MODEL PREDATOR-PREY DENGAN DUA KALI PREDASI
REPOSITORY
OLEH
RAHMADANI SAPUTRI NIM. 1503112797
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2020
MODEL PREDATOR-PREY DENGAN DUA KALI PREDASI
Rahmadani Saputri
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the predator-prey model with double predation. This model uses a system of nonlinear differential equation from the classic Lokta-Volterra model by adding one compartment, namely predator level II. The solutions of the model are categorized into three categories which represent a three-plane coordinate system.
The stability analysis is carried out to determine the eigenvalues of the Jacobian matrix system then determine the stability point criteria using the Routh-Hurwitz method. From this, it is obtained that one point is unstable because of the positive eigenvalues and one point is stable with certain conditions.
Keywords: Nonlinear differential equation system, classical Lokta-Volterra model, equilibrium point, Jacobian matrix, Routh-Hurwitz criteria.
ABSTRAK
Artikel ini membahas model predator-prey dengan dua kali predasi. Model ini menggunakan sistem persamaan diferensial nonlinear dari model Lokta-Volterra klasik dengan menambahkan satu kompartemen yaitu predator tingkat II. Solusi dari model dikategorikan menjadi tiga kategori yang mewakili sistem tiga bidang koordinat. Analisis kestabilan dilakukan menetukan nilai eigen dari matriks Jacobian sistem kemudian menentukan kriteria titik kestabilan dengan metode Routh-Hurwitz. Dari sini diperoleh satu titik bersifat tidak stabil karena adanya nilai eigen yang bernilai positif dan satu titik bersifat stabil dengan syarat tertentu.
Kata kunci: Sistem persamaan diferensial nonlinear, model Lokta-Volterra klasik, titik ekuilibrium, matriks Jacobian, kriteria Routh-Hurwitz.
1. PENDAHULUAN
Secara umum, model matematika merupakan usaha untuk menciptakan suatu replika atau tiruan dari suatu peristiwa alam ke dalam bahasa matematika. Proses seperti ini disebut pemodelan secara matematika. Salah satu peristiwa alam yang dapat dimodelkan adalah interaksi antara dua populasi berbeda yang melibatkan predasi (pemangsaan) dalam hal ini dilakukan oleh predator terhadap prey.
Predasi adalah interaksi antar organisme, dimana satu organisme memakan organisme lainnya. Organisme yang memakan disebut predator, sedangkan organisme yang dimakan disebut prey. Hubungan ini sangat erat, sebab tanpa prey, predator tersebut akan berkurang. Model predator-prey merupakan interaksi antara pemangsa dengan mangsa, dimana interaksi tersebut mempengaruhi perkembangan populasi dari prey maupun predator. Jumlah populasi prey akan bertambah jika populasi predator tidak ada, begitu juga sebaliknya jumlah populasi predator bisa bertambah jika jumlah prey banyak dan akan berkurang jika tidak ada lagi prey yang di mangsa. Pertambahan populasi prey dan predator bergantung terhadap waktu.
Model interaksi predator-prey merupakan salah satu model yang telah lama dianalisis secara meluas oleh banyak peneliti. Model interaksi predator-prey pertama kali dikenal sebagai persamaan Lotka-Volterra [3, h. 545] yang ditulis oleh Vito Volterra dan Alfred James Lokta pada pertengahan tahun 1920-an. Asumsi dasar dari model predator-prey Lokta-Volterra klasik adalah setiap populasi mengalami pertumbuhan atau peluruhan secara eksponensial.
