SOLUSI AL setda JABAR menutup

(1)

SOLUSI AL JABAR

(2)

Konsep Dasar

• Metode Al jabar dilakukan melalui penyelidikan optimasi secara bertahap sampai diperoleh

penyelesaian yang optimal. Pada setiap tahap

penyelesaian dilakukan pengujian mengenai kelaikan (feasibelity) penyelesaian yang bersangkutan dan

(3)

Sebuah penyelesaian tahap pertama dimulai, perlu dilakukan standarisasi rumusan model, yakni mengubah kendala-kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan menjadi berbentuk persamaan. Caranya ialah dengan memasukkan unsur variabel semu pada ruas kiri fungsi kendala. Untuk fungsi kendala yang bertanda (kecil sama dengan) dilakukan penambahan varia el

se ja g (slack variable). Sedaangkan

fungsi kendala bertanda (besar sama dengan) dilakukan pengurangan varia el

(4)

Contoh:

4X

₁

+ 2X

₂



60 menjadi 4X

₁

+ 2X

₂

+ X

₃

= 60

2X

₁

+ 4X

₂

≥

48 menjadi 2X

₁

+ 4X

₂

- X

₃

= 48

Penyelesaian metode al jabar diawali dengan

me-nol-kan semua variabel keputusan, ini merupakan

penyelesaian tahap pertama. Kemudian dilanjutkan dengan penyelesaian tahap-tahap berikutnya, dengan

mempertimbangkan kelaikan dan optimalitasnya.

Pekerjaan dikatakan selesai/penyelesaian dianggap optimal apabila pada suatu tahap penyelesaian tertentu

tidak terdapat lagi kemungkinan perbaikan

(5)

Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan

metode al jabar, setelah model permasalahannya

dirumuskan, adalah sebagai berikut:

• lakukan standarisasi rumusan model

• kerjakan penyelesaian tahap pertama dengan

me-nol-kan semua variabel keputusan

• berdasarkan

koefisien-koefisien

variabel

keputusan yang terdapat pada fungsi tujuan,

tentukanlah

salah

satu

variabel

dengan

(6)

Persoalan Laba Maksimum

(7)

Output

Pembatas Roti bolu

(X₁)

Roti selai

(X₂)

Input Tepung (Kg) 4 2 60

Gula (Kg) 2 4 48

Harga (Rp/unit) 8.000 6.000

Membuat Tabel Persoalan liniernya

Fungsi tujuannya : F _(z) = 8.000 X₁ + 6.000 X₂ Fungsi Pembatasnya : 4X₁ + 2X₂  60 Pers (1)

(8)

P

a. Standarisasi Rumusan Model

Fungsi tujuan

Catatan : X₃ dan X₄ merupakan produk baru yang menggunakan bahan mentah sisa dan nilainya dianggap sama dengan nol. Banyaknya variabel sisipan ini tergantung daripada jumlah persamaan kendala yang digunakan. Jika dua persamaan maka ditambah dua variabel sisipan begitu pula selanjutnya.

(9)

b. Me-Nol-Kan semua variabel keputusan masalah

Rumus pemecahan dasar (basic feasible solution₎

dengan rumus:

n = banyaknya variable

m = banyaknya persamaan yang tersedia

(10)

)'

Jadi terdapat 6 pemecahan dasar dalam menjawab permasalahan yakni: 1) X₁ dan X₂ = 0

Catatan_: _{dari keenam pemecahan tersebut carilah nilai F}

(11)

Perhitungan

1. X₁ dan X₂ = 0 (cari persamaan yang memiliki variabel X₁ dan X₂)

4X₁ + 2X₂ + X₃= 60 X₃= 60

Berarti: nilai F _(z)= 0 maknanya pada saat X₁ = 0, X₂ = 0, X₃ = 60 dan X₄ = 48 maka nilai penjualan yang diperoleh adalah 0, karena yang berharga adalah X₁ dan X₂ sedangkan X₃ dan X₄ harganya nol.

