PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG NUTRISI SESUAI DENGAN KARAKTER TANAH ENDITIYAS PRATIWI

(1)

PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG NUTRISI SESUAI

DENGAN KARAKTER TANAH

ENDITIYAS PRATIWI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

ABSTRAK

ENDITIYAS PRATIWI. Penentuan Pupuk yang Mengandung Nutrisi Sesuai dengan Karakter Tanah. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan TONI BAKHTIAR.

Menentukan penggunaan pencampuran pupuk ke dalam tanah merupakan hal yang sulit bagi sebagian petani. Para petani mengharapkan dan percaya terhadap rekomendasi pencampuran penggunaan pupuk yang diberikan oleh produsen pupuk. Hal ini menyebabkan industri pupuk di Indonesia mulai berkembang, di mana para produsen berusaha bersaing dalam menentukan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah serta biaya produksi pupuk yang minimum.

Pada karya ilmiah ini akan dibahas cara penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah di suatu wilayah. Karya ilmiah ini memberikan model Pemrograman Linear Integer/Integer Linear Programming (ILP) yang dapat digunakan untuk membuat model penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Penyelesaian masalah ini dengan metode branch-and-bound dilakukan dengan menggunakan software LINGO 8.0, yang menghasilkan nilai optimal berupa total biaya produksi pupuk dan sejumlah pupuk yang memenuhi persyaratan.

(3)

ABSTRACT

ENDITIYAS PRATIWI. Determine the Fertilizer which Contain the Nutrition that Suitable to the Soil Characters. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and TONI BAKHTIAR.

Determining the composition of a fertilizer is complicated and time consuming. Farmers usually expect and trust to the recommendation given by the fertilizer producers. This situation impacts the development on the fertilizers industries in Indonesia, where they compete in producing fertilizers which contain appropriate soil nutrition under minimum production cost. In this paper we discuss about how to determine the fertilizer which contain the nutrition that suitable to the soil characters. We develop an ILP as a model which can be used to determine the fertilizer which contain the nutrition that suitable to the soil characters. The problem is solved by using branch-and-bound method and by implementing LINGO 8.0 software, which yield a minimum total production cost and a group of fertilizers that satisfy the requirements.

(4)

PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG NUTRISI SESUAI

DENGAN KARAKTER TANAH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ENDITIYAS PRATIWI

G54104012

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(5)

Judul

: Penentuan Pupuk yang Mengandung Nutrisi Sesuai dengan

Karakter Tanah

Nama :

Enditiyas

Pratiwi

NRP :

G54104012

Menyetujui:

Pembimbing I,

Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

NIP. 131 878 952

Pembimbing II,

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 132 158 750

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(6)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, berkah serta nikmat sehat sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini berjudul Penentuan Pupuk yang Mengandung Nutrisi Sesuai dengan Karakter Tanah. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Berbagai permasalahan dan kendala muncul selama penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bpk. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku Pembimbing I dan Bpk. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai, Bpk. Dr. Ir. I Gede Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan.

2. Mama dan Bapa tercinta, atas segala doa, restu serta curahan kasih sayang yang telah diberikan hingga sekarang.

3. Nene’ beserta keluarga besar di Kalimantan yang selalu memberikan doa, dukungan dan saran hingga penulisan ini selesai. Tak lupa juga buat pakde adjat & keluarga, pakde wowo & keluarga, om sigit & keluarga.

4. Hijrah Tawakkal, the reason that always makes my life full of colour.

5. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika : Bu Susi, Bu Ade, Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

6. Chris, Diah, Yuli, Epa, Lia, Selly, Sabay, Tuti, dan Rian terima kasih atas persahabatan dan perhatian yang kalian berikan selama kita jauh dari rumah untuk menuntut ilmu.

7. Rite, Dian, Sita yang selalu ada saat penulis mengalami hal-hal buruk dan senang selama kurang lebih 4 tahun kebersamaan ini, atas bantuan baik moriil maupun materiil. Buat Rite, atas semangatnya, dan yang selalu menanyakan kapan seminar. Buat Dian, atas bantuan mengerjakan Lingonya. Buat Sita, atas semuanya.

8. Teman-teman Matematika 41 : Dee (atas semuanya, waktu, tenaga, pikiran, dll), Pepen, Ani, Ayu, Liay, Armi, Mukti, Iyank, Tities, Echi, Fitri, Neng, Liam, Eli, Aji, Zali, Mahnur, Febrina, Janah, Eeph, Roro, Uwie, Syifa, Roma, Kurenz, Ennie, Great, Kokom, Enyon, Rina, Darwisah, Nidia, Ika, Maryam, Mahar, Tia, Yeni, Kesha, Udin, Iboy, Mazid, Dika, Chubby, Momo, Racil, Idris, Yaya, Triyadi, Mimin, Amin, Deny, Cumi, Yos, Hendri. Kalian semua adalah kisah warna-warni selama 4 tahun di Departemen Matematika.

9. Kakak-kakak kelasku : T’Mayang 40, T’Mitha 40 dan K’Prima 40, terima kasih telah meluangkan waktu dan tenaga untuk membantu belajar LINGO 8.0.

10.Warga Ponytail : Mb Ninit, Dian, Nira, Mb Neni, Mb Mitoel, Ratih, Mb Dian, Mb Uli, Maya, Mb Umimi, Mb Susi, Mb Nana, Ike, Mb Ratna, Mb Onye.

11.Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.

Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, April 2008

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bunyu, Kalimantan Timur pada tanggal 20 April 1986 dari pasangan Mapendrek dan Diyah Andayani. Penulis merupakan anak tunggal.

Pada tahun 1998 penulis lulus dari SD Negeri 008 Bunyu, Kalimantan Timur. Pada tahun 2001 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Bunyu, Kalimantan Timur. Pada tahun 2004 penulis lulus dari SMA Patra Dharma Bunyu, Kalimantan Timur dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti kegiatan kemahasiswaan, yaitu Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai salah satu staff divisi Sosial Informasi dan Komunikasi (SOSINKOM) pada periode 2005-2006. Selama masa kepengurusan di himpunan profesi GUMATIKA, penulis sering mengikuti kepanitiaan berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2005-2006 (anggota seksi acara), Welcome Ceremony Mathematics 2006, Try Out SPMB Nasional IKAHIMATIKA 2007, dan Matematika Ria 2007 (koordinator seksi acara).

