Statistika
Ujian Tengah Semester
Soal‐jawab UTS Statistika MPSP 2008. Langkah kerja dalam menjawab soal dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan program aplikasi spreadsheet. Istiarto Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM
Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008
Senin, 23 Juni 2008, Open Book, 100 menit Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.Catatan
• Soal ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain. • Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung. • Setiap butir soal berbobot nilai sama. • Jika dikerjakan dengan spreadsheet, file dikumpulkan (copykan kedalam flash‐disk yang telah disediakan). Pada lembar kertas jawaban, tuliskan resume hasil dan/atau keterangan penunjuk (nama file, nama sheet, letak grafik, dsb).Soal
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan Giripura. Dari ke‐40 RT, diperoleh data sebagai berikut: 11 6 9 14 5 11 2 18 7 15 12 11 10 6 4 11 14 13 16 20 8 16 13 12 9 12 14 11 15 11 6 9 13 9 8 10 11 16 7 15 1. Hitung jumlah keluarga miskin rata‐rata di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura. 2. Hitung simpangan baku jumlah keluarga miskin di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura. 3. Buat tabel frekuensi dengan rentang klas 3 (klas pertama 0.5 − 3.5). 4. Buat histogram data tersebut (batang dan garis) berdasarkan tabel frekuensi yang telah Saudara buat. Sumbu horizontal (absis) adalah rentang klas dan sumbu vertikal (ordinat) adalah frekuensi relatif. 5. Lengkapi tabel Saudara dengan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal (frekuensi relatif teoretik). 6. Plotkan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal tersebut pada histogram yang telah Saudara buat. 7. Dengan asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di setiap RT di wilayah Kecamatan Giripura berdistribusi normal, perkirakanlah: a) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8, b) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13, c) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14, d) rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura. 8. Dengan tetap mempertahankan asumsi distribusi normal, lakukan uji hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 keluarga. Gunakan tingkat keyakinan 95%. ‐o0o‐Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 3 Istiarto
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.Soal
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan Giripura. Dari ke‐40 RT, diperoleh data sebagai berikut: 11 6 9 14 5 11 2 18 7 15 12 11 10 6 4 11 14 13 16 20 8 16 13 12 9 12 14 11 15 11 6 9 13 9 8 10 11 16 7 15 Hitunglah berbagai parameter statistik data tersebut. Penyelesaian Berbagai parameter statistik yang ditanyakan pada soal di atas dapat dihitung dengan bantuan program aplikasi spreadsheet MSExcel. Nilai ratarata dan simpangan baku Jumlah keluarga miskin rata‐rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin dengan mudah dapat dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, yaitu =AVERAGE(…) dan =STDEV(…). Apabila data jumlah keluarga miskin di 40 RT tersebut dituliskan pada cell A1:H5, maka: A B C D E F G H 1 11 6 9 14 5 11 2 18 2 7 15 12 11 10 6 4 11 3 14 13 16 20 8 16 13 12 4 9 12 14 11 15 11 6 9 5 13 9 8 10 11 16 7 15 − jumlah keluarga miskin minimum dalam satu RT =MIN($A$1:$H$5) = 2 − jumlah keluarga miskin maximum dalam satu RT =MAX($A$1:$H$5) = 20 − jumlah keluarga miskin rata‐rata =AVERAGE($A$1:$H$5) = 11 − simpangan baku jumlah keluarga miskin =STDEV($A$1:$H$5) = 4 Perlu dicatat bahwa jumlah keluarga miskin rata‐rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin adalah bilangan bulat positif, sedangkan fungsi =AVERAGE(…) dan =STDEV(…) dapat menghasilkan nilai pecahan. Hal ini dapat disiasati dengan memformat cell yang berisi hasil hitungan kedua fungsi tersebut sedemikian hingga berupa bilangan tanpa desimal. Cara lain yang lebih tepat adalah dengan memakai fungsi =ROUND(…,0) yang akan membulatkan angka (tanpa angka desimal): − jumlah keluarga miskin rata‐rata =ROUND(AVERAGE($A$1:$H$5),0) = 11 − simpangan baku jumlah keluarga miskin =ROUND(STDEV($A$1:$H$5),0) = 4 Hitungan nilai rata‐rata dan simpangan baku dapat pula dilakukan dalam bentuk tabulasi seperti ditampilkan berikut ini.Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f) f × X f × X2 0.5 − 3.5 2 1 2 4 3.5 − 6.5 5 5 25 125 6.5 − 9.5 8 8 64 512 9.5 − 12.5 11 12 132 1452 12.5 − 15.5 14 9 126 1764 15.5 − 18.5 17 4 68 1156 18.5 − 21.5 20 1 20 400 Jumlah (Σ) 40 437 5413
