10.1 Konsep Dasar
Kematian merupakan kejadian random yang mengandung dampak finansial. Prinsip fundamental yang mendasari dapat diilustrasikan dengan contoh berikut. Misalkan seorang laki – laki ingin mengambil polis asuransi jiwa dengan membayar $1.000 kepada pihak penerima polis jika laki – laki tersebut meninggal dalam waktu 1 tahun. Laki – laki tersebut sebagai ‘insured’ dan jumlah yang dibayarkan kepada pihak penerima adalah ‘insured amount’. Jika 10.000 laki – laki tepat berusia 45 tahun ingin mengambil polis tentang kejadian kematian, karena untuk aturan jumlah yang besar dibatasi oleh ekspektasi jumlah kematian. Berdasarkan tabel 9.1, rata – rata jumlah kematian dalam tahun adalah 10.000 x (930.444 – 926.629)/93.444 = 41,002. Oleh karena itu, total dari 41,002 x 1.000 = $41.002 adalah harga harapan yang harus dibayarkan. Jika setiap laki – laki berkontribusi 41.002/10.000 = $4,10 untuk biaya secara umum, jumlah total biaya yang akan dibayarkan merupakan rata – rata biaya yang cukup untuk membayar penerima. Sehingga, dengan kontribusi jumlah uang yang relativ kecil, dampak financial pada orang yang membayar dapat dikurangi.
Berdasarkan uraian pada contoh, dapat disimpulkan. Pertama, premi harus bervariasi untuk memperkirakan laju kematian pada beberapa resiko. Sebagai contoh, jika 10.000 insured adalah wanita, dari tabel 9.2, rata – rata angka kematian akan menjadi 10.000 x (964.187 – 962.106)/964.187 = 21,583, jadi premi sebesar $2,16. Sehingga, premi harus dihitung dengan memperhatikan tabel kehidupan yang menggambarkan karakteristik beberapa resiko.
Kedua, perhitungan sejauh ini tidak memperhitungkan nilai mata uang. Misal jumlah insured yang membayar pada akhir tahun jika terjadi kematian, terlepas dari waktu pada saat kejadian itu terjadi, dan tingkat bunga adalah 5%, present value dari jumlah rata-rata yang dibayarkan kepada penerima adalah 41.002 / 1,05 = $ 39.050. Sehingga, jika premi dibayar pada saat polis diambil, itu harus bernilai $ 3,91. Sedemikian sehingga, jumlah ini tergantung pada saat premi dan benefit kematian yang seharusnya dibayarkan. Meskipun perbedaan pada premi untuk polis selama 1 tahun sangat kecil, pengaruh terhadap nilai mata uang akan besar untuk polis dalam jangka panjang.
Ketiga, perhitungan di atas tidak termasuk biaya administrasi yang lain. Premi pada
polis biasanya ditentukan oleh perusahaan asuransi, yang disebut insurer, biaya administrasi
yang lain telah mencakup biaya yang dikeluarkan dalam menjual polis. Bagian penting
komisi agen merupakan bagian dari suatu kontribusi yang penting dari suatu asuransi. Selain
itu, keuntungan yang diharapkan dan faktor-faktor lain harus dimasukkan perhitungan premi.
Biaya administrasi yang lain membantu untuk menyediakan cadangan yang cukup untuk menjamin kesanggupan untuk membayar premi. Namun, dalam buku ini hanya akan membahas tentang premi murni, dimana biaya administrasi yang lain tidak diperhitungkan.
Keempat, contoh di atas digunakan untuk beberapa risiko yang homogen, di mana insured mempunyai kesamaan jenis kelamin dan usia. Dalam kenyataannya, beberapa insured mungkin mempunyai perbedaan usia, jenis kelamin dan karakteristik sosial-demografi.
Perbedaan-perbedaan ini akan berpengaruh variasi premi untuk mengasuransikan risiko yang berbeda.
