Terminologi Graf dan Beberapa Jenis Graf Khusus

Terminologi Graf dan Beberapa Jenis Graf Khusus

Kita akan membicarakan beberapa kosa kata dasar dari teori graf. Kosa kata tersebut akan kita gunakan ketika menyelesaikan berbagai masalah.

Terminologi Dasar

Pertama kita akan membicarakan beberapa terminologi yang menggambarkan simpul dan sisi pada graf tak berarah

DEFINISI 1

Dua simpul 𝑢 dan 𝑣 pada suatu graf tak berarah 𝐺 disebut bersebelahan ( bertetangga ) jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik ujung dari suatu sisi 𝑒 dari 𝐺 . Sisi 𝑒 yang demikian disebut bersisian dengan simpul 𝑢 dan 𝑣, dan dikatakan e menghubungkan 𝑢 dan 𝑣

DEFINISI 2

Himpunan dari semua simpul dari graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 yang bersebelahan dengan 𝑣, disebut lingkungan dari 𝑣. Jika 𝐴 ⊂ 𝑉 , notasi 𝑁 𝐴 , berarti himpunan dari semua simpul di 𝐺 yang bersebelahan dengan paling tidak satu simpul di A, jadi 𝑁 𝐴 = ڂ_𝑣𝜖𝐴𝑁(𝑣)

DEFINISI 3

Derajat dari suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi yang bersisian dengannya, kecuali untuk loop pada simpul tersebut menyumbang 2 kali untuk derajat simpul tersebut. Derajat dari sisi 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔(𝑣)

Contoh :

Berapa derajat dan apa lingkungan dari simpul-simpul pada graf G ?

Contoh :

Berapa derajat dan apa lingkungan dari simpul-simpul pada graf H ?

Suatu simpul yang berderajat nol dikatakan terisolasi. Simpul terisolasi tidak bersebelahan dengan simpul manapun.

Suatu simpul dikatakan anting jika dan hanya jika memiliki derajat satu.

Simpul anting bersebelahan dengan tepat satu simpul lainnya.

TEOREMA 1

( Teorema Berjabatan Tangan )

Misal

graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 adalah graf tak berarah dengan 𝑚 sisi. Maka 2𝑚 = ෍

𝑣𝜖𝑉

deg(𝑣)

( catat bahwa teorema ini berlaku termasuk jika ada sisi ganda maupun loop )

Bukti :

Setiap sisi berkonstribusi dua pada jumlahan dari derajat simpul, karena setiap sisi bersisian dengan tepat dua simpul ( bisa sama ). Dengan demikian maka jumlahan dari derajat simpul dua kali banyaknya sisi

TEOREMA 2

G

raf tak berarah memiliki sebanyak genap simpul yang berderajat ganjil

Bukti :

Misal 𝑉₁dan 𝑉₂ berturut-turut adalah himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 dengan banyak sisi 𝑚, maka

2𝑚 = σ

_𝑣𝜖𝑉

deg(𝑣)= σ

_{𝑣𝜖𝑉1}

deg(𝑣)+ σ

_{𝑣𝜖𝑉2}

deg(𝑣),

sehingga σ_{𝑣𝜖𝑉1}deg(𝑣)+ σ_{𝑣𝜖𝑉2}deg(𝑣) genap. Karena 𝑉₁adalah himpunan simpul yang berderajat genap maka σ_{𝑣𝜖𝑉1}deg(𝑣) adalah genap. Dengan demikian haruslah σ_{𝑣𝜖𝑉2}deg(𝑣) genap. Jadi ada sebanyak genap simpul berderajat ganjil pada graf tak berarah.

Selanjutnya kita akan membicarakan beberapa terminologi pada graf tak berarah

DEFINISI 4

Jika 𝑢, 𝑣 adalah sisi dari graf berarah 𝐺 , 𝑢 dikatakan bersebelahan ke 𝑣 dan 𝑣 dikatakan bersebelahan dari 𝑢 . Simpul 𝑢 dikatakan simpul awal dari sisi 𝑢, 𝑣 dan 𝑣 dikatakan simpul akhir dari sisi 𝑢, 𝑣 . Pada suatu loop, simpul awal dan simpul akhir nya sama

