I s t ia r t o
UJIAN TENGAH SEMESTER
S
TATISTIKA
Senin, 15 Juni 2009 Open Book 100 menit
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.
C
ATATAN Soal ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain.
Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung.
Setiap butir soal berbobot nilai sama.
Boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian.
S
OALA. Baru-baru ini terjadi kebakaran di suatu depo penimbunan BBM. Klaim asuransi telah dibayarkan. Selanjutnya, setelah memperhatikan kejadian tersebut, perusahaan asuransi mengubah estimasi risiko kebakaran fasilitas penimbunan BBM tersebut menjadi 1/20 per tahun. Nilai ini tetap, tidak berubah dari tahun ke tahun.
1. Perkirakanlah risiko terjadi kebakaran satu kali lagi dalam masa 10 tahun ke depan. 2. Jika perusahaan asuransi tersebut menetapkan risiko terbesar yang dapat
ditanggungnya adalah 25%, berapa tahun perusahaan asuransi tersebut bersedia memberikan pertanggungan?
P
ENYELESAIANPermasalahan risiko kebakaran di depo penimbunan BBM tersebut dapat dipandang sebagai proses binomial karena:
hanya ada dua kemungkinan kejadian, yaitu terjadi atau tidak terjadi kebakaran, dan
risiko atau probabilitas terjadi kebakaran per tahun bernilai tetap dari tahun ke tahun. Apabila peristiwa depo terbakar dalam suatu tahun didefinisikan sebagai peristiwa sukses dan peristiwa sebaliknya, yaitu depo tidak terbakar, adalah peristiwa gagal:
prob(sukses) = p = 0.05 prob (gagal) = q = 1 p = 0.95
1. Risiko terjadi satu kali kebakaran dalam masa 10 tahun adalah:
315 . 0 95 . 0 05 . 0 ! 2 ! 1 10 ! 10 05 . 0 1 05 . 0 1 10 1 , ; tahun 10 masa dalam sekali kebakaran terjadi prob 9 1 9 1 x nx X p p x n p n x fI s t ia r t o
2. Masa pertanggungan dengan risiko terbesar 25%.
Di sini, yang dicari adalah jumlah tahun n sedemikian hingga probabiliti terjadi kebakaran tidak melampaui 25%.
Dalam masa n tahun, dapat terjadi kebakaran sejumlah 0, 1, 2, … n−1 kali. Risiko terjadi kebakaran 0 kali adalah peluang tidak terjadi kebakaran. Risiko terjadi kebakaran adalah jumlah seluruh risiko terjadi kebakaran 1, 2, … n−1 kali. Risiko ini sama dengan satu dikurangi risiko (atau peluang) tidak terjadi kebakaran sama sekali selama masa n tahun tersebut. Jadi: prob(terjadi kebakaran dalam masa n tahun) = 1 – prob(tidak terjadi kebakaran dalam masa n
tahun) Dalam hal ini:
n X n p n f n 0.05 1 0.05 0 , ; 0 tahun masa dalam kebakaran terjadi tidak prob 0 Dengan demikian:
n X n p n f n 0.05 1 0.05 0 1 , ; 0 1 tahun masa dalam kebakaran terjadi prob 0 Perusahaan asuransi berani menanggung risiko sampai 25%. Ini berarti prob(terjadi kebakaran dalam masa n tahun) haruslah tidak melampaui 25%.
6 . 5 95 . 0 log 75 . 0 log 75 . 0 log 95 . 0 log 75 . 0 95 . 0 25 . 0 95 . 0 1 1 1 25 . 0 05 . 0 1 05 . 0 0 1 0 n n n n n n nJadi, masa pertanggungan terlama yang masih dapat diberikan oleh perusahaan asuransi adalah 5 tahun.
S
OALB. Hasil uji kuat tekan 30 kubus beton (dalam kN/m2) adalah sebagai berikut:
301 308 306 303 283 310
280 317 298 290 296 293
301 286 316 316 306 320
287 282 298 293 317 301
I s t ia r t o
1. Buat tabel frekuensi dan histogram (frekuensi) data kuat tekan ke-30 kubus beton tersebut. Pakailah rentang klas 8 kN/m2 dengan batas bawah klas pertama 276 kN/m2 (rentang klas pertama 276 - 284 kN/m2).
2. Hitung nilai rata-rata dan simpangan baku kuat tekan beton tersebut.
3. Hitunglah frekuensi data kuat tekan beton dalam setiap klas data menurut distribusi normal.
4. Buat gambar perbandingan antara frekuensi data dan frekuensi teoretik menurut distribusi normal. Apa komentar Saudara?
5. Dengan asumsi data kuat tekan kubus beton di atas berdistribusi normal,
perkirakanlah peluang (probabilitas) kuat tekan beton lebih besar dari 310 kN/m2.
P
ENYELESAIANCara penyelesaian soal ini mirip sekali dengan cara penyelesaian UTS 2008.
Data kuat tekan kubus beton disalin kedalam spreadsheet, misal seperti disajikan di bawah ini.
A B C D E F 1 301 308 306 303 283 310 2 280 317 298 290 296 293 3 301 286 316 316 306 320 4 287 282 298 293 317 301 5 289 316 296 295 311 298
Tabel frekuensi disusun dengan bantuan fungsi/perintah =FREQUENCY(...,…). Langkah hitungan dicuplikkan di bawah ini.
