P
ENYELESAIAN
S
OAL
U
JIAN
T
ENGAH
S
EMESTER
2010
S
OALA
Pengolahan data annual series curah hujan harian maximum, H mm, di suatu stasiun ARR menunjukkan bahwa sebaran probabilitas suatu besaran curah hujan, pH(h), dapat dinyatakan
dengan suatu fungsi (pdf) berikut:
lain yang nilai untuk 0 100 50 jika 100 50 50 0 jika h h h a h a h pH 1. Gambarkan pdf curah hujan harian maximum di stasiun tersebut. 2. Hitung konstanta a.
3. Cari dan gambarkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) curah hujan harian maximum H. 4. Hitung nilai rata-rata curah hujan harian maximum, H , di stasiun tersebut.
5. Hitung nilai simpangan baku curah hujan harian maximum, sH, di stasiun tersebut.
6. Hitung probabilitas curah hujan harian maximum antara 40 mm s.d. 60 mm, prob(40 mm < H < 60 mm).
7. Jika pdf dan cdf di atas dapat dianggap tetap (konstan), hitung probabilitas curah hujan tidak akan pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun ke depan.
PENYELESAIAN
Sketsa pdf
Probability density function, pdf, data curah hujan harian maximum dalam soal tersebut dapat lebih mudah difahami dengan menampilkannya dalam bentuk grafik.
Konstanta a
Nilai kontanta a dicari dari definisi bahwa luas di bawah kurva pdf merupakan probabilitas (peluang) seluruh curah hujan di stasiun tersebut; jadi luas di bawah kurva pdf sama dengan satu.
0 50 100
a pH(h)
d 1
h h pH
100
d 0d 1 50 d d 0 0 100 50 50 0 0
h h h a h a h
50 25
1 1 0 50 50 50 100 100 100 100 100 50 1 0 50 0 21 2 1 a a a 75 1 aTentu saja, luas di bawah kurva pdf di atas dapat pula dihitung dengan cara yang lebih mudah, yaitu dengan memperhatikan trapesium yang dibentuk oleh salib sumbu dan kurva pdf.
Luas trapesium = 1 75 1 1 2 50 100 a a
Fungsi distribusi kumulatif, cdf
h
Hh
p
h h PH prob H d Interval h ≤ 0
h 0 PH Interval 0 ≤ h ≤ 50 mm
1 75 1 d 75 1 C h h h PH
Syarat batas: PH(0) = 0 C1 = 0
h h PH 75 1
3 2 50 75 1 50 H P Interval 50 mm ≤ h ≤ 100 mm
2 2
2
2
2 1 200 100 75 1 100 50 75 1 d 100 50 75 1 C h h C h h h h h PH
Syarat batas: PH(100) = 1
3 1 75 100 1 100 100 100 200 100 75 1 1 2 2 C C
3 1 200 100 75 1 2 h h h PH
200 2500
100 75 1 2 h h h PH Interval h ≥ 100 mm
h 1 PHPersamaan pdf dan cdf curah hujan harian maximum.
Curah hujan harian
H [mm] pdf cdf h ≤ 0 pH
h 0 PH
h 0 0 ≤ h ≤ 50 mm
75 1 h pH PH
h h 75 1 50 mm ≤ h ≤ 100 mm pH
h
h
100 50 75 1
2500 200 100 75 1 2 h h h PH h ≥ 100 mm pH
h 0 PH
h 1Curah hujan rata-rata
Curah hujan rata-rata merupakan nilai expektasi curah hujan, E(H), yang merupakan momen pertama terhadap sumbu ordinat pada pdf.
