SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI

INVERS FUNGSI

Fendi Alfi Fauzi∗

16 April 2014

1. Jikaf(x) =px,pkonstanta positif, maka f x

2_+x f(x+ 1) =· · · · Jawab: f(x) = px f x2+x = px2+x f(x+ 1) = px+1 f x2+x f(x+ 1) = px2+x px+1 = p x2 ·px px_·p = p x2 p = px2 ·p−1 f x2+x f(x+ 1) = p (x2₋₁₎

Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p(x2−1). Karena f(x) = px maka f x

2_+x f(x+ 1) = f x2−1 2. Fungsi f(x) = r x2−2x+ 1 16−x2 terdefenisi untuk ... Jawab: Fungsi f(x) = r x2−2x+ 1 16−x2 terdefenisi jika x2−2x+ 1

16−x2 ≥0. Perhatikan pada bagian

pembi-lang yaitu x2 −2x+ 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x−1)2. Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16−x2 >0. Perlu diketa-hui juga bahwa x

2_{−2x+ 1}

16−x2 tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan

menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada

Jadi disimpulkan bahwa Fungsi f(x) = x

2_{−2x+ 1}

16−x2 terdefenisi pada−4< x <4

3. Jika fungsi f di defenisikan sebagaif(x) = 2x maka nilai

f(x+ 3) f(x−1) 2 =... Jawab : Diketahui : f(x) = 2x ,f(x+ 3) = 2x+3 dan f(x−1) = 2x−1. f(x+ 3) f(x−1) = 2x+3 2x−1 f(x+ 3) f(x−1) 2 = 2x+3 2x−1 2 = 2 2x+6 22x−2 = 2 2x_·26 22x_·(2)−2 = 2 6 2−2 = 26·22 = 64×4 f(x+ 3) f(x−1) 2 = 256 4. Jikaf(x) =−x+ 3makaf x2+f2(x)−2f(x) =... Jawab : f(x) =−x+ 3 f x2=−x2+ 3 f2(x) = (−x+ 3) (−x+ 3) =x2−6x+ 9 2f(x) =−2x+ 6 f x2+f2(x)−2f(x) = −x2+ 3 +x2−6x+ 9−(−2x+ 6) = −6x+ 12 + 2x−6 = −4x+ 6

5. Diketahuif(x+ 1) =x2−1 dan g(x) = 2x maka(g◦f) (x) =... Jawab :

Diketahuif(x+ 1) =x2_{−1. Kita misalkant=x+ 1→x=t−1sehingga}

(g◦f) (x) = g(f(x)) = 2 x2−2x = 2x2−4x 6. Jikaf(x) =x3+ 2dang(x) = 2 x−1 :x6= 1 maka(g◦f) (x) adalah ... Jawab : (g◦f) (x) = g(f(x)) = 2 x3_{+ 2−1} (g◦f) (x) = 2 x3_{+ 1} 7. Jikaf(x) = 2x x2₋₄ dan g(x) = √ 2xmaka(f◦g) (x) adalah ... Jawab : (f◦g) (x) = f(g(x)) = 2 √ 2x √ 2x2−4 = 2 √ 2x 2x−4 = 2 √ 2x 2 (x−2) (f◦g) (x) = √ 2x x−2 8. Jikaf(x) =−4x dan f(g(x)) =−x 2 + 1makag(x) =... Jawab : f(g(x)) = −x 2 + 1 −4 (g(x)) = −x 2 + 1 g(x) = − x 2 + 1 −4 = − x+2 2 −4 = −x+ 2 2 × 1 −4 = −1 8(−x+ 2) g(x) = 1 8(x−2) 2x−3

(f◦g) (x) = 2x−3 x+ 4 f(g(x)) = 2x−3 x+ 4 f(1−x) = 2x−3 x+ 4

Misalkan u= 1−x makax= 1−u sehingga

f(u) = 2 (1−u)−3 (1−u) + 4 = 2−2u−3 5−u f(u) = −2u−1 5−u f(x) = −2x−1 5−x

10. Fungsi f :R→Rdan g :R→R dinyatakan olehf(x) =x+ 2 dan (g◦f) (x) = 2x2+ 4x+ 1 makag(2x) =...

Jawab :

(g◦f) (x) = 2x2+ 4x+ 1

g(f(x)) = 2x2+ 4x+ 1

g(x+ 2) = 2x2+ 4x+ 1

Misalkan x+ 2 =y makax=y−2sehingga

g(y) = 2 (y−2)2+ 4 (y−2) + 1 = 2 y2−4x+ 4 + 4y−8 + 1 = 2y2−8y+ 8 + 4y−8 + 1 g(y) = 2y2−4y+ 1 g(x) = 2x2−4x+ 1 g(2x) = 2 (2x)2−4 (2x) + 1 = 2 4x2−8x+ 1 g(2x) = 8x2−8x+ 1 11. Bilaf(x) = x+ 2

