OPTIMASI MULTI-OBJECTIVE MENGGUNAKAN NSGA-II DALAM PENJADWALAN MESIN PRODUKSI FLOW SHOP

OPTIMASI MULTI-OBJECTIVE MENGGUNAKAN NSGA-II DALAM PENJADWALAN MESIN PRODUKSI FLOW SHOP

TESIS

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat memperoleh ijazah Magister Teknik Informatika

FIFIN SONATA 137038026

PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

PERSETUJUAN

Judul : Optimasi Multi-objective Menggunakan NSGA-II Dalam Penjadwalan Mesin Produksi Flow Shop

Kategori : Tesis

Nama : Fifin Sonata

Nomor Induk Mahasiswa : 137038026

Program Studi : Teknik Informatika

Fakultas : ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI

INFORMASI UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Dr. Tulus, Vor.Dipl.Math., M.Si Prof. Dr. Muhammad Zarlis

Diketahui/disetujui oleh

Program Studi S2 Teknik Informatika Ketua,

Prof. Dr. Muhammad Zarlis

NIP: 195707011986011003

PERNYATAAN

OPTIMASI MULTI-OBJECTIVE MENGGUNAKAN NSGA-II DALAM PENJADWALAN MESIN PRODUKSI FLOW SHOP

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing telah disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2015

Fifin Sonata

137038026

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Fifin Sonata

NIM : 137038026

Program Studi : Teknik Informatika Jenis Karya Ilmiah : Tesis

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul:

OPTIMASI MULTI-OBJECTIVE MENGGUNAKAN NSGA-II DALAM PENJADWALAN MESIN PRODUKSI FLOW SHOP

Beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Non- Eksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat, mengelola dalam bentuk database, merawat dan mempublikasikan tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis dan sebagai pemegang dan/atau sebagai pemilik hak cipta.

Demikian penyataan ini dibuat dengan sebenarnya.

Medan, Juli 2015

Fifin Sonata

137038026

Telah diuji pada

Tanggal : 3 Juli 2015

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Muhammad Zarlis

Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, Vor.Dipl.Math., M.Si 2. Prof. Herman Mawengkang

3. Dr. Syahril Efendi, S.Si., M.IT

RIWAYAT HIDUP

DATA PRIBADI

Nama Lengkap (berikut gelar) : Fifin Sonata, S.Kom

Tempat dan Tanggal Lahir : Banyuwangi, 24 Desember 1982

Alamat Rumah : Jl. Sejati Pasar V Marendal I – Deli Serdang

Telepon/Fax/HP : 085649796958

E-mail : fifinsonata2012@gmail.com

Instansi Tempat Bekerja : AMIKOM Medan

Alamat Kantor : Jl. Iskandar Muda No.43-49 Medan DATA PENDIDIKAN

SD : SDN BENCULUK V - Cluring - Banyuwangi TAMAT : tahun 1994 SLTP : SMPN 1 Cluring - Banyuwangi TAMAT : tahun 1997 SLTA : SMUN 2 Genteng - Banyuwangi TAMAT : tahun 2000 S1 : Institut Teknologi Adhi Tama Surabaya TAMAT : tahun 2006

S2 : Teknik Informatika USU TAMAT : tahun 2015

UCAPAN TERIMA KASIH

Alhamdulillahirabbil‟alamiin penulis panjatkan kepada Allah SWT atas hidayah dan petunjuk-NYA, sehingga penulis dapat menyelesaikan laporan tesis dengan judul

“OPTIMASI MULTI-OBJECTIVE MENGGUNAKAN NSGA-II DALAM PENJADWALAN MESIN PRODUKSI FLOW SHOP ”, yang merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Teknik Informatika pada Program Studi Teknik Informatika, Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi Universitas Sumatera Utara.

Penulis mendapatkan banyak sekali bantuan dari berbagai pihak dalam menyelesaikan laporan tesis ini. Atas berbagai bantuan itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

 Ayahanda Supriyanto dan Ibunda Hariani yang telah memberikan bimbingan hidup sejak lahir hingga kini dan telah banyak berkorban serta berdo‟a demi kebahagiaan penulis.

 Suamiku tercinta Ahmad Khaidir, S.Kom, MT dan anakku tersayang Ahmad Albaihaqie yang telah mendampingi dan memberi semangat pada penulis.

 Adikku Anggun Jati Diri yang terus memberikan dukungan moril kepada penulis.

 Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku pembimbing I tesis yang telah bersedia meluangkan waktu untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis.

 Bapak Prof. Dr. Tulus, Vor.Dipl.Math., M.Si selaku pembimbing II tesis yang telah bersedia meluangkan waktu untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis.

 Bapak Muhammad Andri Budiman, ST., M.Com.Sc, MEM selaku dosen wali dan seluruh dosen serta staf di Program Studi Teknik Informatika Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi USU yang telah memberikan banyak sekali bantuan selama penulis berkuliah.

 Seluruh teman KomB-2013 terima kasih atas dukungan dan persahabatan yang

telah diberikan. Semoga tali silaturrahmi kita tidak terputus.

 Dan berbagai pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu di sini yang telah ikut membantu baik secara langsung maupun tidak langsung selama penulisan tugas akhir ini. Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah dilakukan.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan yang terdapat pada penyusunan tesis ini. Oleh karena itu penulis menerima setiap masukan dan kritik yang diberikan demi penyempurnaan tesis ini dan berharap semoga tesis ini dapat bermanfaat untuk kita semua.

Medan, Juli 2015

Penulis

ABSTRAK

Penjadwalan merupakan suatu kegiatan pengalokasian sumber daya yang terbatas untuk mengerjakan sejumlah pekerjaan. Proses penjadwalan timbul jika terdapat keterbatasan sumber daya yang dimiliki, sehingga diperlukan adanya pengaturan sumber-sumber daya yang ada secara efisien. Adapun tujuan dari penjadwalan produksi umumnya ialah untuk mengoptimalkan dimensi atau objek tertentu.

Penjadwalan flow shop adalah salah satu jenis penjadwalan produksi dimana setiap job akan melalui setiap mesin dengan urutan yang seragam. Optimasi penjadwalan mesin produksi flow shop berkaitan dengan penyusunan penjadwalan mesin yang mempertimbangkan 2 objek yaitu makespan dan total tardiness. Optimasi kedua permasalahan tersebut diatas merupakan optimasi yang bertolak belakang sehingga diperlukan model yang mengintegrasikan permasalahan tersebut dengan optimasi multi-objective A Fast Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi- Objective Optimazitaion : NSGA-II. Penyelesaian penjadwalan mesin produksi flow shop dengan algoritma NSGA-II untuk membangun jadwal dengan meminimalkan makespan dan total tardiness. Model yang dikembangkan akan memberikan solusi penjadwalan mesin produksi flow shop yang efisien berupa solusi pareto optimal yang dapat memberikan sekumpulan solusi alternatif bagi pengambil keputusan dalam membuat penjadwalan mesin produksi yang diharapkan. Agar dapat terlihat nilai solusinya maka dilakukan perbandingan dominasi solusi Aggregat Of Function (AOF) dengan solusi NSGA-II. Solusi pareto optimal yang dihasilkan merupakan solusi optimasi multi-objective yang optimal dengan trade-off terhadap seluruh objek, sehingga seluruh solusi pareto optimal sama baiknya.

