuk yang sama panjang). kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)

Rumus luas tabung /silinder = luas alas + luas tutup + luas selimut atau ( 2 x phi x r x r) + (phi x d x t)

Rumus Volume tabung = luas alas x tinggi atau luas lingkaran x t

4. KERUCUT

Luas Kerucut = luas alas + luas selimut Volume Kerucut = 1/3 x phi x r x r x t

5. LIMAS

Luas Limas = luas alas + jumlah luas sisi tegak

Volume Limas = 1/3 luas alas tinggi sisi

6. BOLA

Bangun bola mempunyai ketentuan :

 Rumus Volume Bola = 4/3 x phi x jari-jari x jari-jari x jari-jari

 Rumus Luas Bola = 4 x phi x jari-jari x jari-jari-jari-jari atau 4 x phi x r2

Rumus Luas Permukaan Bangun Ruang

Luas Permukaan Balok LP = 2PL + 2PT + 2LT

Luas Permukaan Limas Segi Tiga

LP = JUMALAH LUAS SEMUA SEGITIGA

jika limas segitiga sama sisi

LP = 3/2 Alas x TinggiSegitiga

Rumus Luas Permukaan Limas Segi Empat

LP = Luas Persegi + 4 Luas Segitiga

Prisma

LP = Luas Alas x Tinggi

LP = 1/2 x a x t segitiga x t prisma

Tabung

LP = Luas 2 O + Luas Selimut LP = 2∏ r2_{+ 2∏rt}

LP = 2∏ r (r+t)

Bola LP = 4 ∏r2

Kerucut LP = ∏ r (r + s)

Rumus Konversi Satuan Suhu

 t °C = 5 / 9 (t °F – 32) atau t °F = 9 / 5 t °C + 32

 t °C = 5 / 4 t °R atau t °R = 4 / 5 t °C

 t °C = t K – 273 atau t K = t °C + 273

C : R : F

=

5 : 4 : 9

 Rumus merubah celcius ke kelvin = Celcius + 273,15

 Rumus merubah celcius ke rheamur = Celcius x 0,8

 Rumus merubah reamur ke celcius = Rheamur x 1,25

 Rumus merubah celcius ke fahrenheit = (Celcius x 1,8) + 32

 Rumus merubah fahrenheit ke celcius = (Fahrenheit - 32) / 1,8

 Rumus merubah rheamur ke farenheit = (Rheamur x 2,25) + 32

dengan catatan bahwa :

 a. Jika diketahui ukuran suhu dinyatakan dalam C atau R maka untuk menghitung

 ukuran suhu dalam F, hasil perhitungannya ditambah 32.

 b. Jika diketahui ukuran suhu dinyatakan dalam F maka untuk menghitung ukura suhu dalam C atau R, ukuran suhu dalam F dikurangi dulu 32.

 Contoh 1.

 Misalkan ukuran suhu sebuah apel yang baru diambil dari dalam lemari es adalah 10 0_C.  Berapa derajatkah suhu apel itu bila diukur dalam skala R (Reamur) dan F (Fahrenheit)?

 Jawab.

 R adalah 4/5 x 100 _{= 8}0

 F adalah (9/5 x 100_{) + 32}0 _{= 50}0

 Hasil ini sering kali dinyatakan sebagai 100 _{C = 8}0 _{R = 50}0

 Contoh 2.

 Suhu sebuah benda adalah 950 _{F. Nyatakan suhu benda itu dalam skala C dan R.}  Jawab.

 C adalah 5/9 x (950 _{– 32}0_{) = 35}0  R adalah 4/9 x (950 _{– 32}0_{) = 28}0

 Dengan demikian 950 _{F = 35}0 _{C = 28}0 _R.

Contoh 1.

Misalkan ukuran suhu sebuah apel yang baru diambil dari dalam lemari es adalah 10 0_C.

Berapa derajatkah suhu apel itu bila diukur dalam skala R (Reamur) dan F (Fahrenheit)? Jawab.

R adalah 4/5 x 100 _{= 8}0

F adalah (9/5 x 100_{) + 32}0 _{= 50}0

Contoh 2.

Suhu sebuah benda adalah 950 _{F. Nyatakan suhu benda itu dalam skala C dan R.}

Jawab.