Beberapa studi teoritis dan numerik tentang model predator - prey telah di- lakukan diantaranya oleh Venturino [9] membahas penyebaran penyakit di antara prey dan epidemi di antara predasi dengan kejadian aksi. Haque dan Venturino [5]
membahas peran penyakit menular dalam model predator-prey Holling Tanner. Xiao dan Chen [11] membahas tentang analisis model predator-prey dengan penyakit pada populasi prey. Dubey et.al. [4] mempelajari dinamika sistem sumber daya perikanan di lingkungan perairan dengan dua zona panen pada daerah cadangan, Wuhaib dan Hasan [10] mempelajari model predator-prey dengan pemanenan prey yang terinfeksi serta Azar et.al. [2] menunjukkan analisis stabilitas panen pada model predator-prey. Adamu [1] mengembangkan model matematika predator-prey dengan dua kali predasi pada tiga spesies yang terdiri dari prey, predator tingkat I, dan predator tingkat II, sehingga model yang diberikan sebagai berikut:
dx
dt = ax− bxy, dy
dt =−cy + hxy − eyz, dz
dt =−fz + gyz,
dengan diasumsikan bahwa semua variabel bersifat positif dengan kondisi awal x(0) > 0, y(0) > 0 dan z(0) > 0 serta pendefinisian variabel dan parameter berikut x adalah populasi prey terhadap waktu, y adalah populasi predator tingkat I
terhadap waktu, z adalah populasi predator tingkat II terhadap waktu, a adalah tingkat pertumbuhan (kelahiran) prey, b adalah tingkat predasi prey oleh predator tingkat I, c adalah tingkat kematian alami predator tingkat I, h adalah tingkat konversi predator tingkat I terhadap predasi prey, e adalah tingkat predasi predator tingkat I oleh predator tingkat II, f adalah tingkat kematian alami predator tingkat II, dan g adalah tingkat konversi predator tingkat II terhadap predasi predator tingkat I.
Model predator - prey dengan dua kali predasi dapat ditemui dalam rantai makanan sebagai contoh pada rantai makanan tikus - ular - elang. Pada rantai makanan tersebut tikus adalah prey, ular adalah predator tingkat I dan elang sebagai predator tingkat II.
Penulis tertarik membahas lebih lanjut model predator-prey dengan dua kali predasi yang dipelajari kembali dari artikel oleh Adamu [1]. Pada bagian kedua dibahas pembentukan model predator-prey dengan dua kali predasi. Kemudian di- lanjutkan bagian ketiga yaitu titik ekuilibrium dan dibagian keempat ditunjukkan solusi sistem. Kemudian diakhiri kesimpulan.
2. PEMBENTUKAN MODEL PREDATOR-PREY DENGAN DUA KALI PREDASI
Model predator - prey dengan dua kali predasi sedikit berbeda dengan model Lotka-Volterra klasik karena model ini menggabungkan dua model Lotka-Volterra atau model ini menambahkan satu populasi lagi yaitu populasi predator pada tingkat yang lebih tinggi.
Model predator-prey dengan dua kali predasi melibatkan tiga kompartemen, yaitu populasi prey pada waktu t, populasi predator tingkat I pada waktu t dan populasi predator tingkat II pada waktu t. Beberapa asumsi yang digunakan dalam model ini yaitu ketersediaan makanan yang tak terbatas untuk populasi prey;
tanpa adanya predator, populasi prey tumbuh secara eksponensial; pertumbuhan predator tingkat I bergantung pada populasi prey, pertumbuhan predator tingkat II bergantung pada populasi predator tingkat I untuk bertahan hidup; serta adanya kematian alami pada populasi predator.
Proses pemodelan dilakukan berdasarkan skema hubungan kompartemen populasi predator dan prey yang dapat dilihat dari Gambar 1.
Sebelum memodelkan predator - prey dengan dua kali predasi, didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dengan asumsi bahwa semua parameter dan variabel bernilai positif, yaitu
x(t) menyatakan jumlah populasi prey pada saat t,
y(t) menyatakan jumlah populasi predator tingkat I pada saat t, z(t) menyatakan jumlah populasi predator tingkat II pada saat t, a menyatakan laju pertumbuhan (kelahiran) prey,
b menyatakan laju kematian prey akibat dimangsa predator tingkat I, c menyatakan laju kematian alami predator tingkat I,
h menyatakan laju pertumbuhan predator tingkat I karena mengmangsa prey,
Kelahiran alami
Predator tingkat I
Prey
dimangsa
Kematian alami dimangsa
Predator tingkat II
Kematian alami
Gambar 1: Skema hubungan kompartemen untuk model predator-prey dengan dua kali predasi
e menyatakan laju kematian predator tingkat I akibat dimangsa predator tingkat II,
f menyatakan laju kematian alami predator tingkat II,
g menyatakan laju pertumbuhan predator tingkat II karena mengmangsa predator tingkat I.