Memperhatikan bentuk geometri pdf yang berupa trapesium, maka momen pertama terhadap sumbu ordinat pdf dapat dihitung dengan cara sebagai berikut (lihat sketsa pada gambar di bawah):
3 50 50 75 1 50 2 50 75 1 50 75 1 50 100 21 2 1 H mm 39 9 350 H 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 pH (h ) p ro b (H < h ) hujan harian, H [mm] pdf cdfMomen pertama terhadap sumbu ordinat dapat dihitung pula dengan cara sebagai berikut:
mm 39 18 700 6 8 1 3 50 6 50 200 50 75 1 3 50 3 50 3 100 50 75 1 2 50 100 2 100 100 50 75 1 0 50 2 75 1 3 1 2 100 50 75 1 2 75 1 d 100 50 75 1 d 75 1 d E 2 3 3 2 2 2 100 50 3 2 50 0 2 100 50 2 50 0
h h h h h h h h h h p h H HSimpangan baku curah hujan
Simpangan baku curah hujan, sH, merupakan akar kuadrat varian. Nilai varian dihitung sebagai
nilai momen kedua terhadap nilai rata-rata:
H E
H H
2
E
H2 E2
H var
60 50 50 4 15 50 3 15 75 1 50 4 1 50 4 16 50 3 2 50 3 16 50 3 1 75 1 50 4 1 100 4 1 50 3 2 100 3 1 50 75 1 3 50 75 1 50 100 4 1 50 100 3 100 50 75 1 3 50 75 1 d 100 50 75 1 d 75 1 d E 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 4 3 3 3 100 50 3 2 50 0 2 2 2
h p h h
h p h h
h h h H H H 0 50 100 a pH(h) H [mm] 50/3 50/2 H
2 2 3 mm 9877 . 570 18 700 60 50 var H mm 24 8954 . 23 9877 . 570 H sProbabilitas curah hujan antara 40 s.d. 60 mm
25 . 0 75 19 40 25 36 120 75 1 40 75 1 2500 60 60 200 100 75 1 40 60 40 prob 60 prob 60 40 prob 2 H H P P H H HProbabilitas curah hujan tidak akan pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun ke depan
Dengan asumsi bahwa pdf dan cdf bersifat konstan, maka probabilitas curah hujan tidak melampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun dapat dihitung memakai persamaan distribusi binomial:
x
n x X p p x n p n x f 1 , ;Persamaan di atas menyatakan frekuensi terjadi curah hujan melebihi 70 mm sejumlah x kali dalam kurun n tahun apabila probabilitas curah hujan melebihi 70 mm per tahun adalah p. Probabilitas curah hujan melebihi 70 mm, p, adalah:
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 pH (h ) p ro b (H < h ) hujan harian, H [mm] pdf cdf prob(40 < H < 60) prob(40 < H < 60)
12 . 0 25 3 75 9 75 66 1 2500 70 70 200 100 75 1 1 70 1 2 PH pDengan demikian, probabilitas curah hujan tidak pernah melampaui 70 mm dalam kurun 10 tahun adalah:
2785 . 0 88 . 0 1 1 12 . 0 1 12 . 0 0 10 12 . 0 , 10 ; 0 10 0 10 0 X fS
OALB
Pengukuran evaporasi harian (dalam mm) selama 40 hari dari suatu stasiun menunjukkan nilai evaporasi harian sebagai berikut:
3 8 12 9 9 11 4 9 7 1
8 11 5 13 11 11 10 11 7 9
8 15 8 7 10 5 7 6 9 10
13 11 7 10 13 13 5 10 12 15
1. Buatlah tabel frekuensi dan histogram (frekuensi, bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian tersebut. Lebar klas 2 mm dengan batas bawah klas pertama 0 mm (rentang klas pertama 0 - 2 mm).
2. Hitunglah nilai rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian tersebut. Bulatkan kedua
nilai kedalam milimeter terdekat.
3. Hitunglah frekuensi (bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian dalam setiap klas data menurut distribusi normal.
4. Buatlah gambar perbandingan antara frekuensi data dan frekuensi teoretik menurut distribusi normal (bukan frekuensi relatif).
5. Hitunglah rentang keyakinan nilai rata-rata evaporasi harian dengan tingkat keyakinan 90%.
6. Hitunglah tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mm.
7. Lakukan uji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkat keyakinan 80%.
PENYELESAIAN
Tabel frekuensi dan histogram
Distribusi frekuensi evaporasi harian (dalam mm) di suatu stasiun klimatologi. Evaporasi harian E [mm] Frekuensi f f E [mm] f E2 [mm2] 0 − 2 1 1 1 1 2 − 4 3 2 6 18 4 − 6 5 4 20 100 6 − 8 7 9 63 441 8 − 10 9 10 90 810 10 − 12 11 8 88 968 12 − 14 13 4 52 676 14 − 16 15 2 30 450 ∑ 40 350 3464
Evaporasi harian rata-rata
mm 9 75 . 8 40 350
f E f ESimpangan baku evaporasi harian
mm 3 21 . 3 1 40 75 . 8 40 3464 1 2 2 2
f E f E f sEFrekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal
Distribusi frekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal dapat dicari dengan menggunakan bantuan tabel cdf atau tabel pdf distribusi normal, atau dengan menggunakan bantuan MSExcel. Frekuensi teoretik suatu variabel random yang berdistribusi normal dihitung dengan memakai persamaan berikut:
batasatas
batasbawah
bawah batas atas batas d d e P e P e f e e P e P e e P e p e p e e f E E E E E E E E E
Dalam persamaan di atas, fE
e adalah frekuensi relatif, e adalah rentang klas, pE
e adalah ordinat kurva normal standar, PE
e prob
Ee
, ebatas atas dan ebatas bawah adalah batas atas danbatas bawah rentang klas evaporasi harian. Dalam MSExcel, nilai PE(e) dicari dengan perintah
=NORMDIST(…), yaitu PE(1) = NORMDIST(1,9,3,TRUE). Nilai 9 dan 3 berturut-turut adalah nilai
rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian.
Apabila menggunakan tabel distribusi normal standar, nilai PE(e) harus diubah dulu kedalam
nilai normal standar.
E Z E Z Z Z E s E e P s E e P z P z P e f batasbawah batasatas bawah batas atas batas
0085 . 0 0013 . 0 0098 . 0 3 3333 . 2 3 9 0 3 9 2 Z Z Z Z E P P P P e fNilai PZ(z) selain dapat diperoleh dari tabel distribusi normal standar, dapat pula diperoleh
dengan perintah =NORMSDIST(…) dalam MSExcel: PZ(−2.3333) = NORMSDIST(−2.3333) dan .