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL... vii

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... vii

PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 2 LANDASAN TEORI ... 2 Linear Programming ... 2 Solusi LP... 2

Integer Linear Programming... 3

Metode Branch and Bound untuk Menyelesaikan Masalah IP... 3

PEMODELAN ... 5

STUDI KASUS MASALAH PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG NUTRISI DESUAI DENGAN KARAKTER TANAH ... 8

SIMPULAN DAN SARAN ... 11

Simpulan... 11

Saran... 11

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Jenis-jenis Pupuk ... 6

2 Daftar Biaya Produksi Pupuk ... 9

3 Dosis Nutrisi yang Dibutuhkan pada Setiap Pupuk... 9

4 Dosis Nutrisi yang Dibutuhkan pada Kandungan Tanah... 10

5 Daftar Jenis Pupuk Hasil Model ILP ... 10

6 Daftar Kontribusi Pupuk... 10

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Daerah Fisibel IP ... 4

2 Daerah Fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3... 4

3 Seluruh Pencabangan pada Metode Branch and Bound untuk Menentukan Solusi IP... 5

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Suatu LP dengan Metode Branch and Bound... 14

2 Syntax Program untuk Perhitungan Pupuk yang Mengandung Nutrisi Sesuai dengan Karakter Tanah ... 17

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pupuk merupakan unsur penting bagi tanaman karena dapat memperkaya kandungan nutrisi tanah yang berguna bagi kesuburan tanaman. Pupuk dipilih berdasarkan kandungan yang terdapat di dalamnya dan disesuaikan dengan karakter tanah. Pupuk yang terdapat di pasaran dunia memiliki jenis yang beragam disesuaikan dengan perbedaan karakter tanah suatu wilayah. Sebagian dari pupuk tersebut adalah SSA, SPO, GUR, CAN27, SPN, MAP, DAP, TSP, SPF, ZA, KCl, SULP, FERT, Bca, MgO, ZnO, ZnSO4, ARTZ, urea, NPK, dan NPP.

Di Indonesia, pupuk yang dihasilkan oleh produsen dan digunakan oleh petani lokal, di antaranya adalah urea, ZA, TSP atau SP-36, KCl, NPK, DAP, MAP, dan CAN27. Pupuk tersebut merupakan produksi dari PT Petrokimia Gresik. Produsen pupuk di Indonesia lainnya juga menghasilkan jenis pupuk yang sama. Hal ini terjadi karena pupuk yang diproduksi sesuai dengan karakter tanah yang ada di Indonesia.

Untuk memenuhi kebutuhan nutrisi tanah, pupuk harus memiliki kandungan nutrisi tertentu. Di Indonesia dan di negara lain berlaku batasan kandungan nutrisi sebagai berikut:

• dosis nutrisi pertama, yaitu nutrisi yang harus dikandung setiap pupuk. Di antaranya adalah NH3, NO4, Psol, Pins, K, S, Mg, B, dan Zn;

• dosis nutrisi kedua, yaitu nutrisi yang dibutuhkan oleh tanah. Di antaranya adalah N, P, K, B, Zn, S, Mg, nitrik N, Psol, dan K bebas dari Cl.

Industri pupuk di Indonesia sudah berkembang. Hal ini ditandai dengan tingginya persaingan produk dan harga. Petani mengharapkan rekomendasi yang cepat dan dapat dipercaya untuk campuran pupuk yang mereka butuhkan dengan harga murah. Para produsen berusaha bersaing memenuhi permintaan petani dengan menentukan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah yang dimiliki petani. Para produsen memproduksi berbagai jenis pupuk yang dapat dipilih oleh petani sesuai dengan karakter tanah wilayahnya. Untuk menentukan pupuk yang sesuai dengan permintaan para petani, para produsen menggunakan dua tahapan kerja, yaitu penentuan dosis nutrisi

yang dibutuhkan untuk kandungan tanah dan penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah.

Tahap kerja pertama adalah penentuan dosis nutrisi yang dibutuhkan untuk kandungan tanah. Penentuan dosis nutrisi ini dilakukan dalam tiga langkah, yaitu:

kombinasi dari lahan yang diinginkan dengan keadaan pada lahan. Dimana keadaan pada lahan harus memenuhi persyaratan seperti kandungan nutrisi pada lahan, indeks hasil panen dan kelembaban. Kombinasi dari dua hal di atas akan

menghasilkan permintaan terhadap nutrisi; kombinasi dari karakter tanah, hasil panen sebelumnya, dan keadaan tanah sebelumnya akan menghasilkan tanah

yang mengandung suatu nutrisi; kombinasi dari hasil panen dengan lahan

akan menghasilkan suatu efisiensi dalam tanah.

Hasil dari tahap kerja pertama yang berupa dosis nutrisi kedua akan digunakan sebagai variabel input dalam tahapan kerja kedua pada penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Pada tahapan kerja kedua digunakan pemrograman linear integer/Integer Linear Programming (ILP). Pada kendala model ILP diperlukan dosis nutrisi pertama dan variabel input untuk menghasilkan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Sedangkan fungsi objektif pada model ILP bertujuan untuk meminimumkan total biaya produksi pupuk.

Karya ilmiah ini memberikan model ILP yang dapat digunakan untuk penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Model ini merupakan masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel bernilai integer. Model yang diajukan akan disesuaikan dengan pupuk yang dibutuhkan oleh petani Indonesia dan sebagian sudah diproduksi oleh produsen Indonesia. Selain itu akan ditunjukkan penyelesaian masalah ini dengan menggunakan metode branch-and-bound

(11)

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menunjukkan peranan ILP dalam penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai

dengan karakter tanah dan meminimumkan total biaya produksi pupuk.

II LANDASAN TEORI

Definisi 2 (Solusi Fisibel) Dalam bab ini diberikan beberapa definisi

dan teori tentang pemodelan seperti linear programming (LP), integer linear programming (ILP), dan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah integer programming. Berikut ini akan dibahas satu persatu.

Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi semua kendala pada LP.

(Nash & Sofer, 1996) Definisi 3 (Daerah Fisibel atau Himpunan Fisibel)

Daerah fisibel atau himpunan fisibel adalah himpunan dari semua solusi fisibel. 2.1 Linear Programming

LP merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model LP merupakan pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear.

(Nash & Sofer, 1996) Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks berukuran m m× yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N adalah matriks berukuran

Pada karya ilmiah ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang

didefinisikan sebagai berikut:

(

)

m× n−m yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Berikut definisi matriks basis:

Definisi 1 (Bentuk standar suatu LP) Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar:

Minimumkan fungsi objektif z = cTx

Definisi 4 (Matriks Basis) Terhadap Ax = b

Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1) jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.

x≥0

dengan b≥0 …(1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m×n yang disebut juga matriks kendala.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972) Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor (Nash & Sofer, 1996)

Solusi LP

Metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimum suatu masalah LP. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar.

B N x x x =

⎛ ⎞

_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

dengan xB adalah vektor variabel basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai

(

)

B N B N x Ax B N x Bx Nx

b

= = +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

…(2)

Karena B adalah matriks tak singular, maka B

memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat dinyatakan sebagai

1 1

B N

(12)

Integer Linear Programming

Definisi 5 (Solusi Basis)

Model ILP atau disebut juga Integer Programming (IP), adalah suatu model LP yang menggunakan bilangan bulat (integer)

sebagai variabel keputusan. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming.

Jika hanya sebagian yang harus integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.

Vektor x disebut solusi basis jika:

i. x memenuhi kendala persamaan Ax = b

dari LP.

ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen tak nol dari x adalah bebas linear.

(Nash & Sofer, 1996) Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x

merupakan solusi basis danx≥0. (Garfinkel & Nemhauser, 1972) (Nash & Sofer, 1996)

Definisi 7 (Linear Programming-Relaksasi) LP-Relaksasi dari suatu IP merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya.

Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut :

Contoh 1

(Winston, 1995) Misalkan diberikan LP berikut:

1 2 Minimumkan 2z= − x

−

3 x

terhadap : −2x₁+x₂ +x₃ =4, 1,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Metode Branch and Bound untuk

Menyelesaikan Masalah IP

Prinsip dasar metode branch and bound

adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblem-subproblem.

− +x₁ 2x₂ +x₄ =1

x₁+x₅ =5, x x x x x₁, ₂, ₃, ₄, ₅ ≥0 …(4) Dari LP tersebut didapatkan:

, 2 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 11 1 0 0 0 1 5 A b − = − =

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

• Branch Misalkan dipilih

(

3 4 5

)

dan

(

1 2

)

T B N T x = x x x x = x x

Dalam tahap ini daerah solusi dipartisikan ke dalam beberapa subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP sehingga secara tidak langsung titik

integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem-subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan branching.

maka matriks basisnya adalah . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B=

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

Dengan menggunakan matriks basis tersebut,

diperoleh • Bound

Misalkan masalahnya diasumsikan merupakan tipe maksimisasi. Nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding.

(

)

(

)

1 0 0 , 4 11 5 . T N T B x x B b− = = = …(5)

Solusi (5) merupakan solusi basis karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi fisibel basis karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

(13)

Aspek kunci dari metode branch and bound adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Periksa apakah IP memenuhi kondisi berikut:

1) Subproblem tidak fisibel.

2) Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer. 3) Nilai optimal untuk subproblem lebih

kecil dari (dalam masalah memaksimumkan) batas bawah (lower bound/LB).

Jika ketiga kondisi tersebut terpenuhi maka cabang subproblem tidak diperlukan. Langkah 2: Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut:

1) Subproblem tidak fisibel.

2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik) setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem.

(Winston, 1995) Contoh 2

Misalkan diberikan IP berikut : Maksimumkan z =4x₁+5x₂

Terhadap : x₁+4x₂ ≤5

3x₁+2x₂ ≤7 …(6) 0

x x₁, ₂ ≥ dan integer

Daerah fisibel untuk masalah IP diatas diberikan pada gambar berikut :

Metode branch and bound dimulai dengan menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem

1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah diatas adalah

Solusi tersebut tidak memenuhi kendala

integer. Oleh karena itu, harus dibuat

subproblem yang baru dengan memilih

variabel yang tidak memenuhi kendala

integer. Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalkan dipilih sebagai dasar pencabangan. Dengan memilih , diketahui bahwa daerah dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP (6) yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut :

1 1, 8 x = 1 1, 8 x = 1 (1<x <2)

• Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala ,

1 (x ≥2)

)

• Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala 1

(x ≤1 .

Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan

subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:

Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat diselesaikan secara bersamaan, sehingga harus diselesaikan dengan dua masalah linear programming yang berbeda. Pada subproblem

3 diperoleh solusi

1 1, 8, 0, 8, x2 dan 11, 4.

x = = z=

1 1

x = , , dan z = 9. Karena semua variabel bernilai integer, maka tidak perlu membuat subproblem baru dan solusi ini merupakan kandidat solusi. Pada

subproblem 2 diperoleh solusi 2 1

x =

1 2 x = , , dan z = 10,5. Karena variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Dipilih pencabangan pada subproblem 2 atas

2 0, 5

x =

2

x , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni :

• Subproblem 4 : Subproblem 2 + kendala ,

2 (x ≥1)

)

• Subproblem 5 : Subproblem 2 + kendala 2

(14)

Pada subproblem 5 diperoleh solusi , , dan z = 9,32. Sedangkan pada subproblem 4 diperoleh solusi takfisibel. Karena variabel pada subproblem 5 masih

tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Seluruh Subproblem

untuk masalah IP (6) diatas diberikan pada gambar berikut 2

0

x

=

1 2, 33 x = Subproblem 1 x1 = 1,8, x2 = 0,8, dan z = 11,4 Subproblem 3* x1 =1, x2 = 1, dan z = 9 Subproblem 5 x1 = 2,33, x2 = 0, dan z = 9,32 Subproblem 4 Solusi tak fisibel

Subproblem 7

x1 = 2, x2 = 0, dan z = 8

Subproblem 2

x1 =2, x2 = 0,5, dan z = 10,5

Subproblem 6 Solusi tak fisibel

Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi IP (6)

Pada Gambar 3, subproblem 3 merupakan kandidat awal karena semua variabelnya bernilai integer . Setelah dilakukan pencabangan hingga subproblem 5 dan

subproblem 7, tidak diperoleh kandidat solusi yang lebih baik. Nilai fungsi objektif

subproblem 5 dan subproblem 7 tidak lebih

besar dari nilai fungsi objektif subproblem 3. Oleh karena itu, z = 9 merupakan solusi optimal untuk masalah IP di atas. Solusi lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

III PEMODELAN

Para petani membutuhkan pupuk agar tanaman tetap subur. Pupuk yang dibutuhkan oleh petani sangat dipengaruhi oleh karakter tanah wilayahnya. Untuk menentukan penggunaan pupuk yang baik, para petani harus menyesuaikan kandungan pupuk dengan karakter lahan pertaniannya. Para produsen

berusaha bersaing memenuhi permintaan petani dengan menentukan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah yang dimiliki oleh para petani. Para produsen memproduksi berbagai jenis pupuk yang dapat dipilih oleh petani sesuai dengan karakter tanah yang dimiliki.

(15)

Tabel 1 Jenis-jenis Pupuk

No Pupuk Keterangan

1 SSA Sub-Saharan Africa fertilizer 2 SPO Superphosphate

3 Urea CO(NH )2 2

4 CAN27 Calcium Ammonium Nitre 5 SPN Soluble Protein and Nitrogen 6 MAP Monoammonium Phosphates 7 DAP Diammonium Phosphates 8 NPK Nitrogen Phosphate Potassium 9 SPF Sludge Pellet Fertilizer 10 NPP Nitrogen Phosphorus Potassium 11 KCl Potassium Chloride 12 SULP Sulphate

13 FERT Fertilizer 14 Bca Boron-calcium 15 MgO Magnesium Oxide 16 ZnO Zinc Oxide 17 ZnSO4 Zinc Sulphate

18 TSP Triple Superphosphate Sebagian jenis pupuk pada Tabel 1 di atas sudah dihasilkan oleh produsen pupuk di Indonesia, di antaranya adalah urea, TSP atau SP-36, KCl, NPK, DAP, MAP, dan CAN27.

Untuk menentukan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah, para produsen menggunakan dua tahapan kerja, yaitu penentuan dosis nutrisi yang dibutuhkan untuk kandungan tanah dan penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Salah satu cara yang dapat digunakan pada tahapan pertama adalah expert system atau sistem pakar. Dan untuk penentuan tahapan kerja kedua digunakan model ILP.