3−x denganx6= 3 maka invers darif(x) adalahf

Jawab: f(x) = x+ 2 3−x y = x+ 2 3−x 3y−xy = x+ 2 3y−2 = x+xy 3y−2 = x(1 +y) x = 3y−2 1 +y f−1(x) = 3x−2 1 +x , x6=−1 12. Invers darif(x) = 1−x3 1 5 _{+ 2adalah....} Jawab: f(x) = 1−x31₅ + 2 y = 1−x31₅ + 2 y−2 = 1−x31₅ (y−2)5 = 1−x3 x3 = 1−(y−2)5 x = 3 q 1−(y−2)5 x = 1−(y−2)5 1₃ f−1(x) = 1−(x−2)5 1 3 13. Jikaf(x) = 3x−1 makaf−1(81) =...

f(x) = 3x−1 y = 3x−1 y = 3x·3−1 y = 3x·1 3 3y = 3x x = 3log (3y) f−1(x) = 3log (3x) f−1(81) = 3log (3·81) = 3log (243) = 3log 35 = 5·3log 3 = 5×1 f−1(81) = 5

14. Fungsi f :R→ Rdan g:R→ Rdirumuskan dengan f(x) = 1

2x−1 dan g(x) = 2x+ 4maka (g◦f)−1(10) adalah .... Jawab : (g◦f) (x) = g(f(x)) = 2 1 2x−1 + 4 = x−2 + 4 = x+ 2 (g◦f) (x) = y y = x+ 2 x = y−2 (g◦f)−1(x) = x−2 (g◦f)−1(10) = 10−2 = 8 15. Jikaf−1(x) = x−1 5 dan g −1_{(x) =} 3−x 2 maka(f ◦g) −1 (6) =....

Jawab: (f◦g)−1(x) = f−1◦g−1(x) = 3−x 2 −1 5 = 3−x 2 −2 2 5 = 1−x 2 5 (f◦g)−1(x) = 1−x 10 (f◦g)−1(6) = 1−6 10 = −5 10 = −1 2 16. Jikaf(x) = 1 x−1 dan g(x) =x−2 maka(g◦f) −1 (x)= ... Jawab : (g◦f) (x) = g(f(x)) = 1 x−1 −2 = 1 x−1 − 2 (x−1) x−1 = 1 x−1 − 2x+ 2 x−1 (g◦f) (x) = −2x+ 3 x−1 (g◦f) (x) = y y = −2x+ 3 x−1 xy−y = −2x+ 3 xy+ 2x = y+ 3 x(y+ 2) = y+ 3 x = y+ 3 y+ 2 (g◦f)−1(x) = x+ 3 x+ 2, x6=−2

17. Diketahuif(x) =5 logx dan g(x) = x+ 3

3x−4 maka(f◦g)

(f ◦g) (x) = f(g(x)) (f ◦g) (x) = 5log x+ 3 3x−4 (f ◦g) (x) = y y = 5log x+ 3 3x−4 5y = x+ 3 3x−4 3x·5y−4·5y = x+ 3 3x·5y−x = 4·5y+ 3 x(3·5y−1) = 4·5y+ 3 x = 4·5 y_{+ 3} 3·5y₋₁ (f ◦g)−1(x) = 4·5 x_{+ 3} 3·5x₋₁

18. Jika(f ◦g) (x) = 4x2+ 8x−3 dang(x) = 2x+ 4makaf−1(x) =... Jawab : (f ◦g) (x) = f(g(x)) f(g(x)) = 4x2+ 8x−3 f(2x+ 4) = 4x2+ 8x−3 Misalkan u= 2x+ 4maka2x=u−4⇒x= u−4 2 f(u) = 4 u−4 2 2 + 8 u−4 2 −3 = 4 1 4 u 2_{−8u+ 16} + 4u−16−3 = u2−8u+ 16 + 4u−16−3 = u2−4u−3 f(x) = x2−4x−3

Misalkan f(x) =y maka y = x2−4x−3 y = x2−4x+ 4−7 y = (x−2)2−7 y+ 7 = (x−2)2 x−2 = py+ 7 x = py+ 7 + 2 f−1(x) = √x+ 7 + 2