PZ(−3) = NORMSDIST(−3).
Apabila menggunakan MSExcel, nilai PE(e) dapat langsung dihitung dengan perintah
=NORMDIST(...). Untuk klas pertama, frekuensi teoretik dihitung sebagai berikut:
0085 . 0 0013 . 0 0098 . 0 TRUE , 3 , 9 , 0 NORMDIST TRUE , 3 , 9 , 2 NORMDIST 0 2 bawah batas atas batas E E E E E P P e P e P e fDengan ukuran sampel 40 buah, maka frekuensi teoretik pada klas pertama adalah
0.0085 × 40 ≈ 0. Frekuensi teoretik untuk seluruh klas interval disajikan pada tabel di bawah ini.
Distribusi frekuensi evaporasi harian di suatu stasiun menurut distribusi normal.
Data Distribusi Normal
Klas E (mm) Frek f Klas Z PZ(z) fZ(z) Frek f 0 − 2 1 -3.0000 – -2.3333 0.0013 – 0.0098 0.0085 0 2 − 4 2 -2.3333 – -1.6667 0.0098 – 0.0478 0.0380 2 4 − 6 4 -1.6667 – -1.0000 0.0478 – 0.1587 0.1109 4 6 − 8 9 -1.0000 – -0.3333 0.1587 – 0.3694 0.2108 8 8 − 10 10 -0.3333 – 0.3333 0.3694 – 0.6306 0.2611 10 10 − 12 8 0.3333 – 1.0000 0.6306 – 0.8413 0.2108 8 12 − 14 4 1.0000 – 1.6667 0.8413 – 0.9522 0.1109 4 14 − 16 2 1.6667 – 2.3333 0.9522 – 0.9902 0.0380 2 ∑ 40 ∑ 38
Grafik distribusi evaporasi harian menurut data pengukuran dan distribusi teoretik
Memperhatikan perbandingan histogram data dan distribusi normal di atas, dapat disimpulkan bahwa evaporasi harian di stasiun tersebut berdistribusi normal.
Rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata
Rentang keyakinan nilai rata-rata adalah suatu rentang dengan batas bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan probabilitas ( nilai evaporasi harian rata-rata, E, berada di dalam rentang tersebut adalah prob(L < E < U) =
(1). Jika E berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai
E E
sEV berdistribusi t. Oleh karena itu, rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:
1 prob 1 v2 s E v E E
Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan
demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan atas
rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat diperoleh dari:
1 prob 2, t1 2, s E t E E a
1 probE ta2, sE E E t1 2, sEDalam persamaan di atas, t/2, dan t1/2,
masing-masing adalah nilai T sedemikian hingga prob(T < t/2,) = /2 dan prob(T < t1/2,) = 1 /2 untuk = n 1 degrees of freedom,
n s
sE E , dan n adalah jumlah data (n = f). Nilai batas bawah dan atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dengan demikian adalah:
0 2 4 6 8 10 12 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 Fr ek u en si Evaporasi harian, E [mm] Data Distribusi Normal
s n
u E t
s n
t
E E E
2, dan 1 2,
.
Dengan nilai degrees of freedom = n – 1 = 39 dan tingkat keyakinan 1 = 0.90 (/2 = 0.05 dan 1 /2 = 0.95), maka dengan memakai tabel distribusi t atau fungsi =TINV(...), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:
prob(T < t0.05,39) = 0.05 t0.05,39 = 1.6849 dan
prob(T < t0.95,39) = 0.95 t0.95,39 = 1.6849.
Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata adalah:
3 40
8mm dan 9 1.6849
3 40
10mm 6849 . 1 9 u sehingga: 8mmE10mm.Tingkat keyakinan yang dimiliki seseorang yang menyatakan bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah antara 8 mm s.d. 11 mm
Batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dinyatakan dengan persamaan berikut:
s n
u E t
s n
t E a E b E , dan , Jika 8mm, maka
0207 . 0 1082 . 2 40 3 9 8 , , a a a t tdan untuk u = 11 mm, maka
5 , , 10 1 . 7 2164 . 4 40 3 9 11 b b b t tDengan demikian, tingkat keyakinan rentang keyakinan tersebut adalah:
1 − = 1 – (a + b) = 0.9792 ≈ 98%.
Uji hipotesis bahwa nilai rata-rata evaporasi harian adalah 10 mm dengan tingkat keyakinan 80%
Uji hipotesis ini dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut:
H0: = 10 mm
Ha: ≠ 10 mm
1082 . 2 10 9 3 40 E s n T EDengan tingkat keyakinan 1 = 0.80, maka batas penerimaan hipotesis adalah:
3036 . 1 39 , 0.90 -1 * 2 TINV 39 , 90 . 0 , 2 1 t tKarena |T| > t1/2,39, maka H0 ditolak.
