Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan
dengan Persamaan Fungsional
Ning Eliyati, Novi Rustiana Dewi, dan Roni Simanjuntak
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Lapangan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dimana setiap elemen satuan yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Apabila diberikan fungsi aditiff, gdari suatu lapangan yang memuatQ(bilangan rasional) dan memenuhi persamaan fungsionalg(Xin) =f(Xi)n
dengann∈Z{0,1}, 1∈N maka akan diselidiki sifat homomor-fisma lapangan pada fungsif. Dari hasil penelitian yang didapat dari teorema 4.21 adalah jikan >1 makaf=g= 0 dan e−1f : K → K¯ adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K dan jikan < 0, maka ¯e =f(1)6= 0, e−1f:
K→K¯ adalah homomorfisma lapangan untuk setiapx∈K∗dang=en−1f
Kata kunci: homomorfisma lapangan, persamaan fungsi
Abstract: Field is comutatif ring with elemen where the non zero of unit elemen has multiplication invers. Let be give additive functionf,gfrom a field whichQand satisfying a functional equationg(Xin
) =f(Xi
)n
wheren∈Z{0,1}, 1∈, N will be observed characteristic of field homomorphism in functionf according to the result is got from theorem 4.21 that is if n > 1 then f = g = 0 and e−1f : K → K¯ is field homomorphism for allx ∈ K and if n < 0, then ¯
e=f(1)6= 0, e−1f: K→K¯ is field homomorphism for allx∈K∗andg=en−1f
Keywords: field homomorphism, functional equation
Desember 2009
1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
S
istem bilangan real atau sistem bilangan kompleksmemiliki dua operasi biner dasar, yaitu operasi penjumlahan dan perkalian. Teori grup belum cukup merangkum semua struktur aljabar dari kedua sistem bilangan, karena suatu grup hanya berkaitan dengan satu operasi biner saja. Oleh karena itu dibahas struk-tur aljabar dengan dua operasi biner yang disebut ring. Ring terbentuk dari suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (·). jika suatu ring ter-hadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas (elemen satuan) maka disebut ring dengan elemen sa-tuan. Ring merupakan struktur yang lebih luas dari grup dan digunakan sebagai dasar untuk membahas lapangan.Lapangan adalah satu ring komutatif dengan elemen satuan yang setiap elemen yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Karena lapangan merupakan sebuah ring komutatif maka semua sifat-sifat ring berlaku pula dalam lapangan.
Diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q memenuhi persamaan fungsional g(Xin) = (f(Xi))n maka akan diselidiki sifat
homom-rfisma lapangan pada fungsi untuk menjelaskan per-soalan ini secara terperinci, maka peneliti tertarik un-tuk meneliti lebih lanjut,dimana tujuannya mengkaji sifat-sifat homomorfisma lapangan pada persamaan fungsionalg(Xin) = (f(xi))n.Yang dibatasi pada
ho-momorfisma lapangan dari fungsi yg aditif. Manfaat-nya memperkuat pemahaman tentang homomorfisma lapangan dan menambah wawasan untuk kajian per-samaan fungsional.
1.2 Tinjauan Pustaka
Berbagai teorema dan definisi yang berhubungan dengan ring, lapangan, dan homomorfisma lapangan merupakan dasar pembahasan pada hasil dan pemba-hasan yang dihimpun dari berbagai sumber.
Suatu ring komutatif R dikatakan mempunyai ele-men satuan (unity) yang dinotasikan dengan e jika e·a = a·e = a untuk setiap a ∈ R Ring yang demikian dikatakan ring dengan unity[1]. Pada ring
komutatif dengan elemen satuan berlaku teorema bi-nomial yaitu: (a+b)n=Pnk−0(nk)akan−kdan teorema
binomial dipergunakan dalam pembahasan[2].
Definisi 1: Misalkan Rring dengan unity. Jikaa∈
invers perkalian dariadanadisebut unit[1].
