UNIT 10
PRINSIP GABUNGAN
OBJEKTIF AM :
Mempelajari dan memahami prinsip gabungan tegasan terus dan tegasan lentur, perkaitannya dengan beban sipi, seterusnya mengira dan melakar taburan tegasan pada keratan akibat gabungan tegasan tersebut.
OBJEKTIF KHUSUS:
Menerangkan prinsip gabungan tegasan terus dan tegasan lentur.
Menunjukkan perkaitan antara beban sipi, tegasan terus dan tegasan lentur.
Mengira dan melakarkan taburan tegasan pada keratan akibat daya paksi, daya sisi dan daya sipi.
INPUT 10
PRINSIP GABUNGAN
10.0 PENGENALAN
Topik 3 dan topik 4 masing-masing membincangkan berhubung dua bentuk tegasan yang utama; tegasan terus (d) dan tegasan lentur (b). Sekiranya sesuatu
jasad ditindakkan dengan daya paksi, akan wujud tegasan terus ( tegangan atau mampatan) yang diagihkan secara rata pada keseluruhan keratan rentas jasad, i.e tegasan terus = d = P/A. Secara berasingan, topik 4 pula menyentuh berhubung
tegasan lentur yang wujud sekiranya sesuatu jasad ditindakkan dengan momen lentur. Dalam kes ini, nilai tegasan berubah dengan jarak filamen keratan dari paksi neutral, i.e tegasan lentur = b = M/Z.
Namun demikian, terdapat kes di mana kedua-dua tegasan ini wujud serentak. Sekiranya jasad ditindakkan dengan beban paksi bersama-sama dengan lenturan melintang, kedua-dua tegasan terus dan tegasan lentur akan bergabung menentang tindakan daya berkenaan .
Rajah 10.1 : Rumah Api
Rumah api dan cerobong asap yang tinggi yang ditindakkan dengan beban angin; tembok penahan yang menentang tekanan tanah sisi adalah antara contoh struktur yang mengalami tindakan gabungan tegasan terus dan tegasan lentur. Gabungan kedua tegasan ini lazimnya menyebabkan beban paksi teranjak dan terjadi beban sipi. Bahagian seterusnya akan membincangkan beban sipi dengan lebih lanjut.
10.1 BEBAN SIPI
Pertimbangkan rajah 10.2, di mana sekumpulan ahli sukan air, menjunjung kayak beramai-ramai. Cuba fikirkan bentuk pengagihan beban yang diterima. Bayangkan pula sekiranya kumpulan tersebut memegang kayak pada sisi tepi dengan sebelah tangan menggunakan gelang pemegang. Fikirkan bentuk pengagihan beban yang diterima.
Rajah 10.2 : Menjunjung kayak
Kayak yang dipegang pada sebelah tangan adalah contoh yang baik bagi menggambarkan pembebanan sipi. Jika dipertimbangkan, didapati ahli sukan tersebut akan merasa lebih mudah membawa beban dengan menjunjung di atas kepala dari memegang pada sebelah tangan. Ini memandangkan, sekiranya mereka membawa kayak dengan memegang pada sebelah tangan, mereka terdorong melenturkan badan ke arah kayak tersebut.
Ringkasnya, individu tersebut ditindakkan dengan dua beban iaitu; (i) Beban paksi, disebabkan berat kayak.
(ii) Momen disebabkan kesipian kayak. Gelang
(a)
(b) (c) (d) (e) 10.1.1 Tiang Dengan Pembebanan Sipi Terhadap Satu Paksi
Pertimbangkan satu tiang pendek yang dibebankan dengan beban paksi , P yang selari dengan paksi memanjang tiang tersebut dan merentas paksi simetri pada jarak e dari sentroid .(Rajah 10.3a)
Rajah 10.3 : Pembebanan Sipi Tiang Pendek
Beban P bertindak sipi, e .(Rajah 10.3b)
Dua beban yang sama nilai, P bertindak melalui paksi tiang. (Rajah 10.3c) Satu dari beban tersebut akan bertindak sebagai beban paksi dan
mengakibatkan tegasan terus. (Rajah 10.3d)
Dua beban tersebut akan menyebabkan berlaku momen (P x e) dan seterus menyebabkan berlaku tegasan lentur. (Rajah 10.3e)
e P e P P P P P e P P
e Pertimbangkan rajah 10.4;
Rajah 10.4 : Pandangan Pembebanan Sipi
P = Beban yang bertindak pada tiang
e = Kesipian beban
Momen, M = P.e
d = Tebal tiang b = Lebar tiang
Luas keratan tiang = b.d
Momen luas kedua keratan tiang sekitar paksi sentroid dan selari dengan paksi sipian beban (paksi y);
I = 12
3
db
Dan modulus keratan; Z = 2 12 3 b db = 6 2 db e P d b e
mak/min = A P Z M
Diketahui tegasan terus pada tiang; d =
A P
Tegasan lentur pada mana-mana titik di keratan tiang pada jarak y dari paksi yy; b = I y M . = Z M ( Z = y I )
Untuk mendapatkan tegasan lentur maksimum, y = 2 b ; b = I b M 2 . = 12 2 . 3 db b M ( I = 12 3 db ) = 2 6 db M = 2 . 6 db e P ( M = P.e) = b A e P . . 6 (masukkan b.d = A)
Diketahui beban sipi menyebabkan gabungan tegasan terus dan tegasan lentur;
Tegasan pada filamen yang paling jauh, mak/min = d b mak/min = A P Ab e P. 6 @ Di mana; P = Beban sipi
A = Luas keratan rentas
e = Jarak kesipian
b = Lebar keratan
M= Momen beban sipi (P.e) Z= Modulus keratan
Nota : +ve dan –ve bergantung kepada kedudukan beban sipi dengan permukaan tepi tiang. Permukaan tepi yang berhampiran dengan beban sipi akan mengalami tegasan yang lebih besar.