10.3 Life Annuities
Sebuah anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan pada interval yang sama selama masa hidup seseorang. Dalam bab ini anuitas hidup bergantung pada kelangsungan hidup penerima (annuitant). Present value dari anuitas yang melibatkan pembayaran kontingen kehidupan disebut dengan Actuarial Present Value (APV).
Terdapat beberapa jenis anuitas hidup, antara lain:
1. Whole Life Annuity (Anuitas Seumur Hidup)
Whole Life Annuity menyediakan serangkaian pembayaran jumlah konstan ke annuitant (penerima) selama masih hidup. Jika setiap pembayaran dibayar pada akhir periode, disebut whole life annuity-immediate. Diagram waktu pada Gambar 10.1 mengilustrasikan pembayaran whole life annuity-immediate.
Gambar 10.1 Diagram waktu whole life annuity-immediate.
Aliran tunai 1 1 1 1
Usia x x+1 x+2 x+3 …….. x+k ……….
Pada Gambar 10.1 pembayaran bergantung pada kelangsungan hidup penerima, untuk
whole life annuity, istilah tidak tetap. Selama annuitant masih hidup, pembayaran akan
terus berlanjut. Oleh karena itu, $1 pertama dibayar jika individu bertahan sampai akhir
periode pertama pada usia x + 1 dengan probabilitas
; $1 yang kedua dibayar jika individu bertahan sampai akhir periode kedua pada usia x + 2, dengan probabilitas
dan seterusnya. Actuarial Present Value (APV) dari jenis anuitas hidup pembayaran $1per periode diberikan kepada individu berusia x dilambangkan dengan
, sehingga diperoleh
=
dengan probabilitas
|untuk = 1,2, ⋯ , Sehingga APV adalah
= =
|
=
=
1 −
=
1 − + + 1
+
=
!1 − 0
+ # =
= ∑
(10.8)
Demikian pula, untuk whole life annuity-due dengan diagram pembayaran yang diilustrasikan pada Gambar 10.2, Actuarial Present Value (APV) adalah
=
dengan probabilitas
|untuk = 1,2, ⋯ , Sehingga APV adalah
%
= =
|&
=
&
=
1 −
=
&
&
1 − + + 1
+
=
&
!1 − 0
+ # =
&
%
= ∑
∞ &(10.9)
Gambar 10.2 Diagram waktu whole life annuity-due
Aliran tunai 1 1 1 1 1
Usia x x+1 x+2 x+3 …….. x+k ……….
Contoh 10.2
Tentukan actuarial present value dari whole life annuity-immediate untuk kasus wanita berusia 45 tahun menggunakan tabel kehidupan pada tabel 9.2 dan 9.3, asumsikan ' = 5%.
Penyelesaian :
Diasumsikan populasi hipotesa adalah 105. Meskipun, jumlah dalam (10.8) adalah untuk
= 1, … , − , dengan
= 0 untuk > − untuk seorang insured berumur .
Sekarang − = 105 − 45 = 60. Dengan menggunakan sebuah program excel, ditemukan bahwa :
./=
./
=
./0&
+
./
0
= ! 1 1 + 0,05#
+
0&
! 1
1 + 0,05#
0
0
= ! 1 1 + 0,05#
0&
! 1
./1
./#
= ! 1 1 + 0,05#
0&
! 1
./964187 #
= 15,80
Contoh 10.3
Tentukan actuarial present value dari whole life annuity-due untuk annuitant wanita pada contoh 10.2.