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.

2.Jenis-jenis perbandingan

 Perbandingan senilai adalah perbandingan yang nilainya sama. artinya,jika nilai awalnya semakin besar, maka nilai akhir juga membesar.sebaliknya nilai awal yang semakin kecil menyebabkan nilai akhir semakin kecil.

 Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan yang jika nilai awalnya semakin besar,maka niali akhir akan semakin kecil.sebaliknya,jika nilai awal semakin kecil,maka nilai akhir semakin kecil.

 Contoh Soal

Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.  Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8

 Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2  Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

A. Skala Perbandingan

1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau 1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau 1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya

Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.

 Contoh soal

Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B sebenarnya 450 km. Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut ?

Jawab :

Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya = 3 cm : 450 km

= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm) = 3 : 45.000.000

= 1 : 15.000.000

B. Skala Sebagai Suatu Perbandingan

Sekarang coba bandingkan ketiga ukuran pas foto berikut :

Apakah pas foto 2 cm x 3 cm sebanding dengan pas foto 3 cm x 4 cm ? ternyata pernyatannya salah, jadi tidak sebanding

Sekarang bandingkan pas foto 2 cm x 3 cm dengan pas foto 4 cm x 6 cm ! ternyata pernyatannya benar, jadi sebanding

 contoh soal

Kota A dan kota B berjarak 60 km. Tentukan jarak kedua kota tersebut dalam suatu petayang berskala 1 : 1.200.000 nyatakan dalam cm!

Pembahasan

_____________________________________________________________________________

HUBUNGAN JARAK, KECEPATAN DAN WAKTU

Js

______

S

. Jp

A. RUMUS MENCARI JARAK

jarak = kecepatan x waktu

contoh: Ali mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam dalam waktu 3 jam. berapa km jarak yang harus ditempuh Ali?

Jawab: Jarak = kecepatan x waktu = 60 km/jam x 3 jam

= 180 km.

B. RUMUS MENCARI KECEPATAN

Kecepatan = jarak : waktu

jarak itu selama 1 jam 30 menit. Berapa

Waktu = jarak : kecepatan

contoh: Jarak kota A ke kota B 200 km. Adi mengendarai motor

dengan kecepatan 50 km/jam.berapa jam waktu yang diperlukan?

jawab: Jarak = 200 km

__________________________________________________________________________________

1. SATUAN WAKTU

Satuan waktu yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah jam, menit, detik, hari, bulan, dan tahun :

2. SATUAN JARAK

3. SATUAN BERAT

1 kg sama dengan 1000 gram. 1 ons sama dengan 100 gram.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

1 ton = 1.000 kg 1 kg = 10 ons 1 hg = 1 ons 1 kuintal = 100 kg 1 kg = 2 pon

1 ton = 10 kuintal 1 pon = 5 ons 1 kg = 10 ons

1 kg = 1000 gram 1 ons = 100 gram

satuan ons disebut juga hg (hektogram)

4. SATUAN LUAS

1 are = 1 dam2

5. SATUAN VOLUME

1 ml = 1 cc

TRIGONOMETRI

Logaritma adalah sebuah operasi matematika yang sifatnya merupakan kebalikan ( invers ) dari eksponen atau perpangkatan. Secara umum, dasar dari logaritma adalah sebagai berikut :

Contoh :

a

c

_{= b → ª log b = c}

dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0

a = basis ( bilangan pokok logaritma ) b = bilangan yang dilogaritmakan c = hasil logaritma

Untuk basis atau bilangan pokok 10 boleh tdk ditulis.

Sifat-sifat Logaritma

ª log a = 1 ª log 1 = 0 ª log aⁿ = n

ª log bⁿ = n • ª log b

ª log b • c = ª log b + ª log c ª log b_{/c = ª log b – ª log c}

ªˆⁿ log b m ₌ m_{/n • ª log b}

ª log b = 1 ÷ b _{log a}

ª log b • b _{log c •} c _{log d = ª log d}

Aturan Tangen

Aturan Sinus

Parameter

Aturan Cosinus

atau

P E C A H A N

Untuk mengerjakan operasi hitung campuran pada pecahan, berlaku aturan:

1. Perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu daripada penjumlahan dan pengurangan. 2. Jika dalam soal terdapat tanda kurung, kerjakan terlebih dahulu yang diberi tanda kurung. Contoh:

1. Perkalian dikerjakan terlebih dahulu

Soal: Diketahui:

a. Jumlah Umur Ayah dan Umur Ibu adalah 90 tahun b. Umur ayah : umur ibu = 8 :7

1. Mengubah Pecahan Ke dalam Bentuk Persen dan Sebaliknya a. Mengubah pecahan ke dalam bentuk persen

b .