Berdasarkan definisi dan asumsi, laju perubahan dari masing-masing populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:
(i) Laju perubahan populasi prey (dx/dt) akan bertambah sebesar ax karena adanya kelahiran alami, dan dapat berkurang sebesar bxy dengan adanya interaksi antara prey (x) dan predator tingkat I (y) karena prey (x) akan di- mangsa oleh predator tingkat I (y), sehingga laju perubahan populasi prey
(dx/dt) menjadi dx
dt = ax− bxy. (1)
(ii) Laju perubahan populasi predator tingkat I (dy/dt) dapat berkurang sebesar cy karena adanya kematian alami dari populasi predator tingkat I(y), dan juga dipengaruhi oleh interaksi antara predator tingkat I (y)dengan prey (x), hal ini tentu menambah populasi predator tingkat I (y) sebesar hxy. Populasi predator tingkat I (y) dapat berkurang sebesar eyz dengan adanya interaksi dengan predator tingkat II (z) karena predator tingkat I (y) akan dimangsa oleh predator tingkat II (z), sehingga laju perubahan populasi predator tingkat I (dy/dt) dinyatakan sebagai berikut
dy
dt =−cy + hxy − eyz. (2)
(iii) Laju perubahan populasi predator tingkat II (dz/dt) dapat berkurang sebesar f z karena adanya kematian alami dari populasi predator tingkat II (z) dan juga dipengaruhi oleh interaksi dengan predator tingkat I (y) yang akan menambah populasi predator tingkat II (z) sebesar gyz, sehingga laju perubahan populasi predator tingkat II (dz/dt) dinyatakan oleh
dz
dt =−fz + gyz. (3)
Dengan menggabungkan persamaan (1), (2) dan (3), diperoleh sistem yang menggambarkan model predator-prey dengan dua kali predasi, yaitu
dx
dt = ax− bxy, dy
dt =−cy + hxy − eyz, dz
dt =−fz + gyz.
(4)
3. TITIK EKUILIBRIUM
Berdasarkan Definisi titik ekuilibrium [3, h. 509] untuk sistem persamaan diferensial (4) dapat diperoleh memenuhi
ax− bxy = 0, (5)
−cy + hxy − eyz = 0, (6)
−fz + gyz = 0. (7)
Nilai x, y dan z menyatakan jumlah populasi sehingga nilainya memiliki dua nilai, yaitu bernilai nol atau positif maka terdapat 23 = 8 kemungkinan titik ekuilibrium yaitu (0, 0, 0), (0, 0, z), (0, y, 0), (0, y, z), (x, 0, 0), (x, 0, z), (x, y, 0) dan (x, y, z). Titik ekuilibrium (x, y, z) ditentukan dengan mencari nilai x, y dan z sedemikian hingga persamaan (5), (6) dan (7) terpenuhi.
Semua kemungkinan titik ekuilibrium di substitusikan ke persamaan (5), (6) dan (7), namun hanya dua titik yang memenuhi semua persamaan (5), (6) dan (7) yaitu titik (0, 0, 0) dan titik (c/h, a/b, 0), sehingga sistem (4) memiliki dua titik ekuilibrium yaitu titik asal E1 = (0, 0, 0) , dan titik E2 = (c/h, a/b, 0).
4. SOLUSI SISTEM
Solusi sistem (4) dapat dikategorikan menjadi tiga kategori bidang koordinat yang menggambarkan perilaku dan hubungan prey dengan masing-masing predator.