19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f(x) = 2x + 4, g(x) = 2x+ 5

x−4 dan h(x) =

g◦f−1(x) dengan f−1 adalah fungsi invers dari f dan h−1 adalah invers dari h. Rumus fungsi h−1(x) adalah .... Jawab : f(x) = 2x+ 4 y = 2x+ 4 2x = y−4 x = y−4 2 f−1(x) = x−4 2 g◦f−1(x) = g f−1(x) = 2 x−4 2 + 5 x−4 2 −4 = x−4 + 5 x−4 2 − 8 2 = _xx₋+ 1₁₂ 2 h(x) = 2x+ 2 x−12

y = 2x+ 2 x−12 xy−12y = 2x+ 2 xy−2x = 12y+ 2 x(y−2) = 12y+ 2 x = 12y+ 2 y−2 h−1(x) = 12x+ 2 x−2

20. Fungsif :R→Rdang:R→Rditentukan olehf(x) =x+ 2dang(x) = 2x. Jumlah akar-akar persamaan (g◦f) x2−24x = 0 adalah .... Jawab : (g◦f) (x) = g(f(x)) = 2 (x+ 2) (g◦f) (x) = 2x+ 4 y = 2x+ 4 2x = y−4 x = y−4 2 (g◦f)−1(x) = x−4 2 (g◦f)−1 x2−24x = x 2_−24x −4 2 0 = x 2_−24x−4 2 x2−24x−4 = 0

Berdasarkan teorema Vieta diperoleh

x1+x2 = − b a = −(−24) 1 = 24

f(g(x)) = 2 (3x+ 120) +p = 6x+ 240 +p Karenag(f(x)) =f(g(x))maka 6x+ 3p+ 120 = 6x+ 240 +p 2p = 120 p = 60 22. Jikaf(3 + 2x) = 4−2x+x2, maka f(1) =... Jawab : Diketahui : f(3 + 2x) = 4−2x+x2. Misalkan y = 3 + 2x x = y−3 2 f(y) = 4−2 y−3 2 + y−3 2 2 = 4−y+ 3 +1 4 y 2_{−6y+ 9} = 7−y+y 2 4 − 6y 4 + 9 4 = 28 4 − 4y 4 + y2 4 − 6y 4 + 9 4 = y 2 4 − 10y 4 + 37 4 f(x) = x 2 4 − 10x 4 + 37 4 f(1) = 1 4 − 10 4 + 37 4 = 28 4 f(1) = 7

23. Dari fungsif :R→Rdang:R→Rdiketahui bahwaf(x) =x+ 3dan(f ◦g) (x) =x2+ 6x+ 7 makag(−1) =. ....

(f ◦g) (x) = x2+ 6x+ 7 f(g(x)) = x2+ 6x+ 7 g(x) + 3 = x2+ 6x+ 7 g(x) = x2+ 6x+ 4 g(−1) = 1−6 + 4 g(−1) = −1

24. Diberikan fungsif :R→Rdang:R→Rditentukan olehg(x) =x2−3x+ 1. Jika(f◦g) (x) =

2x2−6x−1 makaf(x) =.... Jawab : f(g(x)) = 2x2−6x−1 f x2−3x+ 1 = 2x2−6x−1 Misalkan y = x2−3x+ 1 y = (x−1,5) (x−1,5)−1,25 y = (x−1,5)2−1,25 y+ 1,25 = (x−1,5)2 p y+ 1,25 = x−1,5 x = py+ 1,25 + 1,5 f(y) = 2py+ 1,25 + 1,52−6py+ 1,25 + 1,5−1 = 2 y+ 1,25 + 3py+ 1,25 + 2,25 −6 _p y+ 1,25 + 1,5 −1 = 2y+ 2,5 + 6py+ 1,25 + 4,5−6py+ 1,25−9−1 = 2y+ 7−9−1 f(y) = 2y−3 f(x) = 2x−3

25. Suatu pemetaanf :R→Rdengan(g◦f) (x) = 2x2+ 4x+ 5dang(x) = 2x+ 3makaf(x) =... Jawab :

26. Jika fungsi f dang adalah f :x→2x23 dang:x→x 2 3 maka g◦f−1 √ 2 adalah .... Jawab : f(x) = 2x23 y = 2x23 y3 = 2x2 x2 = y 3 2 x = r y3 2 f−1(x) = r x3 2 g◦f−1 (x) = g f−1(x) = r x3 2 !2 3 = x3 2 1₂! 2 3 = x3 2 1₃ g◦f−1 (x) = x 213 g◦f−1 (x) = x·2−13 g◦f−1√ 2 = 212 ·2− 1 3 = 212− 1 3 g◦f−1√ 2 = 216

