DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI
TANGGAPAN FREKUENSI
Ì
Pendahuluan
Ì
Tahap Awal Desain
Ì
Kompensasi Lead
Ì
Kompensasi Lag
Ì
Kompensasi Lag-Lead
Ì
Kontroler P, PI, PD dan PID
Ì
Hubungan antara Kompensator Lead,
Lag & Lag-Lead dengan Kontroler PD,
PI dan PID
*
*
PENDAHULUAN
♦ Dalam desain sistem kendali (secara konvensional), unjuk kerja respons transient umumnya merupakan hal yang terpenting .
♦ Spesifikasi transient dinyatakan (secara tak langsung) dalam:
⇒ phase margin (faktor redaman) ⇒ gain margin (batas kestabilan)
⇒ lebar bidang frekuensi (kecepatan transient) ⇒ simpangan puncak resonansi (faktor redaman)
⇒ frekuensi resonansi
⇒ frekuensi gain crossover
⇒ konstanta-konstanta error statik (ketelitian steady state)
♦ Alat bantu perancangan: Bode Plot (lebih praktis) , Nyquist, dst.
♦ Terbatas pada SISO, linear, invarian waktu.
• Spesifikasi dicoba dipenuhi melalui gain adjustment dengan cara coba-coba.
• Tak selalu berhasil mengingat plant tak selalu dapat diubah.
♦ Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead Lead: fasa output mendahului input
Lag : fasa output terbelakang dari input
Lag-lead : phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah,
phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi.
♦ Kompensasi di domain frekuensi: merancang suatu filter untuk mengkompensasi karakteristik plant yang tak diinginkan / tak dapat diubah.
♦ Karakteristik respons transient harus di cek lagi setelah perancangan selesai.
♦ Pendekatan respons frekuensi dapat digunakan untuk penurunan karakteristik dinamis komponen-komponen tertentu (pnematik & hidraulik).
♦
Perancangan dengan pendekatan Diagram
Bode:
1. Atur penguatan lup terbuka (untuk memenuhi spek akurasi steady state).
2. Gambar diagram Bode sistem semula.
3. Tentukan apakah gain & phase margins memenuhi spek.
4. Bila tidak, tentukan kompensator yang sesuai agar diperoleh respons frekuensi yang sesuai.
♦
Informasi pada Diagram Bode:
• Daerah frekuensi rendah (ω << ωgco): menggambarkan karakteristik steady state sistem.
• Daerah frekuensi tengah (frekuensi sekitar titik -1+j0 pada polar plot): menggambarkan kestabilan relatif.
• Daerah frekuensi tinggi (ω >> ωgco): menggambarkan kompleksitas sistem.
•
Respons Frekuensi (Loop Terbuka) Ideal:
• Gain pada daerah frekuensi rendah harus cukup tinggi.
• Slope kurva log magnitude (Bode Plot) dekat fgco : -20db/decade dan memanjang yang memadai agar diperoleh phase margin yang memadai.
• Gain harus cukup cepat diredam pada daerah frekuensi tinggi untuk mengurangi efek derau.
*
KOMPENSASI LEAD
• Tujuan Kompensasi Lead: Mengubah kurva respons frekuensi agar diperoleh sudut phase lead yang cukup untuk mengkompensasi phase lag yang disebabkan oleh komponen-komponen sistem.
• Asumsi:
• Spesifikasi unjuk kerja diberikan dalam phase & gain margins, konstanta error statik dst.
• Respons transient tak memuaskan.
• Kompensasi dapat dicapai dengan penambahan kompensator seri.
• Karakteristik Kompensator Lead
E s E s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T o i c c ( ) ( ) = + + = + + = + + 4 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 α α α dengan: T = R1C1; αT= R2C2; Kc = R4C1/R3C2; α = R2C2/R1C1 (α <1)
• Untuk Domain Frekuensi:
G
j
K
j T
j
T
c(
ω
)
cα ω
;
(
)
ωα
α
=
+
+
< <
1
1
0
1
• Polar Plotnya (untuk Kc=1)
• Bode Plotnya (untuk Kc=1): HPF
Perhatikan bahwa :
ωm = frekuensi tengah geometri antara 2 frekuensi sudut, sehingga: sinφ α α αα m = − + = −+ 1 2 1 2 1 1
] T 1 log T 1 log [ 2 1 log m α ω = + atau ω α m T = 1
•
Prosedur Perancangan:
1. Anggap kompensator lead:G s K Ts Ts K s T s T c( ) = c c ( ) + + = + + < < α α α α 1 1 1 1 0 1 atau: G s K Ts Ts dengan K K c( ) = c + + = 1 1 α α
Sehingga OLTF sistem terkompensasi:
G s G s K Ts Ts G s G s G s c( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) | = + + = 1 1 1 α dengan: G s KG s G s Ts Ts c 1 1 1 ( ) ( ) ( ) | = = + + α
Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.