Kategori I (Bidang x = 0)
Tanpa adanya prey, laju perubahan populasi y terhadap waktu direpresentasikan sebagai dy/dt =−cy − eyz, dengan memisahkan variabel diperoleh
dt = dy
−y(c + ez). (8)
Kemudian mengintegrasikan kedua ruas dari persamaan (8) didapat t + A = ln y
−(c + ez),
ln y = (t + A)(−(c + ez)), (9)
selanjutnya dengan mengeksponenkan kedua ruas pada persamaan (9) diperoleh
y(t) = A1exp(−(c + ez)t), (10)
dengan A1 = exp(A(−c + ez)). Pada persamaan (10) dapat terlihat dengan jelas jika A1 = c = e = z = 1 maka y(t) → 0 ketika t → ∞ yang berarti seiring berjalannya waktu, populasi y akan secara eksponensial berkurang menjadi nol.
Laju perubahan populasi z terhadap waktu dz/dt = −fz+gyz, dengan memisahkan variabel dan mensubstitusikan persamaan (8) diperoleh(
c z + e
) dz =
(f y − g
)
dy. (11)
Kemudian diintegrasikan kedua ruas pada persamaan (11) diperoleh c ln z + ez = f ln y− gy + B,
B = gy + c ln z + ez− f ln y. (12) Gambar 2 merupakan grafik hubungan y dan z ketika x = 0.
1 z(t)
2 3
y(t) 4
5
0 1 2 3 4 5
Gambar 2: Grafik model predator-prey dengan dua kali predasi pada hubungan y dan z ketika x = 0 bidang fase-yz
Bidang x = 0 (tanpa populasi prey) mengakibatkan populasi y akan mati karena tidak adanya prey. Akibatnya, populasi z dibiarkan tanpa sumber makanan dan karenanya juga akan punah. Dengan demikian, tanpa x kedua populasi predator akan mati.
Kategori II (Bidang y = 0)
Tanpa adanya predator tingkat I, sistem (4) direduksi menjadi dx
dt = ax, dz
dt =−fz.
(13)
Oleh karena itu, dari dz/dt = −fz dengan memisahkan variabel diperoleh dz
z =−fdt. (14)
Kemudian persamaan (14) diintegrasikan kedua ruas diperoleh
ln z = −ft + C, (15)
selanjutnya eksponenkan kedua ruas pada persamaan (15) diperoleh
z(t) = C1exp(−ft), (16)
dengan C1 = exp(C). Menggunakan cara yang sama dx/dt = ax diperoleh x(t) = C2exp(at).
Sementara itu dari dz/dt =−fz dan dx/dt = ax diperoleh dz
−fz = dx
ax. (17)
Kemudian integrasikan kedua ruas pada persamaan (17) adalah ln z
−f = ln x a + D, ln z =−f
a ln x + D1, (18)
dengan D1 =−fD. kemudian mengeksponenkan kedua ruas diperoleh z = D2x−f/a,
dengan D2 = exp(D1).Grafik yang mewakili hubungan antara populasi x dan z ketika y = 0, ditunjukkan pada Gambar 3.
0.5 z(t) 1.5 2 1
x(t) 2.5
3
10 20 30 40
0
Gambar 3: Grafik model predator-prey dengan dua kali predasi pada bidang fase-xz Pada Gambar 3 terlihat bahwa populasi x akan tumbuh secara eksponensial dengan tidak adanya y, tahap ini adalah yang terbaik untuk populasi x karena bebas dari predasi, sedangkan populasi z dibiarkan tanpa sumber makanan dan menjadi punah yang mengisyaratkan tidak adanya interaksi antara x dan z.
Kategori III (Bidang z = 0)
Ketika z = 0, sistem (4) direduksi ke Lotka-Volterra klasik yang direpresentasikan
sebagai dx
dt = x(a− by), dy
dt = y(−c + hx).
(19)
Hubungan antara kedua spesies dapat diperoleh dengan mengevaluasi integral populasi menggunakan metode pemisahan variabel
dx
dt = x(a− by), dx
x = (a− by)dt,
∫ dx x =
∫
(a− by)dt, ln x = (a− by)t + E, x(t) = E1exp((a− by)t),
ketika a = b = E1 = y = 1 maka x(t)→ ∞ saat t → ∞ yang artinya populasi prey meningkat seiring waktu.
