PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact)

Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti atau total adalah :

𝑑𝑢 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢

𝜕𝑦 𝑑𝑦

Dari turunan total ini mengatakan jika u(x,y) = c = kontan, maka du = 0.

Untuk contoh, jika 𝑢 = 𝑥 + 𝑥²𝑦³= 𝑐, maka

𝑑𝑢 = 1 + 2𝑥𝑦³ 𝑑𝑥 + 3𝑥²𝑦²𝑑𝑦 = 0 Atau

𝑦^′= − 1 + 2𝑥𝑦³ 3𝑥²𝑦²

Suatu persamaan differensial yang mana kita dapat menyelesaikannya dengan bergerak kebelakang.

Suatu persamaan differensial orde satu dengan bentuk : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1)

Dikatakan pasti jika sisi sebelah kirinya adalah turunan total atau yang bersifat pasti:

𝑑𝑢 = ^𝜕𝑢_𝜕𝑥𝑑𝑥 + ^𝜕𝑢_𝜕𝑦 𝑑𝑦 (2) Dari beberapa fungsi u(x,y). Maka PD dapat ditulis

du = 0

Lanjutan

Dengan integrasi, kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum dalam bentuk :

u(x,y) = c (3)

Dengan membandingkan 2 persamaan diatas ((1) dan (2)), kita melihat bahwa persamaan (1) bersifat pasti jika ada beberapa fungsi u(x,y) sehingga :

𝜕𝑢

𝜕𝑥 = 𝑀, 𝑎 ^𝜕𝑢_𝜕𝑦 = 𝑁 (b) (4)

Seandainya bahwa M dan N terdefinisi dan turunan pertama

parsial yang bersifat kontinyu dalam suatu daerah bidang x-y yang mana mempunyai batas suatu kurva tertutup tidak mempunyai perpotongan.

Lanjutan

Maka daripersamaan (4):

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 𝜕²𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕𝑁

𝜕𝑥 = 𝜕²𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦

Dengan asumsi kekontinuan dua turunan keduanya adalah sama :

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁_𝜕𝑥 (5)

Kondisi ini sifatnya tidak hanya perlu tetapi juga mencukupi untuk Mdx + Ndy untuk menjadi turunan yang sifatnya pasti.

Jika persamaan (1) sifatnya adalah pasti, fungsi u(x,y) dapat diperoleh dengan menduga atau dalam dalam cara yang sistematik berikut :

Dari (4.a) dengan mengintegrasikan thd x kita mempunyai : u(x,y)= 𝑀𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦) (6)

Lanjutan

Dalam integrasi ini, y dipandang sebagai suatu konstanta k(y) menentukan nilai konstanta dari proses integrasi.

Untuk menentukan k(y), kita menurunkan ^𝜕𝑢_𝜕𝑦 dari persamaan (6) menggunakan persamaan (4.b) untuk mendapatkan dk/dy, dan mengintegrasikan dk/dy untuk mendapatkan k.

Formula (6) telah diperoleh dari (4.b). Kemudian menggantikan (6) kita mempunyai :

u(x,y)= 𝑁𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥) (6*)

Untuk menentukan l(x) kita menurunkan ^𝜕𝑢_𝜕𝑥 dari (6*), menggunakan (4.a) untuk mendapatkan dl/dx, dan mengintegrasikan.

Contoh

Selesaikan :

𝑥³+ 3𝑥𝑦² 𝑑𝑥 + 3𝑥²𝑦 + 𝑦³ 𝑑𝑦 = 0 (7) Penyelesaian :

Tahap 1. menguji untuk kepastian.

Persamaan tersebut adalah dalam bentuk persamaan (1) dengan : 𝑀 = 𝑥³+ 3𝑥𝑦², 𝑁 = 3𝑥²𝑦 + 𝑦³ maka

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 6𝑥𝑦,𝜕𝑁

𝜕𝑥 = 6𝑥𝑦

Dari persamaan ini dan persamaan (5), kita melihat bahwa persamaan (7) bersifat pasti

Lanjutan

Tahap 2. Penyelesaian implisit.

Dari persamaan (6):

𝑢 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = 𝑥³+ 3𝑥𝑦² 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 =¹₄𝑥⁴+ ³₂𝑥²𝑦²+ 𝑘(𝑦) (8) Untuk mendapatkan k(y), kita menurunkan formula ini terhadap y dan dengan menggunakan formula (4.b), mendapatkan :

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 3𝑥²𝑦 + 𝑑𝑘

𝑑𝑦= 𝑁 = 3𝑥²𝑦 + 𝑦³

Maka dk/dy = 𝑦³, sehingga 𝑘 = ^𝑦₄⁴ + 𝑐 . Dengan menyisipkan nilai dalam persamaan (8)

𝑢 𝑥, 𝑦 = 1

4 𝑥⁴+ 6𝑥²𝑦²+ 𝑦⁴ + 𝑐

Lanjutan

Tahap 3. Pengujian.