Sistem pakar merupakan langkah awal dalam penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Kerja dari sistem pakar merupakan gabungan dari kebutuhan nutrisi, keadaan tanah yang mengandung suatu nutrisi tertentu, dan efisiensi tanah. Sistem pakar menghasilkan dosis nutrisi berupa nitrogen (N), fosfor (P), kalium (K), boron (B), seng (Zn), sulfur (S), magnesium (Mg), nitrik N (NN), P yang

terlarut (Psol), dan K bebas dari Cl. Dalam karya ilmiah ini dosis nutrisi tidak diperoleh dengan mengerjakan langkah pada sistem pakar, tapi langsung diambil dari suatu sumber data sekunder.

Bila pupuk diberikan pada tanah, tanaman akan menyerap nutrisi dari dua sumber yaitu pupuk dan tanah. Oleh karena itu untuk mempertahankan tanah agar tetap mampu menyediakan nutrisi untuk pertumbuhan tanaman, penambahan nutrisi melalui pupuk menjadi salah satu cara yang dapat dilakukan. Pupuk yang diberikan pada tanah harus mempunyai nutrisi seperti NH3 (ammonia), NO4 (nitrogen tetraoxide), Psol, Pins, K, S, Mg, B, dan Zn. Nutrisi pada pupuk tersebut merupakan kendala pada model ILP. Selain itu dosis nutrisi yang diambil dari sumber data sekunder merupakan kendala pada model ILP. Model ini menghasilkan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Kendala-kendala tersebut adalah sebagai berikut:

1. pupuk harus mengandung sedikitnya sejumlah nutrisi N, P, K, B, Zn, S, dan Mg;

2. kandungan pupuk harus memenuhi persentase pada nitrik N (NN) dan kendala penggunaan untuk P yang terlarut (Psol) dan K yang bebas dari klorin (Cl) (KLCl); 3. pupuk urea dan pupuk NPK tidak dapat

digunakan secara bersamaan. Pencampuran dua pupuk tersebut dapat mengakibatkan perekatan yang menghalangi kerja mesin.

Fungsi objektif dari model ILP adalah meminimumkan total biaya produksi pupuk. Fungsi objektif meliputi biaya produksi setiap kilogram pupuk dan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah. Variabel keputusan dari model ILP ini diberikan sebagai berikut:

i

x =jumlah dari pupuk i (kg/ha), i∈I, di mana nilai xi akan diperoleh sebagai pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah berdasarkan kendala-kendala yang ada dan I merupakan himpunan dari semua pupuk dalam Tabel 1 .

i∈I

Untuk , didefinisikan parameter model berikut:

persentase kandungan NH3 pada pupuk i.

CNH3 =_i

persentase kandungan Psol pada pupuk i.

CNO4 =_i

persentase kandungan Pins pada pupuk i.

(16)

persentase kandungan K pada pupuk

i. CK =_i

CS =_i persentase kandungan S pada pupuk

i.

CMg =_i persentase kandungan Mg pada pupuk i.

CB =_i persentase kandungan B pada pupuk

i.

CZn =_i persentase kandungan Zn pada pupuk i.

Nutrisi yang terdapat pada kandungan tanah, yang diperoleh dari sumber data sekunder menjadi variabel input pada model ILP, yaitu:

req

N = jumlah N yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

P = jumlah P yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

K = jumlah K yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

S = jumlah S yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

Mg = jumlah Mg yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

B = jumlah B yang dibutuhkan untuk penanaman (kg/ha).

req

Zn = jumlah Zn yang dibutukan untuk penanaman (kg/ha).

req

NN = persentase nitrik N yang dibutuhkan untuk penanaman.

req

SP = persentase P terlarut yang dibutuhkan untuk penanaman.

req

KLCl =jumlah minimum K bebas dari Cl yang dibutuhkan untuk penanaman (%).

Pupuk NPK dan urea memiliki variabel keputusan tertentu, yaitu: y_NPKsebagai variabel keputusan yang terkait dengan penggunaan pupuk NPK dan sebagai variabel keputusan yang terkait dengan penggunaan pupuk urea. Hal ini diakibatkan dari penggunaan kedua pupuk tersebut tidak dapat digunakan secara bersamaan. Jika digunakan secara bersamaan maka akan terjadi perekatan yang akan menghalangi kerja mesin. Maka kedua pupuk ini tidak mempunyai jenis campuran kandungan yang

sama. Variabel keputusan kedua pupuk tersebut didefinisikan sebagai berikut:

{

NPK

1

0 .

, jika pupuk NPK digunakan, , selainnya y =

{

urea 1 0 .

, jika pupuk urea digunakan, , selainnya

y =

Karena tujuan utama pada fungsi objektif adalah meminimumkan total biaya produksi pupuk, maka fungsi objektif dari permasalahan ini dimodelkan sebagai berikut: Minimumkan : i i i I C x ∈

∑

J =

di mana C (Rp/kg) merupakan biaya produksi dari setiap pupuk i.

Kendala-kendala pada fungsi objektif sebagai berikut:

1. Pupuk harus mengandung nutrisi N sejumlah . Nutrisi N diperoleh dari NH3 dan NO4. Ditulis:

req N req CNH3 CNO4 N 100 i i i i I x ∈ + ≥

∑

.

2. Pupuk harus mengandung nutrisi P sejumlah . Nutrisi P diperoleh dari Psol dan Pins. Ditulis:

req P req CPsol CPins P 100 i i i i I x ∈ + ≥

∑

.

3. Pupuk harus mengandung nutrisi K sejumlah K_req: req CK K 100 i i i I x ∈ ≥

∑

.

4. Pupuk harus mengandung nutrisi B sejumlah B_req: req CB B 100 i i i I x ∈ ≥

∑

.

5. Pupuk harus mengandung nutrisi Zn sejumlah Zn_req: req CZn Zn 100 i i i I x ∈ ≥

∑

.

6. Pupuk harus mengandung nutrisi S sejumlah : urea y req S req CS S 100 i i i I x ∈ ≥

∑

.

7. Pupuk harus mengandung nutrisi Mg sejumlah Mg_req: req CMg Mg 100 i i i I x ∈ ≥

∑

.

(17)

10. Pupuk harus mengandung nutrisi K yang bebas terhadap Cl sejumlah . Ditulis:

8. Pupuk harus mengandung nutrisi nitrik N

sejumlah NN_req. Ditulis: KLCl_req

req CNH3 100 NN (CNH3 CNO4 ) i i i I i i i i I x x ∈ ∈ ≥ +

∑

KCl KCl req C 1 100 K CK i i i I x x ∈ − ≥

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

∑

⎠

. LCl . Pembilang pada kendala di atas

menunjukkan kontribusi nutrisi NH3. Sedangkan penyebut pada kendala tersebut menunjukkan total nutrisi N. Sehingga rasio tersebut menunjukkan jumlah nutrisi nitrik N yang harus dikandung pupuk.

11. Indikasi jika terjadi pencampuran kandungan pupuk urea:

urea urea urea x ≤M y , dengan M_urea>>0. 9. Pupuk harus mengandung nutrisi Psol

sejumlah. Ditulis: 12. Indikasi jika terjadi pencampuran _{kandungan pupuk NPK:}

req CPsol 100 SP (CPsol CPins ) i i i I i i i i I x x ∈ ∈ ≥ +

∑

NPK NPK NPK x ≤M y , . dengan M_NPK>>0.