2. Gambar diagram Bode G1(jω) dengan K yang diperoleh dari butir 1.
Tentukan phase margin.
dicapai melalui gain adjustment.
3. Hitung sudut phase lead φ yang perlu ditambahkan pada sistem.
4. Hitung faktor redaman α melalui rumus:
sin φ α
α
m = −+
1 1
Hitung frekuensi gain crossover baru pada diagram Bode sistem G1(jω) dengan mengingat bahwa frekuensi tsb terjadi pada:
magnitude = −20log 1 α Hitung T melalui rumus:
ω
α
m
T
= 1 ;
ωm = frekuensi gain crossover.
5. Tentukan kedua frekuensi sudut kompensator sbb:
zero
T pole T
: ω ; : ω
α
= 1 = 1
6. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:
K
=
K
cα
Bila tidak, ulangi proses perancangan dengan mengubah lokasi pole & zero kompensator.
CONTOH SOAL
Sistem semula : G s s s ( ) ( ) = + 4 2 Diinginkan : K s PM GM db v = ≥ ≥ − 20 50 10 1 0Rancanglah kompensator yang diperlukan.
Solusi :
1. Anggap kompensator lead : G s( ) K Ts Ts c = cαα ++ 1 1 ;0 <α< 1 Sistem terkompensasi : Ambil : G s1( )=KcαG s( ) = + = 4 2 K s s( ) dengan K Kcα G s Ts Ts c ' ( )= + + 1 1 α
2. Tentukan K dari syarat Kv
K sG s s K s s K v =lim ( )→ =lim + → = ( ) 1 20 4 2 10
→syarat Kv sudah dipenuhi
3. Gambar Bode Plot sistem semula dengan gain adjustment :
( ) G j j j 1 20 2 1 ω ω ω = + G(s) G sc' ( ) G s1( ) + -+
-Hitung ωgco :→ terjadi pd g1( )jω =1 20 2 1 1 2 ω ω + =
Pers : 400=ω2
(
0 25, ω2 + ⇒1)
ωgco =6 17, rad s/( )
Lead r kompensato perlu , terpenuhi tak PM ~ 18 ) ( 180 162 2 17 , 6 tan 90 0 17 , 6 1 0 0 1 0 17 , 6 1 ⇒ = = − = − = − − = ∠ = − = GM j G PM j G ω ω ω ω4. Phase lead yang perlu dikontribusi oleh kompensator :
φm =500 −180 +50 = 370
offset : perlu untuk kompensasi pergeseran ωgcokekanan akibat penambahan kompensator lead.
sin φ α , α α φ m = − untuk m + ⇒ = = 1 1 0 24 38 0
5. Tentukan pole dan zero kompensator :
zero
T pole T
= 1 ; = 1 α
Ingat φm terjadi pada tengah-tengah kedua frekuensi diatas atau pada
ω α = 1
T
Besarnya perubahan kurva magnitude pada ω
α = 1 T akibat G s Ts Ts adalah c 1 1 1 ( )= + + α 1 1 1 1 + + = = j T j T T ω ω αω α α offset
untuk α α =0 24 ⇒ 1 = 1 = 0 49 6 2 , , , db
Sehingga untuk mengkompensasi kenaikan gain 6,2 db, maka
( ) G1 jω = −6 2, db, atau: 20 20 2 1 6 2 2 log , ω ω + = − db
Persamaan : 40 8, 2 =0 25, ω4+ω2⇒ωgeo' =8 92, rad s/ ≅9rad s/
Sehingga frekuensi gain cross over baru
ω α gco rad s T T ' =9 / = 1 ⇒ =0 227, , Diperoleh : G s s s c( ) , , = + + 100 227 1 0 054 1 6 Menentukan Kc = K = = α 10 0 24, 41 7, Catatan : G s Ts Ts s s G s G s s s c( ) , , ( ) ( ) ( ) 10 1 1 0 227 1 0 054 1 10 40 1 1 = + + = + + = = + α
7. Pengecekan ulang setelah kompensasi : OLTF Sistem terkompensasi :
( ) ( ) G s G s s s s s c( ) ( ) , ( ) , = + + + 40 0 227 1 2 0 054 1
sudut fasa pada frekuensi gain crosssover 8,92 rad/s
G s G sc
s j
( ) ( )
=
tan tan , tan , , , , , − − − − − − = − − − = − 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 1 90 8 92 2 0 48 1 63 4 90 77 4 25 6 129 6 • PM = 1800 - 129,60 = 50,40
⇒
terpenuhi • GM = ~⇒
terpenuhi• Terjadi kenaikan frekuensi gain crossover 6,17 rad/s
⇒
8,92 rad/s : berarti kenaikan bandwidth (kenaikan kecepatan respons)• Terjadi kenaikan frekuensi resonansi : 6 rad/s
⇒
7 rad/s*
KOMPENSASI LAG
• Tujuan: Meredam daerah frekuensi tinggi agar
diperoleh cukup phase margin.