Kata kunci : Makespan, Multi-objective, NSGA-II, Penjadwalan Mesin Produksi

Flow Shop, Total tardiness

MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION USING NSGA-II IN FLOW SHOP PRODUCTION MACHINE SCHEDULING

ABSTRACT

Scheduling is an activity to allocate limited resources to finish the jobs. Scheduling process arise if there are limitations on available resources that requiring utilization the available resources efficiently. Generally, the purpose of production scheduling is to optimize specific dimensions or objects. Flow shop scheduling is a type of production scheduling where each job will go through each machine with an uniform sequence. Optimization of the flow shop production machine scheduling related to determine machine scheduling that considers two objects i.e makespan and total tardiness. Both above optimization problem is a contradictory optimization that require a model which integrates these problems with multi-objective optimization A Fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-Objective Optimization: NSGA-II. The main purpose of completion the flow shop production machine scheduling with NSGA-II algorithm is to determine schedules that minimizing makespan and total tardiness. The developed model will generate efficient solutions of flow shop production machine scheduling in the form of pareto optimal solutions which provide a set of alternative solutions for decision makers in making expected production machine scheduling. In order to analyze the value of the solution that generated, the dominance comparisons made between Aggregate of Function (AOF) solutions and NSGA-II solutions. Pareto optimal solutions that generated are optimal multi-objective optimization solutions with trade-off for all objects, thereby all pareto optimal solutions are just as good.

Keywords : Flow Shop Production Scheduling Engine, Makespan, Multi-

objective, NSGA-II, Total tardiness

DAFTAR ISI

Hal.

RIWAYAT HIDUP ... vi

UCAPAN TERIMA KASIH ... vii

ABSTRAK ... ix

ABSTRACT ... x

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 2

1.3. Batasan Masalah ... 2

1.4. Tujuan Penelitian ... 3

1.5. Manfaat Penelitian ... 3

1.6. Metodologi Penelitian ... 3

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 4

2.1. Penjadwalan dan Penjadwalan Flow shop ... 4

2.2. Multi-objective Optimization (MO) ... 6

BAB 3 METODE PENELITIAN ... 15

3.1. Pengumpulan Data ... 16

3.2. Pemodelan Sistem ... 16

3.3. Tahapan NSGA-II ... 16

3.4. Pengukuran dan Perbandingan Optimasi Menggunakan NSGA-II 18 BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 19

4.1. Model Matematis ... 19

4.2. Implementasi Tahapan NSGA-II ... 20

4.3 Hasil Penelitian ... 22

4.4. Perbandingan AOF dan NSGA-II ... 33

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN ... 36

5.1. Kesimpulan ... 36

5.2. Saran ... 36

DAFTAR PUSTAKA ... 38

LAMPIRAN 1 ... 41

LAMPIRAN 2 ... 44

DAFTAR TABEL

Hal

Tabel 3.1 Tabel Data Penjadwalan Mesin Produksi ... 16

Tabel 4.1 Hasil Penelitian AOF Instance I_150_30... 23

Tabel 4.2 Hasil Penelitian AOF Instance I_250_50... 23

Tabel 4.3 Hasil Penelitian AOF Instance I_350_30... 24

Tabel 4.4 Hasil Penelitian AOF Instance I_350_50... 24

Tabel 4.5 Hasil Penelitian AOF Instance I_50_50... 24

Tabel 4.6 Hasil Uji Normalitas AOF ... 25

Tabel 4.7 Hasil Uji Homogenitas AOF ... 26

Tabel 4.8 Hasil Uji ANOVA AOF ... 27

Tabel 4.9 Parameter Algoritma Genetika untuk AOF ... 29

Tabel 4.10 Hasil Penelitian Estimasi Hypervolume NSGA-II... 31

Tabel 4.11 Hasil Uji Normalitas Estimasi Hypervolume NSGA-II ... 31

Tabel 4.12 Parameter NSGA-II ... 32

Tabel 4.13 Populasi NSGA-II pada generasi ke-1000 ... 33

Tabel 4.14 Perbandingan dominasi Solusi AOF dengan Solusi NSGA-II untuk Instance I_150_30 ... 34

Tabel 4.15 Perbandingan dominasi Solusi AOF dengan Solusi NSGA-II untuk Instance I_250_50 ... 34

Tabel 4.16 Perbandingan dominasi Solusi AOF dengan Solusi NSGA-II untuk Instance I_350_30 ... 34

Tabel 4.17 Perbandingan dominasi Solusi AOF dengan Solusi NSGA-II untuk Instance I_350_50 ... 35

Tabel 4.18 Perbandingan dominasi Solusi AOF dengan Solusi NSGA-II untuk

Instance I_50_50 ... 35

DAFTAR GAMBAR

Hal

Gambar 2.1 Populasi yang dihasilkan pada setiap Generasi EO (Deb, 2011) ... 8

Gambar 2.2 Skema prosedur Multi-objective Optimization (Deb, 2011) ... 10

Gambar 2.3 Perhitungan Crowding-Distance (Deb,2011) ... 12

Gambar 2.4 Prosedur NSGA-II (Deb,2011) ... 14

Gambar 3.1 Diagram Alir Rancangan Penelitian ... 15

Gambar 3.2 Diagram Alir Umum NSGA-II ... 17

Gambar 4.1 Populasi pada Algoritma Genetika untuk Makespan dan Total Tardiness ... 30

Gambar 4.2 Populasi pada NSGA-II untuk Makespan dan Total Tardiness ... 32

ABSTRAK

Penjadwalan merupakan suatu kegiatan pengalokasian sumber daya yang terbatas untuk mengerjakan sejumlah pekerjaan. Proses penjadwalan timbul jika terdapat keterbatasan sumber daya yang dimiliki, sehingga diperlukan adanya pengaturan sumber-sumber daya yang ada secara efisien. Adapun tujuan dari penjadwalan produksi umumnya ialah untuk mengoptimalkan dimensi atau objek tertentu.

Penjadwalan flow shop adalah salah satu jenis penjadwalan produksi dimana setiap job akan melalui setiap mesin dengan urutan yang seragam. Optimasi penjadwalan mesin produksi flow shop berkaitan dengan penyusunan penjadwalan mesin yang mempertimbangkan 2 objek yaitu makespan dan total tardiness. Optimasi kedua permasalahan tersebut diatas merupakan optimasi yang bertolak belakang sehingga diperlukan model yang mengintegrasikan permasalahan tersebut dengan optimasi multi-objective A Fast Elitist Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi- Objective Optimazitaion : NSGA-II. Penyelesaian penjadwalan mesin produksi flow shop dengan algoritma NSGA-II untuk membangun jadwal dengan meminimalkan makespan dan total tardiness. Model yang dikembangkan akan memberikan solusi penjadwalan mesin produksi flow shop yang efisien berupa solusi pareto optimal yang dapat memberikan sekumpulan solusi alternatif bagi pengambil keputusan dalam membuat penjadwalan mesin produksi yang diharapkan. Agar dapat terlihat nilai solusinya maka dilakukan perbandingan dominasi solusi Aggregat Of Function (AOF) dengan solusi NSGA-II. Solusi pareto optimal yang dihasilkan merupakan solusi optimasi multi-objective yang optimal dengan trade-off terhadap seluruh objek, sehingga seluruh solusi pareto optimal sama baiknya.

Kata kunci : Makespan, Multi-objective, NSGA-II, Penjadwalan Mesin Produksi

Flow Shop, Total tardiness

MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION USING NSGA-II IN FLOW SHOP PRODUCTION MACHINE SCHEDULING

ABSTRACT

Scheduling is an activity to allocate limited resources to finish the jobs. Scheduling process arise if there are limitations on available resources that requiring utilization the available resources efficiently. Generally, the purpose of production scheduling is to optimize specific dimensions or objects. Flow shop scheduling is a type of production scheduling where each job will go through each machine with an uniform sequence. Optimization of the flow shop production machine scheduling related to determine machine scheduling that considers two objects i.e makespan and total tardiness. Both above optimization problem is a contradictory optimization that require a model which integrates these problems with multi-objective optimization A Fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-Objective Optimization: NSGA-II. The main purpose of completion the flow shop production machine scheduling with NSGA-II algorithm is to determine schedules that minimizing makespan and total tardiness. The developed model will generate efficient solutions of flow shop production machine scheduling in the form of pareto optimal solutions which provide a set of alternative solutions for decision makers in making expected production machine scheduling. In order to analyze the value of the solution that generated, the dominance comparisons made between Aggregate of Function (AOF) solutions and NSGA-II solutions. Pareto optimal solutions that generated are optimal multi-objective optimization solutions with trade-off for all objects, thereby all pareto optimal solutions are just as good.