2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 X₄ = 48

F _(z) = 8.000 X₁ + 6.000 X₂ + 0X₃ + 0 X₄

= 8.000 (0) + 6.000 (0) + 0 (60) + 0 (48) = 0 + 0 + 0 + 0

(12)

Perhitungan

2. X₁ dan X₃ = 0

4X₁ + 2X₂ + X₃= 60 2X₂ = 60 X₂ = 30

Berarti: Jika nilai yang diperoleh negatif maka tidak dilanjutkan ke perhitungan pencarian maks profitnya karena tidak ada produksi yang negatif berarti tidak layak.

2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 4(30) + X₄ = 48

(13)

Perhitungan

3. X₁ dan X₄ = 0

2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 4X₂ = 48 X₂ = 12

4X₁+2X₂ + X₃ = 60 2(12) + X₃= 60

24 + X₃= 60

(14)

Perhitungan

F _(z) = 8.000 X₁ + 6.000 X₂ + 0X₃ + 0 X₄ = 8.000 (0)+6.000 (12)+0 (36) + 0 (0) = 0 + 72.000 + 0 + 0

= 72.000

Berarti: Pada saat X₁ dan X₄ sama dengan nol

dan X₂ sama dengan 12 serta X₃ sama

(15)

72.000,-Perhitungan

4. X₂ dan X₃ = 0

4X₁ + 2X₂ + X₃= 60 4X₁ = 60 X₁=15

2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 2(15) + 0 + X₄ = 48

30+ X₄ = 48

(16)

F

_(z)

= 8.000 X

₁

+ 6.000 X

₂

+ 0X

₃

+ 0 X

₄

= 8.000 (15)+6.000 (0) + 0 (0) + 0 (18)

= 120.000 + 0 + 0 + 0

= 120.000

Berarti:

Pada saat X

₁

= 15; X

₂

= 0;

X

₃

= 0 dan X

₄

= 18 maka maks

(17)

120.000,-Perhitungan

5. X₂ dan X₄ = 0

2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 2X₁ = 48 X₁ = 24

4X₁+2X₂ + X₃ = 60 4(24) + 0 + X₃= 60

96 + X₃= 60

X₃= 60-96 X₃= -36

(18)

Perhitungan

6. X₃ dan X₄ = 0

4X₁ + 2X₂ + X₃= 60 4X₁ + 2X₂ = 60 2X₁ + 4X₂ + X₄ = 48 2X₁ + 4X₂ = 48

4X

₁

+ 2X

₂

= 60 (1)

4X

₁

+ 2X

₂

= 60

2X

₁

+ 4X

₂

= 48 (2)

4X

₁

+ 8X

₂

= 96

(19)

2X

₁

+ 4X

₂

= 48

2X

₁

+ 4(6) = 48

2X

₁

+ 24

= 48

2X

₁

= 48 - 24

2X

₁

= 24

X

₁

= 12

F _(z) = 8.000 X₁ + 6.000 X₂ + 0X₃ + 0 X₄ = 8.000 (12) + 6.000 (6) + 0 (0) + 0 (0) = 96.000 + 36.000 + 0 + 0

= 132.000

(20)

132.000,-c. Menentukan salah satu variabel dengan

optimalitas

ter aik

Dari enam alternatif pemecahan masalah tersebut,

maka dapat dikatakan bahwa alternatif ke 6

(enam) merupakan alternatif yang memberikan

nilai optimasi terbaik, yakni: Rp. 132.000,- dengan

nlai X

₁

= 12 dan X

₂

= 6. Jadi, sebanyak 12 buah

roti bolu dan 6 buah roti selai harus diproduksi

supaya

hasil

penjualan

maksimal

dengan

(21)

132.000,-LATIHAN

• Mahasiswa diminta mencari sebuah usaha

• Kemudian cari informasi apa yang diproduksi usaha

tersebut dan pilih dua produksi saja dengan menggunakan bahan baku yang sama

• Selanjutnya mahasiswa diminta mencari informasi berapa

bahan baku yang digunakan untuk memproduksi satu

satuan hasil produksi dan ketersediaan bahan baku saat ini.

• Selanjutnya cari juga informasi berapa harga masing-masing

satuannya.

• Buatlah tabel masukan, aktivitas dan keluaran.

• Buatlah fungsi laba maksimum dan fungsi pembatasnya.