Dalam studi kasus di Bab IV diambil: Pembilang pada kendala di atas

menunjukkan kontribusi nutrisi Psol. Sedangkan penyebut pada kendala tersebut menunjukkan total nutrisi P. Sehingga rasio tersebut menunjukkan jumlah nutrisi Psol yang harus dikandung pupuk.

NPK urea 50

.

M =M =

13. Urea dan NPK tidak dapat digunakan secara bersamaan: urea NPK 1 y +y ≤ , , 0 i x ≥ ∀ ∈i I,

{ }

urea 0,1 y ∈ ,

{ }

NPK 0,1 y ∈

.

IV STUDI KASUS PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG

NUTRISI SESUAI DENGAN KARAKTER TANAH

Masalah yang akan dicontohkan di sini adalah penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah dengan asumsi-asumsi yang dibuat untuk mempermudah pemodelan. Pada model ini dibutuhkan data biaya produksi untuk setiap jenis pupuk.

Data biaya produksi untuk setiap jenis pupuk diberikan pada Tabel 2. Nutrisi yang

harus terdapat pada setiap pupuk diberikan batasan jenis, data dosis nutrisi ini diberikan pada Tabel 3. Dosis nutrisi yang diperlukan untuk kandungan tanah juga diberikan batasan, data dosis nutrisi ini diberikan pada Tabel 4.

(18)

Tabel 2 Daftar Biaya Produksi Pupuk* No Pupuk Biaya (Rp/kg) 1 SSA 900 2 SPO 990 3 Urea 900 4 CAN27 1170 5 SPN 1260 6 MAP 1350 7 DAP 1440 8 NPK 1395 9 SPF 945 10 NPP 765 11 KCl 1395 12 SULP 1980 13 FERT 2205 14 Bca 2250 15 MgO 1350 16 ZnO 1620 17 ZnSO4 720 18 TSP 1215 * Data hipotetik

Tabel 3 Dosis Nutrisi yang Dibutuhkan pada Setiap Pupuk

No Pupuk %NH3 %NO4 %Psol %Pins %K %S %Mg %B %Zn

1 SSA 16 2 SPO 15 14 3 Urea 46 4 CAN27 13.5 13.5 4 5 SPN 12.5 12.5 6 MAP 11 52 2.3 7 DAP 18 46 8 NPK 46 1 9 SPF 20 20 2 10 NPP 13 44 11 KCl 60 12 SULP 22 22 18 13 FERT 18 14 Bca 0.6 10 15 MgO 96 16 ZnO 96 17 ZnSO4 19 27 18 TSP 46 1 Sumber:www.sqm.cl

(19)

Tabel 4 Dosis Nutrisi yang Dibutuhkan pada Kandungan Tanah

No Nutrisi Peubah Jumlah

req N 46 kg/ha 1 N req P 36 kg/ha 2 P req K 3 K 58 kg/ha req B 4 B 2 kg/ha req Zn 5 Zn 0 kg/ha req S 6 S 20 kg/ha req Mg 7 Mg 20 kg/ha req NN 50 % 8 Nitrik N req SP 0 % 9 Psol req KLCl 100 % 10 K bebas dari Cl

Sumber: Angel, A.M., Taladriz, L.A., & Weber R. 2003. Pada model ini pupuk yang dihasilkan

sudah memenuhi batasan nutrisi yang harus terdapat pada setiap pupuk dan dosis nutrisi yang diperlukan dalam kandungan tanah. Berikut adalah daftar jenis pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah yang disesuaikan dengan anjuran data yang merupakan hasil dari pemodelan ILP serta kontribusi pupuk pada tanah.

Tabel 5 Daftar Jenis Pupuk Hasil Model ILP

Pupuk Jumlah (kg/ha)

Urea 46,19185 MAP 69,23077 NPP 131,8182 Bca 20,00000 MgO 20,70833 ZnSO4 96,88259 Tabel 6 Daftar Kontribusi Pupuk

Nutrisi Tanah Kontributor

N Urea, MAP, NPP P MAP K NPP S MAP, ZnSO4 Mg Bca, MgO B Bca Pada Tabel 1 diberikan 18 jenis pupuk yang digunakan pada karya ilmiah ini. Berdasarkan kendala model ILP, dihasilkan 6 jenis pupuk yang sesuai pada karakter tanah

berdasarkan data sekunder yang disediakan. Hasil jenis pupuk yang sesuai dengan karakter tanah berdasarkan sumber data yang digunakan pada model ILP ditunjukkan pada Tabel 5. Hasil tersebut juga memberikan jumlah pupuk yang dapat di gunakan pada setiap hektar lahan suatu wilayah.Pupuk yang menjadi output pada model ILP ini dipengaruhi oleh dua faktor yaitu:

• biaya produksi pupuk yang murah, dan • kandungan utama pupuk yang dapat

mempertahankan nutrisi tanah.

Pada Tabel 5 dapat di lihat bahwa pupuk NPP memiliki jumlah terbesar dan pupuk Bca memiliki jumlah terkecil. Untuk pupuk NPP harus memasok nutrisi N dan K. Dari Tabel 4 diketahui bahwa dosis nutrisi N dan K yang dibutuhkan tanah adalah yang terbesar. Meskipun nutrisi N juga dipasok oleh pupuk urea dan MAP. Selain itu harga pupuk NPP lebih murah dibandingkan dengan pupuk yang mengandung nutrisi K urutan terbesar pertama (pupuk KCl). Sedangkan pupuk Bca harus memasok nutrisi B. Dari Tabel 4 diketahui bahwa dosis nutrisi B yang dibutuhkan tanah sangat sedikit. Selain itu, hasil tersebut diperoleh karena hanya pupuk Bca yang mengandung nutrisi B.

Untuk mempertahankan kandungan nutrisi tanah, salah satu cara yang dapat digunakan adalah pemberian pupuk yang sesuai dengan karakter tanah tersebut. Pada data sekunder

(20)

suatu karakter tanah, dihasilkan kontributor pupuk yang dapat digunakan untuk mempertahankan kandungan nutrisi tanah. Hasil kontributor pupuk yang dapat digunakan tersebut diberikan pada Tabel 6.

Hasil dari fungsi objektif pada model ILP merupakan total biaya produksi pupuk minimum, pada data sekunder ini diperoleh total biaya produksi pupuk minimum sebesar Rp.378.586,8.

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan Hasil dari studi kasus masalah penentuan

pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah, menunjukkan bahwa penggunaan campuran pupuk antara urea, MAP, NPP, Bca, MgO, ZnSO4 merupakan rekomendasi yang dapat di gunakan oleh para petani. Rekomendasi ini diberikan pada petani disesuaikan dengan karakter tanah wilayahnya.

Masalah penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah merupakan hal yang selalu dihadapi oleh produsen pupuk. Setiap daerah memiliki lahan pertanian yang berbeda, sehingga pemenuhan akan kandungan nutrisi pupuk juga berbeda.