27. Dari fungsi f dan g diketahuif(x) = 2x2+ 3x−5 dan g(x) = 3x−2. Agar (g◦f) (a) =−11

(g◦f) (x) = g(f(x)) = 3 2x2+ 3x−5 −2 = 6x2+ 9x−15−2 = 6x2+ 9x−17 (g◦f) (a) = 6a2+ 9a−17 −11 = 6a2+ 9a−17 6a2+ 9a−6 = 0 2a2+ 3a−2 = 0 (2a−1) (a+ 2) = 0 a= 1 2 atau a=−2

Jadia positif adalaha= 1 2

28. Diketahui f(x) = 1−x

x untuk setiap bilangan Realx6= 1. Jika g:R→Radalah suatu fungsi sehingga(g◦f) (x) =g(f(x)) = 2x+ 1maka fungsi invers g−1(x) =....

Jawab : (g◦f) (x) = 2x+ 1 g(f(x)) = 2x+ 1 f 1−x x = 2x+ 2 Misalkan t = 1−x x tx = 1−x tx+x = 1 x(t+ 1) = 1 x = 1 t+ 1

g(t) = 2 1 t+ 1 + 1 = 2 t+ 1+ t+ 1 t+ 1 = t+ 3 t+ 1 g(x) = x+ 3 x+ 1 y = x+ 3 x+ 1 xy+y = x+ 3 x−xy = y−3 x(1−y) = y−3 x = y−3 1−y g−1(x) = x−3 1−x, x6= 1 29. Jikaf(x) = 1 x+ 1 dan g(x) = 2 3−x, x6= 3 maka(f ◦g) −1 (x) =... Jawab : (f◦g) (x) = f(g(x)) = 1 2 3−x + 1 = 1 2 3−x + (3−x) 3−x = ₅₋1 _x 3−x (f◦g) (x) = 3−x 5−x y = 3−x 5−x 5y−xy = 3−x 5y−3 = xy−x 5y−3 = x(y−1) x = 5y−3 y−1 (f◦g)−1(x) = 5x−3 x−1 , x6= 1 30. Jikaf(x) =√x, x≥0,dan g(x) = x x+ 1, x6= 1 maka(g◦f) (2) =...

(g◦f) (x) = g(f(x)) (g◦f) (x) = √ x √ x+ 1 y = √ x √ x+ 1 y√x+y = √x √ x−y√x = y √ x(1−y) = y √ x = y 1−y √ x2 = y 1−y 2 x = y 1−y 2 (g◦f)−1(x) = x 1−x 2 (g◦f)−1(2) = 2 1−2 2 = (−2)2 (g◦f)−1(2) = 4

31. Diberikan fungsi f :R→ Rdan g:R→ Rditentukan oleh f(x) =x3 dan g(x) = 3x−4. Jika a= g−1◦f−1(8)maka nilai dari f−1◦g−1(10a) adalah ....

Jawab : g(x) = 3x−4 y = 3x−4 x = y+ 4 3 g−1(x) = x+ 4 3 f(x) = x3 y = x3 x = √3_y f−1(x) = √3_x

g−1◦f−1 (x) = g−1 f−1(x) g−1◦f−1 (x) = 3 √ x+ 4 3 g−1◦f−1 (8) = 3 √ 8 + 4 3 a = 2 + 4 3 a = 2 f−1◦g−1(x) = f−1 g−1(x) = 3 r x+ 4 3 f−1◦g−1(10a) = 3 r 10a+ 4 3 = 3 r 10 (2) + 4 3 = 3 r 20 + 4 3 = √38 f−1◦g−1(10a) = 2

32. Fungsif :R→Rditentukan olehf(x) = 3x−1dang:R→Rmemenuhi(f ◦g)−1(x) = 1

6x− 4 3 makag(x) =.... Jawab : f(x) = 3x−1 y = 3x−1 x = y+ 1 3 f−1(x) = x+ 1 3 (f◦g)−1(x) = f−1 g−1(x) g−1(x)+ 1 3 = 1 6x− 4 3 g−1(x)+ 1 = 3 6x− 12 3 g−1(x) = 3 6x− 12 3 −1 g−1(x) = 3 6x− 15 3

g−1(x) = 3 6x− 15 3 y = 3 6x− 15 3 y = 3x−30 6 6y = 3x−30 3x = 6y+ 30 x = 6y+ 30 3 x = 2y+ 10 g(x) = 2x+ 10

Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian. Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat blog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepas dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih

Minakarya, 9 Maret 2014

Penulis