Mengubah persen ke bentuk pecahan biasa

Contoh

Pembagi terbesar dari 75 dan 100 adalah 25, maka kedua bilangan 75 dan 100 (pembilangdan penyebut) dibagi oleh bilangan 25. Menjadi

75 : 25 = 3 (pembilang) 100 : 25 = 4 (penyebut)

2

. Mengubah Pecahan Ke dalam Bentuk Desimal dan Sebaliknya a

.

Mengubah pecahan ke dalam bentuk desimal

Mengubah pecahan biasa ke dalam bilangan desimal dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

1 )

Dengan cara dibagi (bagi kurung). Ingat, bahwa ( per = bagi).Jadi, untuk mengubah pecahan menjadi desimal dengan jalan pembilang dibagi penyebut.

Contoh:

Caranya:

Pecahan 1/4 sama dengan 1 : 4, dapatkah bilangan 1 : 4? Apabila yang dibagi lebih kecil daripada yang membagi, maka tambahkan angka 0 dan naikkan koma sehingga akan membentuk bilangan desimal.

2 )

Dengan cara mengubah penyebut menjadi 10, 100, atau 1000. Ingat, bahwa bilangan desimal merupakan bilangan per sepuluh, per seratus, atau per seribu.

Contoh :

Penyebut dijadikan 10 ( 2 x 5 = 10) karena penyebut dikalikan dengan bilangan 5, maka pembilang pun harus dikalikan pada bilangan yang sama (5). Jadi, (1 x 5 = 5), maka sekarang menjadi pecahan 1/5 = 0,5

Jadi 1/5 = 0,5

b

. Mengubah bilangan desimal menjadi pecahan biasa

3. Mengubah Desimal Ke dalam Bentuk Persen dan Sebaliknya a. Mengubah desimal ke dalam bentuk persen

Bilangan desimal diubah dulu menjadi pecahan per sepuluh atau per seratus. Ingatlah per seratus sama dengan persen.

b. Mengubah persen ke dalam bilangan desimal

Bilangan persen diubah menjadi per seratus dan untuk

_____________________________________________________________________________________

Kesebangunan

Kesebangunan adalah bangun-bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda.

Coba perhatikan gambar dibawah ini!

Apa yang dapat kita simpulkan dari gambar yang diatas?

Bahwa dua buah bangun diakatakan sebangun jika memenuhi syarat yaitu :

1. Sudut yang bersesuaian sama besar 2. Sisi-sisi yang bersesuaian

panjangnya sebanding

Nah sekarang mari kita lihat gambar segitiga sebangun

Nah dari gambar ini dapat kita simpulkan bahwa dua buah segitiga dikatakan sebangun jika :

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding 2. Sudut-sudut yang seletak sama besar 3. Satu sudut sama besar dan kedua sisi

yang mengapitnya sebanding

Kongruen

Kongruen adalah sebuah bangun yang ukuran dan bentuknya sama. Kongruen juga dapat dikatakan sebagai bangunan yang sama persis atau 100 persen sama. Perhatikan gambar segitiga dibawah ini!

Nah dari gambar segitiga ini dapat disimpulkan bahwa dua buah segitiga dikatakan kongruen jika :

1. Sisi yang bersuaian sama panjang

2. Sudut yang bersesuaian sama besar

Nah, ada juga sifat-sifat dua segitiga kongruen yaitu :

3. s-sd-s (sisi-sudut-sisi)

_____________________________________________________________________________________

Daftar Isi Rumus Matematika

A. Ukuran-Ukuran dalam Rumus Matematika:

Bagian 01. Sistem satuan Internasional; Bagian 02. Satuan-satuan yang sering dipakai; Bagian 03. Mata Uang Beberapa Negara; Bagian 04. Beberapa Catatan Penting.