Penyelesaian :
Menggunakan program excel dengan mudah akan didapatkan
%
./=
./&
=
&&./
+
./0&
+
./
0
= ! 1 1 + 0,05#
&
! 1
./&1
./# +
./+
0&
0
0
= 11 + ! 1 1 + 0,05#
0&
! 1
./1
./#
= 1 +
./= 1 + 15,80
= 16,80
Dari dua contoh diatas dipunyai
./= 15.80 dan %
./= 16.80 = 1 +
./. Sebenarnya, hubungan ini umumnya dapat terbentuk. Dengan catatan bahwa
&= 1 dan
&= 6
787&89 = 1 untuk setiap rata-rata pertambahan ' dan umur , maka ;
%
=
∞
&
= 1 +
∞
= 1 +
2. n-year Temporary Life Annuity (Anuitas Sementara n-tahun)
n-year Temporary Life Annuity memberikan pembayaran untuk sejumlah tahun atau sampai terjadinya kematian, kejadian mana yang terjadi lebih dulu. Jika setiap pembayaran dibayarkan pada akhir periode, tunjangan ini disebut n-year temporary life annuity- immediate. APV pada tunjangan ini dinotsikan dengan
:;<yang diberikan
=
dengan probabilitas
|untuk = 1,2, ⋯ , Sehingga APV adalah
:;<= =
|;
=
;
=
1 −
=
;
;
1 − + + 1
+
=
;
!1 − 0
+ # =
;
:;<
= ∑
>=
(10.11)
Sebaliknya, jika setiap pembayaran dibayarkan pada awal periode, tunjangan ini disebut n-
year temporary life annuity-due dan APV dinotasikan dengan %
:;<dirumuskan
=
dengan probabilitas
|untuk = 1,2, ⋯ , Sehingga APV adalah
%
:;<= =
|;?
&
=
;?
&
=
1 −
=
;?
&
;?
&
1 − + + 1
+
=
;?
&
!1 − 0
+ # =
;?
&
%
:;<= ∑
;? &=
(10.12)
Contoh 10.4
Hitung
./:&<dan %
./:&<untuk wanita yang diberikan tunjangan pada contoh 10.2.
Penyelesaian :
./:&<=
./&
= ! 1 1 + 0.05#
&
! 1
./1
./# = 7.61
%
./:&<=
./@ &
=
&&./
+ ! 1 1 + 0.05#
&
! 1
./1
./# − ! 1 1 + 0.05#
&
! 1
./&1
./#
= 1 + 7.61 − ! 1 1 + 0.05#
&
! 933350 964187#
= 8.61 − 0.594279 = 8.01572 ≈ 8.02 Analog untuk persamaan 10.10 diperoleh
%
:;<= ∑
;? &=
&&
+ ∑
;?= 1 +
:;?<(10.13)
3. n-year Deferred Whole Life Annuity (Anuitas Seumur Hidup Tertunda n-tahun) Deferred Whole Life Annuity adalah tunjangan dimana pembayarannya dimulai setelah ditetapkan sejumlah pada tahun tertentu. Actuarial Present Value pada n-year deferred whole life annuity-immediete dinotasikan oleh
;|yang diberikan oleh
;|
= ∑
∞ ;=
(10.14)
Actuarial Present Value pada n-year deferred whole life annuity
-due adalah
%
;|
= ∑
∞ ;=
(10.15) Gambar 10.3 dan 10.4 mengilustasikan setiap garis dari kedua tipe anuitas.
Gambar 10.3 Diagram waktu dari n-year deferred whole life annuity-immediate
Aliran tunai 1 1
Usia x ..….. x+n x+n+1 …….. ….. ……….
Gambar 10.4 Diagram waktu dari n-year deferred whole life annuity-due
Aliran tunai 1 1 1
Usia x ..….. x+n x+n+1 …….. ….. ……….
Gambar 10.3 dan Gambar 10.4 menggambarkan arus kas yang timbul dari dua jenis anuitas.
Contoh 10.5:
Hitung
&|./dan
&|%
./untuk annuitant perempuan pada contoh 10.2.