Keywords : Flow Shop Production Scheduling Engine, Makespan, Multi-

objective, NSGA-II, Total tardiness

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Penjadwalan mesin produksi merupakan salah satu hal penting dalam proses manufaktur dan produksi. Permasalahan penjadwalan mesin produksi biasanya terletak pada penyusunan dan pengaturan job-job yang akan di proses pada serangkaian mesin. Masalah penjadwalan flowshop adalah menjadwalkan proses produksi dari masing-masing n job yang mempunyai urutan proses produksi dan melalui m mesin yang sama (Soetanto, 1999) . Salah satu kesulitan dalam melakukan penyusunan dan pengaturan job terhadap mesin yang tersedia adalah sulitnya mencari teknik-teknik yang tepat untuk membuat model penjadwalan mesin produksi yang optimal dan memenuhi segala kriteria-kriteria penjadwalan yang telah ditetapkan.

Penjadwalan flow shop berkembang dari single-objective (optimasi dengan satu fungsi) menjadi multi-objective (optimasi dengan beberapa fungsi objektif).

Dalam kasus multi-objective, akan dihasilkan sekumpulan solusi optimal yang dikenal dengan pareto-optimal solutions (solusi pareto-optimal) (Deb, 2008).

Beberapa penelitian telah mengembangkan model yang berkaitan dengan

penjadwalan mesin produksi flow shop, baik yang menggunakan optimasi single-

objective ataupun multi-objective. Penelitian penjadwalan mesin produksi dengan satu

fungsi objektif yang mengoptimalkan nilai makespan telah dilakukan oleh

Chakraborty et al (2007) dan Choudhury et al (2007). Penelitian penjadwalan mesin

produksi yang telah dilakukan oleh Lemesre et al (2005) dan Rahimi et al (2006)

berkaitan dengan penjadwalan flow shop dengan 2 fungsi objektif yaitu completion

time dan tardiness, namun mempunyai waktu komputasi yang cukup lama. Gajpal et

al (2014) dan T‟kindt et al (2001) meneliti penjadwalan mesin produksi dengan 2

fungsi objektif yaitu total weighted completion time dan makespan. Balasundaram et

al (2014), Rajendran et al (2004); dan Yagmahan dan Yenise(2010) meneliti 2 fungsi

objektif yaitu makespan dan total flow time. Minella et al (2007) meneliti penjadwalan mesin produksi dengan 2 fungsi objektif yaitu makespan dan total tardiness. Secara umum, semua penelitian diatas memiliki kinerja komputasi yang baik, mampu memformulasikan secara matematis fungsi objektif dalam penjadwalan flow shop.

Tetapi sebagian besar metode yang digunakan hanya mampu menyelesaikan permasalahan secara dependent yaitu hanya dapat digunakan pada permasalahan tertentu bergantung pada jenis permasalahan (heuristic).

Dalam kasus optimasi multi-objective, algoritma Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm for Multi-objective Optimization : NSGA-II yang merupakan kelompok Algoritma Metaheuristic yang telah diuji kehandalannya dibandingkan dengan optimasi multi-objective lainnya. NSGA-II merupakan metode pengembangan dari Genetik Algoritma (GA) dan NSGA. Dibandingkan dengan GA dan NSGA, NSGA-II dibedakan pada penggunaan operator crowding distance agar menghasilkan solusi pareto optimal yang lebih baik. Penelitian menggunakan NSGA-II telah dilakukan oleh Josezefowiez et al (2008) yang meneliti tentang multi-objective untuk vehicle routing problems, Mishra et al (2009) melakukan penelitian kasus optimasi multi-objective pada kasus managemen portofolio dan Deb et al (2008) membuat penelitian yang mampu menciptakan metode baru bernama omni optimizer yang di adopsi dari NSGA-II untuk kasus optimasi baik single maupun multi-objective.

Berdasarkan permasalahan di atas, maka perlu dilakukan penelitian untuk menganalisis algoritma multi-objective NSGA-II dalam penjadwalan mesin produksi flow shop untuk mengoptimalkan 2 fungsi objektif yaitu makespan dan total tardiness sehingga memberikan sekumpulan solusi alternatif bagi pengambil keputusan.

1.2. Rumusan Masalah

Permasalahan yang ingin diselesaikan adalah menganalisis algoritma multi-objective NSGA-II dalam penjadwalan mesin produksi flow shop untuk mengoptimalkan 2 fungsi objektif yaitu makespan dan total tardines .

1.3. Batasan Masalah

Batasan yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Pola kedatangan job bersifat statis.

2. Fungsi objektif yang digunakan adalah makespan dan total tardiness.

3. Tidak terjadi kerusakan mesin / breakdown karena aktifitas perawatan selama waktu penjadwalan.

4. Mesin selalu available untuk langsung memproses job.

5. Tidak membahas masalah pekerja/ sumber daya manusia.

6. Tidak ada pembatalan proses. Setiap job harus diproses sampai selesai.

1.4. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis algoritma multi-objective NSGA-II dalam permasalahan penjadwalan mesin produksi flow shop yang optimal baik dari makespan dan total tardiness.

1.5. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam bidang keilmuan optimasi, yaitu dengan penerapan algoritma multi-objective NSGA-II untuk menyelesaikan permasalahan penjadwalan mesin produksi flow shop dan dapat memberikan sekumpulan solusi alternatif bagi pengambil keputusan dalam membuat penjadwalan mesin produksi yang diharapkan.

1.6. Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini, metode penelitian yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Kajian pustaka atau Literature review, membaca riset-riset yang telah

dilakukan sehubungan dengan teknik yang akan dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ini dan riset-riset yang membahas tentang masalah yang berhubungan dengan riset yang akan dilakukan oleh Penulis.

2. Pengumpulan data atau Collecting Data, mengumpulkan data yang berkaitan dan diperlukan dalam mengatasi masalah ini.

3. Analisis, menganalisis teknik yang akan dipergunakan dengan mempergunakan data yang tersedia sehingga membentuk suatu sistem.

4. Pengujian atau testing, menguji sistem yang telah dibentuk untuk memastikan

apakah sistem tersebut bekerja sesuai dengan yang diharapkan.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Penjadwalan dan Penjadwalan Flow shop

Menurut Kumar (2011), jadwal merupakan rencana sistematis yang umumnya menceritakan hal-hal yang akan dikerjakan. Menurut Pinedo (2005), Penjadwalan diartikan sebagai proses pengambilan keputusan yang dilakukan secara teratur di bidang manufaktur dan jasa. Menurut Gajpal (2014), penjadwalan adalah proses alokasi sumber daya yang terbatas.

Menurut Ruiz (2007), permasalahan flow shop didefinisikan sebagai sekumpulan job N=1,2,...,n yang diproses oleh satu set mesin M=1,2,...n. Menurut Balasundaram (2014), penjadwalan flow shop adalah pengklasifikasian sebuah optimasi kombinatorial yang terdiri dari n-job, m mesin, diasumsikan bahwa job-job melewati semua mesin yang sama. Penjadwalan flow shop didefinisikan sebagai sebuah permasalahan produksi dimana terdapat satu set n job yang di proses pada aliran semua mesin yang identik, Tyagi (2014), Menurut Budi Santosa (2014), permasalahan dalam penjadwalan berfokus pada bagaimana mengalokasikan sumber daya produksi yang terbatas, seperti mesin, alat material handling, operator, dan peralatan lainnya untuk melakukan proses pada serangkaian aktivitas operasi (job) dalam periode waktu tertentu dengan optimalisasi pada fungsi objektif tertentu.

2.1.1. Tujuan penjadwalan

Menurut Ginting (2009), ada beberapa tujuan dari aktivitas penjadwalan adalah sebagai berikut :

1. Meningkatkan penggunaan sumberdaya atau mengurangi waktu tunggunya,

sehingga total waktu proses dapat berkurang dan produktivitas dapat

meningkat.

2. Mengurangi persediaan barang setengah jadi atau mengurangi sejumlah job yang menunggu dalam antrian ketika sumber daya yang ada masih mengerjakan tugas lain.