K L M N O P Q R S T
9 Lebar klas = 8
10 Data Teoretik
11
Kuat tekan kubus ton, kN/m2 (C)
Frek
(f) f × C f × C
2 Frek rel Frek
12 (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 13 276−284 276 − 284 280 3 840 235200 0.062658 2 14 284−292 284 − 292 288 4 1152 331776 0.157663 5 15 292−300 292 − 300 296 8 2368 700928 0.251944 8 16 300−308 300 − 308 304 7 2128 646912 0.255782 8 17 308−316 308 − 316 312 5 1560 486720 0.164981 5 18 316−324 316 − 324 320 3 960 307200 0.067582 2 19 ∑ = 30 9008 2708736 0.96061 30
20 Kuat tekan rata-rata = 300 kN/m2
21 Simpangan baku = 11 kN/m2
22
23 prob(C > 310 kN/m2) = 0.20
Kolom ke-0 (kolom K) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke-1 dan ke-3 menjadi karakter text, misal K13=TEXT(L13,”#0”)&M13&TEXT(N13,”#0”). Copy-kan cell ini ke cell K14 s.d. K18.
Kolom ke-1 merupakan batas bawah rentang klas kuat tekan beton dan kolom ke-3 adalah batas atas kuat tekan beton.
I s t ia r t o
Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama pada cell L13 diisikan langsung, 276, sedangkan nilai batas bawah klas-klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi L14=N13 dan copy-kan cell ini ke cell L15 s.d. L18.
Nilai batas atas pada kolom ke-3 diperoleh dengan menambahkan lebar klas (cell N9) kedalam nilai pada kolom ke-2, misal N13=L13+$N$9. Copykan cell ini ke cell N14 s.d. N18.
Kolom ke-4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang klas, misal O13=(L13+N13)/2. Copy-kan cell ini ke cell O14 s.d. O18.
Frekuensi (f) pada kolom ke-5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan langkah sebagai berikut:
− pilih cell P13:P18, − tulis =FREQUENCY(,
− pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:F5, − tulis tanda baca koma,
− pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, N13:N17, − tulis tanda baca kurung tutup,
− tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama-sama.
Jumlahkan frekuensi seluruh klas kuat tekan beton, P19=SUM(P13:P18).
Kolom ke-6 dan ke-7 dipakai sebagai bantuan untuk menghitung nilai rata-rata dan simpangan baku kuat tekan beton. Kolom ke-6 merupakan perkalian kolom ke-4 dan ke-5, sedangkan kolom 7 ke- merupakan perkalian kolom ke-4 kuadrat dan kolom ke-5. Nilai rata-rata dan simpangan baku kuat tekan beton dihitung dengan persamaan berikut:
300 30 9008
f C f C kN/m2
11 1 30 30 9008 2708736 1 2 2 2
f f P f P f sC kN/m2Hasil hitungan berupa angka pecahan. Mengingat nilai kuat tekan beton tidak perlu sampai ke nilai pecahan, maka dalam menghitung nilai-nilai rata-rata dan simpangan baku ditambahkan perintah =ROUND(…,0). Jadi dalam menghitung nilai rata-rata pada cell P20:
=ROUND(Q19/P19,0)
dan dalam menghitung nilai simpangan baku pada cell P21: =ROUND(SQRT((R19-Q19^2/P19)/(P10-1)),0)
Frekuensi teoretik menurut distribusi normal (kolom ke-8 dan ke-9) dihitung dengan dua cara. Cara pertama adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut:
c c p
c fC CDalam persamaan di atas, fC(c) adalah frekuensi relatif, Δc adalah rentang (lebar) klas, dan pC(c)
adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 8 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi relatif klas pertama pada cell S13 adalah:
I s t ia r t o =$N$9*NORMDIST(O13,$P$20,$P$21,FALSE) Copy-kan cell ini ke cell S14 s.d. S18.
Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan memanfaatkan hubungan antara pdf dan cdf sebagai berikut:
batasatas
C
batasbawah
C batasbawah C batasatas C C C C c P c P c c P c P c c c P c c p c c f d dDalam persamaan di atas, PC(cbatasatas) = prob(C < cbatasatas) dan PC(cbatasbawah) = prob(C <
cbatasbawah). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam
MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama S13 adalah: =NORMDIST(N13,$P$20,$P$21,TRUE)-NORMDIST(L13,$P$20,$P$21,TRUE) Copy-kan cell ini ke cell S14 s.d. S18.
Dengan mengetahui frekuensi relatif teoretik, maka frekuensi teoretik pada kolom 9 dapat dengan mudah dihitung, yaitu dengan mengalikan frekuensi relatif dan jumlah data. Untuk klas pertama pada cell T13:
=S13*$P$19
Copy-kan cell ini ke cell T14 s.d. T18.
Histogram kuat tekan kubus disajikan pada gambar di bawah ini.
Peluang kuat tekan beton lebih dari 310 kN/m2 dihitung dengan cara sebagai berikut:
prob(C > 310 kN/m2) = 1 – NORMDIST(310,P20,P21,TRUE) = 0.20 = 20% -o0o- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 276-284 284-292 292-300 300-308 308-316 316-324 Fr e ku e n si
Kuat tekan kubus beton (kN/m2)
teoretik data