Kemudian, untuk populasi predator tingkat I diperoleh dengan cara yang sama y(t) = F exp((−c + hx)t), ketika c = h = F = x = 1 maka y(t) → ∞ saat t → ∞ yang artinya populasi predator tingkat I meningkat seiring waktu. Sementara itu dari dx/dt = x(a− by) dan dy/dt = y(−c + hx) diperoleh
(a− by)dy
y = (−c + hx)dx
x ,
(a y − b
) dy =
(−c x + h
)
dx. (20)
Kemudian persamaan (20) diintegralkan kedua ruas diperoleh
∫ y
y0
(a
y − b)dy =
∫ x
x0
(−c
x + h)dx, a ln y− by|yy0 =−c ln x + hx|xx0, a ln y
y0 − b(y − y0) = −c ln x
x0 + h(x− x0).
Penyelesaian x0 dan y0 adalah x0 = c/h dan y0 = a/b. Solusi ini bersifat periodik untuk x0, y0 > 0 dann menunjukkan bahwa titik ekuilibriumnya adalah (c/h, a/b, 0).
Grafik yang mewakili hubungan antara populasi x dan y ketika z = 0, di- tunjukkan pada Gambar 4.
2.0
0.4 y(t) 1.2 0.8 1.6
1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1.0
0.8 0.6
0.4 x(t)
Gambar 4: Grafik model predator-prey dengan dua kali predasi pada bidang fase-xy
Gambar 4 menunjukkan adanya interaksi antara kedua populasi yaitu hubungan antara x dan y berbanding lurus. Dengan demikian peningkatan populasi prey (x) juga akan meningkatkan populasi predator tingkat I (y) dan sebaliknya.
5. ANALISIS KESTABILAN
Pada bagian ini dilakukan analisis kestabilan dari sistem (4) dengan menentukan matriks Jacobian dari sistem dan nilai eigen dari matriks Jacobian kemudian menentukan kestabilan dengan Kriteria Routh-Hurwitz.
Berdasarkan Definisi matriks Jacobian [8, h. 101] dari sistem persamaan (4) yaitu
J (x, y, z) =
a− by −bx 0
hy −c + hx − ez −ey
0 gz −f + gy
. (21)
Titik ekuilibrium pertama E1 = (0, 0, 0) menghasilkan matriks Jacobian J (0, 0, 0) yaitu
J (0, 0, 0) =
a 0 0
0 −c 0
0 0 −f
. (22)
Persamaan karakteristik dari persamaan (22) diperoleh dengan cara det(J (0, 0, 0)− λI) = 0,
det
a− λ 0 0
0 −c − λ 0
0 0 −f − λ
= 0,
(a− λ)(−c − λ)(−f − λ) = 0, sehingga diperoleh nilai eigen [6, h. 422]
λ1 = a > 0, λ2 =−c < 0, λ3 =−f < 0.
Berdasarkan Kriteria Routh-Hurwitz[7, h. 35], sistem (4) disekitar titik E1 tidak stabil karena terdapat nilai eigen λ1 = a > 0. Namun, ketidakstabilan disekitar titik E1 jelas karena asumsi pertumbuhan tak terbatas populasi prey tanpa adanya predator. Selain itu, titik ini kurang menarik karena pada kenyataannya, tidak ada populasi di (0, 0, 0) yang menunjukkan bahwa ketiga pupolasi tidak ada sepenuhnya.
Selanjutnya dari persamaan (21) dengan titik ekuilibrium E2 = (c/h, a/b, 0) diperoleh bentuk matriks Jacobian sebagai berikut:
J (c/h, a/b, 0) =
0 −bc
h 0
ah
b 0 −ae
b
0 0 −f + ag
b
. (23)
Persamaan karakteristik dari persamaan (23) diperoleh (
− f + ag b − λ
)(
(−λ)(−λ) − (
− bc h
)(ah b
))
= 0, (
− f + ag b − λ
)
(λ2+ ac) = 0,
yang dipenuhi oleh
λ1 =−f +ag
b , λ2 = i√
ac, λ3 =−i√ ac.