Perlu diingat bahwa metoda ini memberikan solusi dalam bentuk implisit, u(x,y)

= c, tidak dalam bentuk explisit, y = f(x). Untuk menguji, kita dapat menurunkan u(x,y)=c secara implisit dan melihat apakah penurunan ini menghasilkan

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = −_𝑁 ^𝑀 atau 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 = 0.

Dalam kasus ini, dengan mendifferensiasikan persamaan (9) secara implisit terhadap x, kita mendapatkan :

1

4 4𝑥³+ 12𝑥𝑦²+ 12𝑥²𝑦𝑦^′+ 4𝑦³𝑦′ = 0

Dengan mengelompokan komponen-komponennya, kita melihat bahwa ini sama dengan M + Ny’ = 0 dengan M dan N seperti pada persamaan (7)

Contoh

Selesaikan PDB berikut

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⁽¹⁰⁾

IC : y(0) = 0 Penyelesaian :

Kita dapat memverifikasikan bahwa persamaan adalah bersifat pasti. Dari persamaan (6), kita mendapatkan :

𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 + 𝑘 𝑦 .

Dari hasil ini, ^𝜕𝑢_𝜕𝑦= −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 +^𝑑𝑘_𝑑𝑦. .

Lanjutan

Maka dk/dy = 0, dan k = konstanta. Penyelesaian umum adalah :

u = konstanta, yang mana, cosxcoshy = c. Kondisi awal memberikan cos0 cosh0 =1 = c.

Maka jawabnya adalah y = 1 Pengujian.

(cosx coshy)’ = -sinx coshy + cosx (sinhy)y’ = 0 yang mana memberikan persamaan (10)

d. Metoda Faktor Pengintegrasi

Kadang-kadang mempunyai suatu persamaan : 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1)

Yang sifatnya tidak pasti, tetapi jika mengalikannya dengan suatu fungsi yang sesuai F(x,y), persamaan baru

FPdx + FQdy =0 (2)

Adalah bersifat pasti,  dapat diselesaikan dengan metoda sebelumnya.

Fungsi F(x,y) disebut dengan faktor pengintegrasi dari persamaan (1)

Lanjutan

Contoh 1.

Tunjukan bahwa PDB : ydx – xdy = 0 adalah tidak bersifat pasti, tetapi mempunyai faktor pengintegrasi, dengan nama 𝐹 = _𝑥¹₂. Kita mendapatkan persamaan yang bersifat pasti.

FP dx + FQ dy = ^{𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦}

𝑥² = −𝑑 ^𝑦

𝑥 = 0 Penyelesaiannya adalah : ^𝑦

𝑥 = 𝑐

Lanjutan

Fungsi adalah fungsi garis lurus y = cx melalui titik (0,0).

Faktor-faktor pengintegrasi yang lain adalah : ¹

𝑦² ,_𝑥𝑦¹ , _{𝑥2+ 𝑦}¹ ₂ karena

𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦

𝑦² = 𝑑 𝑥 𝑦 ,

𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦

𝑥𝑦 = 𝑑 𝑙𝑛^𝑥_𝑦 ,

𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦

𝑥²+ 𝑦² = −𝑑 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛^𝑦

𝑥

Lanjutan

Contoh 3.

Verifikasi bahwa𝐹(𝑥) = 𝑥³adalah suatu faktor pengintegrasi dari PDB berikut :

2 𝑠𝑖𝑛 𝑦² dx + xy cos 𝑦² 𝑑𝑦 = 0 Dan kemudian dapatkan penyelesaian umum.

