DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

DESAI N SI STEM KENDALI MELALUI

TANGGAPAN FREKUENSI

Ì

Pendahuluan

Ì

Tahap Awal Desain

Ì

Kompensasi Lead

Ì

Kompensasi Lag

Ì

Kompensasi Lag-Lead

Ì

Kontroler P, PI , PD dan PI D

Ì

Hubungan antara Kompensator Lead,

Lag & Lag-Lead dengan Kontroler PD,

*

*

PENDAHULUAN

♦

Dalam desain sistem kendali (secara konvensional), unjuk kerja respons transient umumnya merupakan hal yang terpenting .

♦

Spesifikasi transient dinyatakan (secara tak langsung) dalam:

⇒

phase margin (faktor redaman)

⇒

gain margin (batas kestabilan)

⇒ lebar bidang frekuensi (kecepatan transient

)

⇒

simpangan puncak resonansi (faktor redaman)

⇒

frekuensi resonansi

⇒

frekuensi gain crossover

⇒ konstanta-konstanta error statik (ketelitian

steady state)

♦

Alat bantu perancangan: Bode Plot (lebih praktis) , Nyquist, dst.

♦

Terbatas pada SI SO, linear, invarian waktu.

•

Spesifikasi dicoba dipenuhi melalui gain adjustment dengan cara coba-coba.

•

Tak selalu berhasil mengingat plant tak selalu dapat diubah.

♦

Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead Lead: fasa output mendahului input

Lag : fasa output terbelakang dari input

Lag-lead : phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah,

phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi.

♦

Karakteristik respons transient harus di cek lagi setelah perancangan selesai.

♦

Perancangan dengan pendekatan Diagram

Bode:

1. Atur penguatan lup terbuka (untuk memenuhi spek akurasi steady state).

2. Gambar diagram Bode sistem semula.

3. Tentukan apakah gain & phase margins memenuhi spek.

4. Bila tidak, tentukan kompensator yang sesuai agar diperoleh respons frekuensi yang sesuai.

♦

I nformasi pada Diagram Bode:

•

Daerah frekuensi rendah (

ω

< <

ω

gco): menggambarkan karakteristik steady state sistem.

•

Daerah frekuensi tengah (frekuensi sekitar titik -1+ j0 pada polar plot): menggambarkan kestabilan relatif.

•

Respons Frekuensi (Loop Terbuka) I deal:

•

Gain pada daerah frekuensi rendah harus cukup tinggi.

•

Slope kurva log magnitude (Bode Plot) dekat fgco : -20db/ decade dan memanjang yang memadai agar diperoleh phase margin yang memadai.

*

KOMPENSASI LEAD

•

Tujuan Kompensasi Lead: Mengubah kurva respons frekuensi agar diperoleh sudut phase lead yang cukup untuk mengkompensasi phase lag yang disebabkan oleh komponen-komponen sistem.

•

Asumsi:

•

Spesifikasi unjuk kerja diberikan dalam phase & gain margins, konstanta error statik dst.

•

Respons transient tak memuaskan.

•

Kompensasi dapat dicapai dengan penambahan kompensator seri.

•

Karakteristik Kompensator Lead

E s E s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T o i c c ( ) ( ) = + + = + + = + + 4 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 α α α dengan: T = R1C1; αT= R2C2; Kc = R4C1/ R3C2;

•

Untuk Domain Frekuensi:

G

j

K

j T

j

T

c

(

ω

)

c

α

;

(

)

ω

ωα

α

=

+

+

< <

1

1

0

1

•

Polar Plotnya (untuk Kc= 1)

•

Bode Plotnya (untuk Kc= 1): HPF

Perhatikan bahwa :

ω

m = frekuensi tengah geometri antara 2 frekuensi sudut, sehingga:

sinφ

α α

α α m =

−

+ = −₊

1 2 1

2

] T 1 log T 1 log [ 2 1 log _m α

ω = + _atau

ω

α

m

T

=

1

•

Prosedur Perancangan:

1. Anggap kompensator lead:

G s K Ts

Ts K

s T

s T

c( ) = c c ( )

+ + =

+

+ < <

α α α α 1 1 1

1 0 1

atau:

G s K Ts

Ts dengan K K

c( ) = c

+

+ =

1 1

α α

Sehingga OLTF sistem terkompensasi:

G s G s K Ts

Ts G s G s G s

c( ) ( ) ( ) c ( ) ( )

| = + + = 1 1 1 α dengan:

G s

KG s

G s

Ts

Ts

c 1

1

1

( )

( )

( )

|

=

=

+

+

α

Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.

2. Gambar diagram Bode G1(j

ω

) dengan K yang diperoleh dari butir 1.

Tentukan phase margin.

dicapai melalui gain adjustment.

3. Hitung sudut phase lead

φ

yang perlu ditambahkan pada sistem.