Jumlah keluarga miskin rata‐rata, , dan simpangan baku jumlah keluarga miskin, sX, dihitung
dengan cara sebagai berikut: ∑ ∑ 437 40 11 ∑ ∑ ∑ ∑ 1 5413 40 11 40 1 4 Tabel frekuensi Tabel frekuensi dibuat dengan bantuan MSExcel. Di bawah ini dicuplikkan beberapa langkah pembuatan tabel frekuensi. N O P Q R S T U V 11 Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f) Frek Rel (f/Σf) Frek Rel Teoretik Dist Normal 12 (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 13 0.5−3.5 0.5 − 3.5 2 1 0.025 0.023805 0.026064 14 3.5−6.5 3.5 − 6.5 5 5 0.125 0.097138 0.099898 15 6.5−9.5 6.5 − 9.5 8 8 0.2 0.225853 0.223536 16 9.5−12.5 9.5 − 12.5 11 12 0.3 0.299207 0.29234 17 12.5−15.5 12.5 − 15.5 14 9 0.225 0.225853 0.223536 18 15.5−18.5 15.5 − 18.5 17 4 0.1 0.097138 0.099898 19 18.5−21.5 18.5 − 21.5 20 1 0.025 0.023805 0.026064 20 Σ = 40 1 21 22 Lebar klas = 3 23 Jumlah keluarga miskin rata‐rata = 11 24 Simpangan baku = 4 Kolom ke‐0 (kolom N) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke‐1 dan ke‐3 menjadi karakter text, misal N13=TEXT(O13,”0.0”)&P13&TEXT(Q13,”0.0”). Copy‐kan cell ini ke cell N14 s.d. N19. Kolom ke‐1 merupakan batas bawah rentang klas jumlah keluarga miskin dan kolom ke‐3 adalah batas atas jumlah keluarga miskin. Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama diisikan langsung, O13=0.5, sedangkan nilai batas bawah klas‐klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 5 Istiarto Nilai pada kolom ke‐3 diperoleh dengan menambahkan 3 pada nilai pada kolom ke‐2, misal Q13=O13+3. Copykan cell ini ke cell Q14 s.d. Q19. Kolom ke‐4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang klas, misal R13=(O13+Q13)/2. Copy‐kan cell ini ke cell R14 s.d. R19. Frekuensi (f) pada kolom ke‐5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan langkah sebagai berikut: − pilih cell S13:S19, − tulis =FREQUENCY(, − pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:H5, − tulis tanda baca koma, − pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, Q13:Q14, − tulis tanda baca kurung tutup, − tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama‐sama. Jumlahkan frekuensi seluruh klas jumlah keluarga miskin, S20=SUM(S13:S19). Frekuensi relatif pada kolom ke‐6 diperoleh dengan mudah dengan membagi nilai pada frekuensi dengan nilai jumlah frekuensi seluruh klas, misal T13=S13/$S$20. Copy‐kan cell ini ke cell T14 s.d. T19. Jumlah frekuensi relatif seluruh klas haruslah sama dengan satu, T20=SUM(T13:T19). Frekuensi relatif teoretik menurut distribusi normal dihitung dengan dua cara. Cara pertama adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut: ∆ · Dalam persamaan di atas, fX(x) adalah frekuensi relatif, Δx adalah rentang (lebar) klas, dan pX(x) adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 3 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah U13=$S$22*NORMDIST(R13,$S$23,$S$24,FALSE). Copy‐kan cell ini ke cell U14 s.d. U19. Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan mengingat hubungan antara pdf dan cdf sebagai berikut: ∆ · ∆ ∆ ∆
Dalam persamaan di atas, PX(xbatas atas) = prob(X < xbatas atas) dan PX(xbatas bawah) = prob(X <
xbatas bawah). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam
MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah V13=NORMDIST(Q13,$S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(O13,$S$23,$S$24,TRUE). Copy‐kan cell ini ke cell V14 s.d. V19.