Penyelesaian:
Menggunakan excel didapatkan,
&|./=
=
./&
=
./
= 8,19
&|
%
./=
&
=
=
&&=
./=
= ! 1 1 + 0,05#
/
! 1
//1
./# + 8,19 = 0,594279 + 8,19 = 8,784279 ≈ 8,78
Hal ini memungkinkan untuk menurunkan hubungan aljabar diantara fungsi-fungsi ketiga tipe tunjangan diatas. Sebagai contoh, dengan mudah ditunjukkan bahwa
;|
= ∑
;=
= ∑
=
− ∑
; &=
=
−
:;<(10.16) dan
;|
%
= ∑
;=
= ∑
=
− ∑
; &=
= %
− %
:;<(10.17) Perhatikan bahwa hasil numerik pada contoh 10.2 sampai 10.5 memenuhi hubungan (10.16) dan (10.17), yaitu
&|./
=
./−
./:&<⇔ 8,19 = 15,80 − 7,61 dan
&|./
=
./−
./:&<⇔ 8,78 = 16,80 − 8,02
10.4 Premi Murni
Untuk setiap polis asuransi jiwa, terdapat beberapa metode pembayaran diantaranya:
Pembayaran Tunggal
Pada premi tunggal, jumlah jaminan asuransi disediakan pada saat pembayaran premi awal.
Polis ini dibayar penuh tanpa perlu membayar premi berikutnya. Matematis ini adalah skema pembayaran yang paling mudah untuk menganalisa.
Pembayaran Bertingkat
Polis ini dibeli dengan cara membayar jumlah premi yang sama untuk setiap tahun sepanjang masa polis. Pembayaran bertingkat dapat dibayar tahunan atau pada interval yang tertentu.
Jika premi yang dibayarkan pada interval yang tertentu jumlah dolar dari total premi yang dibayarkan tiap tahun biasanya lebih tinggi dari jumlah ketika premi dibayarkan pada awal tiap tahun. Selisih tersebut adalah untuk menutup biaya administrasi tambahan dan kerugian pada bunga.
Pembayaran Terbatas
Pada pola pembayaran terbatas, polis menjadi dibayar penuh dalam jangka waktu tertentu.
Misalnya, pembayaran 20 polis asuransi jiwa seumur hidup secara keseluruhan mungkin
memerlukan pembayaran premi 20 polis pada tahun pertama, pada akhirnya polis dapat
terbayarkan. Dengan demikian, premi tahunan harus lebih tinggi daripada polis yang mengharuskan premi yang harus dibayar selama insured bertahan hidup. Besar jumlah ini bergantung pada periode pembayaran.
Premi adalah jumlah yang dibayarkan (biasanya oleh insured) untuk hak atas imbalan pasti
dalam kontrak asuransi. Premi murni memperhitungkan bunga saja dan kematian serta
bertujuan untuk menutupi "murni" biaya asuransi. Premi bruto (juga disebut premi kantor)
yang dibebankan oleh perusahaan asuransi termasuk beban untuk biaya dan margin resiko
untuk menutupi faktor lain dan keuntungan. Banyaknya faktor biaya administrasi yang lain
merupakan spesifikasi perusahaan dan oleh karena itu, dalam buku ini, kami hanya
mempertimbangkan perhitungan premi murni. Jadi, hanya akan membahas premi murni
tunggal, premi murni bertingkat dan premi murni terbatas, yang tidak memperhitungkan
beban.
Contoh Soal (no 10.7 halaman 285)
Diberikan D
= 1 untuk = 0,1, … ,99 dan = 100 c. Tentukan %
/&:/<dengan ' = 5%
d. Tentukan
/&:/<dengan ' = 5%
Penyelesaian:
c. %
/&:/<= ∑
. &=
/&=
1
/&1
/&.
&
dengan =
E=
,&/dan dengan menggunakan tabel 9.1
%/&:/< = 13,29988
d.
/&:/<= ∑
/=
/&=
1
/&1
/&/
dengan =
E=
,&/dan dengan menggunakan tabel 9.1
/&:/< = 12,47925
%/&:/< = 1 + /&:.<
%/&:/< = 1+= 1/&
1/&
.
%/&:/< = 1 + 12,29988 = 13,29988