B. Aritmetika:

Bagian 01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

Bagian 02. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...

Bagian 03. Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ...

Bagian 04. Penguji Pembagian

Bagian 05. Kelipatan dengan KPK

Bagian 06. Pecahan Perbandingan dan Persen

Bagian 07. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat

Bagian 08. Kubik dan Akar Pangkat Tiga

Bagian 09. Luas, Volume dan Perimeter

C. Himpunan:

Bagian 01. Jenis Himpunan

Bagian 02. Jenis Himpunan

Bagian 02. Operasi Himpunan

Bagian 03. Diagram Venn

HIMPUNAN

A. PENGERTIAN

Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang di definisikan dengan jelas. Benda-benda atau obyek-obyek tersebut disebut ‘elemen’ atau ‘anggota himpunan’. Himpunan dinyatakan/dilambangkan dengan huruf besar,sedangkan elemen dari himpunan diberi lambang

B. CARA MENYATAKAN/MENULISKAN HIMPUNAN

1. Cara Pendaftaran/Tabulasi

Pada cara ini semua anggota himpunan dituliskan diantara dua kurawal. Contoh :

A = {Brunei,Malaysia,Indonesia,Philipina,Singapura,Thailand} 2. Cara Pencirian/Deskripsi

Contoh :

Himpunan A pada contoh di atas dapat di tuliskan seperti A = {x│x = Negara anggota ASEAN}

C. JENIS-JENIS HIMPUNAN 1. Himpunan Semesta (Universal)

Adalah himpunan yang elemen-elemennya mencakup semesta pembicaraan. Dapat fenit maupun infenit.

2. Himpunan Komplemen

Adalah himpunan yang di luar suatu himpunan lain dan masih dalam lingkup semesta. Notasi : AC _{atau A’ Atau Ā}

Jika di gambarkan dengan diagram venn :

Yang diarsir adalah AC

3. Himpunan Bagian (Subset)

Adalah himpunan yang seluruh anggotanya menjadi anggota himpunan lain. Misalnya : A = { x│x bilangan asli }

B = { x│x bilangan bulat }

Jika di gambarkan dengan diagram venn :

4. Himpunan Kosong

Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan ф atau { } Contoh :

A = { x│x2 _{+ x + 6 = 0 ,x bil. Real } ====> A = Himpunan kosong.}

5.Himpunan Kuasa (Power Set)

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya berasal dari semua himpunan bagian suatu himpunan.

Contoh :

Jika A = { 1,2,3 } ,maka himpunan kuasa A (2A_{) adalah :}

Jika n (A) = n maka n (2A_{) = 2}n

6. Himpunan Penyelesaian

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan jawaban dari suatu soal. Contoh :

A = { x│x2 _{– 5x + 6 = 0 }}

himpunan penyelesaian : { 2,3 }

D. OPERASI HIMPUNAN 1. Gabungan (union)

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota himpunan asal

Jika di gambar dengan diagram venn,maka :

2. Irisan (Interseksi)

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota kedua himpunan sekaligus.

Jika di gambar dengan diagram venn,maka :

3. Selisih (Difference) A - B

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi anggota B.

Yang diarsir adalah A - B

Kemungkinan :

 A – B = sebagian dari A,jika A berpotongan dengan B

 A – B = A ,jika A saling asing dengan B

 A – B = { } ,jika A = B

4. Tambah (Plus) A + B

Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota gabungan dan tidak merupakan anggota irisan.

Diagram vennya :

Yang diarsir adalah A + B

E. HUKUM-HUKUM DALAM HIMPUNAN 1. Komutatif

2. Asosiatif

3. Distributif

4. Absorbsi

5. Demorgan

6. Identitas

F. PENGGUNAAN DIAGRAM VENN

1. Menentukan daerah hasil suatu operasi himpunan

Contoh :

Arsirlah operasi himpunan (A – B) ∩ C ,jika B,C,A dan B ∩ C ≠ Ø Jawab :

Yang diarsir adalah : 1. (B ∩ C) - A 2. AC _{∩ B ∩ C}

3. Menentukan banyaknya anggota himpunan. Cara : a. Gunakan diagram venn ,atau b. gunakan rumus-rumus :

Contoh :

Dari 30 orang terdapat 20 orang yang senang matematika,15 orang senang biologi dan 10 orang senang kedua-duanya. Berapakah yang tidak senang kedua-duanya.