Dalam penulisan ini telah diperlihatkan bahwa masalah penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah dapat dipandang sebagai masalah ILP. Fungsi objektif dalam model ILP akan meminimumkan total biaya produksi pupuk. Penyelesaian masalah ini menggunakan

software LINGO 8.0 dengan metode branch and bound.

5.2 Saran

Pada karya ilmiah ini telah dibahas penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah untuk pupuk yang ada di Indonesia serta pupuk yang tidak dihasilkan di Indonesia. Akan lebih baik lagi jika ada yang dapat menindaklanjuti penelitian ini dengan masalah yang lebih kompleks lagi, yaitu memasukkan kendala untuk pupuk yang hanya diproduksi di Indonesia. Kekurangan penulisan ini juga terletak pada data yang digunakan yaitu sebagian data hipotetik. Hal ini karena terdapat perbedaan jenis pupuk yang dihasilkan setiap negara berbeda-beda. Keuntungan dari menyelesaikan masalah

penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah dengan menggunakan model ILP adalah memungkinkan diperolehnya pupuk yang sesuai dengan kontribusi nutrisi yang sangat diperlukan dalam kandungan suatu pupuk serta dosis nutrisi yang dibutuhkan dalam kandungan tanah.

(21)

DAFTAR PUSTAKA

Jones Jr, J.B. 1998. Plant Nutrition Manual.

CRC Press, New York. Angel, A.M., Taladriz, L.A., & Weber R.

2003. Soquimich Uses a System Based on Mixed-Integer Linear Programming and Expert System to Improve Customer Service. INFORM Research. 33:41-52.

Nash, S.G. & Sofer, A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, New York.

Garfinkel, R.S. & Nemhauser, G.L. 1972.

Integer Programming. John Willey & Sons, New York.

PT Petrokimia Gresik.

http://www.petrokimia-gresik.com/. 10 Desember 2007.

Gunawan, A.W., Achmadi, S.S., & Arianti, L. 2007. Pedoman Penyajian Karya Ilmiah. IPB Press, Bogor.

Taha, H.A. 1975. Integer Programming: Theory, Applications, and Computations. Academic Press, New York.

Hardjowigeno, S. 1987. Ilmu Tanah. Bogor.

Winston, W.L. 1995. Introduction to Mathematical Programming 2nd ed.

(22)

(23)

Lampiran 1 Syntax Program LINDO 6.1 untuk menyelesaikan suatu LP dengan metode Branch and Bound beserta hasil yang diperoleh

Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala Dari LP pada contoh 2

(

x₁≥2

)

Misalkan diberikan integer programming berikut:

Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala Maksimumkan z =4x₁+5x

...

(1)

(

x₁≤1

)

2 5 7 Terhadap : x₁+4x₂ ≤ ... (2)

subproblem 3 diberikan pada gambar berikut : 1 2

3x +2x ≤

... (3) x₁,x₂ ≥0 dan integer ...(4) Penyelesaian :

Daerah fisibel untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut :

2.Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 3

Syntax program pada LINDO 6.1 : max4x1+5x2

subject to x1+4x2<=5

LP tersebut anggap sebagai Subproblem 1. 3x1+2x2<=7 1. Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem

1

x1<=1 x2>=0

Syntax program pada LINDO 6.1 :

Hasil yang diperoleh : max4x1+5x2

subject to x1+4x2<=5 _{LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1} 3x1+2x2<=7 _{OBJECTIVE FUNCTION VALUE} x1>=0 1) 9.000000

x2>=0 VARIABLE VALUE REDUCEDCOST

X1 1.000000 0.000000 Hasil yang diperoleh : _{X2 1.000000 0.000000} LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 ROW SLACKORSURPLUS

DUALPRICES OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 11.20000 _{2) 0.000000} _1.250000 VARIABLE VALUE REDUCEDCOST _{3) 2.000000} _0.000000 X1 1.800000 0.000000 4) 0.000000 2.750000 X2 0.800000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 ROW SLACKORSURPLUS

DUALPRICES NO. ITERATIONS= 1

2) 0.000000 0.700000 3) 0.000000 1.100000

4) 1.800000 0.000000 _{3. Cari solusi}_LP_{-Relaksasi dari}_subproblem 2

5) 0.800000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2 Syntax program pada LINDO 6.1 : Karena solusi yang didapat belum memenuhi

kendala integer maka harus dibuat

subproblem baru, yaitu:

max4x1+5x2

subject to x1+4x2<=5 3x1+2x2<=7

(24)

x1>=2 x2>=0

Hasil yang diperoleh :

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 10.50000

VARIABLE VALUE REDUCEDCOST X1 2.000000 0.000000 X2 0.500000 0.000000 ROW SLACKORSURPLUS DUALPRICES

2) 1.000000 0.000000 _{5. Cari solusi}_LP-_{Relaksasi dari}_subproblem 5

3) 0.000000 2.500000

4) 0.000000 -3.500000 _Syntax_{program pada}_{LINDO 6.1}_: 5) 0.500000 0.000000 _max4x1+5x2

NO. ITERATIONS= 1 _{subject to x1+4x2<=5} 3x1+2x2<=7 Karena solusi yang didapat belum memenuhi

kendala integer maka harus dibuat

subproblem baru, yaitu :

x1>=2 x2<=0 Hasil yang diperoleh : Subproblem 4 : Subproblem 2 + kendala

(

x₂ ≥1

)

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE Subproblem 5 : Subproblem 2 + kendala _{1) 9.333333}

(

x₂ ≤0

)

VARIABLE VALUE REDUCEDCOST

X1 2.333333 0.000000 Daerah fisibel untuk subproblem 4 dan

subproblem 5 diberikan pada gambar berikut : X2 0.000000 0.000000 ROW SLACKORSURPLUSDUALPRICES 2) 2.666667 0.000000 3) 0.000000 1.333333 4) 0.333333 0.000000 5) 0.000000 2.333333 NO. ITERATIONS= 2 Karena solusi yang didapat belum memenuhi kendala integer maka harus dibuat

subproblem baru, yaitu:

Subproblem 6 : Subproblem 5 + kendala

(

x1≥3

)

Subproblem 7 : Subproblem 5 + kendala

(

x1≤2

)

subproblem 7 diberikan pada gambar berikut : 4. Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem

4

Daerah subproblem 4 (lihat gambar) merupakan daerah tidak fisibel dari IP, maka

subproblem 4 tidak memiliki solusi fisibel.

subject to x1+4x2<=5 3x1+2x2<=7

x1>=2

(25)

ROW SLACKORSURPLUSDUALPRICES 2) 3.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 4.000000 5) 0.000000 5.000000 NO. ITERATIONS= 2

6. Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem

6

Daerah subproblem 6 (lihat gambar) merupakan daerah tidak fisibel dari IP, maka

subproblem 6 tidak memiliki solusi fisibel.

subject to x1+4x2<=5 3x1+2x2<=7 x1>=3 x2<=0

7. Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem

7

subject to x1+4x2<=5 3x1+2x2<=7 x1<=2 x2<=0 Hasil yang diperoleh :

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8.000000

VARIABLE VALUE REDUCEDCOST X1 2.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000

(26)

Lampiran 2 Syntax Program untuk menyelesaikan masalah penentuan pupuk yang mengandung nutrisi sesuai dengan karakter tanah dengan menggunakan Lingo 8.0.