3. Mengurang beberapa keterlambatan pada job yang mempunyai batas waktu penyelesaian .

4. Membantu pengambilan keputusan mengenai perencanaan kapasitas pabrik dan jenis kapasitas yang dibutuhkan.

2.1.2. Definisi dalam penjadwalan

Menurut Ginting (2009), ada beberapa istilah dalam penjadwalan yaitu : 1. Processing time (t

i

)

Adalah waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan suatu job. Dalam waktu proses ini sudah termasuk waktu yang dibutuhkan untuk persiapan dan pengaturan (set-up) selama proses berlangsung.

2. Due-date (d

i

)

Adalah batas waktu di mana operasi terakhir dari suatu job harus selesai.

3. Slack time (SL

i

)

Adalah waktu tersisa yang muncul akibat dari waktu prosesnya lebih kecil dari due-date-nya.

4. Flow time (F

i

)

Adalah rentang waktu antara satu titik di mana tugas tersedia untuk diproses dengan suatu titik ketika tugas tersebut selesai.

5. Completion Time (C

_i

)

Adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan job mulai dari saat tersedianya job (t= 0) sampai pada job tersebut selesai dikerjakan.

6. Lateness (L

_i

)

Adalah selisih antara Completion time (C

_i

) dengan due-date-nya (d

_i

). Suatu

job memiliki lateness yang bernilai positif apabila pckerjaan tersebut

criseresaikan setelah due date-nya, job tersebut akan memiliki keterlambatan

yang negatif. sebaliknya jika job diselesaikan setelah batas waktunya, job

tersebut memiliki keterlambatan yang positif.

7. Tardiness (Ti)

Adalah ukuran waktu terlambat yang bernilai positif jika suatu job dapat diselesaikan lebih cepat dari due-date-nya, job tersebut akan memiliki keterlambatan yang negatif. Sebaliknya jika job diselesaikan setelah batas waktunya, job tersebut memiliki keterlambatan yang positif

8. Makespan (M

i

)

Adalah total waktu penyelesaian pekeriaan-pekeriaan mulai dari urutan pertama yang dikerjakan pada mesin work center pertama sampai kepada urutan job terakhir pada mesin atau work center terakhir

2.2. Multi-objective Optimization (MO)

Multi-objective Optimization (MO) merupakan sebuah proses yang dilakukan secara simultan untuk optimalisasi dua atau lebih tujuan (objektif). Proses akan semakin rumit jika optimasi dilakukan pada fungsi objektif yang saling bertentangan, dimana solusi optimal untuk sebuah fungsi objektif akan berbeda untuk fungsi objektif lainnya.

Menurut Deb (2002), MO akan menghasilkan sekumpulan solusi optimal yang dikenal dengan pareto-optimal solutions (solusi pareto-optimal) bukan single-optimal solutions.

Secara umum permasalahan MO diformulasikan oleh Deb (2011) ke dalam bentuk persamaan matematika sebagai berikut :

Minimize/Maximize f

m

(x), m = 1,2,…,M;

Subject to g

_j

(x)  0, j = 1,2,…,J;

h

_k

(x) = 0, k = 1,2,…,K;

x

i(L)

 x

i

 x

i(U)

i = 1,2,…,n.

Solusi x  R

ⁿ

adalah vektor dengan n variabel keputusan : x = (x

1

,x

2

,…,x

n

)

^T

.

Ada banyak optimasi yang tersedia untuk menyelesaikan permasalahan MO, beberapa diantaranya akan dijelaskan pada sub-bab dibawah ini.

2.2.1. Single Aggregat Objective Function (AOF)

Ide dasar dari optimasi ini adalah menggabungkan beberapa fungsi objektif menjadi satu bentuk fungsi objektif. Salah satunya adalah weighted linear sum of objective, yaitu fungsi-fungsi objektif yang akan dioptimasi diberi bobot dan dijumlahkan secara

(2.1)

linear menjadi sebuah fungsi yang dapat diselesaikan dengan Single-objective Optimization (SO).

Secara umum, persamaan matematika untuk AOF diformulasikan oleh Srinivas (1994) sebagai berikut :

Minimize/Maximize Z =

Subject to x  X dimana X adalah himpunan solusi;

0  w

i

 1

Dengan menggunakan optimasi ini solusi yang dihasilkan akan sangat bergantung pada nilai bobot (w) yang diberikan. Nilai setiap bobot merupakan nilai desimal antara 0 sampai 1, yang jika semua bobot dijumlahkan akan bernilai 1.

2.2.2. Evolutionary Algorithm (EA)

Menurut Deb (2011), pendekatan yang digunakan dalam Algoritma Evolutionary Optimization (EO) adalah tahapan iterasi (pengulangan) terhadap populasi solusi (sekumpulan solusi) yang mengembangkan populasi solusi baru untuk iterasi berikutnya. EO sangat terkenal dan banyak digunakan dalam permasalahan MO karena : (1) EO tidak membutuhkan informasi tambahan seperti bobot pada optimasi AOF, (2) Relatif sederhana untuk diimplementasikan dan (3) Fleksibel dan dapat diterapkan pada banyak permasalahan.

Penerapan EO yang memakai populasi solusi untuk Single-objective Optimization (SO) akan terlihat sia-sia karena hanya mencari satu solusi optimal saja.

Namun untuk MO, penerapan EO ini adalah pilihan yang tepat sebab EO akan menghasilkan populasi solusi pareto-optimal, yang seluruh populasi tersebut diproses lebih lanjut agar mendapatkan sebuah solusi.

2.2.2.1. Evolutionary Optimization (EO) untuk Single-Objective Optimization

Tahapan pencarian solusi EO untuk SO dijelaskan oleh Deb (2011) dimulai dengan inisialiasi populasi solusi yang dihasilkan secara acak. Selanjutnya dilakukan tahapan iterasi dimana setiap iterasi akan menghasilkan populasi baru dengan menggunakan 4 operator utama yaitu seleksi, crossover (penyilangan), mutasi dan elite-preservation.

Iterasi akan berhenti ketika satu atau lebih kriteria berhenti telah terpenuhi.

(2.2)

Inisialiasi populasi dilakukan dengan menghasilkan populasi solusi secara acak, namun jika beberapa solusi telah diketahui sebelumnya, maka inisialisasi populasi akan lebih cepat dengan menggunakan solusi tersebut. Seleksi diterapkan untuk memilih beberapa solusi dan ditempatkan pada penyimpanan (pool) sementara.

Crossover diterapkan dengan menyilangkan dua solusi (parent) secara acak dari pool dan menghasilkan satu atau lebih solusi (children). Parameter utama crossover adalah probabilitas crossover (p

_c

 [0,1]) yang menunjukkan bagian populasi yang diikutsertakan pada crossover. Sementara itu, parameter utama mutasi adalah probabilitas p

_m

yang biasanya bernilai 1/ ( adalah jumlah variabel). Elitism akan menggabungkan populasi lama dengan yang baru (children) dan mempertahankan solusi yang lebih baik untuk populasi berikutnya, untuk memastikan algoritma mempunyai peningkatan kinerja secara monoton. Untuk menentukan kriteria berhenti, biasanya digunakan angka yang menunjukkan batas jumlah generasi populasi.

Dibawah ini dilampirkan gambar yang menjelaskan populasi solusi yang dihasilkan pada setiap generasi EO.

(i) Inisialiasasi Populasi (ii) Populasi Generasi ke-5

(iii) Populasi Generasi ke-40 (iv) Populasi Generasi ke-100

Gambar 2.1 Populasi yang dihasilkan pada setiap Generasi EO (Deb, 2011)

Pada gambar diatas, terlihat bahwa inisialiasi awal populasi yang acak, akan berada dalam solusi feasible (himpunan solusi yang mungkin) pada generasi ke-5, dan akan makin konvergen menuju sebuah solusi untuk generasi berikutnya.

2.2.2.2. Evolutionary Multi-objective Optimization (EMO)

Definisi dan skema prosedur untuk mencari solusi pareto-optimal EMO dijelaskan oleh Deb (2011) sebagai berikut dibawah ini.

Solusi optimal pada MO dapat didefinisikan dengan konsep matematika partial ordering yang dikenal dengan istilah Dominasi pada MO. Definisi Dominasi dari dua buah solusi adalah sebagai berikut :

Sebuah solusi x

⁽¹⁾

dikatakan mendominasi solusi yang lain x

⁽²⁾

, jika kedua kondisi berikut terpenuhi (benar) yaitu :

1. Solusi x

⁽¹⁾

tidak lebih buruk dari x

⁽²⁾

untuk semua objektif, Dengan demikian, solusi-solusi tersebut dibandingkan berdasarkan nilai fungsi objektif-nya (atau lokasi dari titik (z

⁽¹⁾

dan z

⁽²⁾

) pada ruang solusi).

2. Solusi x

⁽¹⁾

lebih baik dari x

⁽²⁾

minimal pada satu objektif.

Tujuan ideal (utama) dalam MO adalah :

1. Mencari sekumpulan solusi yang terdapat pada pareto-optimal front.

2. Mencari sekumpulan bermacam-macam yang merepresentasikan jangkauan pareto-optimal front.

Meskipun perbedaan utama antara SO dan MO terdapat pada kardinalitas solusi yang optimal, namun dari sisi penerapan tetap yang dibutuhkan hanya satu solusi. Pemilihan satu solusi dari sekumpulan solusi yang optimal melibatkan informasi tingkat tinggi yang biasanya non teknis, kualitatif dan pengalaman.

Langkah-langkah dasar pada prosedur EMO adalah :

Langkah 1 : Mencari beberapa titik non-dominated yang paling dekat dengan pareto-optimal front.

Langkah 2 : Memilih satu dari titik yang dihasilkan pada langkah 1 berdasarkan informasi tingkat tinggi.

Gambar 2.2 dibawah ini menjelaskan skema dari langkah-langkah prosedur EMO

diatas.

Prosedur Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) adalah salah satu prosedur EMO yang terkenal, karena NSGA-II mempunyai 3 keutamaan, yaitu :

1. Prinsip elitist.

2. Mekanisme diversity preserving (melestarikan keragaman).

3. Mengutamakan solusi non-dominated.

Beberapa prosedur yang membedakan NSGA-II dengan algoritma EMO lainnya adalah fast-non-dominated-sort, crowding-distance-assignment dan Crowded Comparison Operator.

Gambar 2.2 Skema prosedur Multi-objective Optimization (Deb, 2011)

Prosedur fast-non-dominated-sort digunakan untuk mengidentifikasi dan mengurutkan solusi kedalam beberapa tingkatan front non-dominated yang berbeda.

Sebagai permulaan, semua solusi dihitung entitas : (1) jumlah dominasi n

p

, yaitu

jumlah solusi yang mendominasi solusi p, (2) S

p

, yaitu himpunan solusi yang

didominasi solusi p. Penghitungan entitas ini membutuhkan kompleksitas komputasi

sebesar O(MN

²

).

Semua solusi di front non-dominated pertama akan mempunyai jumlah dominasi bernilai nol. Selanjutnya untuk setiap solusi dengan n

p

=0 akan ditelusuri semua solusi q yang terdapat pada S

p

dan mengurangi jumlah dominasi q (n

q

) dengan satu. Jika n

q

ada yang bernilai nol, maka q dipisahkan ke himpunan Q. Solusi q yang terdapat pada himpunan Q akan menjadi front non-dominated berikutnya. Proses ini dilanjutkan sampai semua front berhasil diidentifikasikan.

Algoritma untuk fast-non-dominated-sort yang lebih rinci disajikan oleh Deb (2002) sebagai berikut :

fast-non-dominated-sort(P) for each p  P

S

p

=  n

p

= 0

for each q  P

if (p ≺ q) then jika p mendominasi q

S

p

= S

p

 {q} tambahkan q ke himpunan solusi yg didominasi p

else if (q ≺ p) then

n

p

= n

p

+ 1 increment jumlah dominasi p

if n

_p

= 0 then

p termasuk front pertama

p

_rank

= 1 Ƒ

₁

= Ƒ

₁

 {p}

i = 1 inisialisasi jumlah front

while Ƒ

_i

≠ 

Q =  untuk menyimpan anggota front berikutnya

for each p  Ƒ

_i

for each q  S

_p

n

q

= n

q

– 1

if n

q

= 0 then

q termasuk front berikutnya

q

_rank

= i + 1 Q = Q  {q}

i = i + 1 Ƒ

i

= Q

Selain menghasilkan solusi yang konvergen terhadap himpunan pareto- optimal, NSGA-II juga menjaga agar solusi yang dihasilkan menggambarkan keragaman dari himpunan pareto-optimal. Untuk itu didefinisikan metric perkiraan kepadatan (Density Estimation Metric) dan operator perbandingan keramaian (Crowded-Comparison Operator).

Untuk perkiraan kepadatan solusi di sekeliling sebuah solusi i, dilakukan perhitungan jarak rata-rata antara dua solusi di kedua sisi solusi i untuk setiap objektif.

Nilai yang dihasilkan i

_distance

adalah perkiraan keliling cuboid yang dibentuk oleh

solusi terdekat i sebagaimana disajikan dalam gambar dibawah ini.

Gambar 2.3 Perhitungan Crowding-Distance (Deb,2011)

Perhitungan Crowding-Distance memerlukan pengurutan solusi dalam urutan membesar sesuai dengan fungsi objektif-nya. Solusi dengan nilai fungsi terkecil dan terbesar selanjutnya diberi nilai distance tak terhingga, sementara solusi lainnya diberi nilai berdasarkan perhitungan nilai absolut dari selisih nilai objektif solusi terdekat yang telah dinormalisasi. Nilai total Crowding Distance dihitung dari jumlah distance untuk setiap fungsi objektif. Algoritma rincinya telah disusun oleh Deb (2002) sebagai berikut :

Crowding-distance-assignment (χ)

l = |χ| jumlah solusi di χ

for each i, set χ[i]

_distance

= 0 inisialisasi jarak

for each objective m

χ = sort(χ,m) pengurutan menggunakan nilai objektif

χ[1]

distance

= χ[l]

distance

=  agar titik batas selalu terpilih

for i = 2 to (l-1) untuk semua titik lain

χ[i]

_distance

= χ[i]

_distance

+ (χ[i+1].m - χ[i-1].m) / ( )

Setelah distance metric terbentuk, selanjutnya dapat dibandingkan kedekatan sebuah solusi dengan solusi lainnya. Solusi dengan nilai distance yang kecil berarti lebih ramai daripada solusi yang lain. Untuk itu digunakan Crowded-Comparison Operator sebagai panduan proses seleksi untuk mendapatkan pareto-optimal front yang tersebar merata.

Asumsikan setiap individu i pada populasi mempunyai 2 atribut, yaitu Nondomination rank (i

rank

) dan Crowding Distance (i

distance

). Maka Deb (2002) mendefinisikan partial order ≺

n

sebagai berikut :

i ≺

n

j jika (i

rank

< j

rank

)

atau ((i

rank

= j

rank

) dan (i

distance

> j

distance

))

Definisi diatas mempunyai arti jika dua buah solusi berbeda Nondomination rank, maka akan dipilih solusi yang mempunyai rank lebih kecil. Jika solusi mempunyai rank yang sama (berasal dari front yang sama), maka akan dipilih solusi dari daerah yang kurang ramai (distance besar).

Prosedur utama dari algoritma NSGA-II terdiri dari tahapan inisialisasi populasi parent P

o

secara acak, kemudian diurutkan berdasarkan tingkatan nondomination (rank/fitness). Awalnya operator binary tournament selection, recombination, dan mutasi akan digunakan untuk menghasilkan populasi offspring (child) Q

_o

. Tahapan inisialisasi diatas hanya dilakukan sekali, untuk generasi berikutnya akan dilakukan langkah-langkah yang berbeda.