Jawab :

30 = 10 + 5 + x + 10 =====> x = 5

Jadi yang tidak senang kedua-duanya adalah 5 orang.

Rangkuman

 Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan

 Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A,

B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

 Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi

pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

 Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

 Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua

anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.

 a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi

anggota B dan dinotasikan

b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan

c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis . d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

 a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua

himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.

c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

 Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan

Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan

.

 Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Jenis Himpunan

Banyaknya anggota A = 4 ditulis n(A) = 4.

Banyaknya anggota B = 4, ditulis n(B) = 4.

n(A) = n(B) = 4

menjadi anggota B dan sebaliknya.

Himpunan kosong { } atau Ø Himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali.

Himpunan bagian A T B A himpunan bagian dari himpunan B.

Himpunan universum atau

semesta pembicaraan U atau S Adalah himpunan dari semua unsur yang dibicarakan.

Himpunan komplemen A’ Atau Ac _{U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.}

A = {3, 5}

A’ = Ac _{= himpunan komplemen dari A =}

{1, 2, 4, 6}

Himpunan lepas (disjoint) A || B Himpunan A lepas dari himpunan B bila tidak ada anggota A yang menjadi anggota B.

Operasi Himpunan

Jenis Operasi Hukum dan sifat-sifat Operasi

3 ATU

4 ATU BTA BTU

5 A = B

6 CTBTATU

Contoh {Bilangan Asli}

Operasi Diagram Gabungan

Himpunan A = {a,b,c,d}B = {e,f} A U B = {a,b,c,d,e,f,}

A = {1,2,3,4} C = {3,4,5}

A U C = {1,2,3,4,5}

E = {x,y,z} F = {x}

E U F = {x,y,z}

Irisan A = {a,b,c,d} B = {c,d,e} A W B= {c,d}

E = {a,b,c} F = {1,2,3} E W F = { Ø }

Selisih

Himpunan A = {a,b,c}B = {d,e} A / B = {a,b,c}

C = {1,2,3} D = {3,4} C / D = {1,2}

D / C = {4}

Himpunan

Komplemen A’ atau komplemen dari A

A’ W B’ = (AUB)’

Perkalian Himpunan (Cartesian Product)

Notasi: A x B = ...??? A = {a,b,c} B = {p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}

Catatan: (a,b) = (a,b) (a,b) K (b,a)

Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah (Aritmetika Bagian-01)

01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

{0,1,2,3,4,...} = Himpunan bilangan Cacah {1,2,3,4,5,...} = Himpunan bilangan Asli

a. Sifat-sifat penjumlahan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

- Sifat Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c) - Elemen Identitas pada Penjumlahan : a+0 = 0+a

b. Sifat-sifat pengurangan

Untuk setiap a,b,c,p,q, dan r bilangan cacah berlaku

1. (a - b) + c = (a + c) - b ; syarat

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku

- Sifat perkalian dengan bilangan Nol : a x 0 = 0 x a = 0

- Sifat perkalian untuk urutan : Jika a < b, c ≠ 0, maka a x c < b x c

d. Sifat-sifat pembagian

1 Sifat bilangan nol dalam pembagian:

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r, bilangan cacah berlaku 0 : a = 0 untuk a ≠ 0

a : 0 = tidak didefinisikan 0 : 0 = tidak tentu

2. (a : b) : c = a : (b : c) ; syarat :

b faktor dari a dan c faktor dari b.