MODEL :

TITLE "PENENTUAN PUPUK YANG MENGANDUNG NUTRISI SESUAI DENGAN

KARAKTER TANAH";

SETS :

PUPUK/SSA SPO UREA CAN27 SPN MAP DAP NPK SPF NPP KCl SULP FERT Bca MgO ZnO ZnSO4 TSP/:CNH3,CNO4,CPSOL,CPINS,CK,CS,CMg,CB,CZn,C,X,Y; QUANTITY/N P K B Zn S Mg/; ENDSETS DATA: C=900, 990, 900, 1170, 1260, 1350, 1440, 1395, 945, 765, 1395, 1980, 2205, 2250, 1350, 1620, 720, 1215; CNH3=16,15,46,13.5,12.5,0,0,0,0,13,0,0,0,0,0,0,0,0; CNO4=0,0,0,13.5,12.5,11,18,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; CPSOL=0,0,0,0,0,52,46,46,20,0,0,0,0,0,0,0,0,46; CPINS=0,0,0,0,0,0,0,0,20,0,0,0,0,0,0,0,0,0; CK=0,14,0,0,0,0,0,0,0,44,60,22,0,0,0,0,0,0; CS=0,0,0,0,0,2.3,0,1,2,0,0,22,18,0,0,0,19,1; CMg=0,0,0,4,0,0,0,0,0,0,0,18,0,0.6,96,0,0,0; CB=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,0,0,0,0; CZn=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,96,27,0; ENDDATA !FUNGSI OBJEKTIF;

MIN=@SUM(PUPUK(I):C(I)*X(I));

!JUMLAH N YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*(CNH3(I)+CNO4(I)))>=46;

!JUMLAH P YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*(CPSOL(I)+CPINS(I)))>=36;

!JUMLAH K YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*CK(I))>=58;

!JUMLAH B YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*CB(I))>=2;

!JUMLAH Zn YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*CZn(I))>=0;

!JUMLAH S YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*CS(I))>=20;

!JUMLAH Mg YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):0.01*X(I)*CMg(I))>=20;

!JUMLAH NITRIC N YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):100*X(I)*CNH3(I))>=50*@SUM(PUPUK(I):X(I)*(CNH3(I)+CN O4(I)));

(27)

!JUMLAH SOLUBLE P YANG DIBUTUHKAN;

@SUM(PUPUK(I):100*X(I)*CPSOL(I))>=0*@SUM(PUPUK(I):X(I)*(CPSOL(I)+C PINS(I)));

!JUMLAH MINIMAL DARI K YG BEBAS DARI Cl;

@SUM

(PUPUK(I):X(I)*CK(I)-X(11)*C(11))*100>=100*@SUM(PUPUK(I):X(I)*CK(I));

!INDIKASI JIKA CAMPURAN MENGANDUNG PUPUK UREA;

X(3)<=50*Y(3);

!INDIKASI JIKA CAMPURAN MENGANDUNG PUPUK NPK;

X(8)<=50*Y(8);

!UREA & NPK TIDAK DAPAT DIGUNAKAN SECARA BERSAMAAN;

Y(3)+Y(8)<=1;

!KENDALA KETAKNEGATIFAN;

@FOR(PUPUK(I):X(I)>=0);

!KENDALA BINER;

@FOR(PUPUK(I):@BIN(Y(3))); @FOR(PUPUK(I):@BIN(Y(8)));

Solution report

Global optimal solution found at iteration: 9 Objective value: 378586.8

Variable Value Reduced cost CNH3( SSA) 16.00000 0.000000 CNH3( SPO) 15.00000 0.000000 CNH3( UREA) 46.00000 0.000000 CNH3( CAN27) 13.50000 0.000000 CNH3( SPN) 12.50000 0.000000 CNH3( MAP) 0.000000 0.000000 CNH3( DAP) 0.000000 0.000000 CNH3( NPK) 0.000000 0.000000 CNH3( SPF) 0.000000 0.000000 CNH3( NPP) 13.00000 0.000000 CNH3( KCL) 0.000000 0.000000 CNH3( SULP) 0.000000 0.000000 CNH3( FERT) 0.000000 0.000000 CNH3( BCA) 0.000000 0.000000 CNH3( MGO) 0.000000 0.000000 CNH3( ZNO) 0.000000 0.000000 CNH3( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CNH3( TSP) 0.000000 0.000000 CNO4( SSA) 0.000000 0.000000 CNO4( SPO) 0.000000 0.000000 CNO4( UREA) 0.000000 0.000000 CNO4( CAN27) 13.50000 0.000000 CNO4( SPN) 12.50000 0.000000 CNO4( MAP) 11.00000 0.000000 CNO4( DAP) 18.00000 0.000000 CNO4( NPK) 0.000000 0.000000 CNO4( SPF) 0.000000 0.000000 CNO4( NPP) 0.000000 0.000000

(28)

CNO4( KCL) 0.000000 0.000000 CNO4( SULP) 0.000000 0.000000 CNO4( FERT) 0.000000 0.000000 CNO4( BCA) 0.000000 0.000000 CNO4( MGO) 0.000000 0.000000 CNO4( ZNO) 0.000000 0.000000 CNO4( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CNO4( TSP) 0.000000 0.000000 CPSOL( SSA) 0.000000 0.000000 CPSOL( SPO) 0.000000 0.000000 CPSOL( UREA) 0.000000 0.000000 CPSOL( CAN27) 0.000000 0.000000 CPSOL( SPN) 0.000000 0.000000 CPSOL( MAP) 52.00000 0.000000 CPSOL( DAP) 46.00000 0.000000 CPSOL( NPK) 46.00000 0.000000 CPSOL( SPF) 20.00000 0.000000 CPSOL( NPP) 0.000000 0.000000 CPSOL( KCL) 0.000000 0.000000 CPSOL( SULP) 0.000000 0.000000 CPSOL( FERT) 0.000000 0.000000 CPSOL( BCA) 0.000000 0.000000 CPSOL( MGO) 0.000000 0.000000 CPSOL( ZNO) 0.000000 0.000000 CPSOL( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CPSOL( TSP) 46.00000 0.000000 CPINS( SSA) 0.000000 0.000000 CPINS( SPO) 0.000000 0.000000 CPINS( UREA) 0.000000 0.000000 CPINS( CAN27) 0.000000 0.000000 CPINS( SPN) 0.000000 0.000000 CPINS( MAP) 0.000000 0.000000 CPINS( DAP) 0.000000 0.000000 CPINS( NPK) 0.000000 0.000000 CPINS( SPF) 20.00000 0.000000 CPINS( NPP) 0.000000 0.000000 CPINS( KCL) 0.000000 0.000000 CPINS( SULP) 0.000000 0.000000 CPINS( FERT) 0.000000 0.000000 CPINS( BCA) 0.000000 0.000000 CPINS( MGO) 0.000000 0.000000 CPINS( ZNO) 0.000000 0.000000 CPINS( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CPINS( TSP) 0.000000 0.000000 CK( SSA) 0.000000 0.000000 CK( SPO) 14.00000 0.000000 CK( UREA) 0.000000 0.000000 CK( CAN27) 0.000000 0.000000 CK( SPN) 0.000000 0.000000 CK( MAP) 0.000000 0.000000 CK( DAP) 0.000000 0.000000 CK( NPK) 0.000000 0.000000 CK( SPF) 0.000000 0.000000 CK( NPP) 44.00000 0.000000 CK( KCL) 60.00000 0.000000 CK( SULP) 22.00000 0.000000 CK( FERT) 0.000000 0.000000 CK( BCA) 0.000000 0.000000 CK( MGO) 0.000000 0.000000