DEFINISI 5

Pada graf dengan sisi berarah, derajat masuk dari simpul 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔⁻(𝑣) adalah banyaknya sisi dengan simpul akhir 𝑣 dan derajat keluar dari simpul 𝑣

dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑔⁺ 𝑣 adalah banyaknya sisi dengan simpul awal 𝑣. Catat bahwa loop menyumbangkan satu pada derajat suatu simpul, masing-masing untuk derajat masuk dan derajat keluar

Contoh :

Cari derajat masuk dan derajat keluar dari setiap simpul pada graf berarah 𝐺 berikut

TEOREMA 3

Misal graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 adalah graf berarah . Maka

σ

_𝑣𝜖𝑉

𝑑𝑒𝑔

⁻

(𝑣) = σ

_𝑣𝜖𝑉

𝑑𝑒𝑔

⁺

(𝑣) = 𝐸

Bukti :

Setiap sisi memiliki simpul awal dan simpul akhir, jadi jumlahan dari derajat masuk dan jumlahan dari derajat keluar dari semua simpul adalah sama banyak dan sama dengan banyaknya simpul pada graf 𝐺

Beberapa Graf Sederhana Istimewa

Graf Lengkap 𝐾_𝑛

Graf lengkap pada 𝑛 simpul, dinotasikan dengan 𝐾_𝑛adalah graf sederhana yang memiliki tepat satu sisi pada setiap pasangan simpul yang berbeda.

Jika pada suatu graf sederhana terdapat satu pasang simpul berbeda yang dihubungkan oleh suatu sisi dikatakan graf tersebut tidak lengkap

Graf Siklis 𝐶_𝑛

Graf Roda 𝑊_𝑛

Graf roda diperoleh jika kita menambahkan satu simpul pada graf siklis dan menghubungkan simpul tambahan tersebut dengan setiap simpul pada graf siklus

Graf 𝑛 − kubus 𝑄_𝑛

Hiperkubus berdimensi-𝑛 dinyatakan 𝑄_𝑛adalah graf yang simpulnya merepresentasikan 2^𝑛 bit string dengan panjang 𝑛. Dua simpul bersebelahan jika dan hanya jika bit string yang mereka representasikan berbeda dalam tepat satu posisi bit.

Catat bahwa kita dapat mengkonstruksi 𝑄_𝑛+1dari 𝑄_𝑛dengan membuat dua kopi dari 𝑄_𝑛 kemudian menempatkan angka 0 didepan di suatu kopi dan 1 didepan kopi lainnya dan menambahkan sisi yang menghubungkan dua simpul yang berbeda dalam tepat satu posisi bit.

Graf Bipartit

DEFINISI 6

Suatu graf sederhana dikatakan bipartit jika himpunan simpul 𝑉 dapat di partisi menjadi dua himpunan yang tidak beririsan 𝑉₁dan 𝑉₂sedemikian sehingga setiap sisi pada graf menghubungkan simpul dalam 𝑉₁dengan simpul dalam 𝑉₂( demikian sehingga tidak ada sisi pada G yang menghubungkan dua simpul dalam 𝑉₁atau dua simpul dalam 𝑉₂). Jika hal ini dipenuhi kita katakan pasangan 𝑉₁, 𝑉₂ suatu bipartisi dari himpunan simpul 𝑉

TEOREMA 4

Suatu graf sederhana adalah bipartit jika dan hanya jika mungkin untuk mengaitkan satu dari dua warna yang berbeda pada setiap simpul dari graf sedemikian sehingga tidak terdapat dua simpul yang bersebelahan dikaitkan dengan warna yang sama Bukti :

Contoh :

Periksa apakah graf 𝐺 dan 𝐻 berikut adalah graf bipartit atau bukan dengan menggunakan teorema 4

Graf Bipartit Lengkap 𝐾_𝑚,𝑛

Graf bipartit lengkap 𝐾_𝑚,𝑛 adalah suatu graf yang memiliki himpunan simpul yang dipartisi menjadi dua himpunan bagian dengan 𝑚 dan 𝑛 simpul demikian sehingga terdapat sisi yang menghubungkan setiap pasangan simpul dari kedua himpunan bagian

Graf Baru dari Graf yang Lama DEFINISI 7

Suatu graf bagian graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf 𝐻 = (𝑊, 𝐹) dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 dan 𝐹 ⊆ 𝐸 . 𝐻 dikatakan graf bagian sejati dari 𝐺 jika 𝐻 ≠ 𝐺