3. (abc) : (pqr) = a/p x b/q x c/r

; syarat :

a, b, c, p, q, r merupakan bilangan-asli

- p faktor dari a

b faktor dari a dan c faktor dari b

6. (a : b) : c = a : (b : c) ; syarat :

b dan c faktor-faktor dari a

7. (a : b) : c = (a : c) : b ; syarat :

b dan c faktor-faktor dari a

8. Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan: (a + b) : c = [a/c] + [b/c] ; syarat

:

c faktor dari a dan b

(a - b) : c = a/c - b/c ; syarat :

a > b dan c faktor dari a dan b

10. Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c < b/c

e. Sifat-sifat perpangkatan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku: 1. (a x b)c _{= a}c _{x b}c

2. [a/b]c _{= a}c _{: b}c 3. ab _{x a}c _{= a}b+c

ab _{: a}c _{= a}b-c _{; syarat: b ≥} c,

(ab₎c _{= a}bc

4. Bilangan nol dalam perpangkatan 0a _{= 0}

a0 _{= 1}

f. Sifat-sifat penarikan akar

Cara Cepat Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...

(Aritemetika Bagian-02)

1. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...

a. Mengalikan dengan 5

Cara Biasa: Dengan Cara Singkat:

dengan cara mengalikan: Dengan cara menambahkan “0” dibelakang 1575, kemudian dibagi 2. 1575

5 x 7875

Contoh:

15750 : 2 = 7875

b. Mengalikan dengan 10 dan kelipatannya

Bilangan Bulat: Bilangan Desimal:

100 x 10 = 1.000 0,1 x 10 = 1

15 x 10 = 150 1,25 x 10 = 12,5

15 x 100 = 1.500 0,200 x 1.000 = 200

Cara mengalikan suatu bilangan dengan 10, 100, 1.000, ...; adalah dengan menambahkan 1, 2, 3, ...; angka Nol di belakang bilangan tersebut.

Mengalikan suatu bilangan desimal dengan 10, 100, 1000, ...; dengan cara memindahkan koma (tanda desimal) sebanyak 1, 2, 3, ...tempat ke kanan

11 x 11 = 121 contoh lain: 243 x 11 = 2673 1 1 2 4 3

+ + +

1 2 1 2 6 7 3

d. Mengalikan dengan 25

Cara Biasa: Cara Singkat: 2138

25 x 10690 4276 + 53450

Tambahkan dua angka nol di belakang 2138, kemudian bagi dengan 4

yaitu:

213800 : 4 = 53450

e. Mengalikan dengan 99, 999, 9999, ...

3415 x 99 = 338085 Cara

Singkat:

Tambahkan dua angka nol dibelakang 3415, kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri 341500

3415000 3415 -3411585

3415 x 9999 = 34146585 Cara

Singkat:

Tambahkan empat angka nol dibelakang 3415, kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri 34150000

3415 -34146585

1. a : b = c : d ; seharga dengan a x d = b x c

3. Pada setiap perbandingan suku-sukunya boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama

a : b = c : d ; dapat diubah menjadi:

a. Bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir

Bilangan 25 adalah bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir.

Himpunan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir adalah 25, 225, 625, 1225, 2025. Untuk mendapatkan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir, perhatikan pola berikut:

5 x 5 = 25

15 x 15 = 1 x 2 25 = 225 25 x 25 = 2 x 3 25 = 625 35 x 35 = 3 x 4 25 = 1.225 45 x 45 = 4 x 5 25 = 2.025 55 x 55 = 5 x 6 25 = 3.025 65 x 65 = 6 x 7 25 = 4.225 75 x 75 = 7 x 8 25 = 5.625 85 x 85 = 8 x 9 25 = 7.225 95 x 95 = 9 x 10 25 = 9.025

Angka terakhir Bilangan yang mau dicari akarnya

Angka terakhir hasil akar

1 1 dan 9

bilangan 3969 memiliki angka terakhir “9”

Maka akar kuadratnya memiliki angka terakhir 3 dan 7 3969 > 3600 = 602 _dan

3969 > 4225 = 652 _{atau 60}2 _{< √3969 < 65}2

Karena akar dari 3969 memiliki angka terakhir 3 atau 7, maka akar kuadratnya 63 atau 67, dan yang paling mungkin adalah 63, jadi √3969 = 63

√2601 = ...?

Bilangan 2601 memiliki angka terakhir “1” 502 _{= 2500; 55}2 _{= 3025;}

50 < √2601 < 55 Maka:

Akar kuadratnya memiliki angka terakhir 1 atau 9, maka nilai yang mungkin adalah 51.