y A B x x D C y
Rajah 10.5 : Beban Sipi Terhadap Dua Paksi 10.1.2 Tiang Dengan Pembebanan Sipi Terhadap Dua Paksi
Terdapat juga kes di mana beban sipi tidak terletak pada kedua-dua paksi ; pembebanan sipi terhadap dua paksi x dan y. Pertimbangkan satu keratan tiang ABCD yang ditindakkan dengan beban sipi terhadap dua paksi. (Rajah 10.5)
Di mana;
P = Beban
A = Luas keratan rentas
ex = Kesipian terhadap paksi x-x
Momen beban, P terhadap paksi x, Mx = P.ex
Ixx = Momen luas kedua keratan terhadap paksi x-x
ey, My, Iyy = Nilai yang berkaitan terhadap paksi y-y
ey
ex
sambungan...
Tegasan bagi pembebanan sipi terhadap dua paksi:- (i) Tegasan terus, d =
A P
(ii) Tegasan lentur disebabkan ex, bx =
xx x I y M . = xx x I y e P. .
(iii) Tegasan lentur disebabkan ey, by =
yy y I x M . = yy y I x e P. .
(iv) Tegasan pada filamen yang paling jauh; mak/min = d bx by mak/min = A P xx x I y e P. . yy y I x e P. . @ mak/min = A P xx xx Z M yy yy Z M Nota:
+ve atau –ve bergantung pada kedudukan filamen dengan beban, P.
Tegasan maksimum di B, i.e Mx & My,,+ve
Tegasan minimum di D, i.e Mx &My, –ve
Tegasan di A, i.e Mx ,+ve & My, -ve
x
y
(a) Pembebanan Paksi (b) Agihan tegasan
Rajah 10.5 : Tegasan Terus
10.2 GABUNGAN TEGASAN TERUS, TEGASAN LENTUR DAN BEBAN SIPI
Pertimbangkan keratan rasuk pendek seperti rajah 10.5a . Beban, P merentasi paksi sentroid keratan, dan menghasilkan tegasan terus (d). Tegasan teragih
secara seragam pada semua bahagian keratan, ditunjukkan pada ‘gambarajah agihan tegasan’ yang berbentuk segiempat tepat. (rajah 10.5 b)
Seterusnya, pertimbangkan keratan rasuk yang mempunyai pembebanan dan dimensi yang sama, tetapi beban, P teranjak sejauh 2mm dari paksi y-y. (Rajah 10.6a)
Seperti pada bahagian di atas, wujud tegasan terus P/A = 10 N/mm2 pada keseluruhan keratan. Namun kesipian beban terhadap paksi y-y sebanyak 2mm mengakibatkan momen 1000 x 2 = 2000Nmm. Momen tersebut meningkatkan kesan mampatan pada bahagian kanan paksi y-y dan mengurangkan kesan mampatan pada bahagian kiri paksi y-y.
10mm 10mm P = 1000N d = A P = 100 1000 = 10 N/mm2 10N/mm2
(a) (b) Tegasan terus, d (c) (d)
Rajah 10.6 : Tegasan Gabungan
Rajah 10.6d menunjukkan dua gambarajah agihan tegasan (b & c) ditindihkan, memberi gambarajah agihan tegasan gabungan.