Definisi 2: Sebuah ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memiliki pembagi nol disebut daerah integral[2]. Meurut Fraleigh[3] Lapangan
adalah suatu ring komutatif F dengan elemen sa-tuan bilamana himpunanF yang memenuhi aksioma-aksioma:
1. (F,+) grup abelian;
2. (F{0}) grup abelian; dan
3. Distributif.
Contoh 1(Q,+,·) adalah lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Definisi 3: Misalkan (K,+,·) dan (L,+,·) masing-masing adalah suatu lapangan. Suatu pemetaan f : K → L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiap yang memenuhi:
1. f(a+b) =f(a) +f(b);
2. f(a·b) =f(a)·f(b);
3. f(1) = 1, f(0) = 0.
Definisi 4: Misalkan K dan L adalah lapangan. Suatu pemetaanf :K→Ldikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiapa, b,∈K denganf(a) =f(b) makaa=b.
Menurut Hungerfoord[4] apabila pemetaanf suatu homomorfisma dari lapanganK ke lapanganL, maka himpunan elemen-elemenKyang petanya adalah ele-men nol dari L disebut kernel dari f dan dinyatakan notasi ker(f). Ker (f) = {x ∈ K|F(x) = ¯0,¯0 ∈L}, Ker (f) yang sama dengan nol dari homomorfisma la-pangan selalu memenuhi pemetaan injektif dan seba-liknyaf pemetaan injektif jika kernelnya sama dengan nol. Jikaf :R→Rmemenuhif(x+y) =f(x) +f(y) untuk semuax, y,∈R maka (f) disebut fungsi aditif.
Lemma 1: Misalkan f : Q → Q memenuhi f(x+ y) = f(x) +f(y)∀x ∈ Q maka f(ax) = af(x) untuk a ∈ Q. Menurut Halter-Koch and Reich L
[5] Persamaan fungsional adalah suatu persamaan
di-mana variabel berupa suatu fungsi. Sehingga terlebih dahulu harus diketahui variabel fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
2 METODELOGI PENELITIAN
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam pene-litian sebagai berikut;
1. Jika f :K →K¯ merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapang yang memuat Q dan dipenuhi f(x2) = (f(x))2 untuk semua x ∈ K
makaf homomorfisma lapangan.
2. Jikaf, g:K→K¯ merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi f(x1) =g(x1) untuk setiap 1∈N dan x∈K maka f =g.
3. Jikaf, g:K→K¯ merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi (g(xa))β = Qr
i=1f(xai)βi .Dengan e=
f(1)6= 0, makae−1f :K→K¯ adalah
homomor-fisma lapangan dang=g(1)e−1f
4. Jika f, g : K → K¯ adalah fungsi aditif yang in-jektif dengan n < 0 dimana f dan g memenuhi persamaan fungsional yang memenuhi g(xin) =
(f(x1))n untuk semua x∈ K∗ maka f =g = 0
ataue=f(1)6= 0, e−1f : K→K¯ adalah homo-morfisma lapangan dang=en−1f
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Lemma tentang Homomorfima Lapangan
Lemma 1: Diberikan K dan ¯K adalah lapangan yang Q. Misalkan f : K → K¯ adalah fungsi aditif yang memenuhi
f(x2) = (f(x))2untuk semuax∈K (1)
makaf adalah homomorfisma lapangan[5].
Bukti Akan ditunjukkan bahwaf adalah homomor-fisma lapangan.f adalah fungsif(x+y) =f(x)+f(y). Dengan mengambilx, y∈K, ruas kiri pers.(1) meng-hasilkan f((x+y)2) = f(x2+ 2xy+y2). Karena f
fungsi aditif maka:
f((x+y)2) =f(x2) +f(2xy) +f(y2) (2)
Sementara itu, ruas kanan dari pers.(1) menghasilkan
f(x+y))2= (f(x))2+ 2f(x)f(y) + (f(x))2 (3)
Karena f(x2) = (f(x))2 untuk semua x ∈ K, maka
diperoleh f(xy) = f(x)f(y) untuk semua x, y ∈ K maka terbukti bahwa f adalah suatu homomorfisma lapangan.