Jadi, √2601 = 51

Kubik dan Akar Pangkat Tiga (Aritmetika Bagian-08)

4. Kubik dan Akar Pangkat Tiga

Bilangan berpangkat tiga antara lain adalah: 13 _{= 1}

23 _{= 8} 33 _{= 27} 43 _{= 64} 103 _{= 1.000} 203 _{= 8.000} 303 _{= 27.00}

0 403 _{= 64.00}

0

b. Akar pangkat tiga dari kubik sempurna

Bilangan 216.000 adalah bilangan kubik sempurna karena 216.000 = 603_.

Semua bilangan yang memiliki angka terakhir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dapat menghasilkan nilai akar pangkat 3 yang bilangannya memiliki angka terakhir sebagai berikut:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Luas, Volume dan Perimeter

N

o Bangun Formula Diagram

1 Persegi Panjang

Jajaran Genjang

6 Trapesium Luas Daerah: = ½ (a + b) ∙h

Trapesium

7 Belah Ketupat Luas Daerah: = ½ ∙p∙q

Belah Ketupat

8 Balok (Kuboid)

Volume: = p x l x t

Balok/Kuboid 9 Kubus Volume:

Kubus

10 Tabung Volume: = r2_t

Luas Bidang Lengkung (selimut):

= 2 rt

Luas Alas = Luas Lingkaran: = r2

Tabung

11 Limas Volume Limas Alas Segiempat:

= 1/3 Luas Alas x Tinggi Volume Limas Alas Segitiga: = 1/3 Luas Alas x Tinggi

Limas Alas Segitiga

12 Kerucut Volume:

= 1/3 Luas Alas x Tinggi = 1/3 r2_t

Luas Selimut Kerucut: = rs

s = panjang garis pelukis kerucut

13 Sektor Luas sektor: = /360 x r2

Panjang Busur: = /360 x 2 r

Sektor

14 Prisma Volume Prisma: = Luas Alas x Tinggi atau: v = Lt

Prisma

15 Bola Luas Bola: = 4 r2

Luas ½ Bola: ={ ½ 4r2_{} + r}2

Volume Bola: = 4/3 rt3

PERSAMAAN KUADRAT

x1 = 3x2,maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud :

(x – x2) (x – 3x2) = 0 ...(2)

Cara Menyusun Kuadrat Baru (PKB)

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x2 _{+ 8x + 10}

4. UMPTN/92/IPA/NO. 10

Akar-akar persamaan kuadrat x2 _{+ bx + c = 0 ialah x}

1 dan x2,persamaan dengan akar-akarnya

x1 + x2 dan x1 . x2 ialah :

Jawab :

CARA BIASA :

x2 _{+ bx + c = 0,akar = x}

1 dan x2

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2 adalah

(x – (x1 + x2) (x – x1 . x2) = 0

x1 + x2 = -b/1 = -b

(x – (-b)) (x – c) = 0 (x + b) (x – c) = 0 x2 _{+ (b – c) x – bc = 0}

5. UMPTN/89/A/NO. 76

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x2 _{– 2x + 3 =}

Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum

6. UMPTN/’89/Matematika Dasar/B

= b2 _{+ 100 b}

F’ = 2b + 100 = 0 → b = -50 Fmin → b = -50

F = (-50)2 _{+ 100 . (-50)}

Contoh Soal : 1. SIP/’88

Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih?

Jawab :

2. Prediksi

Antara pukul 10.00 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji akan membentuk garis lurus pada pukul 10.00 lebih?

Jawab :

3. Prediksi GE

Antara pukul 11.00 dan 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan saling tegak lurus pada pukul 11.00 lebih?

4. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a – 4 = 0. Jika α = 3β,maka nilai a

yang memenuhi adalah Jawab :

CARA BIASA :

x2 _{+ 4x + a – 4 = 0 ... (1)}

x1 = 3β x2 = β

Maka persamaan kuadratnya adalah : (x - 3β) (x – β) = 0

x2 _{- 4βx + 3β}2 _{= 0 ... (2)}

Dari persamaan (1) dan (2) 4 = -4β → β = -1

a – 4 = 3β2

a – 4 = 3(-1)2

a – 4 = 3 a = 7

1. Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut.

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:

b. Perkalian Bentuk Akar

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar

2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif

2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1

a. Hubungan dengan

D. Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar: