INVERS FUNGSI
Fendi Alfi Fauzi∗
16 April 2014
1. Jikaf(x) =px,pkonstanta positif, maka f x
2
+x
f(x+ 1) =· · · ·
Jawab:
f(x) = px
f x2+x = px2+x
f(x+ 1) = px+1
f x2+x f(x+ 1) =
px2+x
px+1
= p
x2 ·px
px·p
= p
x2
p
= px2 ·p−1
f x2+x
f(x+ 1) = p (x2−1)
Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p(x2−1). Karena f(x) = px maka f x
2
+x f(x+ 1) =
f x2
−1
2. Fungsi f(x) =
r
x2−2x+ 1
16−x2 terdefenisi untuk ...
Jawab:
Fungsi f(x) =
r
x2
−2x+ 1
16−x2 terdefenisi jika
x2
−2x+ 1
16−x2 ≥0. Perhatikan pada bagian
pembi-lang yaitu x2 −2x+ 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x−1)2. Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16−x2 >0. Perlu
diketa-hui juga bahwa x
2
−2x+ 1
16−x2 tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan
menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
(f◦g) (x) = 2x−3
x+ 4
f(g(x)) = 2x−3
x+ 4
f(1−x) = 2x−3
x+ 4
Misalkan u= 1−x makax= 1−u sehingga
f(u) = 2 (1−u)−3 (1−u) + 4
= 2−2u−3 5−u
f(u) = −2u−1 5−u
f(x) = −2x−1 5−x
10. Fungsi f :R→Rdan g :R→R dinyatakan olehf(x) =x+ 2 dan (g◦f) (x) = 2x2
+ 4x+ 1
makag(2x) =... Jawab :
(g◦f) (x) = 2x2+ 4x+ 1
g(f(x)) = 2x2+ 4x+ 1
g(x+ 2) = 2x2+ 4x+ 1
Misalkan x+ 2 =y makax=y−2sehingga
g(y) = 2 (y−2)2+ 4 (y−2) + 1 = 2 y2−4x+ 4
+ 4y−8 + 1
= 2y2−8y+ 8 + 4y−8 + 1
g(y) = 2y2−4y+ 1
g(x) = 2x2−4x+ 1
g(2x) = 2 (2x)2−4 (2x) + 1 = 2 4x2−8x+ 1
g(2x) = 8x2−8x+ 1
11. Bilaf(x) = x+ 2
3−x denganx6= 3 maka invers darif(x) adalahf
Jawab:
f(x) = x+ 2 3−x
y = x+ 2 3−x
3y−xy = x+ 2
3y−2 = x+xy
3y−2 = x(1 +y)
x = 3y−2 1 +y
f−1
(x) = 3x−2
1 +x , x6=−1
12. Invers darif(x) = 1−x3 1
5 + 2adalah....
Jawab:
f(x) = 1−x3
1 5
+ 2
y = 1−x3
1 5 + 2
y−2 = 1−x3
1 5
(y−2)5 = 1−x3 x3 = 1−(y−2)5
x = q3
1−(y−2)5
x = 1−(y−2)5
1 3
f−1
(x) = 1−(x−2)5
1 3
f(x) = 3x−1
y = 3x−1
y = 3x ·3−1
y = 3x ·13 3y = 3x
x = 3
log (3y)
f−1(x) = 3log (3x) f−1(81) = 3log (3·81)
= 3log (243)
= 3
log 35
= 5·3
log 3
= 5×1
f−1
(81) = 5
14. Fungsi f :R→ Rdan g:R→ Rdirumuskan dengan f(x) = 1
2x−1 dan g(x) = 2x+ 4maka (g◦f)−1
(10) adalah .... Jawab :
(g◦f) (x) = g(f(x))
= 2
1 2x−1
+ 4
= x−2 + 4
= x+ 2
(g◦f) (x) = y
y = x+ 2
x = y−2
(g◦f)−1(x) = x−2
(g◦f)−1(10) = 10−2
= 8
15. Jikaf−1(x) = x−1
5 dan g−
1
(x) = 3−x
2 maka(f ◦g)
−1
(f ◦g) (x) = f(g(x))
(f ◦g) (x) = 5log
x+ 3 3x−4
(f ◦g) (x) = y
y = 5log
x+ 3 3x−4
5y = x+ 3 3x−4 3x·5y
−4·5y = x+ 3 3x·5y
−x = 4·5y+ 3
x(3·5y
−1) = 4·5y+ 3
x = 4·5 y+ 3
3·5y−1
(f ◦g)−1
(x) = 4·5 x+ 3
3·5x−1
18. Jika(f ◦g) (x) = 4x2+ 8x
−3 dang(x) = 2x+ 4makaf−1(x) =...
Jawab :
(f ◦g) (x) = f(g(x))
f(g(x)) = 4x2+ 8x−3
f(2x+ 4) = 4x2+ 8x−3
Misalkan u= 2x+ 4maka2x=u−4⇒x= u−4 2
f(u) = 4
u−4 2
2
+ 8
u−4 2
−3
= 4
1 4 u
2
−8u+ 16
+ 4u−16−3
= u2−8u+ 16 + 4u−16−3 = u2−4u−3
Misalkan f(x) =y maka
y = x2−4x−3
y = x2−4x+ 4−7
y = (x−2)2−7
y+ 7 = (x−2)2
x−2 = py+ 7
x = py+ 7 + 2
f−1
(x) = √x+ 7 + 2
19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f(x) = 2x + 4, g(x) = 2x+ 5
x−4 dan h(x) =
g◦f−1(x) dengan f−1 adalah fungsi invers dari f dan h−1 adalah invers dari h. Rumus fungsi h−1(x) adalah ....
Jawab :
f(x) = 2x+ 4
y = 2x+ 4
2x = y−4
x = y−4 2
f−1(x) = x−4
2
g◦f−1
(x) = g f−1(x)
= 2
x−4 2
+ 5
x−4 2
−4
= x−4 + 5
x−4
2 −
8 2
= xx+ 1 −12
2
h(x) = 2x+ 2
y = 2x+ 2
x−12
xy−12y = 2x+ 2
xy−2x = 12y+ 2
x(y−2) = 12y+ 2
x = 12y+ 2
y−2
h−1(x) = 12x+ 2 x−2
20. Fungsif :R→Rdang:R→Rditentukan olehf(x) =x+ 2dang(x) = 2x. Jumlah akar-akar persamaan (g◦f) x2
−24x
= 0 adalah .... Jawab :
(g◦f) (x) = g(f(x))
= 2 (x+ 2)
(g◦f) (x) = 2x+ 4
y = 2x+ 4
2x = y−4
x = y−4 2
(g◦f)−1
(x) = x−4 2
(g◦f)−1 x2
−24x
= x
2
−24x
−4 2
0 = x
2
−24x−4 2
x2−24x−4 = 0
Berdasarkan teorema Vieta diperoleh
x1+x2 = −
b a
= −(−24) 1 = 24
(f ◦g) (x) = x2+ 6x+ 7
f(g(x)) = x2+ 6x+ 7
g(x) + 3 = x2+ 6x+ 7
g(x) = x2+ 6x+ 4
g(−1) = 1−6 + 4
g(−1) = −1
24. Diberikan fungsif :R→Rdang:R→Rditentukan olehg(x) =x2−3x+ 1. Jika(f◦g) (x) = 2x2
−6x−1 makaf(x) =.... Jawab :
f(g(x)) = 2x2−6x−1
f x2−3x+ 1
= 2x2−6x−1
Misalkan
y = x2−3x+ 1
y = (x−1,5) (x−1,5)−1,25
y = (x−1,5)2−1,25
y+ 1,25 = (x−1,5)2
p
y+ 1,25 = x−1,5
x = py+ 1,25 + 1,5
f(y) = 2p
y+ 1,25 + 1,52−6p
y+ 1,25 + 1,5−1
= 2y+ 1,25 + 3py+ 1,25 + 2,25−6py+ 1,25 + 1,5−1
= 2y+ 2,5 + 6py+ 1,25 + 4,5−6py+ 1,25−9−1
= 2y+ 7−9−1
f(y) = 2y−3
f(x) = 2x−3
25. Suatu pemetaanf :R→Rdengan(g◦f) (x) = 2x2
26. Jika fungsi f dang adalah f :x→2x23 dang:x→x 2
3 maka g◦f−1 √2 adalah .... Jawab :
f(x) = 2x23
y = 2x23
y3 = 2x2 x2 = y
3
2
x =
r
y3
2
f−1(x) =
r
x3
2
g◦f−1
(x) = g f−1
(x)
=
r
x3
2
!23
=
x3
2
1 2
!
2 3
=
x3
2
1 3
g◦f−1
(x) = x 213 g◦f−1
(x) = x·2−13
g◦f−1√
2 = 212 ·2− 1 3
= 212− 1 3
g◦f−1√
2 = 216
27. Dari fungsi f dan g diketahuif(x) = 2x2+ 3x−5 dan g(x) = 3x−2. Agar (g◦f) (a) =−11
(g◦f) (x) = g(f(x))
= 3 2x2+ 3x−5
−2 = 6x2+ 9x−15−2 = 6x2+ 9x−17 (g◦f) (a) = 6a2+ 9a−17 −11 = 6a2+ 9a−17 6a2+ 9a−6 = 0
2a2+ 3a−2 = 0 (2a−1) (a+ 2) = 0
a= 1
2 atau a=−2
Jadia positif adalaha= 1 2
28. Diketahui f(x) = 1−x
x untuk setiap bilangan Realx6= 1. Jika g:R→Radalah suatu fungsi sehingga(g◦f) (x) =g(f(x)) = 2x+ 1maka fungsi invers g−1(x) =....
Jawab :
(g◦f) (x) = 2x+ 1
g(f(x)) = 2x+ 1
f
1−x x
= 2x+ 2
Misalkan
t = 1−x
x tx = 1−x
tx+x = 1
x(t+ 1) = 1
x = 1
g(t) = 2
1
t+ 1
+ 1
= 2
t+ 1+
t+ 1
t+ 1
= t+ 3
t+ 1
g(x) = x+ 3
x+ 1
y = x+ 3
x+ 1
xy+y = x+ 3
x−xy = y−3
x(1−y) = y−3
x = y−3 1−y
g−1(x) = x−3
1−x, x6= 1
29. Jikaf(x) = 1
x+ 1 dan g(x) = 2
3−x, x6= 3 maka(f ◦g) −1
(x) =... Jawab :
(f◦g) (x) = f(g(x))
= 1
2 3−x + 1
= 1
2 3−x +
(3−x) 3−x
= 5 1
−x
3−x
(f◦g) (x) = 3−x 5−x
y = 3−x 5−x
5y−xy = 3−x
5y−3 = xy−x
5y−3 = x(y−1)
x = 5y−3
y−1
(f◦g)−1
(x) = 5x−3
x−1 , x6= 1
30. Jikaf(x) =√x, x≥0,dan g(x) = x
g−1(x) = 3
6x− 15
3
y = 3 6x−
15 3
y = 3x−30 6 6y = 3x−30
3x = 6y+ 30
x = 6y+ 30 3
x = 2y+ 10
g(x) = 2x+ 10
Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih
Minakarya, 9 Maret 2014
Penulis