Histogram Histogram dibuat dengan bantuan fasilitas chart yang telah disediakan dalam MSExcel. Ada beberapa cara untuk membuat histogram dengan MSExcel. Di bawah ini dicuplilkkan salah satu di antaranya. − pilih tiga kolom, kolom ke‐6, 7, dan 8, − pilih Insert | Chart | Column, − edit ketiga seri bar chart dengan memilih kolom ke‐0 sebagai absis, − ubah seri ke‐3 dari column chart menjadi line chart tanpa simbol dan haluskan kurva dengan memilih jenis smoothed line, − ubah seri ke‐2 dari column chart menjadi line chart dengan simbol, − edit chart dengan menambahkan judul pada kedua sumbu, legenda, dan hal‐hal lain agar chart mudah dibaca. Nilai probabiliti Nilai berbagai probabiliti dapat dengan mudah dihitung dengan bantuan fungsi =NORMDIST(…,…,…,TRUE) yang telah disediakan dalam MSExcel. Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8: prob(X < 8) = PX(8) =NORMDIST(8, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.5−3.5 3.5−6.5 6.5−9.5 9.5−12.5 12.5−15.5 15.5−18.5 18.5−21.5 Fr e kue ns i Re la ti f Jumlah Keluarga Miskin Distribusi Normal (teoretik) Data
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 7 Istiarto Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13: prob(9 < X < 13) = prob(X < 13) − prob(X < 9) = PX(13) − PX(9) = NORMDIST(13, $S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(9, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.3829 Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14: prob(X > 14) = 1 – prob(X < 14) = 1 – PX(14) = 1 – NORMDIST(14, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266 Rentang keyakinan jumlah keluarga miskin ratarata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura Rentang keyakinan (confidence interval) jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura didefinisikan sebagai rentang jumlah keluarga miskin dengan batas bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – α), atau dengan probabilitas (1 – α), nilai temperatur air rata‐rata, μX, berada di dalam rentang tersebut: prob(L < μX < U) = 1 − α Mengingat asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai µ ⁄ berdistribusi t. Dengan demikian, rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata‐ rata dapat dicari dari: prob µ 1 α
Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan
demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = α/2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan batas
prob ⁄ , µ ⁄ , 1 α
prob ⁄ , · µ ⁄ , · 1 α
Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = Σf), tα/2 dan t1−α/2 masing‐masing adalah
nilai t sedemikian hingga prob(T < tα/2) = α/2 dan prob(T < t1−α/2) = 1 − α/2 untuk ν = n − 1
degrees of freedom, serta ⁄√ . Nilai batas bawah dan batas atas jumlah keluarga miskin rata‐rata dengan demikian adalah: ⁄ , · dan ⁄ , · Karena nilai degrees of freedom ν = 39 dan tingkat keyakinan 1 − α = 0.90 (α/2 = 0.05 dan 1 − α/2 = 0.95), maka dengan memakai fungsi =TINV(…,…), diperoleh nilai‐nilai sebagai berikut: prob(T < t0.95,39) = 0.95 Æ t0.95,39 =TINV(2*(1−0.95),39) = 1.6849 prob(T < t0.05,39) = 0.05 Æ t0.05,39 = −t0.95,39 = −1.6849 Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata‐ rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah: 11 1.6849 4 √40⁄ 10 dan 11 1.6849 4 √40⁄ 12 sehingga rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 12. Catatan: dalam memakai fungsi =TINV(…,…) untuk mencari nilai t perlu diperhatikan bahwa fungsi =TINV(p,ν) memberikan nilai t sedemikian hingga p = prob(T > t) untuk ν degrees of freedom dengan asumsi two‐tailed distribution. Apabila hendak mencari nilai t dengan asumsi one‐tailed distribution, dipakai =TINV(2p,ν). Dalam soal ini, nilai yang dicari adalah nilai t sedemikian hingga q = prob(T < t) = 1 – prob(T > t) = 1 – p untuk ν degrees of freedom dan one‐ tailed distribution. Oleh karena itu, nilai t dihitung dengan cara =TINV(2*(1−q),ν). Catatan ini akan lebih mudah difahami dengan mencermati sketsa di bawah ini. =TINV(p,ν) =−TINV(p,ν) two‐tailed distribution =TINV(2p,ν) =−TINV(2p,ν) one‐tailed distribution
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 9 Istiarto Uji hipotesis jumlah keluarga miskin ratarata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura Data jumlah keluarga miskin diperoleh dari sampel. Dengan demikian, nilai simpangan baku adalah nilai sampel (sX), sehingga nilai simpangan baku populasi (σX) tidak diketahui. Oleh
karena itu, dalam uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata‐rata ini, bentuk hipotesis dan statistik ujinya adalah sebagai berikut: Hipotesis: H0: μX = 10 H1: μX ≠ 10 Statistik uji: √ 10 berdistribusi t √40 4 11 10 1.5811 Dengan tingkat keyakinan 1 − α = 0.95, maka batas kritis nilai t adalah: ⁄ , . , TDIST 2 1 0.975 , 39 2.0227
Karena T < ⁄ , maka H0 tidak ditolak. Jadi, hipotesis bahwa jumlah keluarga miskin rata‐
rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 dapat diterima.