Tegasan pada sisi BC adalah;
Tegasan pada sisi AD adalah;
D A B C 10mm 10mm P = 1000N e = 2mm P/A = 10N/mm2 (mampatan) b = Z M = 3 10 6 2000x = 12Nmm-2 12N/mm2 (tegangan) 12N/mm2 (mampatan) 2 N/mm2 22 N/mm2 mak = A P + Z M = 10 + 12 = 22 N/mm2 (mampatan) min = A P - Z M = 10 - 12 = -2 N/mm2(tegangan) Nota:
Tegasan mampatan yang disebabkan oleh beban paksi pada sisi AD terhapus disebabkan tegasan tegangan yang disebabkan oleh beban sipi.
min
mak
Pembebanan sipi terhadap satu paksi
Satu tiang berkeratan rentas 150mm lebar dan 120mm tebal. Tiang tersebut membawa beban 18 kN pada kesipian 10mm seperti rajah di bawah. Tentukan tegasan maksimum dan minimum yang berlaku pada keratan tersebut.
e = 10mm Penyelesaian mak = A P + Ab e P. 6 = 150 120 18 x + 120 150 150 10 18 6 x x x x = 0.001 + 0.0004 = 0.0014 kN/mm2 = 1.4 N/mm2 min = A P - Ab e P. 6 = 150 120 18 x - 120 150 150 10 18 6 x x x x = 0.001 - 0.0004 = 0.6 N/mm2 Taburan tegasan MASALAH 10 a e P 120mm 150mm e 150mm 120mm
min
mak
Pembebanan sipi terhadap satu paksi
Sebatang tiang mempunyai keratan berukuran 200mm lebar dan 150mm tebal dikenakan beban 1000N pada kesipian 50mm seperti rajah di bawah. Kirakan tegasan maksimum dan minimum yang berlaku pada keratan rasuk tersebut.
e = 50mm Penyelesaian mak = A P + Ab e P. 6 = 150 200 1000 x + 200 150 200 50 1000 6 x x x x = 0.033 + 0.05 = 0.083 N/mm2 min = A P - Ab e P. 6 = 150 200 1000 x - 200 150 200 50 1000 6 x x x x = 0.033 - 0.05 = - 0.017 N/mm2 MASALAH 10 b 150mm 200mm e e 1000N 200mm 150mm
Pembebanan sipi terhadap dua paksi
Satu tiang pendek membawa satu beban sipi 300 kN pada kedua-dua paksi x-x dan paksi y-y. Kirakan tegasan pada setiap penjuru, A, B, C dan D keratan tiang tersebut. A B D C Penyelesaian Di titik C; mak, A = A P + xx xx Z M + yy yy Z M Di titik B; B = A P - xx xx Z M + yy yy Z M Di titik A; min, A = A P - xx xx Z M -yy yy Z M Di titik D; D = A P + xx xx Z M -yy yy Z M MASALAH 10 c 150mm 150mm 250mm 250mm 50mm 25mm
Beban berada hampir pada C dalam kedua-dua arah paksi.
Beban berada jauh dari paksi x dan hampir dengan paksi y.
Beban berada jauh dari A dalam kedua-dua arah paksi.
Beban berada hampir dengan paksi x dan jauh dari paksi y
sambungan... A P = 500 300 300000 x = 2.0 N/mm 2 xx xx Z M = 2 500 300 6 50 300000 x x x = 1.2 N/mm2 yy yy Z M = 2 300 500 6 25 300000 x x x = 1.0 N/mm2 Dengan itu; A = 2.0 – 1.2 – 1.0 = -0.2 N/mm2 (tegangan)# B = 2.0 -1.2 + 1.0 = 1.8 N/mm2 (mampatan)# C = 2.0 + 1.2 + 1.0 = 4.2 N/mm2 (mampatan)# D = 2.0 +1.2 – 1.0 = 2.2 N/mm2 (mampatan)# Tips...
Boleh diselesaikan dengan formula tegasan berdasarkan momen atau modulus keratan.
Tanda +ve dan –ve
berdasarkan kedudukan beban sipi dengan paksi sekitar titik rujukan.
Satu tiang segiempat tepat berongga mempunyai keratan rentas 1.5m x 1.0m, dengan ketebalan 0.2m. Beban 100kN bertindak pada kesipian 10cm dari satu paksi seperti pada rajah 10.10. Kirakan tegasan maksimum dan minimum pada keratan cerobong tersebut.