Lemma 2: MisalkanKdan ¯Kadalah lapangan yang memuatQ, dan misalkanf, g:K→K¯ adalah fungsi aditif sedemikian hingga f(xl) = g(xl) untuk setiap
Bukti Jika x ∈ K dan t ∈ Q maka berdasarkan teorema binomial
(1 +tx)l=
l
X
k=0
(lk)lktxl−k (4)
diperoleh
f((1+tx)l) =f(1+ltx+l(l−1)
2 (tx)
2+· · ·+tlxl) (5)
Karenaf adalah fungsi aditif maka pers.(5) menjadi:
f((1 +tx)l) =f(1) +tlf(x) + (l(l−1)
2 t
2)
f(f x2) +· · ·+tlf(xl) =ϕ(t)
untuk suatu polinomial ϕ ∈ K¯(t). Penurunan ϕ(t) terhadapt untukt= 0 menghasilkan
ϕ′(t) =lf(x)
Di sisi lain,
g((1+tx)l) =g(1+ltx+l(l−1)
2 (tx)
2+· · ·+tlxl) (6)
sehingga (karenag adalah fungsi aditif)
g((1 +tx)l) =ψ(t)
untuk suatu polinomial ψ ∈ K¯(t). Penurunan ψ(t) terhadapt untukt= 0 menghasilkanϕ′(0) = lg(x)
Selanjutnya karena f(x1) =g(x1) untuk setiap 1∈
N maka diperoleh ℘′(t) = ψ(t) untuk setiap e ∈ Q sehingga℘=ψ. Karena ℘′(0) =ψ′(0) ataulf(x) = lg(x) untuk setiapl∈Ndanx∈kakibatf(x) =g(x) untuk setiapx∈K, makaf =g.
Lemma 3: MisalkanKdan ¯Kadalah lapangan yang memuatQ, dan misalkanf, g:K →K¯ adalah fungsi aditif yang memenuhi fungsional yang berbentuk
(g(xa))β= r
Y
i=1
f(xai)βi (7)
untuk semua x ∈ K dan i = 1,2,3, . . . , r, dengan r, a, β, a1, . . . , ar, β1, . . . , βr ∈ N sehingga aβ =
Pr
i=1aiβi, dan jikae=f(1)6= 0 makae−1f :K→K¯
adalah homomorfisma lapangan dang=g(1)e−1f
Bukti Misalkanx∈Kdant∈Qmaka berdasarkan teorema binomial
(1 +tx)l= a
X
k=0
1ktxa−k (8)
Karena g adalah fungsi aditif maka pers.(8) mengha-silkan
(g(1 +tx)a)β=ϕ(t) (9)
dengan℘∈K¯(t) adalah suatu polynominal pada ¯K. Untuk f fungsi aditif diperolah (berdasarkan teo-rema binomial)
f((1 +tx)a)β =ϕ
i(t) (10)
denganϕi∈K¯(t) adalah suatu polynomial pada ¯K.