• Karakteristik Kompensator Lag
E
s
E s
K
Ts
Ts
K
s
T
s
T
o i c c( )
( )
=
;
+
+
=
+
+
>
β
β
β
β
1
1
1
1
1
dengan: T = R1C1; βT= R2C2; β= R2C2/R1C1 > 1 • Polar Plotnya• Bode Plotnya (untuk Kc=.1; β=10)
Prosedur:
1. Anggap kompensator lag:
G s K Ts Ts K s T s T c( ) = c c ; + + = + + > β β β β 1 1 1 1 1 atau:
G s
c( )
=
K
Ts
Ts
dengan
K
K
c+
+
=
1
1
β
β
Sehingga OLTF sistem terkompensasi:
G s G s K Ts Ts G s G s G s c( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) | = + + = 1 1 1 β dengan:
1
1
)
(
)
(
)
(
| 1+
+
=
=
Ts
Ts
s
G
s
KG
s
G
cβ
Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan.
2. Gambar diagram Bode G1(jω) dengan K yang diperoleh dari butir 1. Bila gain & phase margins tak dipenuhi, tentukan frekuensi gain crossover baru sbb:
f*
gco= frekuensi pada sudut fasa sistem G1(jω) bernilai = -180o + spek phase margin + φoffset. dengan φoffset.= 5o sampai 12o untuk
3. Pole dan zero kompensator harus terletak jauh lebih rendah dari pada frekuensi gain crossover baru untuk menghindari efek detrimental.
Pilih frekuensi sudut ω = 1
T lebih rendah 1 octave
sampai 1 decade dari f*gco. (Hindari konstanta waktu kompensator terlalu besar).
4. Tentukan redaman yang diperlukan untuk membawa kurva magnitude turun 0 db pada f*gco.
β dapat ditentukan dengan mengingat : redaman = -20 log β.
Tentukan frekuensi sudut kedua:
ω
β
=
1
T
5. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:
*
KOMPENSASI LAG-LEAD
• Kompensator Lead:- memperbesar bandwidth: - mempercepat respons,
- memperkecil %Mp pada respons step.
• Kompensator Lag:
- memperbesar gain pada frekuensi rendah
(akurasi steady state membaik),
- memperlambat respons (bandwidth mengecil).
• Kompensator Lag-Lead:
- memperbesar bandwidth dan
•• Karakteristik Kompensator Lag-Lead G s K s T s T s T s T lead lag c( ) = c ; ; + + + + > > ⇓ ⇓ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 γ β γ β • Polar Plotnya (Kc=1; β=γ) dengan: ω1 1 2 1 = T T bagian lead (ω1< ω<~ ) bagian lag (0 < ω < ω1)
•
Prosedur Perancangan:
Kombinasi prosedur Perancangan untuk Kompensasi Lead dan Kompensasi Lag.
Anggap OLTF sistem semula G(s) dan kompensator
G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T dengan c c c ( ) : = + + + + = + + + + > 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 β β β β β
Kontroler PI dan Kompensator Lag: • Kontroler PI : G s K T s K T T s s c p i p i i ( ) = + = + 1 1 1 • Kompensator Lag: G s K Ts Ts c( ) = c ; + + > β β β 1 1 1
• Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s=-1/Ti dan pole pada s=0 (penguatan ∞ pada frekuensi 0) • Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady
state.
• Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.
• Pemilihan nilai Kp dan Ti harus cermat agar diperoleh respons transient memadai: overshoot kecil atau nol, tetapi respons lebih lambat.
Kontroler PD dan Kompensator Lead Kontroler PD:
G s
c( )
=
K
p(
1
+
T s
d)
Kompensator Lead:G s
K
Ts
Ts
c( )
=
c(
)
+
+
< <
α
α
α
1
1
0
1
• Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead.
• Kp ditentukan dari spesifikasi steady state
• Frekuensi sudut 1/Td dipilih agar phase lead terjadi sekitar ωgco.
Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler naik terus untuk frekuensi tinggi ω > 1/Td, sehingga memperkuat derau pada frekuensi tinggi.
• Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan kontroler PD.
• Kontroler PD tak dapat direalisasikan dengan elemen pasif RLC, harus dengan Op Am, R dan C.
• Realisasi dengan rangkaian elektronik dapat menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik.
• Kontroler PD memperbaiki karakteristik respons transient (tr <, %Mp <).
Kontroler PID dan Kompensator Lag-Lead: • Kontroler PID: G s K T s T s K T T T s T s s c p i d p i i d i ( ) = ( + + ) = + + 1 1 1 2 • Kompensator Lag-Lead: G s K s T s T s T s T lead lag c( ) = c ; ; + + + + > > ⇓ ⇓ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 γ β γ β
• Bode Plot Kontroler PID untuk
G s
s
s
s
c( )
( ,
)(
)
=
2
0 1
+
1
+
1
Fig 7-47 p595• Kontroler PID adalah Kompensator Lag-Lead.
• Bila Kp dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil kondisional.