Pertama, populasi R

_t

dibentuk dari penggabungan populasi P

_t

dan Q

_t

. populasi R

_t

berjumlah 2N. Populasi R

_t

kemudian diurutkan menurut nilai nondomination sehingga dihasilkan solusi pada front Ƒ

₁

merupakan solusi terbaik. Jika ukuran Ƒ

₁

lebih kecil dari N, maka seluruh solusi pada Ƒ

₁

dimasukkan pada populasi baru P

t+1

. Sisa jumlah populasi P

t+1

diisikan Ƒ

2,

Ƒ

3

dan seterusnya. Untuk memenuhi jumlah populasi baru tepat sebanyak N solusi, maka solusi pada front terakhir diurutkan menggunakan operator ≺

n.

Algoritma pengulangan utama dari NSGA-II, dirincikan oleh Deb (2002) sebagai berikut :

R

_t

= P

_t

 Q

t

menggabungkan parent dan offspring

Ƒ = fast-non-dominated-sort(R

_t

)

Ƒ = (Ƒ1, Ƒ2, …) semua front non-dominated R_t

P

t+1

=  and i = 1

until |P

t+1

| + | Ƒ

i

|  N sampai populasi parent terisi

crowding-distance-assignment(Ƒ

_i

) hitung crowding-distance di Ƒ

_i

P

_t+1

= P

_t+1

 Ƒ

i

masukkan front non-dominated ke-i ke populasi parent

i = i + 1 periksa front berikutnya untuk disertakan

Sort(Ƒ

_i

, ≺

n

) urutkan mengecil menggunakan ≺

n

P

_t+1

= P

_t+1

 Ƒ

i

[1:(N - |P

_t+1

|)] pilih elemen pertama Ƒ

i

sebanyak (N-|P

t+1

|)

Q

_t+1

= make-new-pop(P

_t+1

) gunakan seleksi, crossover dan mutasi untuk menghasilkan populasi baru Q

_t+1

t = t + 1 increment jumlah generasi

Prosedur NSGA-II diatas dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.4 Prosedur NSGA-II (Deb,2011)

BAB 3

METODE PENELITIAN

Dalam optimasi penjadwalan flow shop mesin produksi akan di bandingkan nilai makespan dan total tardiness sebelum dan sesudah diterapkannya optimasi multi- objective NSGA-II. Secara umum, diagram alir rancangan penelitiannya dapat digambarkan pada Gambar 3.1 dibawah ini.

Pemodelan Sistem

Terapkan Optimasi AOF

Ukur Optimasi AOF

Perbandingan Pengukuran

Kesimpulan

Terapkan Optimasi Multi- Objective : NSGA-II

Ukur Optimasi Multi- Obective : NSGA-II

Gambar 3.1 Diagram Alir Rancangan Penelitian

3.1. Pengumpulan Data

Untuk menguji sistem, data yang diujikan berupa data sekunder yang diperoleh dari http://www.upv.es/gio/rruiz yang terdiri dari 110 instance kasus data yang akan diujikan.

Tabel 3.1 Tabel Data Penjadwalan Mesin Produksi

Job/Mesin M

₁

M

₂

M

₃

M

₄

.... M

_n

Due-

Date

J

₁

20 1 4 62 .... 80 5

J

2

30 20 50 60 .... 70 7

.... .... .... .... .... .... .... ....

J

n

12 7 1 56 .... 100 30

Data-data tersebut diselanjutnya akan digunakan untuk memodelkan sistem dan diproses dengan menggunakan algoritma Multi-objective : NSGA-II.

3.2. Pemodelan Sistem

Untuk mendapatkan solusi yang optimal dengan algoritma multi-objective NSGA-II, maka permasalahan penjadwalan mesin produksi flow shop akan dimodelkan secara matematis dalam bentuk persamaan multi-objective yang terdiri beberapa fungsi objektif dan pembatas.

Persamaan multi-objective terdiri dari dua buah fungsi objektif yaitu fungsi yang memformulasikan nilai makespan, serta fungsi yang memformulasikan total tardiness.

Selain itu perlu untuk mendefinisikan variabel solusi yang ingin dihasilkan, sebab optimasi NSGA-II dimulai dengan inisialisasi populasi secara acak sesuai dengan definisi variabel solusi.

3.3. Tahapan NSGA-II

Optimasi Multi-objective : NSGA-II yang digunakan untuk mencari solusi pareto- optimal dari model matematis multi-objective dapat dibagi menjadi tahapan-tahapan sebagai berikut :

1. Inisialisasi Populasi

2. Non-Dominated Sort

3. Crowding Distance 4. Seleksi

5. Operator Genetika a. crossover b. mutasi 6. Rekombinasi

dimana pada beberapa tahapan diatas, akan ditentukan prosedur yang lebih rinci untuk penerapan NSGA-II pada permasalahan penjadwalan mesin produksi flow shop.

Diagram alir secara umum dari NSGA-II ditampilkan dalam Gambar 3.2 dibawah ini.

Start

End Inisialisasi Populasi

Non Dominated Sort

Crowding Distance

Seleksi

Crossover

Mutasi

Rekombinasi

Kondisi berhenti terpenuhi ?

ya

tidak

Gambar 3.2 Diagram Alir Umum NSGA-II

3.4. Pengukuran dan Perbandingan Optimasi Menggunakan NSGA-II

Hasil optimasi multi-objective NSGA-II akan diukur dan dibandingkan dengan hasil optimasi dengan AOF, dengan cara menghitung dan membandingkan hasil dari kedua fungsi objektif yaitu makespan dan total tardiness menggunakan optimasi AOF dengan NSGA-II.

Untuk mengevaluasi kualitas populasi solusi yang dihasilkan oleh NSGA-II, akan digunakan indikator hypervolume (Zitler et al, 1998; Zitler et al, 2002). Indikator hypervolume didefinisikan sebagai volume dari seluruh kemungkinan solusi yang didominasi oleh sekumpulan solusi yang dihasilkan EMO. Semakin besar nilai hypervolume maka semakin baik solusi dari EMO tersebut. Pendekatan Monte Carlo (While et al, 2006) digunakan untuk memperkirakan hypervolume dengan menghitung sekumpulan nilai acak pada ruang solusi yang didominasi oleh solusi dari EMO.

Karena NSGA-II merupakan algoritma stokastik, maka perlu dilakukan analisis statistik dari hasil penelitian yang diperoleh agar hasil tersebut dapat dibandingkan dengan tingkat kepercayaan tertentu. Uji normalitas dan uji homogenitas akan dilakukan terlebih dahulu, agar dapat ditentukan uji selanjutnya untuk membandingkan rata-rata hasil penelitian. Uji normalitas yang digunakan adalah uji Kolmogorov-Smirnov dan uji Shapiro-Wilk, sedangkan uji homogenitas menggunakan uji Levene. Hasil penelitian yang berdistribusi normal dengan variansi yang homogen akan diselesaikan dengan uji ANOVA, sedangkan untuk yang berdistribusi normal dengan variansi tidak homogen maka digunakan uji Welch.

Khusus untuk hasil penelitian yang tidak berdistribusi normal maka dilakukan uji

Kruskal-Wallis.

BAB 4

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Model Matematis

Yagmahan dan Yenisey (2009) telah memformulasikan permasalahan minimasi makespan dengan model matematis sebagai berikut :

M(S) = C

m,n

(4.1)

C

m,n

= max {C

m-1,n

, C

m,n-1

} + t

m,n

(4.2) Dimana :

M(S) = makespan (waktu untuk memproses seluruh job hingga selesai) C

m,n

= waktu komplit (completion time) job ke - m pada mesin ke – n t

m,n

= waktu proses untuk job m pada mesin n

m = jumlah total job dalam penjadwalan n = jumlah total mesin dalam penjadwalan

selain memformulasikan makespan, Franca et.al (2000) memformulasikan permasalahan minimasi total tardiness dengan model matematis sebagai berikut :

[0, C

i

–d

i

] (4.3)

Dimana :

T = total tardiness (total waktu terlambat suatu job dapat diselesaikan lebih cepat dari due-date-nya)

C

i

= waktu komplit dimana seluruh mesin menyelesaikan suatu proses pada job i

Sehingga dari persamaan (4.1) sampai dengan persamaan (4.3) dapat dimodelkan menjadi sebuah permasalahan multi-objective dengan model matematis sebagai berikut :

Min Z

_M

= max{C

_m-1,n

, C

_m,n-1

} + t

_m,n

Min Z

T

[0, C

i

–d

i

] Dimana :

(4.4)

m = jumlah total job dalam penjadwalan n = jumlah total mesin dalam penjadwalan

t

m,n

= waktu proses untuk job ke-m pada mesin ke-n

C

i

= waktu komplit dimana semua mesin menyelesaikan suatu proses pada job i (i =1,..., m); .