Selanjutnya dari pers.(7) diperoleh ϕ(t) =
Qr
i=1ϕi(t) untuk semuat∈Q, sehingga
℘=
r
Y
i=1
℘i∈K¯(t) (11)
Telah diketahui bahwa
℘(t) = (g(1) +atg(x) +t2(a
2)g(x2) +. . .+tag(xa))β
(12) Karena itu, pers.(12) padat= 0 menghasilkan℘(0) = g(1)β dan
℘i(t) = (e+taif(x) +t2
a1(ai−1)
2 f(x
2) +. . .+ta−1f(xa−1) +taf(xa))β (13)
Pers.(13) pada t = 0 menghasilkan Qri=1℘i(0) = Qri=1(e)β, sehingga diperolehg(1)β =Qr(e)
β
Dengan menurunkan persamaanϕ=Qri=1ϕ,
diper-Dan jika kedua ruas dalam pers.(14) diturunkan dan hasilnya dikalikan denganϕdiperoleh
ϕnϕ=ϕ
ϕi, diperoleh bentuk
ϕnϕ=ϕ2
Selanjutnya, bentuk ϕ′ ϕ =
Selanjutnya akan ditinjau kaitan (18). Padat = 0 ruas kiri persamaan tersebut menghasilkan
ϕ”ϕ−ϕ′2
ϕ2 =β(g(1)) −12(α
2)g(x2)−β(g(1))−2α(g(x))2,
(21) sedangkan dari ruas kanannya dihasilkan
r
Akibat pers.(18), (19), dan (20) diperoleh
e−2f(x)2(
Karena itu menurut lemma 1: e−1f adalah
homomor-fisma lapangan.
3.2 Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan
Sebelum mengkarakterisasi homomorfisma lapangan dengan persamaan fungsional, akan definisikan ter-lebih dahuluQ∗=Q− {0}, danK∗=K− {0}dengan
Kadalah lapangan. Selanjutnya akan dibuktikan teo-rema berikut .
adalah fungsi aditif yang injektif jikan <0. Misalkan f dang memenuhi persamaan fungsional
g(x1n) = (f(xl))nuntuk semuax∈K∗ (24)
Maka f = g = 0 atau e = f(1) 6= 0, e−1f(1) : K →
¯
Kadalah homomorfisma lapangan dang=en−1f.
Bukti: Akan ditinjau dua kasus yaitu:
Untukn >1. Jikax∈K ataut∈Qmaka
berda-Karenag adalah fungsi aditif maka:
g((1 +tx)1n) =ϕ(t)
Selanjutnya, ruas kanan pers.(24) menghasilkan
(f(1 +tx)l)β=ψ(t)
Dan berdasarkanlemma 3maka e−1f adalah homo-morfisma lapangan.
Untuk n < 0. Ambil m = −n, m ∈ N dan f, g adalah fungsi injektif, e=f(1)6= 0. Pers.(24) dapat ditulis sebagai
Perkalian ruas kanan dan kiri pada pers.(26) dengan
1
Selanjutnya, karenag adalah fungsi aditif maka
g( 1
Karenag fungsi aditif maka pers.(38) menjadi
1
Perkalian Kedua ruas pers.(40) dengan
Qlm
xdapat diganti dengan λx, lalu membaginya dengan λ−l2m2Qlmk=0λklm ∈Q∗, dan dengan mengambil t =
Untukx∈K¯ maka pers.(23) memenuhi
4 KESIMPULAN DAN SARAN
Dari bahasan dapat disimpulan sebagai berikut: Jika mempunyai dua lapangan K dan ¯K memuat Q dan dua fungsi adtif f, g : K → K¯ yang memenuhi per-samaan fungsional untuk setiapx∈K∗ maka
1. Jika n > 1, makae = f(1) = 06 , e−1f : K → K¯ adalah homomorfisma lapangan untuk setiapx∈
K.
2. Jikan <0, makae=f(1)6= 0, f:K→K¯ adalah homomorfisma lapangan untuk setiapx∈K. dan g=en−1f
DAFTAR PUSTAKA
[1]Suharti dan Sukirman, 1994,Struktur Aljabar, Universitas Terbuka Depdikbud, Jakarta
[2]Wahyudin, 2000,Pengantar Aljabar Abstrak, Delta Bawean, Bandung
[3]Fraleigh, J. B., 1993,A First Course in Abstract algebra.
Fifth Edition. Addison Weslay Publishing Company Reading, California
[4]Hungerfoord, T.W., 1984,Graduate Texts in Mathematics, Springer - Verlag, New York
[5]Halter-Koch, F. And L. Riech, 2000,Characterization of