(29)

CK( ZNO) 0.000000 0.000000 CK( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CK( TSP) 0.000000 0.000000 CS( SSA) 0.000000 0.000000 CS( SPO) 0.000000 0.000000 CS( UREA) 0.000000 0.000000 CS( CAN27) 0.000000 0.000000 CS( SPN) 0.000000 0.000000 CS( MAP) 2.300000 0.000000 CS( DAP) 0.000000 0.000000 CS( NPK) 1.000000 0.000000 CS( SPF) 2.000000 0.000000 CS( NPP) 0.000000 0.000000 CS( KCL) 0.000000 0.000000 CS( SULP) 22.00000 0.000000 CS( FERT) 18.00000 0.000000 CS( BCA) 0.000000 0.000000 CS( MGO) 0.000000 0.000000 CS( ZNO) 0.000000 0.000000 CS( ZNSO4) 19.00000 0.000000 CS( TSP) 1.000000 0.000000 CMG( SSA) 0.000000 0.000000 CMG( SPO) 0.000000 0.000000 CMG( UREA) 0.000000 0.000000 CMG( CAN27) 4.000000 0.000000 CMG( SPN) 0.000000 0.000000 CMG( MAP) 0.000000 0.000000 CMG( DAP) 0.000000 0.000000 CMG( NPK) 0.000000 0.000000 CMG( SPF) 0.000000 0.000000 CMG( NPP) 0.000000 0.000000 CMG( KCL) 0.000000 0.000000 CMG( SULP) 18.00000 0.000000 CMG( FERT) 0.000000 0.000000 CMG( BCA) 0.6000000 0.000000 CMG( MGO) 96.00000 0.000000 CMG( ZNO) 0.000000 0.000000 CMG( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CMG( TSP) 0.000000 0.000000 CB( SSA) 0.000000 0.000000 CB( SPO) 0.000000 0.000000 CB( UREA) 0.000000 0.000000 CB( CAN27) 0.000000 0.000000 CB( SPN) 0.000000 0.000000 CB( MAP) 0.000000 0.000000 CB( DAP) 0.000000 0.000000 CB( NPK) 0.000000 0.000000 CB( SPF) 0.000000 0.000000 CB( NPP) 0.000000 0.000000 CB( KCL) 0.000000 0.000000 CB( SULP) 0.000000 0.000000 CB( FERT) 0.000000 0.000000 CB( BCA) 10.00000 0.000000 CB( MGO) 0.000000 0.000000 CB( ZNO) 0.000000 0.000000 CB( ZNSO4) 0.000000 0.000000 CB( TSP) 0.000000 0.000000 CZN( SSA) 0.000000 0.000000 CZN( SPO) 0.000000 0.000000

(30)

CZN( UREA) 0.000000 0.000000 CZN( CAN27) 0.000000 0.000000 CZN( SPN) 0.000000 0.000000 CZN( MAP) 0.000000 0.000000 CZN( DAP) 0.000000 0.000000 CZN( NPK) 0.000000 0.000000 CZN( SPF) 0.000000 0.000000 CZN( NPP) 0.000000 0.000000 CZN( KCL) 0.000000 0.000000 CZN( SULP) 0.000000 0.000000 CZN( FERT) 0.000000 0.000000 CZN( BCA) 0.000000 0.000000 CZN( MGO) 0.000000 0.000000 CZN( ZNO) 96.00000 0.000000 CZN( ZNSO4) 27.00000 0.000000 CZN( TSP) 0.000000 0.000000 C( SSA) 900.0000 0.000000 C( SPO) 990.0000 0.000000 C( UREA) 900.0000 0.000000 C( CAN27) 1170.000 0.000000 C( SPN) 1260.000 0.000000 C( MAP) 1350.000 0.000000 C( DAP) 1440.000 0.000000 C( NPK) 1395.000 0.000000 C( SPF) 945.0000 0.000000 C( NPP) 765.0000 0.000000 C( KCL) 1395.000 0.000000 C( SULP) 1980.000 0.000000 C( FERT) 2205.000 0.000000 C( BCA) 2250.000 0.000000 C( MGO) 1350.000 0.000000 C( ZNO) 1620.000 0.000000 C( ZNSO4) 720.0000 0.000000 C( TSP) 1215.000 0.000000 X( SSA) 0.000000 586.9565 X( SPO) 0.000000 534.0415 X( UREA) 46.19185 0.000000 X( CAN27) 0.000000 585.4891 X( SPN) 0.000000 770.8696 X( MAP) 69.23077 0.000000 X( DAP) 0.000000 161.0811 X( NPK) 0.000000 430.3603 X( SPF) 0.000000 63.34536 X( NPP) 131.8182 0.000000 X( KCL) 0.000000 698.6561 X( SULP) 0.000000 637.8647 X( FERT) 0.000000 1522.895 X( BCA) 20.00000 0.000000 X( MGO) 20.70833 0.000000 X( ZNO) 0.000000 1620.000 X( ZNSO4) 96.88259 0.000000 X( TSP) 0.000000 250.3603 Y( SSA) 0.000000 0.000000 Y( SPO) 0.000000 0.000000 Y( UREA) 1.000000 0.000000 Y( CAN27) 0.000000 0.000000 Y( SPN) 0.000000 0.000000 Y( MAP) 0.000000 0.000000 Y( DAP) 0.000000 0.000000

(31)

Y( NPK) 0.000000 0.000000 Y( SPF) 0.000000 0.000000 Y( NPP) 0.000000 0.000000 Y( KCL) 0.000000 0.000000 Y( SULP) 0.000000 0.000000 Y( FERT) 0.000000 0.000000 Y( BCA) 0.000000 0.000000 Y( MGO) 0.000000 0.000000 Y( ZNO) 0.000000 0.000000 Y( ZNSO4) 0.000000 0.000000 Y( TSP) 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 378586.8 -1.000000 2 0.000000 -1956.522 3 0.000000 -2014.663 4 0.000000 -1160.573 5 0.000000 -22415.62 6 26.15830 0.000000 7 0.000000 -3789.474 8 0.000000 -1406.250 9 153846.2 0.000000 10 360000.0 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 3.808148 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 46.19185 0.000000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 0.000000 20 69.23077 0.000000 21 0.000000 0.000000 22 0.000000 0.000000 23 0.000000 0.000000 24 131.8182 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 0.000000 0.000000 28 20.00000 0.000000 29 20.70833 0.000000 30 0.000000 0.000000 31 96.88259 0.000000 32 0.000000 0.000000

(32)