4.2. Implementasi Tahapan NSGA-II

Optimasi multi-objective NSGA-II yang digunakan untuk mencari solusi model matematis dari Persamaan (4.4) terbagi atas beberapa tahapan sebagai berikut :

1. Inisialisasi Populasi

Populasi diinisialisasi secara acak, namun harus tetap mematuhi kaidah pembatas dari model matematis.

2. Non-Dominated Sort

Populasi yang telah diinisialisasi lalu diurutkan berdasarkan non domination menggunakan algoritma Fast Non-dominated Sorting yang didefinisikan oleh Deb (2002) sebagai berikut :

 Untuk setiap individu p di populasi P, dilakukan :

- Inisialisasi S

p

= . Himpunan ini akan berisi semua individu yang didominasi oleh p.

- Inisialisasi n

_p

= 0. Menunjukkan jumlah individu yang mendominasi individu p.

- Untuk setiap individu q di P

 Jika p mendominasi q maka tambahkan q ke himpunan S

p

. (S

_p

=S

_p

q)

 Jika q mendominasi p maka increment counter dominasi n

_p

. (n

_p

=n

_p

+1)

- Jika n

_p

= 0 berarti tidak ada individu yang mendominasi p sehingga p berada di front pertama; Beri nilai peringkat p menjadi satu (p

_rank

= 1). Tambahkan p ke front pertama (Ƒ

₁

= Ƒ

₁

 {p})

 Inisialisasi counter front dengan satu (i=1)

 Selama front yang ke-i tidak kosong (Ƒ

_i

≠ ), lakukan :

- Q = 

- Untuk setiap individu p di front Ƒ

i

 Untuk setiap individu q pada Sp

 n

_q

= n

_q

– 1, decrement jumlah dominasi untuk individu q

 jika n

_q

= 0 maka tidak ada individu di front berikutnya yang mendominasi q, sehingga nilai q

_rank

= i + 1. Tambahkan q ke Q (Q=Qq).

- increment couter front dengan satu (i=i+1) - Q menjadi front berikutnya (Ƒ

i

= Q) 3. Crowding Distance

Crowding distance digunakan sebagai pembanding antara dua individu dalam front yang sama, agar solusi yang dihasilkan dapat mewakili keseluruhan solusi pareto-optimal.

Cara untuk menghitung crowding distance didefiniskan oleh Deb (2002) adalah sebagai berikut :

 Untuk setiap individu pada front Ƒ

i

, dengan n adalah jumlah individu - Inisialisasi jarak dengan nol untuk semua individu (Ƒ

_i

(d

_j

)=0),

dimana j menunjukkan individu ke-j pada front Ƒ

_i

- Untuk setiap fungsi tujuan m

 Urutkan individu di front Ƒ

i

berdasarkan nilai obyektif m

 Beri nilai tak terhingga untuk jarak individu pertama dan terakhir (I(d

₁

)= dan I(d

n

)=)

 Untuk k mulai dari 2 sampai (n-1)

 I(d

_k

) = I(d

_k

) +

 I(k).m adalah nilai obyektif m untuk individu k pada I 4. Seleksi

Digunakan adalah Roulette Wheel Selection. Pada metode roda rolet kromosom orang tua (parents) yang akan dipindah-silangkan dipilih berdasarkan nilai fitnessnya. Nilai fitness dari masing-masing kromosom dibagi dengan total nilai fitness seluruh kromosom yang ada pada populasi.

Setiap kromosom dianggap merupakan potongan/bagian dari roda rolet

dengan ukuran potongan yang proporsional dengan nilai fitnessnya. Suatu nilai target antara angka nol dan angka satu ditetapkan secara acak.

Kemudian roda rolet diputar sebanyak N kali, dimana N adalah jumlah individual atau kromosom dalam populasi. Dari setiap putaran, kromosom dengan nilai fitness yang berada di bawah nilai target dipilih untuk menjadi parents bagi generasi berikutnya (Azmi et.al).

5. Operator Genetika

Operator genetika yang digunakan adalah Precedence Preservative Crossover (PPX) untuk crossover dan operator mutasi adalah remove dan insert mutasi. PPX (Ginting, 2009) dapat dijelaskan sebagai berikut :

a. String baru disusun secara acak dari allele string induk.

b. Angka acak 1 atau 2 dipakai untuk memilih induk.

c. Jika 1 diturunkan allele paling kiri dari induk pertama, jika 2 diturunkan allele paling kiri dari induk kedua. Selanjutnya terpilih tadi dihapus dari kedua induk.

d. Proses dilakukan sampai karakter di kedua induk habis.

Sebagai contoh 2 induk ABCDEF dan CABFDE, dan angka acak 121122, akan menghasilkan string baru ACBDFE.

Pada remove dan insert mutasi, satu locus dipilih secara acak dan karakter diposisi tersebut di hapus. Satu locus baru dipilih, dan karakter yang telah dihapus tadi disisipkan.

6. Rekombinasi

Populasi hasil crossover dan mutasi kemudian dikombinasikan dengan populasi induk yang kemudian dipilih dengan Non-Dominated Sort dan Crowding Distance untuk mendapatkan populasi generasi berikutnya.

4.3 Hasil Penelitian

Data yang akan digunakan dalam penelitian adalah data yang diambil dari Eva

Instances: http://www.upv.es/gio/rruiz. Data terdiri dari jumlah job antara 50 sampai

dengan 350 job dan jumlah mesin antara 10 sampai dengan 50 mesin. Dalam

pengujiannya akan diambil beberapa sampel dari masing-masing jumlah job dan

mesinnya. Data-data tersebut kemudian ditabulasikan sesuai format Tabel 3.1.

4.3.1. Optimasi penjadwalan mesin produksi menggunakan AOF

Metode AOF merupakan salah satu cara untuk menghasilkan solusi minimasi makespan dan total tardiness. Pada prinsipnya, metode ini menerapkan optimasi single-objective seperti Algoritma Genetika pada permasalahan multi-objective.

Kedua fungsi objektif pada Persamaan (4.4) digabung menjadi sebuah fungsi objektif yang baru dengan operator penjumlahan (+) dan masing-masing fungsi diberi bobot antara 0 dan 1, dimana jumlah kedua bobot tersebut harus sama dengan 1.

Fungsi objektif baru dari hasil penggabungan dari kedua fungsi objektif.

Persamaan (4.4) adalah : Min Z =  * ( max{C

i-1,j

, C

i,j-1

} + t

i,j

) + (1-) * ( [0, c

_i

–d

_i

] ) dengan  adalah bobot bernilai antara 0 dan 1.

Untuk mengoptimasi Persamaan (4.4) digunakan Algoritma Genetika, dengan penentuan bobot  dilakukan melalui penelitian dengan variasi  = 0,1, 0,5 dan 0,9 yang datanya ditabulasikan dalam Tabel 4.1 s.d Tabel 4.5 dibawah ini.