4. Hitung faktor redaman

α

melalui rumus:

sin

φ

α

α

m

= −

+

1

1

Hitung frekuensi gain crossover baru pada diagram Bode sistem G1(j

ω

) dengan mengingat bahwa frekuensi tsb terjadi pada:

magnitude = −20log 1

α

Hitung T melalui rumus:

ω

α

m

T

= 1 _;

ωm

= frekuensi gain crossover.

5. Tentukan kedua frekuensi sudut kompensator sbb:

zero

T

pole

T

:

ω

;

:

ω

α

=

1

=

1

6. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:

K

=

K

_c

α

CONTOH SOAL

Sistem semula : G s s s ( ) ( ) = + 4 2 Diinginkan : K s PM GM db v = ≥ ≥ − 20 50 10 1 0

Rancanglah kompensator yang diperlukan.

Solusi

:

1. Anggap kompensator lead : G s

( )

K Ts Ts c = cα_α +₊1

1 ;0 <α< 1

Sistem terkompensasi :

Ambil : G s₁( )=K_cαG s( )

=

+ =

4 2 K

s s( ) dengan K Kcα G s Ts

Ts c ' _{( )=} + + 1 1 α

2. Tentukan K dari syarat Kv

K sG s s K

s s K v =lim ( )→ =lim ₊ → =

( )

1 20 4

2 10

→syarat Kv sudah dipenuhi

3. Gambar Bode Plot sistem semula dengan gain adjustment :

( )

G j j j 1 20 2 1 ω ω ω = +    G(s)

G s_c' ( ) G s₁( ) +

-Hitung ωgco :→ terjadi pd g₁

( )

jω =1 20 2 1 1 2 ω ω_ _{ +} =

Pers : 400=ω2

(

0 25, ω2 + ⇒1

)

ω_gco =6 17, rad s/

( )

Lead r kompensato perlu , terpenuhi tak PM ~ 18 ) ( 180 162 2 17 , 6 tan 90 0 17 , 6 1 0 0 1 0 17 , 6 1 ⇒ = = − = − = − − = ∠ = − = GM j G PM j G ω ω ω ω

4. Phase lead yang perlu dikontribusi oleh kompensator :

φ_m =500 −180 +50 = 370

offset : perlu untuk kompensasi pergeseran ω_gcokekanan akibat penambahan kompensator lead.

sin φ α ,

α α φ

m = −1₊ ⇒ = untuk m =

1 0 24 38

0

5. Tentukan pole dan zero kompensator :

zero

T pole T

= 1 ; = 1 α

Ingat φm terjadi pada tengah-tengah kedua frekuensi diatas atau pada

ω α = 1

T

Besarnya perubahan kurva magnitude pada ω

α = 1

T akibat

G s Ts

untuk α

α

=0 24 ⇒ 1 = 1 =

0 49 6 2 ,

, , db

Sehingga untuk mengkompensasi kenaikan gain 6,2 db, maka

( )

G j₁ ω = −6 2, db, atau:

20 20 2 1 6 2 2 log , ω ω_ _ +

= − db

Persamaan : 40 8, 2 =0 25, ω4+ω2⇒ω_geo' =8 92, rad s/ ≅9rad s/

Sehingga frekuensi gain cross over baru

ω

α

gco rad s

T T

' _{=9 / =} 1 _{⇒ =0 227, ,}

Diperoleh :

G s s

s c( ) ,

,

= +

+

100 227 1 0 054 1

6 Menentukan K_c = K = =

α

10

0 24, 41 7,

Catatan :

G s Ts Ts

s s

G s G s s s

c( ) ,

, ( ) ( ) ( ) 10 1 1

0 227 1 0 054 1

10 40 1 1 = + + = + + = = + α

7. Pengecekan ulang setelah kompensasi : OLTF Sistem terkompensasi :

(

)

(

)

G s G s s

s s s

c( ) ( )

, ( ) ,

= +

+ +

40 0 227 1 2 0 054 1

sudut fasa pada frekuensi gain crosssover 8,92 rad/s

G s G s_c

s j

( ) ( )

=

tan tan , tan ,

, , , ,

− _{− −} − ₋ − ₌

− − − = −

1 0 1 1

0 0 0 0 0

2 1 90

8 92 2

0 48 1 63 4 90 77 4 25 6 129 6

• PM = 1800 - 129,60 = 50,40

⇒

terpenuhi

• GM = ~

⇒

terpenuhi

• Terjadi kenaikan frekuensi gain crossover 6,17 rad/s

⇒

8,92 rad/s : berarti kenaikan bandwidth (kenaikan kecepatan respons)

*

KOMPENSASI LAG

•

Tujuan:

Meredam daerah frekuensi tinggi agar diperoleh cukup phase margin.