Nilai λ1 ;dapat bernilai positif, negatif atau bahkan nol tergantung pada nilai konstanta yang diberikan. Jika λ1 bernilai negatif berdasarkan Kriteria Routh- Hurwitz [7, h. 35] maka sistem (4) disekitar titik E2 stabil dan tidak stabil untuk lainnya.
Pada Gambar 5, populasi prey (x) diwakili oleh garis berwarna merah, populasi predator tingkat I (y) diwakili dengan warna hijau dan populasi predator tingkat II (z) diwakili garis warna biru dengan kondisi awal semua konstanta sama dengan satu. Hal ini juga menunjukkan bahwa masing-masing populasi ini mencapai titik maksimum dan mulai menurun dengan populasi prey yang memiliki tingkat puncak tertinggi diikuti oleh y dan akhirnya dengan populasi z. Gambar 5 menggambarkan perilaku populasi terhadap waktu.
4
2
t
x y z
0 10 20 30 40
Gambar 5: Grafik dari ketiga populasi seiring waktu
4
2
t
x z
0 10 20 30 40
Gambar 6: Grafik dari dua populasi x dan z seiring waktu
Gambar 6 menunjukkan hubungan antara x dan z. Pada Gambar 6 terlihat bahwa tidak ada interaksi antara kedua populasi dari waktu ke waktu karenanya hubungan di antara mereka berbanding terbalik. Gambar 7 merepresentasikan hubungan antara x dan y yang menunjukkan bahwa adanya interaksi antara x dan y. Oleh karena itu, hubungan antara kedua populasi berbanding lurus seperti di- tunjukkan dalam Gambar 7.
4
2
t
x y
0 10 20 30 40
Gambar 7: Grafik dari dua populasi (x dan y) seiring waktu
6. KESIMPULAN
Pada penelitian ini dianalisis model predator - prey dengan dua kali predasi yang memiliki dua titik ekuilibrium dengan satu titik bersifat tidak stabil dan satu lainnya stabil dengan syarat tertentu. Analisis kestabilan dilakukan dengan menentukan matriks Jacobian dari sistem dan nilai eigen dari matriks Jacobian kemudian menentukan kestabilan dengan Kriteria Routh-Hurwitz.
Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. Leli Deswita, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. A. Adamu, Mathematical analysis of predator-prey model with two preys and one predator, International Journal of Engineering and Applied Sciences, 5 (2018), 17 - 23.
[2] C. Azar, J. Holmberg, dan K. Lindgren, Stability analysis of harvesting in a predator-prey model, Journal of Theoretical Biology, 174 (1995), 13 - 19.
[3] W. E. Boyce dan R. C. DiPrima, Elementary Differential Equation and Boundary Value Problems, Tenth Edition, John Wiley and Sons, New York, 2012.
[4] B. Dubey, P. Chandrab, dan P. Sinhab, A model for fishery resource with reserve area, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 4 (2003), 625 - 637.
[5] M. Haque dan E. Venturino, The role of transmissible diseases in the Holling Tanner predator prey model, Theoretical Population Biology, 70 (2006), 273 - 288.
[6] R. Larson dan D. C. Falvo, Elementary Linear Algebra, Sixth Edition, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, New York, 2009.
[7] X. Liao, L. Wang dan P. Yu, Stability of Dynamical System, Elsevier, Amsterdam, 2007.
[8] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1996.
[9] E. Venturino, Epidemics in predator prey models: disease in the predators, IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine and Biology, 19 (2002), 185 - 205.
[10] S.A. Wuhaib dan Y. A. Hasan, A predator-infected prey model with harvesting of infected prey, Science Asia, 39 (2013), 37 - 41.
[11] Y. Xiao dan L. Chen, Modeling and analysis of a predator-prey model with disease in the prey, Mathematical Biosciences, 171 (2001), 59 - 82.
