Relasi antar dua variabel

(1)

Penyusun: Bevina D.Handari

Relasi antar

dua variabel

(2)

Seorang pelanggan air minum setiap bulan

membayar tagihan dengan perincian sebagai berikut: biaya pemeliharaan meter Rp 5.200, biaya beban

tetap Rp 14.190, dan biaya pemakaian Rp 6.825/m3.

_{Bagaimana kita membantu pelanggan tersebut}

mengestimasi pengeluarannya setiap bulan?

_{Dengan menggunakan fungsi yang tepat, kita dapat}

mengestimasi pengeluaran pelanggan air minum tersebut.

(3)

Sesuai dengan itu, lingkup subpokok bahasan adalah karakteristik grafik dan fungsi 2, khususnya

karakteristik fungsi.

Dalam karakteristik fungsi akan dipelajari jenis fungsi

linier, fungsi berbanding lurus, fungsi berbanding terbalik, dan fungsi eksponensial yang dapat

menjelaskan relasi antara peubah terikat dengan peubah bebas.

Pengetahuan ini dapat memperkaya kita dalam

(4)

DAFTAR ISI Pembahasan Fungsi: Fungsi

Fungsi linier Fungsi

Eksponensial

Fungsi Berbanding Lurus

Fungsi Berbanding Terbalik

(5)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2

Relasi antara temperatur dengan kedalaman bumi

dalam bentuk tabel dan grafik batang merupakan

sebuah fungsi, yaitu T=30 x.

Pada fungsi tersebut, peubah terikat (T) adalah sama

dengan sebuah konstanta (yaitu 30) dikali dengan peubah bebas (x). Dengan kata lain peubah terikat berbanding lurus dengan variabel bebas, dan fungsi

tersebut dikenal sebagai fungsi berbanding

lurus/langsung. Temperatur berbanding lurus dengan kedalaman bumi.

(6)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Peubah terikat adalah sama dengan perkalian sebuah konstanta dengan peubah bebas Notasi simbolik y=c.x, c konstanta Fungsi Berbanding Lurus

(7)

Grafik fungsi berbanding lurus:

Grafik fungsi berbanding lurus adalah garis lurus melalui titik (0,0)

(8)

Fungsi berbanding lurus merupakan bagian dari fungsi

linier. Pada fungsi linier relasi antara peubah dapat dinyatakan dalam sebuah garis lurus.

Fungsi linier tidak harus melalui (0,0)

(9)

c dan b

konstanta

Relasi antara peubah x dan y dalam fungsi linier

y = c.x+b,

Jika b=0, bagaimana grafik fungsinya? Jika c=0, bagaimana grafik fungsinya?

(10)

P ro du k si x ( to n) 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Tahun

Berikut adalah grafik produksi x dalam 5 tahun (ton):

Produksi x dalam 5 tahun (ton)

7 6 5 4 3 2 1 0

(11)

Grafik tersebut menjelaskan jika hingga pada tahun

2010 sudah diproduksi produk x sebanyak 5 juta ton, dan diasumsikan produk x dapat diproduksi dengan jumlah yang sama tiap tahunnya sebesar 0,25 ton hingga lima tahun ke depan, maka dapat diestimasi total jumlah produk x setiap tahun hingga lima tahun ke depan.

Grafik menunjukkan relasi antara peubah terikat

produksi (x) dengan peubah bebas tahun (t) sebagai berikut: x = 0,25 t + 5. Dalam hal ini produksi x

(12)

Tahun Produksi x (ton) 2010 5 2011 5,25 2012 5,5 2013 5,75 2014 6 2015 6,25

Produksi x dapat dinyatakan dalam tabel:

Laju perubahan produksi pada tahun 2010-2011:

(5,25-5)/(2011-2010)=0,25.

Berapakah laju perubahan produksi pada selang waktu yang lain?

(13)

Perhatikan bahwa laju perubahan produksi x pada

selang waktu yang lain adalah juga 0,25.

Fungsi linier adalah satu-satunya fungsi dengan laju

perubahan konstan.

Pada fungsi linier, perubahan peubah terikat dibagi

dengan perubahan peubah bebas pada sebarang

selang waktu berupa sebuah konstanta yang disebut

sebagai kemiringan garis (slope). Apa peranan

(14)

Fungsi linier dalam notasi simbolik y=c x+b, c,b konstanta Grafik c<0? Grafik c=-2? Grafik c=-5? Grafik c=0? Grafik c>0? Grafik c=2? Grafik c=5? Besar kemiringan dari garis menentukan seberapa curam garis lurus tersebut.

(15)

Bandingkan kemiringan dari 3 grafik ini.

Grafik dengan nilai konstanta c manakah yang paling

curam?

_{Karakteristik grafik apakah yang dapat anda}

jelaskan? 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 y=3 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 y=2x+3 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 y=5x+3

(16)

Grafik pertama adalah grafik mendatar karena nilai

konstanta c nol. Nilai grafik fungsi bergantung pada konstanta b.

Dua grafik di kanannya adalah grafik fungsi naik.

Grafik dengan konstanta c yang lebih besar lebih

curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih kecil.

Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan

(17)

0 1 2 3 4 5

Apa beda 2 grafik ini dengan grafik sebelumnya?

Nilai konstanta c pada dua grafik di atas negatif.

Karakteristik grafik apakah yang dapat anda

jelaskan? 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 y=-2x+3 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 y=-5x+3

(18)

Dua grafik tersebut adalah grafik fungsi turun.

Grafik dengan konstanta c yang lebih kecil lebih

curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih besar.

Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan

negatif yang lebih besar.

Dapat disimpulkan bahwa konstanta c menunjukkan

kemiringan garis, dan kecuraman grafik. Kemiringan garis merepresentasikan besar laju perubahan.

(19)

H a m ba ta n ( Am p) 5 10 15 20 25 30

Kuat Arus (Ohm)

Bagaimana dengan grafik berikut? Apakah grafik ini merupakan grafik fungsi linier?

Relasi Kuat Arus dan Hambatan

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

(20)

Kuat Arus (Ohm) Hambatan (Amp) 5 44 10 22 15 14,7 20 11 25 8,8 30 7,3

Representasi tabel dari grafik tersebut adalah:

Perhatikan bahwa laju perubahan tidak sama di

(21)

Laju perubahan pada selang hambatan (5,10) adalah:

(22-44)/(10-5)=-4,4. Laju perubahan pada selang hambatan (20,25) adalah: (8,8-11)/(25-20)=-0,44.

Karena laju perubahan tidak sama maka grafik di

atas bukan grafik fungsi linier.

Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar nilai

peubah bebas hambatan, nilai peubah terikat kuat arus mengecil. Berarti grafik diatas adalah grafik fungsi turun.

(22)

Kuat Arus (Ohm) (x)

Hambatan (Amp) (y)

Hasil Kali x.y

5 44 220 10 22 220 15 14,7 220 20 11 220 25 8,8 220 30 7,3 220

Hal yang menarik, jika kita kalikan masing-masing nilai peubah bebas dengan nilai peubah terikatnya maka kita peroleh bilangan yang sama, yaitu 220.

(23)

adalah y = .

Jika nilai peubah terikat dikali dengan nilai peubah

bebas adalah bilangan yang sama, maka fungsi

dengan karakteristik tersebut disebut sebagai fungsi

berbanding terbalik.

_{Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai y x = c,}

dimana y peubah terikat, x peubah bebas dan c konstanta. Notasi yang lebih umum digunakan

𝑐 𝑥

(24)

Sampai saat ini kita sudah mempelajari:

Fungsi linier

Fungsi

Berbanding

Lurus

Fungsi

Berbanding

Terbalik

Bentuk khusus

(25)

H uta m g ( ribu rupia h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bulan

Bagaimana dengan grafik berikut? Fungsi apa yang direpresentasikannya? Pertumbuhan Hutang 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

(26)

Banyak dijumpai data yang merepresentasikan

pertumbuhan atau penurunan suatu besaran. Grafik sebelumnya merepresentasikan pertumbuhan.

Grafik di atas adalah grafik pertumbuhan hutang

seseorang dalam 1 tahun, jika ia meminjam uang sejumlah Rp 200.000 rupiah dengan bunga 40% per bulan. Grafik dapat dinyatakan dalam tabel dan

(27)

Bulan ke Besar Hutang 0 200 1 280 2 392 3 548,8 4 768,3 5 1075,6 6 1505,9 7 2108,3 8 2951,6 9 4132,2 10 5785,1 11 8099,1 H uta m g ( ribu rupia h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Bulan

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Pertumbuhan Hutang 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0

(28)

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

2

Laju perubahan tidak sama pada setiap selang waktu Bukan fungsi linier

Hasil kali antar dua peubah tidak konstan Bukan fungsi berbanding terbalik Fungsi apakah yang mungkin?

(29)

Bulan ke Besar Hutang Rasio 0 200 - 1 280 1,4 2 392 1,4 3 548,8 1,4 4 768,3 1,4 5 1075,6 1,4 6 1505,9 1,4 7 2108,3 1,4 8 2951,6 1,4 9 4132,2 1,4 10 5785,1 1,4 11 8099,1 1,4

Perhatikan tabel berikut:

Rasio adalah perbandingan besar hutang bulan ini dengan

(30)

𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑖

𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑙𝑢 =1,4

Besar hutang bulan ini= 1,4 x Besar hutang bulan lalu

Berarti laju pertumbuhan hutang adalah 40% karena besar hutang bulan ini = (1+0,40) x besar hutang bulan lalu

(31)

Grafik tadi menunjukkan bahwa nilai suatu besaran

di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih besar dari 1, yaitu 1,4.

Karakteristik tersebut merupakan ciri dari

pertumbuhan eksponensial.

Grafik berbentuk melengkung ke atas sehingga laju

pertumbuhan besar hutang meningkat.

(32)

Jika suatu grafik menunjukkan bahwa nilai suatu

besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih kecil dari 1, misalnya 0,5.

Maka karakteristik ini menunjukkan penurunan

eksponensial. Fungsi Eksponensial Pertumbuhan Eksponensial Penurunan Eksponensial

(33)

Apa yang sudah kita pelajari? Karakteristik Fungsi KESIMPULAN Fungsi Linier, Fungsi Berbanding Lurus Fungsi Berbanding Terbalik Fungsi Eksponensial

(34)

(35)

SARAN

Gunakan pengetahuan kita mengenai karakteristik fungsi dalam menjelaskan/menganalisa suatu

masalah.

Gunakan data untuk membentuk grafik fungsi jika memungkinkan.

Gunakan grafik fungsi untuk menjelaskan suatu perubahan, misalnya laju perubahan yang

berbanding lurus/terbalik atau meningkat/menurun secara eksponensial.

(36)

DAFTAR PUSTAKA

 Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of

Mathematics with Applications, Pearson Addison

Wesley, 8Ed, 2009.

 Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey,

Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.

 Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison

Wesley, 3Ed, 2006.

 Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools

For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing,

(37)