U tuk la a aksu u f z da u tuk iaya i i u f u tuk perta yaa erapa la a ya g dapat dihasilka

(22)

SOLUSI AL JABAR

MINIMUM COST

(23)

Persoalan Minimum Cost

(24)

Output

Pembatas Roti bolu

(X₁)

Roti selai

(X₂)

Input Tepung (ons) 2 1 30

Gula (ons) 1 1 20

Biaya (Rp/Buah) 50 30

Membuat Tabel Persoalan liniernya

Fungsi tujuannya : F _(c) = 50 X₁ + 30 X₂ Fungsi Pembatasnya : 2X₁ + 1X₂  30 Pers (1)

(25)

P

a. Standarisasi Rumusan Model

Fungsi tujuan

Catatan : X₃ dan X₄ merupakan produk baru yang menggunakan bahan mentah sisa dan nilainya dianggap sama dengan nol. Banyaknya variabel sisipan ini tergantung daripada jumlah persamaan kendala yang digunakan. Jika dua persamaan maka ditambah dua variabel sisipan begitu pula selanjutnya.

(26)

b. Me-Nol-Kan semua variabel keputusan masalah

Rumus pemecahan dasar (basic feasible solution₎

dengan rumus:

n = banyaknya variable

m = banyaknya persamaan yang tersedia

(27)

)'

Jadi terdapat 6 pemecahan dasar dalam menjawab permasalahan yakni: 1) X₁ dan X₂ = 0

Catatan_: _{dari keenam pemecahan tersebut carilah nilai F}

(28)

Perhitungan

1. X₁ dan X₂ = 0 (cari persamaan yang memiliki variabel X₁ dan X₂)

2X₁ + X₂ - X₃= 30 X₃= -30 X₁ + X₂ - X₄ = 20 X₄ = -20

(29)

Perhitungan

2. X₁ dan X₃ = 0

2X₁ + X₂ - X₃= 30 X₂ = 30

X₁ + X₂ - X₄ = 20 30 - X₄ = 20

X₄ = 20 - 30 X₄ = 10

F _(c) = 50 X₁ + 30 X₂ - 0X₃ - 0 X₄

= 50 (0) + 30 (30) - 0 (0) - 0 (10) = 0 + 900 - 0 - 0

= 900

(30)

Perhitungan

3. X₁ dan X₄ = 0

X₁ + X₂ - X₄ = 20 X₂ = 20

2X₁+ X₂ - X₃ = 30 20 - X₃= 30

- X₃= 30-20 - X₃= 10

X₃= -10

(31)

Perhitungan

4. X₂ dan X₃ = 0

2X₁ + X₂ - X₃= 30 2X₁ = 30 X₁=15

X₁ + X₂ - X₄ = 20 15 + 0 - X₄ = 20

15 - X₄ = 20

-X₄ = 20 -15 -X₄ = 5

X₄ = -5

(32)

Perhitungan

5. X₂ dan X₄ = 0

X₁ + X₂ - X₄ = 20 X₁ = 20

2X₁ + X₂ - X₃ = 30 2(20) + 0 - X₃= 30

40 - X₃= 30

- X₃= 30-40 - X₃= -10

(33)

F _(c) = 50 X₁ + 30 X₂ - 0X₃ - 0 X₄

= 50 (20) + 30 (0) - 0 (10) - 0 (0) = 1000 + 0 - 0 - 0

= 1000

(34)

Perhitungan

6. X₃ dan X₄ = 0

2X₁ + X₂ - X₃= 30 2X₁ + X₂ = 30 X₁ + X₂ - X₄ = 20 X₁ + X₂ = 20

2X

₁

+ X

₂

= 30

X

₁

+ X

₂

= 20

(35)

X

₁

+ X

₂

= 20

1(10) + X

₂

= 20

10 + X

₂

= 20

X

₂

= 20 - 10

X

₂

= 10

F _(z) = 50 X₁ + 30 X₂ - 0X₃ - 0 X₄

= 50 (10) + 30 (10) - 0 (0) - 0 (0) = 500 + 300 - 0 - 0

= 800

(36)

800,-c. Menentukan salah satu variabel dengan

optimalitas

ter aik

Dari enam alternatif pemecahan masalah tersebut,

maka dapat dikatakan bahwa alternatif ke 6

(enam) merupakan alternatif yang memberikan

nilai minimum terbaik, yakni 800 dengan nilai X

₁

= 10 dan X

₂

= 10.

(37)