Rajah 10.10: Keratan berongga
Penyelesaian Tegasan terus, d = A P = ) 8 . 0 3 . 1 ( ) 0 . 1 5 . 1 ( 100 x x = 46 . 0 100 = 217.39 kN/m2 Tegasan lentur, b = Z M = Z e P. I = 12 3 db = 12 8 . 0 3 . 1 12 0 . 1 5 . 1 x 3 x 3 = 69.533 x 10-3 m4 y = 2 0 . 1 = 0.5m Z = y I MASALAH 10 d 1.0m y x 0.8m 1 .3 m 1 .5 m e
= 5 . 0 10 533 . 69 x 3 = 139.066 x 10-3 m3 b = Z e P. = 3 10 066 . 139 1 . 0 100 x x = 71.91 kN/m2 mak = d + b = A P + Z M = 217.39 + 71.91 = 289.3 kN/m2#(mampatan) min = d - b = A P - Z M = 217.39 – 71.91 = 145.48 kN/m2(mampatan)
Lakaran agihan tegasan A B D C min mak Nota:
Sisi BC mengalami tegasan maksimum kerana beban sipi hampir dengan sisi ini.
SEKIRANYA TELAH BERSEDIA, ANDA BOLEH MENCUBA SOALAN-SOALAN AKTIVITI YANG
SEBELUM MENERUSKAN KE PENILAIAN KENDIRI BERIKUTNYA, SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.
SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
10.1 Berikan satu contoh, struktur yang mengalami gabungan tegasan terus dan tegasan lentur.
________________________
10.2 Nyatakan perbezaan di antara tegasan lentur dan tegasan terus.
_________________________________________________________ 10.3 Berikan maksud beban sipi.
_________________________________________________________ 10.4 Nyatakan kesan beban sipi ke atas keratan tiang.
_________________________________________________________ 10.5 Merujuk pada rajah 10.11, dua keratan tiang ditindakkan oleh beban sipi, P.
Nyatakan sisi/titik yang akan mengalami tegasan maksimum dan minimum. A B A B
(a) (b)
D C D C
Rajah 10.11 : Pembebanan Sipi
mak = __________ mak = __________ min = __________ min = __________ AKTIVITI 10 P P P P
10.1 Cerobong asap yang ditindakkan beban angin.
10.2 Tegasan terus disebabkan oleh beban paksi bertindak melalui pusat sentroid keratan manakala tegasan lentur disebabkan oleh momen lentur.
10.3 Beban paksi yang tidak bertindak pada pusat sentroid.
10.4 Beban sipi yang bertindak ke atas keratan rentas tiang menyebabkan berlaku gabungan tegasan terus dan tegasan lentur.
10.5 (a) mak = Sisi BC (b) mak = Titik D
min = Sisi AD min = Titik B
1. Satu tiang pendek yang berukuran 100mm x 100mm dikenakan beban sipi 60kN pada kesipian 40mm (rajah 10.12). Kirakan tegasan maksimum dan minimum yang berlaku pada keratan tiang tersebut.
Rajah 10.12: Pembebanan Sipi
2. Sebatang tiang mempunyai keratan rentas bulat dengan diameter 50mm. Tiang tersebut dikenakan beban sipi 15 N pada jarak sipi 10mm dari paksi neutral (rajah 10.13). Kirakan tegasan maksimum dan minimum yang berlaku pada keratan tiang tersebut.
Rajah 10.13 : Pembebanan Sipi
3. Satu keratan keluli 150mm lebar dan 20mm tebal dikenakan daya tarikan 20kN. Tentukan tegasan maksimum dan minimum apabila daya tarikan tersebut bertindak pada jarak 4mm dari paksi geometri yang sejajar dengan ketebalan keratan tersebut. PENILAIAN KENDIRI e 60kN e 15N 60kN P
4. Satu tiang berongga bulat mempunyai diameter luar dan dalam masing-masing 350mm dan 300mm. Tiang tersebut menanggung beban sipi 10kN pada satu bahagian sisi tiang (rajah 10.13). Kirakan tegasan maksimum dan minimum pada keratan tiang tersebut.
Rajah 10.14 :Pembebanan Sipi
5. Satu tiang berkeratan segiempat sama, 150mm x 150mm, ditindakkan dengan beban sipi 50kN(Rajah 10.15). Kirakan tegasan pada setiap bucu bagi keratan tiang tersebut.
A B
D C Rajah 10.15 : Pembebanan Sipi
6. Satu tiang pendek mempunyai keratan rentas segiempat tepat, menerima beban sipi 36 kN pada kedua-dua arah paksi geometri (rajah 10.16). Kirakan tegasan pada setiap bucu keratan tiang tersebut.
Rajah 10.16 : Pembebanan Sipi
SELAMAT MENCUBA
- 10kN e 10kN 25mm 25mm 50kN 200mm 200mm 100mm 100mm 70mm 40mm Anda digalakkan membuat rujukan tambahan dan menyemak jawapan
dengan pensyarah.
______________________________________________________________________________________