Penyelesaian : Perkalikan dengan𝐹(𝑥) = 𝑥³ memberikan persaman baru :

2 𝑥³𝑠𝑖𝑛 𝑦² dx + 𝑥⁴y cos 𝑦² 𝑑𝑦 = 0

Persamaan ini adalah persamaan yang sifatnya pasti karena :

Lanjutan

• _𝜕𝑦^𝜕 2𝑥³ 𝑠𝑖𝑛 𝑦² = 4𝑥³𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦² = _𝜕𝑥^𝜕 𝑥⁴𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦²

• Kita menyelesaikan persamaan ini dengan metoda exact untuk memperoleh 𝑥⁴ 𝑠𝑖𝑛 𝑦² = 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

Bagaimana Mendapatkan faktor Pengintegrasi

• Dalam kasus-kasus yang lebih sederhana, faktor pengintegrasi dapat diperoleh dengan pemeriksaan atau mungkin setelah beberapa percobaan. Dalam kasus yang umum, idenya adalah sebagaiberikut :

• Persamaan (2) adalah𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝐹𝑃, 𝑁 = 𝐹𝑄 , dan adalah bersifat pasti oleh definisi dari faktor pengintegrasi. Maka kriteria kepastian yang ditulis dalam bab sebelumnya sekarang dapat dituliskan sbb :

Lanjutan

𝜕

𝜕𝑦 𝐹𝑃 = _𝜕𝑥^𝜕 𝐹𝑄 (5)

Yang mana dapat dituliskan :

𝐹_𝑦𝑃 + 𝐹𝑃_𝑦 = 𝐹_𝑥𝑄 + 𝐹𝑄_𝑥

Maka kita melihat bahwa faktor pengitegrasi bergantung hanya pada 1 variabel, bila F = F(x). Maka F_y = 0 dan F_x = F’

= dF/dx, sehingga persamaan (5) menjadi : 𝐹𝑃_𝑦 = 𝐹_𝑥𝑄 + 𝐹𝑄_𝑥

Dengan membaginya dengan FQ kita mendapatkan :

Lanjutan

1 𝐹

𝑑𝐹

𝑑𝑥 = _𝑄^{1 𝜕𝑃}_𝜕𝑦 − ^𝜕𝑄_𝜕𝑥 (6) Teori 1. FaktorPengintegrasi F(x)

Jika persamaan (1) adalah seperti pada sisi kanan dari persamaan (6), menyebutnya R, hanya bergantung pada x, maka persamaan (1) mempunyai suatu faktor pengintegrasi F

= F(x), yang mana diperoleh dengan mengintegrasikan pers (6) dan menjadikan exponen pada kedua sisinya.

lanjutan

𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑥 𝑑𝑥 (7)

Dengan cara yang sama jika F = F(y), maka menggantikan pers (6) kita mendapatkan :

1 𝐹

𝑑𝐹

𝑑𝑦 = _𝑃^{1 𝜕𝑄}_𝜕𝑥 − ^𝜕𝑃_𝜕𝑦 (8)

Teori 2. Faktor Pengintegasi F(y)

Jika persamaan (1) adalah seperti sisi kanan dari persamaan (8) hanya bergantung pada y, maka persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F = F(y), yang mana diperoleh dari persamaan (8) dalam bentuk

Lanjutan

𝐹 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑦 𝑑𝑦 (9)

Contoh 3.

Selesaikan PDB berikut dengan teori 1.

PDB : 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦² dx + xy cos 𝑦² 𝑑𝑦 = 0

Penyelesaian : Kita mempunyai P = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦² ,

Q = xy cos 𝑦² , maka dalam pers (6) pada sisi kanan adalah 𝑅 = 1

xy cos 𝑦^{2 4𝑦 cos 𝑦2 − 𝑦 cos 𝑦2 =} 3 𝑥 Maka : 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 ³_𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥³

Lanjutan

Contoh 4.Aplikasiteori 1 dan 2

Selesaikan PDB dengan kondisi awal berikut : 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 4𝑦 + 3𝑥² 𝑑𝑦 = 0 y(0.2) = -1.5

Penyelesaian : Disini P = 2xy, Q = 4y + 3x², Persamaan adalah tidak bersifat pasti, sisi kanan persamaan (6) bergantung pada x dan y, tetapi sisi kanan dari persamaan (8) adalah :

𝑅 = _2𝑥𝑦¹ 6𝑥 − 2𝑥 = ²_𝑦 maka F(y) = y².

Adalah suatu faktor pengintegrasi persamaan (9)

Lanjutan

• Perkalian dengan y² memberikan persamaan yang bersifat pasti.

2𝑥𝑦³ 𝑑𝑥 + 4𝑦³ + 3𝑥²𝑦² 𝑑𝑦 = 0 Yang mana kita dapat menuliskan sebagai :

4𝑦³ 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦³𝑑𝑥 + 3𝑥²𝑦²𝑑𝑦 = 0

Dan menyelesaikannya dengan pemeriksaan atau dengan metoda dalam bagian sebelumnya untuk mendapatkan 𝑦⁴ + 𝑥²𝑦³ = 𝑐 dari persamaan ini kita memperoleh :

𝑦⁴+ 𝑥²𝑦³ = 4.9275