Tabel 4.1 Hasil Penelitian AOF Instance I_150_30

 Parameter Hasil Penelitian

1 2 3 4 5

0,1

ZM 11327 11153 11192 11200 11162

ZT 133433 119589 123218 122785 129088

Jumlah Generasi 178 255 140 251 209

0,5

ZM 11049 11332 11333 11184 11258

ZT 130392 134616 138815 130638 130654

Jumlah Generasi 294 176 157 324 226

0,9

ZM 11046 11345 11228 11464 10994

ZT 121534 137081 139031 154819 129969

Jumlah Generasi 188 158 138 173 220

Tabel 4.2 Hasil Penelitian AOF Instance I_250_50

 Parameter Hasil Penelitian

1 2 3 4 5

0,1

ZM 19196 19731 19422 19689 19459

ZT 453440 479169 522631 534560 482118

Jumlah Generasi 500 268 256 125 374

0,5

ZM 19750 19459 19380 19584 19615

ZT 508587 505159 471894 497512 539113

Jumlah Generasi 169 165 270 294 180

0,9

ZM 19773 19599 19442 20015 19288

ZT 503433 482715 499647 500287 468795

Jumlah Generasi 124 324 154 131 451

Tabel 4.3 Hasil Penelitian AOF Instance I_350_30

 Parameter Hasil Penelitian

1 2 3 4 5

0,1

ZM 22934 22673 22861 23155 22936

ZT 1212089 1137686 1187601 1212595 1216452

Jumlah Generasi 300 363 143 308 188

0,5

ZM 22672 22778 22865 23032 23168

ZT 1117144 1151076 1210402 1231133 1208735

Jumlah Generasi 500 356 256 225 252

0,9

ZM 22774 22652 23106 22651 22888

ZT 1203747 1123999 1228483 1172830 1176844

Jumlah Generasi 160 500 82 398 375

Tabel 4.4 Hasil Penelitian AOF Instance I_350_50

 Parameter Hasil Penelitian

1 2 3 4 5

0,1

ZM 25243 25284 25435 25451 25518

ZT 2193090 2274710 2232403 2329579 2286649

Jumlah Generasi 263 300 262 219 378

0,5

ZM 25432 25596 25407 25537 25415

ZT 2311256 2254846 2260478 2355096 2236693

Jumlah Generasi 289 282 237 103 244

0,9

ZM 25288 25654 25179 25422 25193

ZT 2241915 2208694 2150877 2309797 2262883

Jumlah Generasi 237 161 318 114 195

Tabel 4.5 Hasil Penelitian AOF Instance I_50_50

 Parameter Hasil Penelitian

1 2 3 4 5

0,1

ZM 6866 6710 6770 6662 6746

ZT 67795 59887 60686 62001 62626

Jumlah Generasi 96 102 113 67 118

0,5

ZM 6786 6812 6801 6706 6766

ZT 61162 60877 59538 57618 60545

Jumlah Generasi 102 97 92 105 100

0,9

ZM 6797 6690 6775 6632 6732

ZT 70581 65166 63070 61233 61366

Jumlah Generasi 93 98 82 100 87

Untuk menganalisa hasil penelitian AOF diatas, terlebih dahulu dilakukan uji

normalitas dan uji homogenitas, agar dapat menentukan penggunaan uji yang

membandingkan rata-rata hasil penelitian. Uji normalitas yang digunakan adalah uji

Kolmogorov-Smirnov dan uji Shapiro-Wilk, sedangkan uji homogenitas menggunakan uji Levene.

Hasil penelitian yang berdistribusi normal dengan variansi yang homogen akan dibandingkan dengan uji ANOVA, sedangkan untuk yang berdistribusi normal dengan variansi tidak homogen menggunakan uji Welch. Khusus untuk hasil penelitian yang tidak berdistribusi normal maka digunakan uji Kruskal-Wallis.

Perhitungan uji statistik diatas menggunakan bantuan perangkat lunak SPSS, dengan hasil analisa ditabulasikan dalam tabel dibawah ini.

Tabel 4.6 Hasil Uji Normalitas AOF

Instance Alpha Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig.

I_150_30

ZM

0,10 0,339 5 0,062 0,794 5 0,073

0,50 0,201 5 0,200 0,889 5 0,353

0,90 0,204 5 0,200 0,945 5 0,702

ZT

0,10 0,268 5 0,200 0,933 5 0,616

0,50 0,340 5 0,060 0,792 5 0,070

0,90 0,218 5 0,200 0,970 5 0,878

Jumlah Generasi

0,10 0,218 5 0,200 0,924 5 0,556

0,50 0,194 5 0,200 0,924 5 0,558

0,90 0,142 5 0,200 0,989 5 0,975

I_250_50

ZM

0,10 0,208 5 0,200 0,932 5 0,611

0,50 0,173 5 0,200 0,977 5 0,920

0,90 0,139 5 0,200 0,986 5 0,962

ZT

0,10 0,243 5 0,200 0,928 5 0,582

0,50 0,232 5 0,200 0,963 5 0,831

0,90 0,321 5 0,102 0,847 5 0,186

Jumlah Generasi

0,10 0,203 5 0,200 0,977 5 0,917

0,50 0,319 5 0,107 0,803 5 0,085

0,90 0,316 5 0,115 0,827 5 0,131

I_350_30

ZM

0,10 0,244 5 0,200 0,956 5 0,780

0,50 0,176 5 0,200 0,972 5 0,886

0,90 0,203 5 0,200 0,890 5 0,356

ZT

0,10 0,315 5 0,118 0,777 5 0,052

0,50 0,300 5 0,159 0,893 5 0,374

0,90 0,215 5 0,200 0,969 5 0,868

Jumlah Generasi

0,10 0,268 5 0,200 0,919 5 0,525

0,50 0,307 5 0,139 0,840 5 0,166

0,90 0,260 5 0,200 0,919 5 0,524

Lanjutan Tabel 4.6 Hasil Uji Normalitas AOF

Instance Alpha Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig.

I_350_5 0

ZM 0,10 0,261 5 0,200 0,906 5 0,446

0,50 0,305 5 0,146 0,843 5 0,173

0,90 0,218 5 0,200 0,886 5 0,338

ZT 0,10 0,186 5 0,200 0,984 5 0,954

0,50 0,284 5 0,200 0,903 5 0,426

0,90 0,147 5 0,200 0,993 5 0,989

Jumlah Generasi

0,10 0,240 5 0,200 0,926 5 0,571

0,50 0,332 5 0,075 0,802 5 0,084

0,90 0,151 5 0,200 0,983 5 0,949

I_50_50

ZM 0,10 0,201 5 0,200 0,970 5 0,876

0,50 0,222 5 0,200 0,889 5 0,351

0,90 0,174 5 0,200 0,963 5 0,825

ZT 0,10 0,297 5 0,173 0,854 5 0,207

0,50 0,261 5 0,200 0,866 5 0,249

0,90 0,223 5 0,200 0,851 5 0,198

Jumlah Generasi

0,10 0,228 5 0,200 0,883 5 0,324

0,50 0,164 5 0,200 0,981 5 0,942

0,90 0,188 5 0,200 0,946 5 0,706

Hasil uji normalitas pada Tabel 4.6 dengan uji Kolmogorov-Smirnov dan Shapiro-Wilk, menunjukkan bahwa hasil penelitian AOF untuk ZM, ZT dan Generasi pada  = 0,1, 0,5 dan 0,9 berdistribusi normal dengan taraf signifikansi 0,05.

Tabel 4.7 Hasil Uji Homogenitas AOF

Instance Levene Statistic df1 df2 Sig.

I_150_30

ZM 3,126 2 12 0,081

ZT 1,865 2 12 0,197

Jumlah Generasi 2,694 2 12 0,108

I_250_50

ZM 1,084 2 12 0,369

ZT 1,948 2 12 0,185

Jumlah Generasi 2,130 2 12 0,162

I_350_30

ZM 0,225 2 12 0,801

ZT 0,790 2 12 0,476

Jumlah Generasi 20,484 2 12 0,125

I_350_50

ZM 2,119 2 12 0,163

ZT 0,038 2 12 0,963

Jumlah Generasi 0,144 2 12 0,868

I_50_50

ZM 0,629 2 12 0,550

ZT 1,274 2 12 0,315

Jumlah Generasi 2,479 2 12 0,126