•

Karakteristik Kompensator Lag

E

s

E s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

o

i

c c

( )

( )

=

;

+

+

=

+

+

>

β

β

β

β

1

1

1

1

1

dengan:

T = R1C1;

β

T= R2C2;

β

= R2C2/ R1C1 > 1

•

Bode Plotnya (untuk Kc= .1; β= 10)

Prosedur:

1. Anggap kompensator lag:

G s K Ts

Ts K s

T

s T

c( ) = c c ;

+ + = + + > β β β β 1 1 1 1 1

atau:

G s

K

Ts

Ts

dengan

K

K

c

( )

=

c

+

+

=

1

1

β

β

Sehingga OLTF sistem terkompensasi:

G s G s K Ts

Ts G s G s G s

c( ) ( ) ( ) c ( ) ( )

| = + + = 1 1 1 β dengan:

1

1

)

(

)

(

)

(

| 1

+

+

=

=

Ts

Ts

s

G

s

KG

s

G

_c

β

Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.

2. Gambar diagram Bode G1(j

ω) dengan K yang diperoleh

dari butir 1. Bila gain & phase margins tak dipenuhi, tentukan frekuensi gain crossover baru sbb:

f*gco= frekuensi pada sudut fasa sistem G1(j

ω)

bernilai = -180o + spek phase margin + φoffset. dengan φoffset.= 5o sampai 12o untuk

3. Pole dan zero kompensator harus terletak jauh lebih rendah dari pada frekuensi gain crossover baru untuk menghindari efek detrimental.

Pilih frekuensi sudut ω = 1

T lebih rendah 1 octave

sampai 1 decade dari f*gco. (Hindari konstanta waktu kompensator terlalu besar).

4. Tentukan redaman yang diperlukan untuk membawa kurva magnitude turun 0 db pada f*gco.

β

dapat ditentukan dengan mengingat : redaman = -20 log

β.

Tentukan frekuensi sudut kedua:

ω

β

=

1

T

5. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:

*

KOMPENSASI LAG-LEAD

•

Kompensator Lead:

- memperbesar bandwidth: - mempercepat respons,

- memperkecil % Mp pada respons step.

•

Kompensator Lag:

-

_{memperbesar gain pada frekuensi rendah}

(akurasi steady state membaik),

- memperlambat respons (bandwidth mengecil).

•

Kompensator Lag- Lead:

-

_{memperbesar bandwidth dan}

••

Karakteristik Kompensator Lag- Lead

G s K

s T s T s T s T lead lag

c( ) = c ; ;

+       +       +       +       > > ⇓ ⇓ 1 1

1 1 1

1 1 2 2 γ β γ β

• Polar Plotnya (K

c= 1; β=

γ)

dengan:

ω

₁ 1 2

1

=

T T

•

Prosedur Perancangan:

Kombinasi prosedur Perancangan untuk Kompensasi Lead dan Kompensasi Lag.

Anggap OLTF sistem semula G(s) dan kompensator

G s

K

T s

Kontroler PI dan Kompensator Lag:

•

Kontroler PI :

G s K

T s

K T

T s s

c p

i

p i

i

( ) =  +



 



 = _ + _

1 1 1

•

Kompensator Lag:

G s K Ts

Ts

c( ) = c ;

+

+ >

β

β β

1

1 1

•

Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s= -1/ Ti dan pole pada s= 0 (penguatan

∞

pada frekuensi 0)

•

Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady

state.

•

Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.

Kontroler PD dan Kompensator Lead

Kontroler PD:

G s

_c

( )

=

K

_p

(

1

+

T s

_d

)

Kompensator Lead:

G s

K

Ts

Ts

c

( )

=

c

(

)

+

+

< <

α

α

α

1

1

0

1

•

Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead.

•

Kp ditentukan dari spesifikasi steady state

•

Frekuensi sudut 1/ Td dipilih agar phase lead terjadi sekitar

ω

gco.

Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler naik terus untuk frekuensi tinggi

ω

> 1/ Td, sehingga memperkuat derau pada frekuensi tinggi.

•

Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan kontroler PD.

•

Realisasi dengan rangkaian elektronik dapat menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik.

Kontroler PI D dan Kompensator Lag-Lead:

•

Kontroler PI D:

G s K

T s T s

K T

T T s T s

s c p i d p i

i d i

( ) = ( + + ) =  + +      1 1 1 2

•

Kompensator Lag-Lead:

G s K

s T s T s T s T lead lag

c( ) = c ; ; +       +       +       +       > > ⇓ ⇓ 1 1

1 1 1

1 1 2 2 γ β γ β

•

Bode Plot Kontroler PI D untuk

G s

s

s

s

c

( )

( ,

)(

)

=

2

0 1

+

1

+

1

•

Kontroler PI D adalah Kompensator Lag-Lead.