Jika diberikan himpunan simpul dari suatu graf, kita dapat membentuk suatu graf bagian dari dengan simpul-simpul tersebut dan sisi yang menghubungkannya

DEFINISI 8

Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf sederhana. Graf bagian yang diinduksi oleh himpunan 𝑊 dengan 𝑊 ⊆ 𝑉 adalah graf (𝑊, 𝐹) dengan setiap sisi pada 𝐹 termuat dalam 𝐸 jika dan hanya jika kedua titik ujungnya ada di 𝑊

Membuang dan Menambah sisi Suatu Graf

Diberikan graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan sisi 𝑒 ∈ 𝐸 , kita dapat menghasilkan graf bagian dari 𝐺 dengan membuang 𝑒 . Graf bagian yang dihasilkan, ditulis dengan 𝐺 − 𝑒 , memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺 dan himpunan sisi 𝐸 − 𝑒 . Sehingga

𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 − 𝑒 )

Jika 𝐸′ adalah himpunan bagian dari 𝐸, kita dapat menghasilkan graf bagian dari

𝐺 dengan membuang sisi-sisi pada 𝐸′ dari graf. Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul yang sama dengan 𝑉 pada 𝐺. Himpunan sisinya adalah 𝐸 − 𝐸′

Kita juga dpat menambahkan suatu sisi 𝑒 untuk menambahkan graf yang lebih besar jika sisi ini menghubungkan dua simpul pada 𝐺. Kita notasikan 𝐺 + 𝑒 sebagai graf baru yang dihasilkan dengan menambahkan sisi baru 𝑒 menghubungkan dua simpul yang sebelumnya tidak bersisian pada graf 𝐺 , sehingga 𝐺 − 𝑒 = (𝑉, 𝐸 ∪ 𝑒 )

Kontraksi Sisi

Terkadang ketika kita membuang sisi dari suatu graf , kita tidak ingin meninggalkan titik ujung sebagai simpul-simpul yang terpisah pada graf bagian baru yang dihasilkan. Dalam kasus ini kita bisa melakukan kontraksi sisi dengan cara :

- membuang sisi dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣 - menggabungkan 𝑢 dan 𝑣 menjadi satu simpul 𝑤

- setiap sisi dengan 𝑢 dan 𝑣 sebagai titik ujung diganti dengan sisi dengan 𝑤 sebagai suatu titik ujung dan titik ujung yang keduanya tetap sama

Sehingga kontraksi sisi 𝑒 dengan titik ujung 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) menghasilkan graf 𝐺′ = (𝑉′, 𝐸′) , yang bukan merupakan graf bagian dari 𝐺, dengan 𝑉^′ = 𝑉 − 𝑢, 𝑣 ∪ 𝑤 dan 𝐸′ adalah sisi-sisi di 𝐸 yang tidak memiliki 𝑢 atau 𝑣 sebagi titik ujung dan diganti dengan sisi yang menghubungkan 𝑤 dengan setiap lingkungan dari 𝑢 atau 𝑣 di 𝑉

Membuang simpul dari Graf

Jika kita membuang simpul 𝑣 dan semua sisi yang bersisian dengan 𝑣 dari graf 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , kita menghasilkan graf bagian yang baru , yang dinotasikan dengan 𝐺 − 𝑣. Perhatikan bahwa 𝐺 − 𝑣 = 𝑉 − 𝑣 , 𝐸′ , dimana 𝐸′ adalah himpunan dari sisi-sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan 𝑣 .

Jika V′ adalah himpunan bagian dari 𝑉, kita dapat menghasilkan graf bagian dari

𝐺 dengan membuang simpul-simpul pada V′ dari graf 𝐺 . Graf yang dihasilkan memiliki himpunan simpul 𝑉 − 𝑉′ dan himpunan sisinya adalah 𝐸′ dengan 𝐸′ adalah himpunan dari sisi-sisi di 𝐺 yang tidak bersisian dengan simpul pada 𝑉′

DEFINISI 9

Gabungan dari graf sederhana 𝐺₁ = 𝑉₁, 𝐸₁ dan 𝐺₂= 𝑉₂∪ 𝐸₂ adalah suatu graf sederhana dengan himpunan simpul 𝑉₁∪ 𝑉₂ dan himpunan sisi 𝐸₁∪ 𝐸₂, dinotasikan dengan 𝐺₁∪ 𝐺₂